利用导数研究函数的极值与最值 (共31张PPT)
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(2)设函数 f (x)在a,b 上连续,在 (a,b)上可导,求 f (x) 在 a, b上的最大值和最小值的步骤如下:
①求 f (x) 在 (a,b)内的极值; ②将f (x)的各极值与 f (a)、f (b)比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值.
‹日期/时间›
三、近五年来命题情况
常考问题归类
最值问题 1、求连续函数在某一闭区间内的最值； 2、已知最值或不等式恒成立求参数取值范围 的问题。可通过参变分离将问题转化为
f (x) g(a), f (x) g(a), f (x) g(a), f (x) g(a),
即 fmax(x) g(a), f (x)max g(a),
‹日期/时间›
六、复习资料及使用
1、我们选用的是“五年高考三年模拟”，并且还订 了一些试卷，如“伯乐马”、“衡水金卷”等.第一 轮复习以“5+3”为主.二轮复习以做试卷和分析讲 解试题为主. 2、(一轮)课前要求学生对上课所涉及专题预习、填 好知识清单并做相关资料的习题（教师预选）;上课 先带学生一起看考纲内容，归纳知识点，后讲解高 考题（必讲）和模拟题（选讲）.学生觉得困难的重 点讲，讲了也不理解的不讲. 3、高三一开始就抽时间对近五年全国卷的考题进行 测试并精讲.
点,都有 f (x) f (x0 ) ,则称 f (x0 )为 f (x) 的一个极大值,记作
f (x)极大值 f (x0 ) ;如果对 x0 附近的所有点,都有 f (x) f (x0 ) ,则
称 f (x0 ) 为 f (x) 的 一个极小值,记作 f (x)极小值 f (x0 ) .极大 值和极小值统称为极值.
(a 1)e3 0 ,解得 a 1 ,所以 f (x) (x2 x 2)ex1
(x 2）(x 1)ex1 ,可以求得 x 1 时，f (x) 取得极小
‹日期/时间›
四、命题特点
3、以研究函数的单调性、单调区间、极值 （最值）等问题为主，与不等式、函数方程、 函数的图像等相结合，具有综合化更强的趋 势； 4、适度关注生活中的优化问题（2015江苏文 15）
‹日期/时间›
五、备考重点
1、熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则 是基础； 2、熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值 （最值）的基本方法，灵活应用数形结合思 想、分类讨论思想、整合思想、化归与转化 思想、函数方程等思想分析和解决问题。
2、已知极值求参数。先求导，在根据导数在极值点 处的值为零，列出关于参数的方程，解出参数的值， 注意导数为零是函数取得极值的必要不充分条件， 故需进行检验。
3、已知三次多项式函数有极值求参数的取值范围。 先求导，导函数对应的一元二次方程有两不相等实 根‹日，期/判时间别› 式大于零，求出参数的取值范围。
利用导数求函数极值的步骤:（1)求 f (x) ;(2)求方程 f (x) 0
的根;(3)判断 f (x)在方程根左右两侧的符号;(4)利用结论
写‹出日期极/时间值› .
二Байду номын сангаас知识清单
注意: (1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一, 在整个定义域内可能有多个极大值和极小值; (2)极大值和极小值没有必然联系,极大值可能比极 小值还小; (3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f (x) x3
‹日期/时间›
三、近五年来命题情况
2015年 陕西（文15），全国2（文21），北京（文 19），浙江（文20），安徽（文21，理 21），山东（理21），陕西（理12），重 庆（理21）
2014年 天津（文19），北京（文20）
‹日期/时间›
常考问题归类
函数的极值问题
1、求函数的极值。先求导函数，令导函数为零，解 出导函数的零点，并判断在对应零点左右两侧导数 值符号是否改变，以确定函数在该处是否取得极值， 若是求出该极值；
利用导数研究函数的极值与最值
一、考纲要求
1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件
2、会用导数求函数的极大值、极小值（其中 多项式函数一般不超过三次）；会求闭区 间上函数的最大值、最小值（其中多项式 函数一般不超过三次）
‹日期/时间›
二、知识清单
1.函数的极值与导数
定义：设函数 f (x) 在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有
结论:设 右侧 f (
f(
x)
x)0在,那x0么处f连(x续0 ) ,是(1极)如大果值在;(2x)0 附如近果的在x左0侧附近f (的x)左 0侧,
f (x) 0 ,右侧 f (x) 0,那么f (x0 )是极小值;(3)如果在 x0 附近,
左右两侧导数值同号,那么 f (x0 ) 不是极值.
