空间向量与立体几何教材分析

《空间向量与立体几何》教材分析
一、内容安排
本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容。

通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力。

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和度量问题的非常有效的工具。

本章以平面向量的学习为基础，通过类比的方法，引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。

二、主要特点
1. 强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法。

充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。

空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的。

在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。

另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

2. 突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。

根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体图形的问题。

3. 用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。

使用了大量的“探究”、“思考”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。

例如，在对空间向量的各种运算与相应的平面向量运算的异同的比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等，都用“探究”、“思考”等方式提出问题,帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。

三、背景分析
1、平面向量的知识背景
线性运算与数量积
应用：证明向量(直线 )平行、垂直，求距离、角等
2、立体几何背景
判定定理等没有证明(原因：较难)
如：线面垂直的判定定理
距离、角只介绍了有关概念，及很简单的求解题。

设计意图：
从整体上考虑，利用向量的优势，降低难度
四、地位和作用
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。

向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。

《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养．英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用．”
内容展开方式《立体几何初步》的安排是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；《空间向量与立体几何》的安排是纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算．
本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍．
四、本章的基本思想
本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形
中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．
1、重点
空间向量的运算(线性运算、数量积)
几何形式、坐标形式
应用空间向量证明空间线、面的位置关系
应用空间向量求空间线、面距离、角
2、难点
共面向量定理、空间向量基本定理
(1)共线向量、共面向量定理
用于证明空间线、面平行
(2)空间向量基本定理
用于引进向量的坐标表示
(3)空间向量的数量积
用于研究距离、角的计算
(4)直线的方向向量与平面的法向量
研究线、面所成的角
五、教学建议
1、重视运用类比的方法进行空间向量的教学
空间向量概念虽多，但它是平面向量在空间的推广与拓宽，所涉及内容多数与平面向量相似。

因此，在教法上，宜多用类比法，在引导学生复习平面向量的相关知识的基础上，通过类比，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

找出空间向量与平面向量的联系与区别。

如空间向量的加法，由于任何两个空间向量经平移可以共起点，则可以将两个空间向量的加法转化为平面向量的加法。

同时，空间首尾相接的两个向量也可采用三角形法则。

在3个以上空间向量相加时，与平面向量不同，这些向量可能不共面，但仍可通过平移逐个相加。

又如向量基本定理，对于平面向量，它的基底是不共线的两个非零向量，而对于空间向量，它的基底则是不共面的三个非零向量。

在学习空间向量的过程中，必须注意维数增加所带来的影响。

例：
1）平面向量共线定理
类比：空间向量共线？空间向量共面？
2）平面向量线性运算
类比：空间向量线性运算？
3）平面向量基本定理
类比：空间向量基本定理:
问题一：由二维类比到三维，对于空间任意一个向量，还可以用两个不共线的向量线性表示吗？
问题二：如果将平面向量基本定理推广到空间，你认为应该怎样叙述这个命题？问题三：类比平面向量基本定理的证明方法，你能证明你的结论成立吗？
对于问题二，有两个思维方法：一是从基本量角度，一是用类比思维的一般方法：抓类比点(类比元素和类比关系)
2、重视探究过程
线线、线面、面面平行、垂直的条件(用方向向量和法向量表示)
线面垂直的判定定理的证明思路的探索
3、引导学生归纳以向量方法解决立体几何问题的规律
课程标准关于空间向量的应用给出了如下要求：
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。

（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

（3）能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（4）能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题。

体会向量方法在研究几何问题中的作用。

所以，培养学生在研究立体几何问题上的向量意识，掌握以向量解题的基本方法成为空间向量与立体几何的重中之重。

为此，教学时要引导学生依以下步骤思考：
（1）如何设置空间直角坐标系把已知的几何条件（如角或线段）转换为向量表示；
（2）考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示；
（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论。

立体几何传统的方法是“形到形”的综合推理，这对多数学生来说是比较困难的。

而向量方法即代数推理的方法，就其体系而言，与算术、代数运算体系基本相似，学生可运用已熟悉的代数方法进行推理来掌握空间图形的性质。

具体地
说，以往用纯几何方法处理时，技巧性较大随机性较强，而采用向量，可应用一些通法以降低解题难度，操作性较强。

通过相当的训练，使学生达到以下意识和习惯：
（1）凡是能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解法；
（2）在解题过程中必须给出规范的格式和书写，如空间直角坐标系的设置，各有关向量的坐标表示等。

总之，在这章教学中：
1、重视空间向量的概念、运算方法及其应用，而不必过多追求理论上的严谨性，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途。

2、空间向量是平面向量的推广，内容和结构都与平面向量基本一致。

因此，宜用类比法。

3、由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握本节内容。

4、需辨证地利用向量方法来解决实际问题。