转动惯量
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
转动惯量
Jz = ∑mr2 = ∑m(x2 + y2 ) z
同理，可得刚体对轴 和轴 和轴y的转动惯量 同理，可得刚体对轴x和轴 的转动惯量 计算式， 计算式，合并写成
Jx = ∑mr = ∑m( y + z )
2 x 2 2
rz
z
A x y
O
rz
x y
2 J y = ∑mry = ∑m(z2 + x2 )
r
y
r
ζ O
x
[ ]
1 = mr2 0 2
r
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
1 1 Jx = J y = Jz = mr2 2 4
转 动 惯 量
1 2 Jz = mr 2
例题3
图6
转 动 惯 量
§3 转动惯量的平行轴定理
转 动 惯 量
§3 转动惯量的平行轴定理
设刚体的质量为m， 设刚体的质量为 ，对轴 z′的转动惯量是 的转动惯量是 合于轴 y′ 。 设刚体内任一质点A的质量是 则刚体对轴z的转动惯量是 设刚体内任一质点 的质量是mi，则刚体对轴 的转动惯量是 的质量是
Jz = ∑mi (x2 + y2 ) = ∑m x′2 + ( y′ − d)2 i
与轴z′相平行且相 。 与轴 Jz′ 轴z与轴 相平行且相
的转动惯量。 距d。求此刚体对轴 的转动惯量。取坐标系如图所示，令 O′O =，轴y重 。求此刚体对轴z的转动惯量 取坐标系如图所示， d 重
[
]
z′
z
= ∑m (x′2 + y′2 ) − 2(∑m y′)d + (∑m )d2 i i i
钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成 和圆环组成（ 思考题 1 钟摆可近似地看成由匀质细杆 和圆环组成（如图 11） 。已知杆长 ，质量是 1；环质量是 2。求摆对通过杆端 并与 ） 已知杆长l，质量是m 环质量是m 求摆对通过杆端O并与 的转动惯量。 圆环面垂直的轴 Oz 的转动惯量。 解： Jz = J1 + JR − Jr O l
转动惯量公式是什么 怎么计算
转动惯量公式是什么怎么计算
在经典力学中，转动惯量通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是什么
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I或J表示，SI 单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m 是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
质量转动惯量
其量值取决于物体的外形、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学试验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的形状设计上，精确地测定转动惯量，都是非常必要的。
转动惯量只打算于刚体的外形、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
外形规章的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规章刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过试验的方法来进行测定，因而试验方法就显得非常重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
常见转动惯量计算公式
常见转动惯量计算公式转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，在物理学中有着重要的地位。
那咱就来聊聊常见的转动惯量计算公式。
先来说说转动惯量的定义哈。
它可以理解为物体对于旋转运动的“抗拒程度”。
想象一下，一个巨大的飞轮和一个小小的陀螺，让它们转起来，明显能感觉到飞轮更难转动起来，也更难停下，这就是因为飞轮的转动惯量大。
常见的转动惯量计算公式里，对于一个质点，其转动惯量等于质点的质量乘以质点到转轴距离的平方。
这就好比我们去推一个离转轴远的球比推一个离转轴近的球更费劲。