fmin(x) g(a), fmin(x) g(a),
这样此问题就转化为求最值的问题。
‹日期/时间›
四、命题特点
1、单独考查利用导数研究函数的某一性质以 小题呈现 ，综合研究函数的性质以大题呈现； 2、利用导数求函数的单调区间和极值（最 值）、结合单调性与不等式成立的情况求参 数的范围是高考命题的热点；
2018年 全国1（文21，理21），全国3（理21）， 北京（文19，理18），江苏（文11），
2017年 北京（文20，理19），全国2（理11，21）， 山东（理20），江苏（理20）
2016年 全国2（理21），全国3（理21），北京 （理14），四川（文6），山东（文20）， 天津（文20，理20），浙江（理18）
‹日期/时间›
七、考题示例
例1.(2017全国2理.11)
若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)ex1 的极值点，则f (x)
的极小值为 （ ）
A. -1 B. - 2e3 C.5e3 D. 1
解: f (x) x2 (a 2)x a 1 ex,由题意得 f (2)
f (x) 3x2,f (0) 0 ,但 x 0不是函数的极值点);
(4)可导函数在极值点处导数必为零.
‹日期/时间›
二、知识清单
2.函数的最大值与最小值
(1)在闭区间a,b上连续的函数 f (x) ,在 a,b上必有
最大值和最小值;但在开区间 (a,b)上连续的函数 f (x) 不一定有最大值和最小值.
①求 f (x) 在 (a,b)内的极值; ②将f (x)的各极值与 f (a)、f (b)比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值.
‹日期/时间›
三、近五年来命题情况
常考问题归类
最值问题 1、求连续函数在某一闭区间内的最值； 2、已知最值或不等式恒成立求参数取值范围 的问题。可通过参变分离将问题转化为
f (x) g(a), f (x) g(a), f (x) g(a), f (x) g(a),
即 fmax(x) g(a), f (x)max g(a),
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六、复习资料及使用
1、我们选用的是“五年高考三年模拟”，并且还订 了一些试卷，如“伯乐马”、“衡水金卷”等.第一 轮复习以“5+3”为主.二轮复习以做试卷和分析讲 解试题为主. 2、(一轮)课前要求学生对上课所涉及专题预习、填 好知识清单并做相关资料的习题（教师预选）;上课 先带学生一起看考纲内容，归纳知识点，后讲解高 考题（必讲）和模拟题（选讲）.学生觉得困难的重 点讲，讲了也不理解的不讲. 3、高三一开始就抽时间对近五年全国卷的考题进行 测试并精讲.
点,都有 f (x) f (x0 ) ,则称 f (x0 )为 f (x) 的一个极大值,记作
f (x)极大值 f (x0 ) ;如果对 x0 附近的所有点,都有 f (x) f (x0 ) ,则
称 f (x0 ) 为 f (x) 的 一个极小值,记作 f (x)极小值 f (x0 ) .极大 值和极小值统称为极值.
