浅谈Cesaro算子的逼近速度【文献综述】

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泰勒公式及其应用毕业论文

泰勒公式及其应用摘要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-，是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证：由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间）由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-，所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x=+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2．讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解：因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。

数学中的逼近与误差分析方法

数学中的逼近与误差分析方法数学是一门精确的学科，而逼近与误差分析是在数学中常常涉及的重要概念。

无论是求解数学问题还是在实际应用中利用数学进行计算，逼近与误差分析都扮演着至关重要的角色。

本文将介绍数学中的逼近和误差分析方法，并探讨其在实际应用中的意义和应用。

一、逼近方法逼近是指通过寻找一个趋近于所需的值的近似值来求解问题的方法。

在数学中，逼近方法被广泛应用于各个领域，如数值计算、函数逼近等。

逼近方法有很多种，其中常见的有泰勒展开、插值法和最小二乘法等。

1. 泰勒展开泰勒展开是一种将一个函数展开成无穷级数的方法，通过取有限项来逼近原函数的思想。

泰勒展开使得我们可以用一个简单的多项式函数来逼近复杂的函数，从而简化计算。

泰勒展开在数值计算中有广泛的应用，可用于计算函数的近似值和导数的值等。

2. 插值法插值法是一种在给定数据点的情况下，通过建立一个多项式函数来逼近未知函数的方法。

插值法的基本思想是通过数据点构造一个满足这些点要求的多项式函数，从而逼近原函数。

插值法可用于数据的平滑处理、曲线拟合以及信号处理等领域。

3. 最小二乘法最小二乘法是一种通过优化问题，通过对误差的平方和最小化来寻找最佳逼近解的方法。

最小二乘法可以用于任意一种函数逼近问题，例如线性回归分析、数据拟合等。

最小二乘法的基本思想是通过获取一组数据点，拟合一条曲线使得数据点和曲线之间的误差最小。

二、误差分析方法误差分析是对数学计算结果和逼近方法中所引入误差的分析与评估。

在数学计算中，由于各种因素的影响，计算结果通常会与实际值存在一定差距。

误差分析方法能够对这些误差进行量化，并评估其对计算结果的影响。

1. 绝对误差绝对误差是指计算结果与实际值之间的差距。

其计算公式为实际值减去计算结果的绝对值。

绝对误差可以直观地表达计算的精度，它越小表示计算结果越接近实际值。

2. 相对误差相对误差是指计算结果与实际值之间的相对差距。

相对误差的计算公式为绝对误差除以实际值的绝对值。

三大思想之逼近

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借用上图说明一下（这里 g = ϕ ）由微分思想可知，一个映射 ϕ 的作用在一点 x 0 邻域范围内可以近似看做是一个局部线性映射 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) . 稍微精确一些描述，取定小立方体C 的中心点 x 0 ，那么当C 充分小时，线性变换 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) 与变换 ϕ (x ) 相差高阶无穷小量。也就说处理问题时， ϕ (x ) 局部上可由线性变换近似代替，微分的精华思想也在于此。根据线性代数中的一个结论，对可逆线性变换 A ，有体积关系
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回想极限的定义、连续的定义、定积分的定义，都体现了数学中的逼近思想。当然，极限和连续可以用拓扑的方法定义，但失去了直观性。学数学分析还是尽量采用直观的方法为好，至少在水平达到一定程度之前如此。逼近的常见技巧是放缩和夹逼，方法的框架很简单，但具体应用时需要与具体问题相结合。本文重点介绍逼近的思想在数学分析中的体现，下面用两个例子来说明。第一个例子：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。这是魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理，学过数分的人都知道。多数教材对这个定理的证明采用伯恩斯坦多项式的构造方法。这里我们不去探讨证明过程，重点说明一个有趣的数学证明思路，想法来自概率论。考虑独立重复的伯努利实验，它有两个结果 A , B ，出现结果 A 的概率为 x ，出现结果 B 的概率为 1− x . 则 n 次独立重复实验中，恰好出现 k 次的结果 A 的概率为
μ(A(C )) = | det A | μ(C )
这里用符号 μ 表示若尔当体积。令线性变换 A = L ，则 det A = det ϕ ′(x 0 ) 或写成 det A = det Dϕ (x 0 ) . 由此得到体积近似关系： μ(ϕ (C )) ≈ | det ϕ ′(x 0 ) | μ(C ) x 2 )n , −1 ≤ x ≤ 1

