第四讲排序不等式与琴生不等式

第四讲 排序不等式与琴生不等式

本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．

排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22

i b ＋……＋a n n

i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和），

其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．

该不等式所表达的意义是和式

∑=n

j i j j

b

a 1

在同序和反序时分别取得最大值和最小值．

切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1

n (a 1b n

＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤

a 1＋a 2＋……＋a n n ·

b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1

n (a 1b 1＋a 2b 2＋……＋

a n

b n )，

其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得． 琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．

定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤1

2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)

定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n [f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．

定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥1

2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)

定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x

x x ,...,,21恒有x 1

x 2

M (1)

P Q x 1

x 2

M (2)

P Q

)](...)()([1

)...(

2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 2

1log ,tan )(=分

别是),0(),2

,

0(+∞π

上的下凸函数。x x x f lg ,sin )(=分别是),0(],,0[+∞π上的上凸函数。

定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。

幂平均：

设n a a a ,...,,21是任意n 个正数，我们称)0()...(

1

21≠+++r n

a a a r r

n r r 为这一组数的r 次幂平均，记为r M （n a a a ,...,,21），简记作)(a M r 。由定义容易得到

n

a a a a M n

+++=

...)(211，可以证明n n r r a a a a M +++=→...)(lim 210。

幂平均不等式：设n a a a ,...,,21是任意n 个正数。如果βα<，那么一定有)()(a M a M βα≤，等号只有当

n

个数全相等时才能成立。例如3=n 时，

332

32

22

13

21a a a a a a ++≤++33

3

3

23

1

3

a a a ++≤，显然)(a M r 是r 的递增函数。 我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由

于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著《平均》。 A 类例题

例1 求证325tan 46tan 66tan >++

证法一：>++>++

46tan )25tan 65(tan 25tan 46tan 66tan

345tan 25tan .65tan 2=+

证法二：x x f t a n )(=在)2

,

0(π

上是下凸函数。据琴生不等式

45tan 3

137tan 3254666tan 325tan 46tan 66tan >=++>++，

因

此

325tan 46tan 66tan >++

说明：如原题改为求证325tan 44tan 66tan >++

，则证法二仍可，证法一则不灵。

例2 ABC ∆中求C B A sin sin sin ++的最大值。

解：考察函数x x f sin )(=，],0[π∈x ，对任意],0[,21π∈x x ，)]()([2

121x f x f +

2sin 2cos 2sin 2sin )sin (sin 21

)2(

21

2121212121x x x x x x x x x x x x f +--+=+-+=+- 0)12(cos 2sin

2121≤--+=x x x x ，所以≥+)2(21x x f )]()([2

1

21x f x f +。因此)(x f 是上凸函数。据琴生不等式

C B A C

B A

C B A sin sin sin 3

sin 3sin sin sin ++⇒++≤++

233≤

，当且仅当

60===C B A 时取得最大值2

33。

链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如ABC ∆中

833sin .sin .sin ≤

C B A ，2332cos 2cos 2cos ≤++C B A ，2

3

2sin 2sin 2sin ≤++C B A 。 例3 若122=+b a ，求122++b a 的最小值。

解：由于x

y 2=是下凸函数（读者自行证明）。据琴生不等式

3

23

222b b a b

b a ++≥++，

即42.32.22≥+b a ，也就是482

21

≥++b a ，当且仅当4==b a 时达到最小值。

说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。 情景再现

1. ABC ∆中，求C B A sin sin sin ++的最大值。

2. c bx ax x f ++=2

)(，若0>a ，证明)(x f 是下凸的；若0i a （n i ,...,2,1=）有

n

n n a a a n

a a a ......2121≥+++

B 类例题

例4 设z y x ,,都是正数，且82

22=++z y x ，试证3

216

3

33≥++z y x 证明：据幂平均不等式

3

32

223

3

33z y x z y x ++≥

++，因此有