【高考数学】对数平均不等式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数平均不等式
1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b
a b
+->>-ln ln a b a b --被称为对数平均数
2.几何解释： 反比例函数
()()1
0f x x x
=
>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，
MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B
b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫
⎪+⎝⎭
处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，
因为
ABNM ABQP
ABFE
S S S 矩形曲边梯形梯形，所以
1
2ln ln ,b a
dx b a
b a x
a
b
① 又1ln ln ab AUTP
a
S dx ab
a x
曲边梯形，
1
1
ln ln 22ABQP b a S 曲边梯形， 11111
22
2
AUTP
ABCD b a S ab
a
S a
ab
ab
梯形梯形， 根据右图可知，
AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln b
a
b a
ab
， ②
另外，ABQX
ABYP ABQP
ABQP
S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：
11111ln ln ,2b a b
a
b a
b a b
a
b
a
③
综上，结合重要不等式可知：
211111ln ln 2b a b
a b a
b a
b a
b a
b
a b
a b
a
ab ，即
20
112
ln ln a b
b a b
ab
a b a b a
a
b
. ④
等价变形： )0.()
(2ln ln >≥+-≥
-b a b
a b a b a
)0.(ln ln >≥-≤
-b a a
b b a b a 3.典例剖析
对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） 0
ln ln b a
b
a a
b a
的应用
例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=其中()f x '是)(x f 的导函数．
（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++
+与()n f n -的大小，并加以证明．
解析 （3）因为()1x
g
x x
=
+， 所以()()()121111223
123
1n g
g g n n n n ⎛⎫
+++=
+++
=-+++
⎪++⎝⎭
， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n ++
+与()n f n -的大小，即只
需比较
1
13121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a 时，
ln ln b a
b
b a
，即1ln ln ,
b a b a b
令,1,a
n b n 则
1ln 1ln ,1
n n n
所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23
<-，1
,
ln(1)ln 1
n n n <+-+，
将以上各不等式左右两边相加得：
()111
ln 123
1
n n +++
<++， 故()()()()12g
g g n n f n +++>-.
评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． 当0b
a 时，
ln ln b a a b a
，即1
ln ln ,b a
b a a
令,1,a n b
n
则1
ln 1ln ,n n n
可得：111ln 11
23n n
. （二）
2
20
2
ln ln b b a
b
a
b a
的应用
例
2 设数列{}n a 的通项n a =
，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n
S n <+．
解析 根据
0b a 2
2
2ln ln b b a
b a
，即2
2
2ln ln b a b a
a
b
，
令1,,b n a
n 则2
2
2
ln 1ln 1
n n
n
n 2
2
221
n n
2
2222
n a n
n ，易证()ln 1n S n <+．
（三）
2
ln ln a b
b a
b
a b a
的应用
例3. 设数列{}n a 的通项11
1
123
n
a n
=++++
，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b
a 时，
2
ln ln a b
b a
b a
，即2ln ln b a b a
a b
，