马斯京根法的文献综述

马斯京根法的文献综述马斯京根法（Marshakian法）是古地磁学中一种地磁地层学方法，广泛应用于地磁地层学的研究中。

本文将围绕马斯京根法对地磁地层学的应用展开文献综述，总结出该方法的原理、应用领域及发展现状。

马斯京根法的原理主要基于地球磁场的变化和地壳运动之间的关系。

通过对地层剖面中的磁化属性进行测量，并和古地磁数据进行比较，可以推测地壳的水平移动和地磁场的变化。

马斯京根法的核心思想是将地壳运动和地球磁场的变化联系起来，从而揭示地层剖面中不同地层之间的相对年代差异。

马斯京根法最早是由俄罗斯地球物理学家M.M.Marshak于1930年提出，用于分析地球磁场的历史变化和地壳构造的演化。

随着研究的深入，马斯京根法的应用范围也逐渐扩大到了不同地球科学领域，如古地磁学、古地磁年代学、地球演化等。

在古地磁学中，马斯京根法是一种重要的研究方法。

通过测量剖面中不同岩石的自诱磁化强度和地磁比例系数（K值），可以计算出相对磁化强度和地磁矩系数（q值），进而推测岩石颗粒的尺寸和岩石的磁化历史。

这些数据对于研究地球磁场的变化和地壳运动的速度提供了重要的线索。

在古地磁年代学中，马斯京根法可以用于确定地层的准确年代。

通过比较不同剖面中的磁化特征和古地磁脉冲，可以建立起地层剖面之间的年代关系，并推断出地层的相对年代。

通过与有年代的化石资料结合，还可以进一步确定地层的绝对年代。

在地球演化研究中，马斯京根法可以揭示地壳运动和地球磁场的演化过程。

通过对不同断裂带地磁特征的测量和比较，可以推测断裂带的活动时间和断裂的位移速度。

这些数据可以用于研究地壳运动的规律和地球磁场的变化。

马斯京根法是一种重要的地磁地层学方法，对于研究地球磁场的变化和地壳运动的演化具有重要的意义。

但是由于该方法的测量精度和理论基础的限制，目前仍然存在一定的局限性。

未来需要进一步深入研究，提高方法的可靠性和适用性，推动马斯京根法在地球科学领域的进一步发展和应用。

数学专业文献综述范文

数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。

本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。

一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。

在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。

二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。

在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。

近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。

三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。

在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。

近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。

综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。

未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。

文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。

本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。

一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。

在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。

二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。

在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。

cesaro定理

cesaro定理
Cesaro定理，又称Cesaro-Stolz定理，是数学家Francesco Paolo Cesaro于1880年提出的定理。

它是数学家们用来研究分数的精确极限的重要工具，有助于理解无穷级数的收敛性质，建立和证明诸多结论。

要明白Cesaro定理，我们首先要了解无穷级数的概念。

一个无穷级数是指包含无数项的数列，其末项无穷大，且所有项和收敛于一个实数（极限）。

例如，等差数列{1，4，7，10…}，若极限L=11/2，则被称为一个无穷级数。

现在我们来看Cesaro定理，它可以用来证明一个无穷级数的极限是否存在。

Cesaro定理宣称：若无穷级数的每一项都与它的平均数的差的绝对值的和有极限，则该无穷级数的极限也存在。

要用Cesaro定理来证明一个无穷级数的收敛性，我们需要计算该无穷级数的平均数，然后计算该无穷级数中每一项与平均数之差的绝对值，最后求出这个差值的总和，检查其是不是随着无穷级数中项数的增加而收敛于某一数。

如果这个绝对值的总和是收敛的，则可以证明该无穷级数的极限存在。

同时，Cesaro定理也可以用来验证无穷级数的极限的值的确定性。

根据Cesaro定理，如果无穷级数中每一项与平均数之差的绝对值的总和收敛于0，则说明无穷级数的极限其实是平均数。

Cesaro定理有很多应用，它能够帮助我们厘清极限的计算思路，为解决一些复杂的问题提供有效的思路和依据，也方便用来证明许多
数学结论。

总的来说，Cesaro定理是数学家们研究无穷级数收敛性质的重要工具，它的应用广泛，是当今数学研究的重要组成部分。

Toeplitz矩阵循环延拓后的特征值数值分析

Toeplitz矩阵循环延拓后的特征值数值分析
梅金顺;王润秋
【期刊名称】《地球物理学进展》
【年(卷),期】2013(0)1
【摘要】本文采用数值分析的方法探讨Toeplitz矩阵延拓成ω循环矩阵时特征值的逼近程度.对于对称共轭型Toeplitz矩阵,采用ω=±i时对应的循环矩阵特征值的逼近程度较好;对于其它Toeplitz矩阵,采用共轭转置将其转化为对称共轭型矩阵后,才有利于特征值的逼近.可将本文方法广泛应用于地球物理中的数值计算(如位场计算、信号处理中的反褶积、地震资料的偏移处理等).
【总页数】5页(P265-269)
【关键词】Toeplitz矩阵;循环矩阵;特征值逼近;预条件
【作者】梅金顺;王润秋
【作者单位】中国石油大学(北京)油气资源与探测国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】P631
【相关文献】
1.对称Toeplitz矩阵特征值的快速算法 [J], 曾祝明
2.对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法 [J], 曾祝明
3.Hermitian Toeplitz矩阵特征值反问题 [J], 李波;王金林;易福侠
4.分块r—循环Toeplitz矩阵的特征值方程 [J], 麦苗
5.基于一类Toeplitz矩阵特征值的三角恒等式 [J], 马建荣;刘三阳;张鹏鸽
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【doc】Bezier曲面的最佳逼近

