高数第一部分5_一元微积分证明题

南京航空航天大学数学系
考研辅导班高等数学辅导课件 （微积分第 部分） （微积分第一部分）
2010年 2010 年7月

第五课：一元微积分证明题

一、内容概要 、内容概要
ƒ 函数零点存在性与个数问题 ƒ 函数不等式证明 ƒ 拉格朗日中值定理与拉格朗日余项泰勒 公式的应用

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)
考试内容:
闭区间上连续函数的性质，微分中值定理，定积 闭区间上连续函数的性质 微分中值定理 定积 分的概念和基本性质 定积分中值定理 该部分内容数学一、数学二和数学三的大 该部分内容数学 、数学二和数学三的大 纲基本相同

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)
考试要求: 考试要求
1．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区 间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定 理），并会应用这些性质． 2 理解并会用罗尔(R ll )定理 拉格朗日(L 2．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange) ) 中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值 定理． 3．掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理

1 函数零点存在性与个数问题 1、函数零点存在性与个数问题
方法1、连续函数介值定理证明函数零 方法1 连续函数介值定理证明函数零 点存在性，单调性确定零点个数 方法2、用罗尔中值定理证明导函数零 方法 、用罗尔中值定理证明导函数零 点存在性

(08年数一，分) 年数一 4分) 设函数 f ( x )= ∫ ln(2 + t )dt ,
0
x2
则 f '( x )的零点个数为 （ A） 0；（ B） 1；（ C） 2；（ D） 3 f '( x ) = 2 x ln(2 (2 + x )
2
由于 ln(2 + x ) > 0, 0
2
当 x < 0时， f '( ( x ) < 0； 当 x > 0时， f '( ( x) > 0 ⇒ f ( x )只有一个零点

(04年数一， 11分) 设有方程 x + nx - 1 = 0， 其中
n
n为正整数，证明此方程存在唯一正根 x n， 并证明当 α > 1时，级数 ∑ x n 收敛.
α
n =1 ∞
零点的存在性： 令 f n ( x ) = x + nx − 1
n
1 1 n 由于 f n (0) = − 1 < 0 0, f n ( ) = ( ) > 0 n n 1 ⇒ 在区间(0, )存在零点 n

零点的唯一性： 零点的唯 性： f n '( ( x ) = nx
n −1
+ n > 0(当 x > 0)
⇒ 在区间(0, +∞ )单调增加 1 ⇒ 存在唯一正根 x n ∈ ( (0, ) n
1 1 1 α xn < ⇒ xn < α ， 由于 ∑ α 收敛 (α > 1) n n n =1 n ⇒ ∑ x n 收敛
α
n =1 ∞
∞

(97年数 年数二，分) ，分) 8
就 k的不同取值情况， 确定
方程 x −
π
sin x = k 在开区间(0, (0 ) 2 2 内根的个数 并证明你的结论 内根的个数，并证明你的结论.
令f ( x ) = x − sin x − k， 首先研究 f ( x )在(0 (0, )的单调性和最值 2 2
π
π
π
⎧ ⎪ < 0, 0 < x < x0 ⎪ π π 2 2 ⎪ f '( x ) = 1 − cos x = ( − cos x ) ⎨ = 0, x = x0 = arccos π 2 2 π ⎪ π ⎪ > 0, x0 < x < ⎪ ⎩ 2

因此 f ( x )在( (0, , )先减小再增大， 图形为 U型 2
π
m ⇑
π π
最大值为 f (0) = f ( ) = − k , 最小值为 f ( x0 ) = x0 − sin x0 − k 2 2
f ( x )的图形为 U型， 型 故其在开区间(0 (0, )零点有三种情形： 2 (1) ( ) f ( x )的最小值大于零或最大值小于零 ⇒ 无零点 (2) f ( x )的最小值小于零且最大值大于零 ⇒ 2零点 (3) f ( x )的最小值等于零 ⇒ 1零点
π
⎛ ⎞ 2 π2 因此 (1) k < m ⎜ = arccos − − 1 ⎟ 或 k > 0 ⇒ 无零点 ⎜ ⎟ π 4 ⎝ ⎠ (2) 0 > k > m ⇒ 2零点 (3) k = m ⇒ 1零点

(03年数二， 12分) 讨论曲线 y = 4 ln x + k 与 y = 4 x + ln x的交点个数. 交点个数
4
令 f ( x ) = 4 x + ln 4 x − 4 ln x − k，交点个数 = f ( x )零点个数 首先研究 f ( x )在定义域 (0, +∞ )的单调性和最值
4 ln x 4 4 − = ( ln 3 x − 1 + x ) f '( x ) = 4 + x x x
⎧ < 0, ⎪ f '( x ) ⎨ = 0, ⎪ > 0, ⎩ 0 0< x<1 x =1 1< x
3

由于 lim f ( x )= lim f ( x )=+∞ ， 因此 f ( x )无最大值
x→0 x → +∞
f ( x )的最小值为 f ( (1) )= 4−k
f ( x )的图形为 U型， 型 故其在(0 (0, +∞ )零点有三种情形： (1) f ( x )的最小值大于零， 即 k < 4 ⇒ 无零点 即 k > 4 ⇒ 2零点 (2) f ( x )的最小值小于零， (3) ( ) f ( x )的最小值等于零， 即 k = 4 ⇒ 1零点
⎧ (1) k < 4时无交点 ⎪ ⇒ ⎨ (2) k > 4时两个交点 ⎪ (3) k = 4时一个交点 时 个交点 ⎩