再来说说均匀细棒绕垂直于棒的中心轴转动的情况。
假设细棒长度为 L ，质量为 m ，那转动惯量就等于 1/12 * m * L²。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个调皮的孩子就问我：“老师，这细棒要是变成金箍棒，是不是转动惯量就大得吓人啦？”全班都被他逗乐了。
还有圆盘绕中心轴转动的情况。
假如圆盘半径为 R ，质量为 M ，其转动惯量就是 1/2 * M * R²。
这就好像我们转一个大圆盘和转一个小圆盘，大圆盘明显更“稳重”，不容易被转动。
另外，对于圆环绕中心轴转动，转动惯量是 M * R²，这里的 M 是圆环的质量，R 是圆环的半径。
在实际生活中，转动惯量的概念也无处不在。
就像骑自行车，车轮的转动惯量会影响骑行的感受。
车轮大而且重的自行车，起步的时候会感觉比较吃力，但一旦速度起来了，保持稳定就相对容易些，这就是因为大而重的车轮转动惯量大。
在工程领域，转动惯量的计算更是至关重要。
比如设计汽车的发动机曲轴，就得精确计算转动惯量，以确保发动机运转的平稳性和可靠性。
总之，转动惯量的计算公式虽然看起来有些复杂，但只要我们多结合实际去理解，就会发现它们其实也没那么难。
希望大家都能掌握这些常见的转动惯量计算公式，更好地理解我们周围的物理世界。
转动惯量计算公式
转动惯量计算公式
一、背景介绍
转动惯量是刻画物体抵抗转动状态变化的物理量，它在许多力学和工程问题中
都具有重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算物体的转动惯量，以便更好地理解和解决与转动相关的问题。
二、转动惯量的定义
转动惯量是指物体绕某个轴旋转时，该轴相对于物体分布的质量的一种度量。
它的计算公式可以根据物体的形状和质量分布情况来确定。
三、常见的转动惯量计算公式
1. 点质量的转动惯量
对于质量为m的点质量，其绕某个轴的转动惯量计算公式为：
I = m * r^2
其中，I表示转动惯量，m表示点质量，r表示点质量相对于轴的距离。
2. 杆状物体的转动惯量
对于长度为L，质量为M的均匀杆，绕与杆垂直的轴的转动惯量计算公式为：
I = (1/3) * M * L^2
其中，I表示转动惯量，M表示杆的质量，L表示杆的长度。
3. 圆环的转动惯量
对于质量为M，半径为R的均匀圆环，绕圆环的中心轴的转动惯量计算公式为：
I = M * R^2
其中，I表示转动惯量，M表示圆环的质量，R表示圆环的半径。
4. 球体的转动惯量
对于质量为M的均匀球体，绕通过球心的轴的转动惯量计算公式为：
I = (2/5) * M * R^2
其中，I表示转动惯量，M表示球体的质量，R表示球体的半径。
四、总结
转动惯量是物体抵抗转动的一种物理量，其计算公式与物体形状和质量分布有关。
本文介绍了常见的转动惯量计算公式，包括点质量、杆状物体、圆环和球体的转动惯量计算公式。
通过理解和应用这些公式，我们可以更好地分析和解决与转动相关的问题。
转动惯量计算折算公式
转动惯量计算折算公式
转动惯量（即转动惯性矩）是描述物体对转动运动的惯性的物理量，
它可以用公式I=mr^2来计算，其中I是转动惯量，m是物体的质量，r是
物体的转动半径。
然而，在实际问题中，物体的形状往往是复杂的，不可能直接通过上
述公式来计算转动惯量。
为了解决这个问题，我们可以通过一些折算公式
来将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和。
以下是一些常见的折算公式：
1.对于长方体：
-绕通过质心垂直于一条边的转动轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，
其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
-绕通过质心垂直于两条平行边的转动轴转动：I=(1/3)*m*(a^2+b^2)，其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
2.对于球体：
-绕通过质心的任意轴转动：I=(2/5)*m*r^2，其中m是质量，r是球
体的半径。
3.对于圆环：
-绕通过圆环中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=m*r^2，其中m是
质量，r是圆环的半径。