Bezier曲面的最佳逼近【一第l8卷第5期北京科技大学1996年10月JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijingV o1.18No.5Oct.1996Bezier曲面的最佳逼近V王兵团张志刚'王军团王萍').-......一'——————_.———?-～I)北京科技大学数力系,北京l0(10832)东风汽车公司技工学校门/0i}摘要提出一种用于计算机辅助几何设计的分片最佳逼近Bezicr曲面控制点的方法,这种方法只用有限次最小二乘计算就可以完成最佳逼近的目的.关键词Bezier曲面,逼近,外形设计中国分类号0I74.4IO1871Bezier曲线和Bezier曲面是几何造型的一种重要方法,由于它们有很好的几何性质,使得其在船舶,飞机和汽车等的外型设计中应用甚广通常在进行外型设计时,要利用一组已知数据来获得由Bezier曲线或曲面表示的参数方程.为此,人们尝试着不同的方法来达到这个目的.文献【1]中提出了用一次最/1~=-乘计算来获得Bezier曲面方程的方法.本文在该文献的基础上,提出用有限次最小二乘计算可使逼近结果达到最佳.1Bezier曲线的逼近设给定一组空间点列(Q.)i=0,1,2,…,,,求一条m次Bezier曲线,使其在离差绝对值最大者极小的意义下最佳逼近点列{Q.)(见图1).令曲线口的方程为:一∑(r)0f≤1(1):0国1量佳逼近的Bezierl~线式中(Octtl'0是Bemstein基函数,{为曲线的特征多边形顶点.对每个数据点,应该怎样选取B上的对应点≯(')?本文选取规范化的累加弦长平方作为,即f0,1∑∑,;tt=1=t:0f≠0上式中,=表示相邻两数据之间的距离.在选定f后,曲线曰逼近{Q,)的问题转化为求解包含m+1个未知向量,,+1向量方程的方程组:1995—08—01收稿第一作者男38岁副教授硕士二——————————一苎皇兰苎查兰兰堡B(')=i=0,1,…,f21由于m一般5,而r比m大得多,所以式(2)是超定线性方程组.在外形设计中,要求:=O,:O,于是式(2)成为:t.(6=O一(.(+B()Q)i=1,2,…,r一1(2)文献【1]是求式(2)的最小二乘解,而本文求它的最佳逼近解.2Be~er曲面的逼近设给定一组空问点阵{O,},i=0,1,…,=0,i,…把每相邻两点用直线连接起来.组成一个拓扑意义下的矩形网格.我们的问题是求一块m×n次Bezier曲面片S 使其能最佳逼近给定的点阵.,)设S的方程为:芦(Ⅳ,)=∑∑(Ⅳ)().w≤1(3)式中f(Ⅳ),f(w)为Bemstein基函数;是S～的特征网格的控制顶点.对每个点g,如何选取S上的点"w作为QJ的对应点是一个很敏感的问题.用文献【1]的双累加弦长参数来确定(,,)进行最佳逼近时,精度比文献[1】好,但我们采用规范化双累加弦长平方参数来确定w.,)能达到更好的效果.这种选取能保持内在不变的几何性质.这里"W,为:f,0,1∑/∑%1,2_…,rL=】;】f.1∑*:,∑':z=l,2,…,L=】=t这里l及,孑分别表示两个方向的相应弦长,即0=—Qi-v—Qq,=—Qo-—IQ,).显然0,"wi,1,令,:O可以得到+I)+1)个向量线性方程组:?∑∑t).(w=Q0,l,…,r;=0,i,…,(4)它含有(+1)(+1)个未知量,k=0,1,…,m;0,1,…,在外型设计中,通常把实测数据点分成几组,分别用每组数据进行Bezier吐面的逼近然后按某种光滑连接条件把它们拼接起来.步骤大致为:(1)令4个角点相等,即=Q..=Q.,==Q,.,::=Q(2)分别闻Bezier曲线逼近4条边界线,Ⅳ=0,"=1,w=0和W=1,从而得到Bezier曲面的边界控制点,,和V ol18No.5王兵团等:Bezier~面的最佳逼近?493(3)逼近曲面s的中间控制点.此时将(2)得到的全部边界控制点代人式(4),碍:一日(",,6,=Q,一日Q一肋(5)=if=】式中,f=1,2,…,r一1;,=1.2…,一1,以及BQ,,=Bo("日0()Q..+Bo("日(Q.4-B("日o(Q,.+日)aa(w)Q,一一一BB0日(".(6.+B(+(w0)[Bo("6.f+("6=I【这是一个包含一1)一1)个未知向量,k=l,2,…,m.1;,=l,2,…,.1,有(r-0(s.1)个方程的超定线性方程组.余下的问题是怎样去求这些方程组的最佳逼近解.对超定线性方程组的最佳逼近锵,已经有许多算法,如文献【2】中的Polya算法,上升算法等,这些算法对本文的方程都有计算量过大的缺点.本文采用文献[3】中的有限次最小二乘逼近来得到最佳逼近解的方法.用这种方法可以同时结出最小二乘解和最佳逼近解以及它们之间的若干中间解.这对Bezier曲面逼近问题是很方便的,获们可以根据问题的具体特点和精度要求来选用.由于式(5)的系数矩阵中所有行向量满足Haar条件,因此它可以满足文献【3]中的条件和结论.再者由于m通常5,这样对边界线的方程组,每组最多含4个未知向量,由文献[3】的结论,最多做5次最小二乘法就可得到边界上的最佳逼近解考虑到逼近的整体性,可以对式(5)也做5次最小二乘法求出的中间网格点.如果还想提高精度,可以继续对式(5)做最小二乘法,最多做到(m.1)(.1)次就求出(5)的最佳逼近解,从而得到最佳逼近的Bezier曲面利用有限次最小二乘法求(5)的最佳解,是通过对扰动后的剩余向量按模减少的趋势给出的,即r(6()II<llr(),k=1,2,…我们可以根据要求而不一定都要进行到最佳逼近解.由于全部过程的系数矩阵都保持不变,重复求最小二乘解程序相当简单,计算量也增加不大.3算例在椭圆球面上,取一组(Q}来做数值计算:设:/9)+/4)4-:=1,取一11,01>0的一片,为此在.roy面上取如下l1×11个分割节点,,:'一1+0.2if=0,12..,107,=0.J一0.1,2,…,10再由S算出u的对应值,得到原始数据点g,=,,,,),i,=0,1,2,…,10,按式(5)选用4×4Bezier曲面片,用本文的方法逼近上述11x11个数据点Q得到部分结果见表1.从上表1可以看出,最佳逼近的效果是十分满意的例如=0.4,=0.7时,逼近值与解析值是一致的.计算结果表明,解析曲面与逼近曲面之间的最大误差是3.87×10—6.文献…也用此例进行计算,但它的误差最大为2×10—4,本方法在逼近程度上提高了1个多数量级.计算是在JBMPC机上完成的494北京科技大学1996年No.5表1不同,v下的:计算结果×10'4结论本文所提的方法具有用较小的计算达到较大精度的优点,它的计算简单,数据存贮少对于实际的Bezier曲面的外形设计问题是完全可行的,可供有关部门试用.致谢:剂钦圣教授对奉文提出许多宝贵意见.在此表示感谢参考文献l刘鼎元,胡康生Bezier曲面的拟合.应用数学,1984(7):250～2562切尼Ew.逼近论导引徐献瑜等译.上海:上海科技出版社,198l3杨曙光.用有限次最小二乘法求解超定线性方程组的T解.高等学校计算数学,1986,l8(3):15～194苏步青,刘鼎元.计算几何.上海:上海科技出版社,198l BestapproximationofBezierSurfaceWangBingtuanZhangZhigan DeparlmentofMathewmiesanddfMeehanies,USTB.WangJuntuan)WangPing)BⅡg1000832)DongFengAutoCoPolytechnicABSTRACTBestapproxim~ionmohodofBezierSurfaceisposedhere.ItCallgetthe purposebydoingLeastsquarecomputationfinitetimes.TheBestapproximationof Beziercurvesisalsoincluded.KEYWORDSBeziercurvedsurface,approxmation,appearancedesign。

第三章 1 逼近论

( x)dx

2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx

1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2

1)m
]ddxnn11 [( x2

1)n
1
]
1

2m

1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2

i 1
1
||
x
||2

n

xi2

2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |，称为范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx，称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k

0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)

n

k0
f

k n

Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)

n k

xk

实变函数论文

实变函数论文实变函数论文(设计)课程中的应用题目：各角度讨论逼近思想在实变姓名：王凯指导教师：崔亚琼完成日期： 2021 年 1 月 3 日学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学五班各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用一、逼近思想在函数中的形成从18世纪到19世纪初期，在L. 欧拉、P.-S. 拉普拉斯、J.-B.-J. 傅里叶、J.-V. 彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。

这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。

在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。

切比雪夫提出了最佳逼近概念, 研究了逼近函数类是n 次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。

