一阶微分方程

dx dt

ax,
x(t0 ) x0
其中 a 0.
2
这个方程不能像6.1中那样直接求解
但是如果将方程适当地变形,写成以下形式
dx adt x
这时，方程左边只含有未知函数x及其微分， 右边只含有自变量t及其微分，也就是变量x和t 已经分离在等式的两边，
这时对上式两边积分
估计非齐次方程的解也应具有式（*）的形式
y Ce P( x)dx .
但可能不是常数C，故作变换
C u( x)
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故设非齐次方程的通解为
y

u(

x)e

P
(
x)
dx
u(x)为待定的连续函数，代入方程得
dy

du(
x)

e

P(
x ) dx

P(
x)u(

x)e

P(
x ) dx
dx dx
dy dx

P( x) y

0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y


P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（*）式
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2.
线性非齐次方程
dy dx

P( x) y

Q( x).
讨论：由于齐次方程是非齐次方程的一部分
x
du 1 u2 dx 2xu
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两边积分，得：
1 ln(1 u2 ) 1 ln x 1 ln C
2
2
2
即：
Cx(1 u2 ) 1
通解为： C( x2 y2 ) x
将初始条件y x1 0代入上式,求出C 1
所求方程的特解为： y2 x2 x
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du(x) Q(x)e P(x)dx dx
两端积分得 u(x) Q(x)e P(x)dxdx C
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最后得到通解为
y e ( P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C)
也可写成
C为任意常数
y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
即 du f (u) u .
dx
x
按可分离变量的方程求解
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例4 求微分方程 ( x2 y2 )dx 2 xydy,满足
初始条件y x1 0的特解.
解 方程可化为：
dy x2 y2 1 ( y x)2 dx 2xy 2( y x) 它是齐次方程.令u y ,代入有
(3) 求出积分 G( y) F ( x) C
其中:G(
y)
和F
(
x)是
1
g y
和
f
(
x)
的原函数.
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举例
例1 求解微分方程 dy 2 xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分

dy y


2
xdx,
ln y x2 C1
y ce x2为所求通解.
6
例2 求微分方程 xydx 1 x2dy 0 的通解.
解： 分离变量，有：
dy x dx
y
1 x2
两端积分，得：
ln y 1 x2 lnc
即：
y Ce 1x2
原方程的通解为 : y Ce 1x2
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例3 1999年我国的国民生产总值(GDP)为80423亿
6.2.3 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) 叫一阶线性微分方程 dx
当Q( x) 0, 上方程称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x) 0, 上方程称为一阶线性非齐次微分方程.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
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通解中等式右端的第一部分函数为
Y


Ce

P(
x)dx
是齐次方程的通解
通解中第二部分函数为
y


e

P( x)dx
Q(
x)e
P(
x ) dx
dx
是非齐次方程的一个特解（C=0）
1 dx adt x
3
则有 ln x at C
这种求解微分方程的方法叫做分离变量法， 变量能分离的微分方程叫做可分离变量的微分方程。
4
一般形式：
dy f ( x)g y
dx
求解步骤：
(1) 分离变量
dy
g y

f xdx
分离变量法
(2) 两边积分 g( y)dy f ( x)dx
分离变量得 dP(t) 8%dt, P(t)
方程两边同时积分，得 ln P(t) 0.08t ln C,
即通解为 P(t) Ce0.08t .
(3)求特解
将条件 P(0) 80423 代入通解，得 C 80423
所以从1999年起第t年我国的GDP为
P(t) 80423 e0.08t .
元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到 2010年我国的GDP是多少？
解： （1）建立微分方程
记t=0代表1999年，并设第t年我国GDP为P(t)。由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即
dP(t) 8%P(t) dt
P(0) 80423.
例2 求微分方程
8
（2）求通解
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将 t 20101999 11 代入上式，
得2010年我国的GDP的预测值为
P(t) 80423 e0.0811 193891 .787 （亿元）
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6.2.2 齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法
作变量代换 u y , 即 y xu, x
6.2 一 阶 微 分 方 程
6.2.1 可分离变量的微分方程 6.2.2 齐次微分方程 6.2.3 一阶线性微分方程
1
6.2.1 可分离变量的微分方程
引例
英国学者马尔萨斯(Malthus,1766-1834)认为
人口的相对增长率为常数，即如果设时刻t人 口数为x(t)，则人口速度dy/dx与人口总量 x(t)成正比，从而建立了Malthus人口模型
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
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从方程可以看出，它的特点是：方程中未 知函数及其导数都是一次的。所以方程叫做一 阶线性微分方程。
既不是像可分离变量微分方程那样求解， 也不能像齐次微分方程那样求解，有其特殊解 法。
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一阶线性微分方程的解法
来自百度文库1.
线性齐次方程