4.对于圆盘：
-绕通过圆盘中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=(1/2)*m*r^2，其中m是质量，r是圆盘的半径。
5.对于薄杆（在转动轴与薄杆所在直线垂直的情况下）：
-绕通过薄杆中心的转动轴转动：I=(1/12)*m*L^2，其中m是质量，L 是薄杆的长度。
这些折算公式可以帮助我们将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状选择合适的折算公式来计算转动惯量，从而更好地描述物体的转动运动。
转动惯量定义式
转动惯量定义式转动惯量是描述物体绕轴线旋转时所表现的惯性的物理量。
根据转动惯量的定义式，转动惯量（I）等于物体质量（m）乘以距离轴线的平方（r²）。
转动惯量的定义式可以用来计算物体在旋转过程中的惯性特性。
在物理学中，转动惯量是描述物体旋转惯性大小的一个重要概念。
它与物体的质量和形状密切相关，不同形状的物体具有不同的转动惯量。
转动惯量的定义式告诉我们，当物体质量一定时，与轴线距离越远，转动惯量越大。
这是因为离轴线较远的物体分布的质量较多，对旋转的惯性也越大。
相反，离轴线较近的物体分布的质量较少，对旋转的惯性也较小。
转动惯量的定义式还告诉我们，当物体距离轴线的平方增加时，转动惯量的增长速度比质量增长速度更快。
这是因为距离的平方项导致转动惯量的增长呈二次函数关系，而质量的增长只是线性的。
转动惯量的定义式在物理学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量被用来计算旋转物体的角加速度和角动量。
在天体物理学中，转动惯量被用来描述行星和恒星的自转特性。
在固体力学中，转动惯量被用来研究物体的稳定性和振动特性。
转动惯量的定义式也可以被推广到连续分布质量的物体上。
对于连续分布质量的物体，转动惯量可以通过积分来计算。
通过将物体分割成无限小的质量元，可以将整个物体的转动惯量表示为质量元的累加。
转动惯量的定义式的应用不仅限于静态系统，还可以用于动态系统。
在动态系统中，转动惯量的定义式可以用来计算物体受到外力或扭矩作用下的角加速度和角动量变化。
转动惯量的定义式是描述物体绕轴线旋转时所表现的惯性的物理量。
根据转动惯量的定义式，我们可以计算物体在旋转过程中的惯性特性。
转动惯量与物体的质量和形状密切相关，具有重要的物理意义。
转动惯量的定义式在物理学的各个领域中都有广泛的应用，是研究旋转运动的重要工具。
转动惯量的通俗理解
转动惯量的通俗理解一、什么是转动惯量转动惯量，也称为角动量惯量，是旋转物体抵抗改变其旋转状态的物理量。
简单来说，它是一个物体旋转时所具有的惯性。
二、转动惯量的计算公式在不同情况下，转动惯量的计算公式也不同。
以下是一些常见情况下的计算公式：1. 点质量绕轴旋转对于一个质点质量为m，在距离轴心距离为r处绕轴旋转，其转动惯量可以表示为I = mr²。
2. 刚体绕轴旋转对于一个刚体绕某个轴旋转，其总的转动惯量可以表示为I = Σmr²，其中Σ表示所有质点的加和。
3. 刚体固定在一端绕另一端旋转对于一个刚体固定在一端，在另一端绕垂直于其长度方向的轴旋转，其转动惯量可以表示为I = (1/3)ml²，其中l表示刚体长度。
三、什么影响着物体的转动惯量1. 形状和尺寸：物体形状和尺寸会影响其质心到轴心的距离，从而影响转动惯量。
2. 质量分布：物体不同部位的质量分布也会影响转动惯量。
3. 旋转轴的位置：旋转轴的位置会直接影响物体的转动惯量。
四、转动惯量的通俗理解1. 转动惯量越大，物体越难以旋转。
这是因为它需要更多的力来改变其旋转状态。
2. 转动惯量与物体的形状和尺寸有关。
例如，一个长条形物体比一个球体更难旋转，因为它的质心到轴心距离更大。
3. 转动惯量还与旋转轴的位置有关。
如果旋转轴靠近物体质心，那么它将更容易旋转。
4. 最后，值得注意的是，在实际应用中，我们通常会使用一些简化公式来计算物体的转动惯量。
例如，在某些情况下，可以将物体视为点质量，并使用I = mr²公式来计算其转动惯量。
转动惯量计算公式单位
转动惯量计算公式单位转动惯量是描述物体转动惯性的一个重要物理量，它在物理学中有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊转动惯量计算公式以及它所涉及的单位。
先来说说转动惯量的计算公式吧。