他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题, 得到了许多重要结果。

已知【α, b 】区间上的连续函数ƒ(x ), 假,(n ≥0),叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳一致逼近值, 也简称为最佳逼近值，简记为E n(ƒ) 。

能使极小值实现的多项叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳逼近多项式。

切比雪夫证明了, 在区间【-1,1】上函数x n+1的n 阶最佳逼近多项式必满足关系式。

多项就是著名的切比雪夫多项式。

切比雪夫还证明了,…+是ƒ(x ) 在【α, b 】上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b 】上存在着n +2个点:α≤x 11885年德国数学家K. （T.W. ）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。

如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n 的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x ) 的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。

浅谈Cesaro算子的逼近速度【文献综述】

文献综述数学与应用数学浅谈Cesaro算子的逼近速度一、国内外状况恩纳斯托·蔡查罗 (Ernesto Cesaro，1859年3月12日—1906年9月12日) 意大利数学家，出生于那不勒斯。

蔡查罗的贡献主要集中在微分几何方面，因为在发散级数的领域提出蔡查罗平均和蔡查罗求和而闻名。

早年就读于列日和罗马，1886年在巴勒莫任教学教授。

1891年始任那不勒斯大学分析教授。

他的工作是多方面的，共有论著259种。

19岁时解決某些拓扑方面的问题，24岁时发表成名之作<<算术的各种问题>>(1883) 。

同年又开始研究内蕴几何学，经过十几年的努力，出版了该学科的奠基性著作<<内蕴几何学教程>>(1896) ，书中给出皮亚诺曲线函数的解析形式，得到“蔡查罗曲线”等结果，并在一般情況下讨论了曲面和多维空间的性质。

1890年，他按柯西法则求解级数相乘问题，提出了所谓“蔡查罗方法”，即算术平均求和法。

我国著名数学家陈建功也在关于三角级数的收敛和绝对收敛、蔡查罗(Cesàro)求和及绝对蔡查罗求和等方面成果甚多，于1928年发表在《帝国科学院院报》上的一篇论文尤为重要，它解决了当时国际上许多数学家都在研究的三角级数绝对收敛的特征问题。

并在1956年开始对复变函数逼近论的研究时，对于具有极光滑的境界曲线之区域上的解析函数，他用费伯（Faber）级数之蔡查罗（Cesaro）平均来一致逼近它。

在一定条件下，逼近偏差可以为函数的连续模所控制。

对于Cesaro平均的应用，在陈建功所著的《三角级数论》等著作，以及“富里叶级数蔡查罗绝对求和的一些结果”等文章中，可见一斑。

Cesaro算子主要贡献在于，对级数的求和，和在级数的敛散性，连续性问题中，我们也可以用Cesaro平均的求和法作为充要条件来判断。

Cesaro算子还在多种空间上，如Bergman空间、Besov空间、Dirichlet型空间、Hardy空间等，有着广泛的应用，是研究不同空间，函数性质的重要工具。

函数逼近的理论与方法综述

课程作业题目：函数逼近理论与方法学院：数学与统计学院专业：计算数学研究方向：数字图像处理学生姓名：安静学号：2013201134教师：张贵仓函数逼近的理论与方法综述函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。

在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示而产生的误差。

这就是函数逼近问题。

在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样；g对函数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。

所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。

一、几种常用的插值函数 1.拉格朗日（Lagrange ）插值设y =()f x 是实变量x的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,nx x x 处得值01,,,ny y y 即(),0,,i i y f x i n==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得(),0,,i i p x y i n==(1-1)设()p x 是一个m次多项式()p x =2012mm a a x a x a x ++++,m a ≠则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,ma a a , 使得(1-1)式满足,所以该问题等价于求解下述的线性方程组20102000211121112012mm m m mm m m m na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩(1-2)上述的线性方程组的系数矩阵为他是一个()()11n m +⨯+的矩阵.当m A>时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A的前1n +列所组成的行列式为我们有：()01,,,n n w x x x -()j i j ix x >--∏(1-3) 为了证明(1-3), 我们考虑n此多项式显然01,,n x x -村委它的零点, 且它的nx 系数恰为()01,,,n w x x x -.可以得出下面的递进关系式运用他便可证明(1-3)式. 根据(1-3)并注意到诸01,,,nx x x 互异,从而线性方程组(1-2)的系数矩阵的秩数1n +它表明(1-2)的解是不唯一的, 即差值问题(1-1)的解是不唯一的.当m n<时, 矩阵A的行数大于列数,按照(1-3)式, 线性方程组(3-2)的每1m +个程组成的方程组均有唯一一组解. 01,,,ma a a, 但是一般来说,这样求出的各组01,,,ma a a不一定相同,即此时(1-2)可能是矛盾方程组. 鉴于上述情况, 看来取m n=是最为适合的, 现在我们从提多项式插值问题：给定1n+个互异点, 01,,,nx x x对任意组数01,,,ny y y,是否尊在唯一的()()f x p x ∈, 使之满足下面差值条件.(),0,,i ip x y i n==(1-4)上述问题的答案是肯定的, 现在采用构造性方法把所要求的多项式()p x 求出来, 试想：如果可求出具有下面性质的特殊的差值多项式：0,,0,,()1,i j i i nl x j i ≠=⎧=⎨=⎩(1-5)则多项式0()()ni i i p x y l x ==∑(1-6)必满足(1-4)的多项式, 但(1-5)中上面的等式, 之处01,,,nx x x 中出ix 外,均为()i l x 的零点, 因此()i l x 011()()()()i inc xx xx x xxx-+=----, 其中c 为常数,但(1-5)中的等式指出所以：()()()()()()()()011011()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+---------记做()()()nw x xx xx =--, 则()i l x 还可表示更加简单的形式：()i l x ()()()i w x x x w x ='-.总之n次多项式:()()()()nii i w x p x y x x w x =='-∑(1-7)满足差值条件(1-4). 若()nq x p ∈也满足差值条件(1-4), 则()()()nx q x p x p η=-∆必以01,,,nx x x 为零点. 即()0,0,,i x i nη==, 这样一来, n次多项式()x η依然有1n +个不同的零点, 所以()()q x p x =, 所以有(1-7)表示的n次多项式是np 中满足差值条件的唯一多项式, 他被称作为L a g r a n g e差值多项式, 并记做()()()()nn ii i w x L x y x x w x =='-∑(1-8)按上面的推理可得Lagrange差值多项式()n L x 也可看做是从下面的行列式方程中解出来的220000211112()11011n n n n n nnnnL x x x x y x x x y x x x y x x x =(1-9)由(1-1)所示的条件成为差值条件, 点组01,,,nx x x , 称为差值结点,上面所得到的结果可以从集合上解释为, 有且仅有一条n次代数曲线, 通过平面上事先给定的1n +个点(,),0,,i i x y i n=, 其中,()i j x x i j ≠=.Lagrange差值公式(1-8)具有结构清晰,紧凑的特点, 因此适合于工作理论分析和应用.拉格朗日（Lagrange ）插值公式的基本思想是，把的构造问题转化为n+1个插值基本函数的构造。

