【数学】2020.2.18三角函数和数列高考题2(2015-2019全国2卷)答案

2020.2.18三角函数和数列高考题学校___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）

1.下列函数中，以π

2为周期且在区间(π

4

,π

2

)单调递增的是()

A. B C D

【案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题．

根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．

【解答】

解：不是期函数，可排除D选项；

的周为2π，可排除C选项；

在处取得最大值，不可能在区间(π

4,π

2

)上单调递增，可排除B．

故选A．

2.已知α∈(0,π

2

)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=()．

A. 1

5B. √5

5

C. √3

3

D. 2√5

5

【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由二倍角公式化简已知条件可得4sinαcosα=2cos2α，结合角的范围可求得sinα>0，cosα>0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．

【解答】

解：∵2sin2α=cos2α+1，

由二倍角公式可得4sinαcosα=2cos2α，

∵α∈(0,π

2

)，∴sinα>0，cosα>0，

∴cosα=2sinα．

则有sin2α+cos2α=sin2α+(2sinα)2=5sin2α=1，

解得sinα=√5

5

．

故选B．

3.在△ABC中，，BC=1，AC=5，则AB=()

A. 4√2

B. √30

C. √29

D. 2√5

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．

利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．

【解答】

解：在△ABC中，，，

∵BC=1，AC=5，

则AB=2+AC2−2BC⋅ACcosC

=√1+25+2×1×5×3

5

=√32=4√2．

故选：A．

4.若在上是函数，则a的最大值是()

A. π

4B. π

2

C. 3π

4

D. π

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．

利用两角和差的正弦公式化简，由，得，

取，得的个区[−π

4,3

4

π]，结合已知条件即可求出a的最大值．

【解答】解：，

，

得，

，得一个，

由在是减函数，

得{−a≥−π

4

a≤3π

4

,∴a≤π

4

．

则a的最大值是π

4

．

故选：A．

5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A. 1盏

B. 3盏

C. 5盏

D. 9盏

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．

【解答】

解：设这个塔顶层有a盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，

∴381=a(1−27)

1−2

=127a，

解得a=3，

则这个塔顶层有3盏灯．

故选B．

6.若将函数的图象向左平移π

12

个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()

A. B.C.D.【答】B

【解】分析

题考查函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．

由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．【解答】

解：将函数的图象向左平移π

12

个单位长度，得到的图象，

令，得：即移后的象的对称轴方程

B．

7.若，则sin2α=()

A. 7

25B. 1

5

C. −1

5

D. −7

25

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．

利用诱导公式化sin2α=cos(π

2

−2α)，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．【解答】

解：∵cos(π

4−α)=3

5

，

∴sin2α=cos(

π

2

−2α)=cos2(

π

4

−α)

=2cos2(π

4−α)−1=2×9

25

−1=−7

25

．

故选D．

8.已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()

A. 21

B. 42

C. 63

D. 84

【答案】B

【解析】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，

∴a1(1+q2+q4)=21，

∴q4+q2+1=7，

∴q4+q2−6=0，

∴q2=2，

∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42．

故选：B．

由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后再代入等比数列通项公式即可求．

本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．