对于一个质点，转动惯量 I 等于质量 m 乘以质点到转轴的距离 r 的平方，即 I = m * r²。
要是一个刚体是由多个质点组成的，那转动惯量就得把每个质点的转动惯量加起来。
举个例子啊，就说一个均匀圆盘吧。
假设圆盘的质量是 M ，半径是 R ，那它的转动惯量 I 就是 1/2 * M * R²。
在计算转动惯量的时候，单位可太重要啦。
质量的单位通常是千克（kg），距离的单位通常是米（m），所以转动惯量的单位就是千克·米²（kg·m²）。
我想起之前给学生们上课的时候，讲到这个知识点，有个学生就迷糊了，怎么都搞不清楚单位的换算。
我就给他举了个特别形象的例子。
我说：“你就想象啊，这质量就好比是一群小人儿，距离呢，就是小人儿排队的长度。
那转动惯量呢，就是这些小人儿按照一定规则排好队形成的一个大场面。
千克就是小人儿的数量，米就是队伍的长度，那千克·米²就像是这个大场面的规模。
” 这学生听了之后，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
在实际的物理问题中，准确地运用转动惯量计算公式和单位，能帮助我们更好地理解物体的转动行为。
比如说，在机械设计中，要考虑零件的转动惯量，以确保机器的运行平稳；在天体物理学中，研究天体的自转也离不开转动惯量的计算。
总之，转动惯量计算公式和单位虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨，多联系实际，就能轻松掌握，为解决各种物理问题打下坚实的基础。
所以啊，同学们，别害怕转动惯量这个概念，好好理解它，就能在物理学的世界里畅游啦！。
转动惯量计算公式
转动惯量计算公式
转动惯量是物体在转动时所具有的能量，它可以衡量物体转动时所需要的力量。
转动惯量公式是物理学中非常重要的公式，用来计算物体转动时所具有的惯量。
转动惯量公式由英国物理学家詹姆斯·库仑在18th世纪提出的，也被称作库仑公式。
转动惯量公式是：I = mr2，其中I是物体的转动惯量，m是物体的质量，r是物体的半径。
转动惯量的大小直接取决于物体的形状、大小和质量。
如果一个物体的形状、大小和质量相同，那么它的转动惯量也是相同的。
转动惯量越大，物体转动时所需要的力量就越大。
转动惯量公式也可以用来计算物体转动时的能量，公式为：E = Iω2，其中E是物体转动时的能量，I是物体的转动惯量，ω是物体转动时的角速度。
转动惯量公式是理解物体转动时所具有的能量和力量的重要工具，它可以用来计算物体转动时所具有的惯量和能量。
它也可以帮助我们理解物体转动时所需要的力量和能量，以及物体的形状、大小和质量如何影响它们。
转动惯量与功率计算公式
转动惯量与功率计算公式
转动惯量的计算公式：
1.对于质点转动：转动惯量(J)与质点的质量(m)和质点离旋转轴的距
离(r)的平方成正比，即J=m*r^2
2.对于集中质量的刚体转动：假设刚体由N个质点组成，每个质点的
质量分别为m1，m2，...，mN，它们离旋转轴的距离分别为r1，r2，...，rN，则刚体的转动惯量等于所有质点的转动惯量之和，即
J=m1*r1^2+m2*r2^2+...+mN*rN^2
3. 对于连续分布质量的刚体转动：刚体可以看做由无数个质点组成，质点的质量微元为dm，质点离旋转轴的距离为r，则刚体的转动惯量可以
用积分的形式表示，即J = ∫ r^2 dm，其中积分区间为整个刚体。
计算功率的公式：
功率(P)表示单位时间内所做的功，可以用两种公式计算：
1. 对于匀速直线运动：假设物体做功的力为F，物体的速度为v，角
度为θ，则功率可以用力F和速度v的点积来计算，即P = F * v *
cosθ，其中θ为力和速度之间的夹角。
2.对于旋转运动：假设物体转动的角速度为ω，转动的力矩为τ，
则功率可以用力矩τ和角速度ω的乘积来计算，即P=τ*ω。
对于匀速直线运动和旋转运动，如果力和速度或力矩和角速度的方向
相同，则功率为正值，表示物体在做正功；如果方向相反，则功率为负值，表示物体在受到外力反作用做负功。
以上是转动惯量和功率的计算公式。
在实际应用中，这些公式可以帮助我们计算物体的转动惯量和功率，从而理解并分析物体的运动特性。
转动惯量
转动惯量引自百度百科本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
转动惯量(MomentofInertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