马斯京根法的文献综述

马斯京根法的文献综述马斯京根法（Mashkin-Gonka method）是一种用于研究光学器件的一种有效的数值计算方法。

该方法由苏联科学家马斯京根和戈卡于20世纪50年代提出，至今在光学设计领域仍然被广泛应用。

本文将从马斯京根法的原理、应用、优缺点以及发展趋势等方面进行综述，以期为光学器件设计领域的研究者提供参考。

一、马斯京根法的原理马斯京根法是一种基于衍射理论的数值计算方法，其原理主要基于惠更斯-菲涅耳原理和光波传播的衍射效应。

该方法可用于计算光通过光学器件后的衍射效应，包括透镜、棱镜、光栅等光学元件。

马斯京根法的基本原理是通过将光学元件分割成小区域，利用离散的矢量场计算每个区域的场值，然后通过线性方程求解来获取整个光场的传播情况。

相比于传统的有限差分法（FDTD）和有限元法（FEM），马斯京根法在处理衍射效应问题时更为高效和精准。

1.光学器件设计马斯京根法在光学器件的设计中具有广泛的应用价值。

通过该方法，可以精确地模拟和分析光学器件的传播特性，如光学衍射、散射、干涉等效应，有助于优化器件的设计和性能。

在激光器、光通信器件、微纳光学器件等领域，马斯京根法都被广泛应用于辅助器件的设计和优化。

2.光学成像对于光学成像系统而言，马斯京根法也可以用于模拟和分析成像质量。

通过模拟光波的传播和衍射效应，可以更加准确地评估成像系统的分辨率、畸变等性能指标，并优化成像系统的设计。

3.光学教学马斯京根法也被广泛应用于光学教学中。

通过使用该方法，可以直观地展示光的传播规律和衍射效应，帮助学生更好地理解光学原理和光学器件的设计。

1. 优点（1）高效性：与传统的有限差分法和有限元法相比，马斯京根法在计算效率上具有明显的优势，尤其在处理大型器件的传播特性时更加高效。

（2）精准性：马斯京根法基于严格的数值计算原理，可以准确地模拟光的传播情况，对于器件的性能预测更加精准。

（3）灵活性：该方法对不同类型的光学器件适用性广泛，能够满足不同应用领域的需求。

Cesaro函数空间CEp的依测度收敛的Opial性质和强端点

ｐＥ二＜
，
（４）
在（，）Ｅ上一致的有０ａ＼
（０（－ｏｆ），－ｏｚ＞）
且
ｌｌ一＋詈＝｝ｌ厂 ≥一一＋Ｉ。一一詈，
１／Ｆ＋ｒ一
Ｉ詈Ｈ＜
于是容易得到
所以
ｆ＋ｌＩ＋ｌ ≥ｌｒ￡ＩＩｓ≥ｌｓｌｌ＋／＞一
ＫｅｒｓｅａｏｆｎｔｎｓａｅＣＳ（＜ｏ）ｙｗｏｄ：ＣｓｒｕｃｏｐｃｓＥ１ｉ＜ｐ。；Ｏｉｒｐｒｎｍｅｔｒ；ｓｏｇｙｅｔｍｅｐｉｔｐａｐｏｅｔｉａｅｔｎｌｘｒｏｎ；ｍｉｐｉｔｌｙｕｒｅｄｏｎ
因为Ｉｌ１日Ｉ＝， ‘ ｛＋ｌ＋／所以易见ｌｓ ≤１ｒ，对于Ｖ＞ｅＯ
／１、
｛＜１｝当ｎ￡７，充分大时，７结合收敛无穷积分的性质，
３／
协㈤坝ｄ ≥ ，Ｈ｛批一』（ｏ＿
｛曲Ｉ ≥ ｆ【０＿
由空间理论知识及式（）１知
证明已知｛ｃＥ且『ｆ１，ｌ，））Ｓ，１Ｉ（＝，… ，Ｃ＝２２０对于 ∈ ＥＩ『ｒＯ往证．ＣＳ满足ｉｌ／，ｓ＝＞
ｉ
～
ｍｎｌ＋ｌｉ［［１ｉｆｓ＞ｎＩＩｆ，ｌｆ．ｆ＝
定理１Ｃｓｒｅａ０函数空间ＣＳ１＜ｏ）有依Ｅ（＜。具测度收敛的Ｏｉ性质．ｐａｌ
ｌｌ｛ｆ，）｝Ｊ（』）Ｉ／。Ｉ－，＝，［／厂］＋ ‘ ＿（ｄ厂＋

逼近思想与二分法

逼近思想与二分法摘要：无限逼近思想是一种基本而又重要的数学思想，灵活借助逼近思想解题，可以避开抽象而复杂的运算，优化解题过程．二分法寓意深刻体现了数学逼近的过程。

关键词：逼近 “二分法” 区间近似解精确到精确度用二分法求函数的零点或方程的近似解是《普通高中数学课程标准》新增的内容之一。

作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程()0=x f 的一种直观而又简单的算法，它的依据是如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0<*b f a f ，那么函数()x f y =在区间()b a ,内至少有一个零点，即至少存在一点c ,使得c 就是方程()0=x f 的根.具体计算步骤是，不断缩小区间的长度，使区间中点逐步逼近根的精确值，周而复始，不断二分以缩小区间的长度，理论上这一过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止。

从算法当中，我们可以体会到二分法用到了逼近的思想,是通过不断缩小区间，使区间的中点逐渐逼近根的精确值。

无限逼近的思想是高中数学的重要思想方法。

1、数学中逼近思想的应用早在我国的三国时代，数学家刘徽就用“割圆术”求出了比较精确的圆周率。

他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。

于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三百七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。