(a 1)e3 0 ,解得 a 1 ,所以 f (x) (x2 x 2)ex1
(x 2）(x 1)ex1 ,可以求得 x 1 时，f (x) 取得极小
‹日期/时间›
四、命题特点
3、以研究函数的单调性、单调区间、极值 （最值）等问题为主，与不等式、函数方程、 函数的图像等相结合，具有综合化更强的趋 势； 4、适度关注生活中的优化问题（2015江苏文 15）
‹日期/时间›
五、备考重点
1、熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则 是基础； 2、熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值 （最值）的基本方法，灵活应用数形结合思 想、分类讨论思想、整合思想、化归与转化 思想、函数方程等思想分析和解决问题。
2、已知极值求参数。先求导，在根据导数在极值点 处的值为零，列出关于参数的方程，解出参数的值， 注意导数为零是函数取得极值的必要不充分条件， 故需进行检验。
3、已知三次多项式函数有极值求参数的取值范围。 先求导，导函数对应的一元二次方程有两不相等实 根‹日，期/判时间别› 式大于零，求出参数的取值范围。
利用导数求函数极值的步骤:（1)求 f (x) ;(2)求方程 f (x) 0
的根;(3)判断 f (x)在方程根左右两侧的符号;(4)利用结论
写‹出日期极/时间值› .
二Байду номын сангаас知识清单
注意: (1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一, 在整个定义域内可能有多个极大值和极小值; (2)极大值和极小值没有必然联系,极大值可能比极 小值还小; (3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f (x) x3
‹日期/时间›
三、近五年来命题情况
2015年 陕西（文15），全国2（文21），北京（文 19），浙江（文20），安徽（文21，理 21），山东（理21），陕西（理12），重 庆（理21）
2014年 天津（文19），北京（文20）
‹日期/时间›
常考问题归类
函数的极值问题
1、求函数的极值。先求导函数，令导函数为零，解 出导函数的零点，并判断在对应零点左右两侧导数 值符号是否改变，以确定函数在该处是否取得极值， 若是求出该极值；
利用导数研究函数的极值与最值
一、考纲要求
1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件
2、会用导数求函数的极大值、极小值（其中 多项式函数一般不超过三次）；会求闭区 间上函数的最大值、最小值（其中多项式 函数一般不超过三次）
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二、知识清单
1.函数的极值与导数
定义：设函数 f (x) 在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有
结论:设 右侧 f (
f(
x)
x)0在,那x0么处f连(x续0 ) ,是(1极)如大果值在;(2x)0 附如近果的在x左0侧附近f (的x)左 0侧,
f (x) 0 ,右侧 f (x) 0,那么f (x0 )是极小值;(3)如果在 x0 附近,
左右两侧导数值同号,那么 f (x0 ) 不是极值.
fmin(x) g(a), fmin(x) g(a),
这样此问题就转化为求最值的问题。
‹日期/时间›
四、命题特点
1、单独考查利用导数研究函数的某一性质以 小题呈现 ，综合研究函数的性质以大题呈现； 2、利用导数求函数的单调区间和极值（最 值）、结合单调性与不等式成立的情况求参 数的范围是高考命题的热点；
2018年 全国1（文21，理21），全国3（理21）， 北京（文19，理18），江苏（文11），
2017年 北京（文20，理19），全国2（理11，21）， 山东（理20），江苏（理20）
2016年 全国2（理21），全国3（理21），北京 （理14），四川（文6），山东（文20）， 天津（文20，理20），浙江（理18）
‹日期/时间›
七、考题示例
例1.(2017全国2理.11)
若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)ex1 的极值点，则f (x)
的极小值为 （ ）
A. -1 B. - 2e3 C.5e3 D. 1
解: f (x) x2 (a 2)x a 1 ex,由题意得 f (2)
f (x) 3x2,f (0) 0 ,但 x 0不是函数的极值点);
(4)可导函数在极值点处导数必为零.
‹日期/时间›
二、知识清单
2.函数的最大值与最小值
(1)在闭区间a,b上连续的函数 f (x) ,在 a,b上必有
最大值和最小值;但在开区间 (a,b)上连续的函数 f (x) 不一定有最大值和最小值.