[1]在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
中文名转动惯量外文名MomentofInertia表达式I=mr²应用学科物理学适用领域范围刚体动力学适用领域范围土木工程基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
转动惯量的概念
转动惯量的概念
转动惯量是物体对于绕轴旋转的难易程度的量度，也可称为转动的惯性。
它与物体的质量以及物体围绕轴线的分布有关。
具体表达式可以通过以下公式来计算：
I = ∫ r^2 dm
其中，I是转动惯量，r是物体质点到轴线的距离，dm是质点的微小质量元素。
整个物体的转动惯量是所有微小质量元素转动惯量的总和。
转动惯量描述了物体抵抗转动的能力，起到了在牛顿第二定律中类似于质量的角色。
转动惯量越大，物体对于转动的难度越大，转轴旁边的物体越难以改变其状态的转动。
如果物体有规则的几何形状，在其坐标轴上的转动惯量可以通过公式或者几何知识计算出来。
例如，对于摆锤，其绕重心旋转的转动惯量为I = m*l^2，其中m为质量，l为摆臂的长度。
对于其他复杂形状的物体，可以通过分析物体的质量分布和运用积分来计算转动惯量。
转动惯量在理解物体转动行为、计算转动系统的动力学性质以及设计旋转设备等方面都起到了重要的作用。
几个常用的转动惯量
几个常用的转动惯量常用的转动惯量一般指的是刚体绕某一轴线旋转时所具有的惯性，也可以看做是刚体在转动过程中抵抗改变自身转动状态的特性。
转动惯量的大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
下面将介绍几个常用的转动惯量以及它们的应用。
一、杆状物体绕一端转动的转动惯量杆状物体绕一端转动是我们常见的现象，例如门扇绕铰链转动。
这种情况下，杆状物体的转动惯量可以用公式I = mL^2/3来计算，其中m为杆状物体的质量，L为杆的长度。
这个转动惯量的计算公式在物理学中有广泛的应用，例如在工程中设计大型机械装置或者建筑物时，需要考虑转动惯量以保证结构的稳定性和安全性。
二、刚体绕质心转动的转动惯量刚体绕质心转动是一种常见的转动情况，例如自行车轮子的转动、体操运动员在悬挂状态下的转动等。
对于刚体绕质心转动的转动惯量，可以通过几何形状和质量分布来计算。
例如，对于一个均匀圆盘，其转动惯量可以用公式I = 1/2 * m * r^2来计算，其中m为圆盘的质量，r为圆盘的半径。
这个转动惯量的计算公式在物理学中有广泛的应用，例如在运动员进行各种体操动作时，需要控制身体的转动惯量以保持平衡和稳定。
三、刚体绕任意轴线转动的转动惯量刚体绕任意轴线转动是一种更为一般的情况，例如旋转木马的转动、地球的自转等。
对于刚体绕任意轴线转动的转动惯量，可以通过积分来计算。
这个转动惯量的计算方法在物理学中有重要的意义，例如在天文学中研究星体的自转和运动时，需要计算转动惯量以了解天体的物理性质。
四、刚体转动惯量的应用转动惯量在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，设计旋转部件时需要考虑转动惯量，以保证设备的稳定性和工作效率。
在航天工程中，计算天体的转动惯量可以帮助科学家研究天体的运动规律。
在体育运动中，运动员需要控制自身的转动惯量以完成各种动作和技巧。
总结：转动惯量是刚体旋转过程中的一种物理性质，它与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
常用的转动惯量包括杆状物体绕一端转动的转动惯量、刚体绕质心转动的转动惯量和刚体绕任意轴线转动的转动惯量。
转动惯量的概念
转动惯量的概念转动惯量是物体对于绕轴线旋转的难易程度的度量。
它是刻画物体旋转运动特性的重要物理量，对于解释旋转现象和分析旋转问题有着至关重要的作用。
本文将详细介绍转动惯量的概念、计算方法以及它在物理学中的应用。
转动惯量是指物体绕某一轴线旋转时所具有的惯性量。
与物体的质量密切相关，但除了质量，物体的形状和轴线的位置也对转动惯量产生影响。
转动惯量用符号“I”表示，单位是kg·m²。
对于质点，其转动惯量只与质点的质量和轴线的位置有关，可由以下公式计算：I = m*r²其中，m代表质量，r代表质点距离轴线的距离。
但对于具有形状和大小的物体，它的转动惯量要根据其旋转轴及形状特性进行计算。