这种“割圆术”所用的数学思想，就是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。

在定积分概念的教学当中，求曲边梯形的面积，我们正是从正多边形逼近圆的方法中得到“以直代曲”的思想，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。

线性代数课程论文

基于自适应遗传算法的SOR迭代（华南理工大学理学院数学系计算数学牛海静）摘要：对于确定逐次超松驰迭代法中的最佳松驰因子问题, 迄今, 人们还没有给出一可行实用的方法. 利用自适应遗传算法全局搜索性能、并行性及其遗传操作, 构造出近似确定最佳松驰因子的一种自适应进化方法, 并由此得到一近似确定w功能的自适应逐次超松驰迭代算法. 数值算例表明, 该算法在求解线性方程组中是可行的, 实用和快捷的.关键词：逐次超松驰迭代法; 遗传算法; 最佳松驰因子; 线性方程组1引言在科学计算和工程设计中, 人们经常会遇到求解线性代数方程组问题, 而且在计算方法的其它分支的研究也往往归结为此类问题. 目前, 大型的线性方程组都是利用计算机进行数值求解, 归结起来, 主要有两类: 一类是直接解法, 就是指经过有限步运算求得方程组的解的一类方法, 此类方法比较适用于系数矩阵稠密的中、小型线性方程组; 另一类是迭代解法,适用于解大型、稀疏矩阵的线性方程组. 逐次超松驰迭代法(Successive Over-Relaxation) 是解线性方程组的一种迭代加速法, 是求解大型线性方程组的有效方法之一. 通过选择恰当的松驰因子w, 它能使收敛速度变得较快, 也使发散的可能变成收敛, 因此, 超松驰迭代法算法有着极高的应用价值. 本文利用自适应遗传算法全局搜索性能和并行性、及其遗传操作, 构造出一种近似确定最佳松驰因子的自适应进化算法, 并由此得到一个近似确定w功能的自适应遗传逐次超松驰迭代法(A daptive Genetic Algorithm Successive Over-Relaxation) 算法, 简称为A GA SOR.2 逐次超松驰迭代法超松驰迭代法简称为S O R 法, 是求解线性代数方程组的一种迭代加速法, 它是在-G auss Seidel 迭代法的基础上进行加速的, 将前一步的结果ki x 与-G auss Seidel 迭代方法的迭代值(1)+k i x 适当的加权平均, 期望获得更好的近似值(1)+k ix .其迭代公式如下:1(1)()(1)()1(1)[],ww -++===-+--邋i nk k k k ii i ijjijjj j iiixx b a xa xa1,2,,;0,1,2,== i n k其中：w 为松弛因子. S O R 法中w 取值对迭代公式的收敛速度影响很大, 它的好坏直接影响到收敛速度的快慢. 为了保证迭代过程的收敛, 必须要求02w <<，但是在0 和2 之间有很多的取值, 究竟如何取值至今没有较好的解决方法. 基于此目的, 文中提出一个可一般确定w 近似值的自适应数值进化方法, 该方法利用的是自适应遗传算法中全局性、并行性及其遗传操作, 使其快捷方便. 该算法适用于满足S O R 迭代方法的大型稀疏矩阵的线性方程组.3 遗传算法原理与A GA SOR 算法3.1 适应度函数与编码实现若一个代数方程组, 它由n 个方程组组成, 涉及m 个变量:11()()()()ìï=ïïïïïïïï=蜦íïïïïïïï=ïïîiinnX X X X f A f A fA(1)其中：1()f 可为除分段函数外的任意形式的函数表达式,[],{|(,)}.=F = j i j X x x x X x a b 12m ，，...,求解方程组(1)等价于求极值问题: 求一X ,以使式(2)取值最小.当最小值为0时,所对应的X ,即为方程之解; 当其最小值不为0 时, 则此方程组无解. 设适应度函数: 1()(),==-蜦åniii F X X X fA(2)本文是用遗传算法寻找S O R 法中的最佳松驰因子w , 确定w 在(0, 2) 区间的最优值. 对于w ,选定迭代初始值后, 它与方程组的解X 联系是比较紧密, 较好的w 可以在较少的迭代次数内得到较精确的解. 因而, 为了更好的平衡这种关系, 可以用式(2) 与迭代次数K 的平均值的负值做为适应度函数, 即:1()()(),22w =-++=-=-蜦åniii X KF X K Fit X fA(3)（或者可以选择适应度函数为 111()()()w ===+-+åniii Fit F X KX KfA也可以吧，不知道效果怎么样）求适应度函数时, 也要把迭代次数考虑进来. 如果比w 较差, 有可能达不到所要求的精度, 就会无限迭代下去. 因此, 给出一个限定条件, 如果迭代次数达到最大限定, 则k 取最大限, 适应度还按式(3) 进行处理. 同时为使算法能适用于任意的线性方程组, 必须根据用户输入的系数矩阵A 和常数项向量B , 还有选代初始值0X 和要求精度e , 用上述方法生成适应度函数.对于染色体编码, 本文采用实数编码. 与二进制编码相比, 采用实数编码方式, 使算法具有较高的通用性. 同时, 为了更好地与实际问题相结合, 将方程组的解X 和迭代次数K 放在w 的后面, 一起组成一个染色体Pop , 即:[].w =i i i Pop X K 其中的X和K 都是采用实数表示, 即用原值表示. 这样更利于最佳松驰因子w 寻优和方程求解.3.2 遗传算子 3.2.1 选择算子选择算子采用轮盘法、锦标赛选择法和几何规划排序选择法的结合. 轮盘法的基本精神是个体被选中的概率取决于个体的相对适应度:=åii if p f (4)其中: -i p 个体i 被选中的概率; -i f 个体i 的适应度; -åi f 群体的累加适应度.显然, 个体适应度越高被选中的概率愈大. 但是, 适应度小的个体也有可能被选中, 以便增加下代群体的多样性. 而锦标赛选择法是随机地从种群中选一定数目的()Tour 个体, 然后将最好的个体选做父个体. 这个过程重复进行完成个体的选择. 锦标赛选择法的参数为竞赛规模T our , 其取值范围为 [ 2,N ind ] (其中N ind 是竞赛规模, 允许比2大的数) , 这里取T our 为3, 使多样化得到一定的损失. 几何规划排序选择法是基于几何规划排序进行选择,主要是对适应度进行排序, 较好的做为父个体, 这有利于防止较好个体的破坏. 综合各自的特点, 本算法选择是先利用几何规划排序选择法对初始群体进行选择, 然后用锦标赛选择法对几何规划排序选择法得到的父群体进行选择, 最后用轮盘法选择. 这样可以提高收敛速度和搜索范围, 更有利于交叉与变异的进行. 3.2.2交叉算子算术交叉算子是实数编码遗传算法中应用最广泛的一种算子, 其采用的交叉方法是线性插值. 比如在两个体1w ,2w 之间进行算术交叉, 则交叉运算所产生出的两个新个体为 *112*212(1)(1)w a w a w w a w a w ìï=+-ïíï=-+ïî(5)其中a 是在[0,1] 区间内的参数, 它可以是一个常数, 也可以是由进化所决定的变量, 本文选择为[ 0, 1 ]区间上的随机数. 3.2.3变异算子本文采用均匀变异和边界变异两种变异算子. 