例如，对于一个长方体绕过其中一条边的轴线旋转，其转动惯量可通过以下公式计算：I = (1/3) * m * l²其中，m代表长方体的质量，l代表长方体的边长。
可以看出，转动惯量的大小取决于物体的质量和形状，而与其旋转的速度无关。
转动惯量的计算方法对于不规则形状的物体，计算其转动惯量需要采用积分的方法。
以一个平面图形为例，如圆环，可以将其划分为一系列无数个微小的质点，每个微小的质点的质量用dm表示。
则圆环的转动惯量可以表示为：I = ∫ r²*dm其中，r代表质点距离轴线的距离。
通过对整个图形进行积分，可以得到物体的总转动惯量。
转动惯量在物理学中的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用领域：1. 机械工程：在机械设计中，转动惯量对于分析旋转部件的运动和力学特性起着重要作用。
例如，计算旋转轮子的转动惯量可以帮助设计师选择合适的马达和制动系统，确保系统的稳定性和平衡性。
2. 刚体动力学：转动惯量是研究刚体运动的基本物理量之一。
通过计算转动惯量，可以分析刚体在外力作用下的角加速度以及角动量的变化。
3. 地球科学：转动惯量的应用还可以延伸到地球科学领域。
例如，在测量地球的形状和质量分布时，转动惯量可以作为一种工具来确定地球的物理特性。
转动惯量的计算
转动惯量的计算
一、转动惯量的概念
1、转动惯量的定义：转动惯量是测量一个物体围绕它的转轴转动时所
需要的动能的定义。
它可以用来衡量物体的运动情况和它们之间的相
互作用。
2、转动惯量的单位：在国际单位制中，转动惯量的单位被称为千克米
2（kg·m2）。
二、转动惯量的重要作用
1、用于物体调整速度的作用：转动惯量可以用来调整物体的转动速度，特别是在多个物体之间的相互作用中，这些物体的转动惯量之和不变。
2、用于物体的转动稳定性：由于转动惯量可以表示物体的转动稳定性，因此它可以用来表示物体的转动稳定性，这样可以保证物体的转动稳定，从而降低事故发生的可能性。
三、计算转动内惯量的公式
1、转动内惯量的体积公式：I=2/5 mr2，其中m是物体的质量，r是物
体的半径。
2、转动内惯量的面积公式：I=1/2 M2，其中M是物体的质量或轴距。
3、转动内惯量的位置公式：I=mr2，其中r是质心到轴距的距离。
四、转动惯量的计算方法
1、运用数学公式计算：可以利用上述的转动内惯量的公式来计算。
2、采用实验方法计算：可以采用实验测量的方法来计算转动惯量，如采用双摆的实验、腰椎的实验等。
3、利用计算机软件计算：还可以利用计算机软件来模拟物体的运动状态，并计算物体的转动惯量。
转动惯量
0 R2
2
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
JA
x2dm L x2 dx 0
转动惯量
一、转动惯量的定义
刚体对转轴的转动惯量等于刚体上各质点的质量与 各质点到转轴的距离平方的乘积之和，即
说明：
J Δmiri2
i
1) 刚体对转轴的转动惯量由刚体上各质点相对于转轴 的分布所决定，与刚体的运动状态及所受的外力无关；
2) 转动惯量反映了刚体转动状态发生改变的难易程度，
即刚体转动的惯性，其单位为 kg m2；
1 L3 1 mL2
33
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
2
1 L3 1 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
L2
三、关于转动惯量的两个定理
1. 平行轴定理
若质量为m的刚体对过其质心C的某一转轴的转动惯量
为JC，则这个刚体对于平行于该轴并和它相距为d的另一 转轴的转动惯量J 为
例题. 求质量 m、半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其 中心垂直轴的转动惯量.
解: J r2dm
细圆环：在圆环上取质量元dm
o R dm
J r度为dr的圆环作为
质量元dm
dm
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
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3）消除爬行现象的途径（实际做法） ① 提高传动系统的刚度
a．在条件允许的情况下，适当提高各传动件或组件的刚度，减小 各传动轴的跨度，合理布置轴上零件的位置。如适当的加粗传动丝 杠的直径，缩短传动丝杠的长度，减少和消除各传动副之间的间隙。
b．尽量缩短传动链，减小传动件数和弹性变形量。 c．合理分配传动比，使多数传动件受力较小，变形也小。 d．对于丝杠螺母机构，应采用整体螺母结构，以提高丝杠螺母的 接触刚度和传动刚度。
6、阻尼 在系统设计时，考虑综合性能指标，一般取ξ＝0.5 ~ 0.8 之间。 7．刚度
采用弹性模量高的材料，合理选择零件的截面形状和
尺寸，对齿轮、丝杠、轴承施加预紧力等方法提高系统 的刚度。
对于伺服机械传动系统，增大系统的传动刚度有以 下好处：
（1）可以减少系统的死区误差（失动量），有利于 提高传动精度；
2．滚珠循环的方式
（1）内循环 （2）外循环
3．滚珠丝杠副轴向间隙调整与预紧
（1）双螺母螺纹预紧调整式
（2）双螺母齿差预紧调整式
（3）双螺母垫片调整预紧式
（4）弹簧式自动调整预紧式
（5）单螺母变位导程自预紧式
滚珠丝杠副支承方式的选择
滚珠丝杠副的选择
1．滚珠丝杠副结构的选择 根据防尘防护条件以及对调隙及预紧的要求，
一般要求机械传动系统最低固有频率 WOI≥300rad／s，其他机械系统WOI≥600rad／ s。
9．间隙
对于系统闭环以外的间隙，对系统稳定性无影响， 但影响到伺服精度。
对于系统闭环内的间隙，在控制系统有效控制范围
内对系统精度、稳定性影响较小，但反馈通道上的间 隙要比前向通道上的间隙对系统影响较大。
重量最轻原则。
齿轮传动间隙的调整
1．直齿圆柱齿轮传动副 （1）偏心套调整法
（2）锥度齿轮调整法
（3）双片齿轮错齿调整法
2．斜齿圆柱齿轮传动副 （1）轴向垫片调整法 （2）轴向压簧调整法
3．齿轮齿条传动
滚珠螺旋传动
滑动螺旋传动的接触面间存在着较大的滑动摩擦阻 力，传动效率低，磨损快、精度不高，使用寿命短，已 不能适应机电一体化设备在高速度、高效率、高精度等 方面的要求。滚珠螺旋传动则是为了适应机电一体化机 械系统的要求而发展起来的一种新型传动机构。
第2章 机电一体化中机械系统部 件的选择与设计
2.1概述 2.2传动机构 2.3导向及支撑结构 2.4机械执行机构
与一般机械系统比较，机电一体化机 械系统的要求：
① 定位精度要高 ② 响应速度要快 ③ 稳定性高
常常提出：无间隙、低摩擦、低惯量、高刚 度、高谐振频率、适当的阻尼比
机电一体化机械系统的三大结构
（m/s）
式中 ΔF-----静、动摩擦力之差（N）；
K------传动系统的刚度（N／m）；
ξ------阻尼比；
m------从动件的质量（kg）。
以下两种观点有利于降低临界速度：
适当的增加系统的惯性J和粘性摩擦系数f，有利于改善低
速爬行现象，但惯性增加会引起伺服系统响应性能降低；增加
粘性摩擦系数也会增加系统的稳态误差，设计时应优化处理。
同步齿形带传动
各级传动比满足”前小后大”原则.
三种原则的选择： 对齿轮传动装置的设计，应根据具体
的工作条件综合考虑。 1.传动精度要求较高时采用输出轴转
角误差最小原则设计； 2.对于要求运转平稳、频繁启动和动
态性能好的传动装置，常用最小等效转动 惯量原则和输出轴转角误差最小原则设计；
3.对于有质量要求的其它传动装置用
2n n1 1
i 2 i 2(2n 1) 2n 1
1
2( K1)
iK
2
i 2n / 2
2n 1
(K
2
~
n)
各级转动比的分配按“前小后大”次序
传动级数n 确定：
②大功率传动
确定n
第一级传动比确定
各级传动比的确定
二、重量最轻原则
①小功率传动
各主动小齿轮转动惯量相同为J1；轴与轴承的 转动惯量不计；各齿轮均为同宽度同材料的实 心圆柱体。
u
2
(5) 丝杠折算到电机上的转动惯量
J JS i2
例1：丝杠传动时，传动系统折算到电机轴上的总转动惯 量
例2：求系统折算到电机上的总传动比
例题2-2
2.2.4齿轮传动副
齿轮总传动比的设计原则: 工作时折算到电动机轴上的峰值转矩最小；等效均
方根力矩最小；电机驱动负载加速度最大三种方法计算。 重点介绍负载加速度最大原则:
根据经验，克服摩擦力所需的电机转矩Tf与电动机额定转矩 TK的关系为0.2TK＜Tf＜0.3 TK
在使用中应尽可能减小静摩擦力与动摩擦力的差值， 并使动摩擦力尽可能小且为正斜率较小的变化 。
5、爬行
当丝杠1作极低的匀速运动时，工作台2可能会 出现—快一慢或跳跃式的运动，这种现象称为爬 行。
1）产生爬行的原因和过程