对其说明如下:均匀变异是指分别用符合某一范围内均匀分布的随机数, 以某一较小的概率替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值. 其具体过程是: 假设有一个个体为12= k l X X X X X .若k X 为变异点, 其取值范围为m inm ax [,]k k U U (其中m in kU 表示的是基因k X 可取值范围的最小值, 而m axk U 表示最大值) , 在该点以个体X 进行均匀变异后, 可得到一个新的个体''12,= k l X X X X X 其中变异点的新基因值是: minm min 'ax ().-=+k k kk U r U U X 式中r 为范围内符合均匀分布的一个随机数. 边界变异是均匀变异操作的一个变形遗传算子. 在进行边界变异操作时, 随机地取基因座的二个对应边界基因之一取代原有基因值. 在进行由12= k l X X X X X向''12= k l X X X X X 的边界变异时, 若变异点k X 处的基因值取范围为m inm ax [,]k k U U ,则新的基因'k X 由下式确定: m i n m a x ,,1.ìïïíïïîk k U U 如果random(0,1)=0;如果random(0,1)= (6) 式中if random(0,1)表示以均匀等概率从0，1中任取其一.( 补充：由于本文中的染色体只有三个基因组成，且后面的两个基因X 和K 的值是随着基因w 的选取而相应变化的，所以我们本文的交叉和变异操作只针对于基因w 进行，这样X 和K 的值会根据适应度函数等相应产生新的值.) 3.2.4终止条件以设定的最大的遗传代数为终止条件 3.3 交叉概率c P 和变异概率m P遗传算法的参数中交叉概率c P 和变异概率m P 的选择是影响遗传算法行为和性能的关键所在, 直接影响算法的收敛性. c P 越大, 新个体产生的速度就越快, 但过大时遗传模式被破坏的可能性也越大; 但是如果 c P 过小, 会使搜索过程缓慢, 以至停滞不前. 对于变异概率m P , 如果 m P 过小, 就不易产生新的个体结构; 如果m P 取值过大, 那么遗传算法就变成了纯粹的随机搜索算法. 针对此问题, Srinvivas 等提出一种自适应遗传算法(Adaptive GA ,A GA ) , c P 和mP 能够随适应度自动改变. 本算法中,c P 和m P 根据式(7)式(8)来动态确定, 从而增加算法的进化能力和收敛速度.'12'1max '1,()(),ìï--ï- ïï-=íïïï<ïîc c avg c avgavg c c avgP P f f P f f f f P P f f (7)12m ax 1m ax 1,()(),ì--ïï- ïï-=íïï<ïïîm m m avgavgm m avg P P f f P f f f f P P f f (8)其中: 1212max 0.9,0.6,0.1,0.001,====c c m m P P P P f 为群体中最大的适应度值;a vgf 为每代群体的平均适应度值; 'f 为要交叉的两个个体中较大的适应度值; f为要变异个体的适应度值.3.4 次超松驰迭代(A GA SOR)描述具体算法过程描述如下:Step 1 参数接收: 接收用户输入线性方程组的系数矩阵A 、常数项b 、迭代初始值0X 和要求的精度e ; 确定种群规模N ;定出K 的最大限m ax K 的值和最大遗传代数T .Step 2 群体初始化: 随机生成N 个w 代入S O R 的迭代公式, 根据系数矩阵 A 、常数项b 、迭代初始值 0X 和要求的精度e 生成适应度函数;Step 3 计算适应度, 并保存迭代终止时的迭代次数k : 如果k 达到最大限, 则k 就等于最大限定次数; 否则按达到精度时的K 值保存;并产生N 个个体的初始种群S ;置代数计数器t 1=.Step 4 寻找并保存当前代最优个体(也就是适应度值最大的个体); Step 5 进行以下遗传操作:(最初针对初始种群全体)(a) 选择算子: 按几何规划排序选择法、锦标赛选择法、轮盘法(按选择概率i P 所决定的选中机会,每次从群体中随机选定一个染色体并将其复制,共做N 次,然后将复制所得的N 个染色体组成群体1S )进行选择;(b) 交叉算子: 按式(7)计算c P 并决定出参加交叉的染色体数c ,从1S 中随机确定c 个染色体,随机配对并用算术交叉算子进行交叉,并用产生的新染色体代替原染色体,得群体2S ;(c) 变异算子: 按式(8)计算m P 并决定变异次数m ，从2S 中随机确定m 个染色体，分别进行均匀变异和边界变异两种算子，并用产生的新染色体代替原染色体,得群体3S ;(d) 计算适应度: 并保存迭代次数k , 如果k 达到最大限, 则k 就为最大限定次数; 否则按原值保存;(e) 寻找并保存最优个体, 并用前代最优个体代替当前代的最差个体，置t t 1=+;Step 6 如果达到最大遗传代数, 则结束并输出所找到的最优松驰因子w , 然后转Step7; 否则转Step 5，;Step 7 把w 代入S O R 公式 , 另取精度1e （使1e e <，原e 可以取略大一点，加快收敛速度），得出方程的解X 和迭代次数 k ,并结束.4 数值算例与分析为了验证本文算法的有效性,在计算机上进行了数值模拟计算.选择参数为: 5 结论本文的近似确定X 进化算法, 是基于遗传算法对X 的寻找而得到的, 因而, 不难把它平行地推广到对称超松驰迭代法(SSOR ) , 加速超松驰迭代法(AOR). 参考文献:[ 1 ] 王世瑞, 王金金, 冯有前, 等. 计算方法[M ]. 西安: 电子科技大学出版社, 1997,1: 33241.3 期谢竹诚, 等: 基于自适应遗传算法的逐次超松驰迭代法159[ 2 ] 马东升. 数值计算方法[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2002, 1: 922102. [ 3 ] 李春光, 徐成贤. 确定SOR 最佳松驰因子的一个实用算法[J ]. 计算力学学报,2002, 8, 19 (3) : 2992302.[4 ] 胡小兵, 吴树范等. 一种基于遗传算法的求代数方程组数值解的新方法[ J ]. 控制理论与应用, 2002, 19 (4) : 5672570.[ 5 ] HE Jun, XU ji2you, YAO Xin. So lving equations by hybrid evo lutionarycomputation techniques[J ]. IEEE T ranson Evo lutionary Computation, 2000, 4 (3) : 2952304.[ 6 ] 罗亚中, 袁端才等. 求解非线性方程组的混合遗传算法[J ]. 计算力学学报, 2005,22 (1) : 1092114.[ 7 ] 周明, 孙树冻. 遗传算法原理及应用[M ]. 北京: 国防工业出版社, 1999.[ 8 ] 王小平, 曹立明. 遗传算法——理论、应用与软件实现[M ]. 西安: 西安交通大学出版社, 2002, 1.[ 9 ] 刘新胜, 张知难. 查找最佳松驰因子的一种实用方法[J ]. 新疆大学学报(自然科学版) , 2005, 5, 22 (2) : 1612164.。