n
K )；刚度越大，闭
J
③ 机械系统产生共振时，系统中阻尼越大，最大振幅就
越小，且衰减越快；但阻尼大会使系统损失动量，增大
稳态误差，降低精度，故应选合适阻尼。
④ 静摩擦力要小，动摩擦力要小的正斜率；或者会出现
爬行。
4、摩擦
摩擦力可分为三种：
静摩擦力、库仑摩擦力和粘性摩擦力（动摩擦力=库仑摩擦力 +粘性摩擦力）。
负载处于静止状态时，摩擦力为静摩擦力，随着外力的增加 而增加，最大值发生在运动前的瞬间。运动一开始，静摩擦力消 失，静摩擦力立即下降为库仑摩擦力，大小为一常数F=μmg，随 着运动速度的增加，摩擦力成线性的增加，此时的摩擦力为粘性 摩擦力（与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼）。
摩擦对机电一体化伺服系统的主要影响是：降低系统的响应 速度；引起系统的动态滞后和产生系统误差；在接近非线性区， 即低速时产生爬行。
匀速运动的主动件1，通过压缩弹簧推动静止的运动件3，当 运动件3受到的逐渐增大的弹簧力小于静摩擦力F时，3不动。直 到弹簧力刚刚大于F时，3才开始运动，动摩擦力随着动摩擦系 数的降低而变小，3的速度相应增大，同时弹簧相应伸长，作用 在3上的弹簧力逐渐减小，3产生负加速度，速度降低，动摩擦 力相应增大，速度逐渐下降，直到3停止运动，主动件1这时再 重新压缩弹簧，爬行现象进入下一个周期。
转动惯量的计算： （单位：kg·m2）
(1) 圆柱体转动惯量
J 1 mR2 2
(2) 直线移动工作台折算到丝杠上的转动惯量
J
m
L
2
2
(3) 齿轮齿条传动时工作台折算到小齿轮轴上的转动惯量
J m R2
(4) 工作台折算到钢带传动驱动轴上的转动惯量
J
m
滚珠丝杠副的特点 :
(1)传动效率高、摩擦损失小，传动效率很高，可达 0.92~0.96（滑动丝杠为0.2~0.4） (2)传动的可逆性、不可自锁性 (3) 传动精度高 (4) 磨损小、使用寿命长
螺纹滚道截面的形状、滚珠循环的方 式、轴向间隙的调整及施加预紧力的方法 三个方面介绍：
1．滚珠丝杠螺母副螺纹滚道的截面形状
结论：对于n级传动 i1＝i2＝i3＝…in＝i1/n
②大功率传动
设 m3 / m1 D3 / D1 b3 / b1 3 T3 / T1 3 i1 设b1＝b2 ，b3＝b4
结论：
i i1 2i1 1
i2 2i1 1
对于三级齿轮传动
i i1 2i1 1(2 2i1 1 1)1/ 2 i2 2i1 1 i3 2i2 1 (2 2i1 1 1)1/ 2
4．滚珠丝杠副的精度等级
JB3162.2—91（ ISO3408—3：1992 ）《滚珠丝杠 副的验收技术条件》，将滚珠丝杠副的精度分为7个精度 等级，即1，2，3，4，5，7，10级。1级精度最高，依 次递减。标准中对各级精度的滚珠丝杠副的行程偏差有 多个项目的规定。 5．滚珠丝杠副的选择步骤
（1）承载能力选择 （2）压杆稳定性核算 （3）刚度的验算
（2）可以提高系统的固有频率，有利于系统的抗振 性；
（3）可以增加闭环控制系统的稳定性。
8．谐振频率
对于闭环系统，要求机械传动系统中的最 低固有频率（最低共振频率）必须大于电气驱 动部件的固有频率。
对于机械传动系统，它的固有频率取决于 系统各环节的刚度及惯量，因此在机械传动系 统的结构设计中，应尽量降低惯量，提高刚度， 达到提高传动系统固有频率的目的。
② 减少摩擦力的变化
a．用滚动摩擦、流体摩擦代替滑动摩擦，如采用滚珠丝杠、静压 螺母、滚动导轨和静压导轨等。从根本上改变摩擦面间的摩擦性质， 基本上可以消除爬行。
b．选择适当的摩擦副材料，降低摩擦系数。 c．降低作用在导轨面的正压力，如减轻运动部件的重量，采用各 种卸荷装置，以减少摩擦阻力。
d．提高导轨的制造与装配质量，采用导轨油等都可以减少摩擦力 的变化。
查表求法：
各级传动比是逐渐递减的 即满足”前大后小”原则.
三、输出轴转角误差最小原则
四级传动比分别为i1 、i2 、i3 、i4；齿轮1 ~ 8的 转角误差依次为ф1~ф8，该传动链输出轴的总转 角误差ф为：
1
i
2 3
i2i3i4
4 5
i3i4
6
7
i4
8
由上述分析可知，低速进给爬行现象的 产生主要取决于下列因素：
① 静摩擦力与动摩擦力之差，这个差 值越大，越容易产生爬行。
② 进给传动系统的刚度K越小、越容 易产生爬行。
③ 运动速度太低。 （适当的增加系统的惯性J和粘性摩擦系 数f）