球面Cesaro平均的Lp逼近

球面Cesaro平均的Lp逼近
张璞
【期刊名称】《广西师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(013)002
【摘要】给出了球面Ｃｅｓａｒｏ平均（在等于或低于临界阶情形时）对Ｌ＾ｐ（Σｎ－１）函数的逼近偏差的估计，完善了唐娉关于Ｌ＾ｐ逼近的结果。

【总页数】6页(P15-20)
【作者】张璞
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O174.41
【相关文献】
1.球面上Cesaro平均收敛性的注记 [J], 张璞
2.紧Lie群上Hp函数的临界阶Riesz平均的rn(HP，LP)(0＜p＜1)强平均逼近[J], 黄晓晴
3.关于用Cesaro平均逼近二元共轭函数的一个猜测 [J], 周颂平
4.Cesaro平均对某些球面连续函数类的逼近 [J], 张璞
5.广义渐近伪非扩张半群不动点Cesaro平均黏滞迭代逼近 [J], 张树义;张芯语因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

向量值H^P空间上的Cesàro算子

向量值H^P空间上的Cesàro算子步尚全【期刊名称】《数学年刊：A辑》【年(卷),期】1996(1)1【摘要】设X为一复Banach空间,f:D→X为一个X-值解析函数,f(z)=sum from n≥0(a_nz^n),a_n∈X,设C(f)(z)=sum fromn≥0((a_0+a_1+…+a_n)/(n+1)z^n)A(f)(z)=sum from n≥0(sum from k=n to ∞(a_k/(k+1))z^n本文证明了对于任意的1≤p<∞以及复Banach空间X,C为从H^p(X)到H^p(X)的有界线性算子;对于任意的1<p≤∞以及复Banach空间X,A 为从(?)(X)到(?)(X)的有界线性算子.这些结果推广了A.G.Siskakis的结果.【总页数】8页(P25-32)【关键词】向量值H^p空间;Cesaro算子;复巴拿赫空间【作者】步尚全【作者单位】清华大学应用数学系【正文语种】中文【中图分类】O177.2【相关文献】1.单位球上μ-Bloch空间到Zygmund型空间的加权Cesàro算子 [J], 赵艳辉2.单位球上βP空间到Za型空间的加权Cesàro算子 [J], 赵艳辉3.单位球上Dirichlet型空间Dq到βp空间的加权Cesàro算子 [J], 赵艳辉4.多圆柱上加权Bergman空间到Bloch型空间的加权Cesàro算子 [J], 赵艳辉; 廖春艳; 邓春红; 吴修云5.单位球上加权Bergman空间到(Z)μ型空间的加权Cesàro算子 [J], 赵艳辉;吴修云;廖春艳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

两算子的中心及其可逼近性

两算子的中心及其可逼近性
孙传崑
【期刊名称】《数学年刊：A辑》
【年(卷),期】1994(1)1
【摘要】不唯一性使得［１］中没有把单个算子的中心的概念推广到两个算子的
情况．本文将一般地讨论两算子的中心，并且给出寻找这个中心的构造性逼近方法．【总页数】8页(P16-23)
【作者】孙传崑
【作者单位】绵阳师范专科学校数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.1
【相关文献】
1.介于两类经典插值算子之间的算子 [J], 宋永志;范传强
2.与非光滑核的奇异积分算子的Toeplitz算子的λ-中心BMO估计 [J], 陈冬香;
房裕达
3.两个相乘可交换的广义投影算子和超广义投影算子线性组合的M-P逆 [J], 周良;罗高骏
4.与一类奇异积分算子相关的Toeplitz型算子的λ-中心BMO估计 [J], 陈冬香;
戴晓斌
5.两线性算子本性中心的逼近问题 [J], 孙传昆
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局部α次积分余弦算子函数的逼近

局部α次积分余弦算子函数的逼近
卢娜;赵华新;刘瑞;杨雯雯
【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(035)005
【摘要】利用生成元预解式来刻画局部α次积分余弦算子函数的Trotter-Kato逼近,给出可局部α次积分余弦算子函数的定义及其基本性质,通过Laplace变换得到了局部α次积分余弦算子函数逼近的4个等价条件.
【总页数】6页(P967-972)
【作者】卢娜;赵华新;刘瑞;杨雯雯
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延
安,716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.31
【相关文献】
1.双连续n次积分C余弦函数的概率逼近 [J], 岳田;雷国梁
2.一个局部积分余弦算子函数的等价条件 [J], 王梅英;王政民
3.局部积分余弦算子函数的生成定理 [J], 王梅英;蒋志芳;沈雁
4.n次积分C余弦函数的留数型逼近 [J], 李晓敏;李延波;
5.α次积分C余弦算子函数的逼近定理 [J], 李晓敏;张清芳;焦琳
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