垂径定理及其推论
专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E 为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC 上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
三垂径定理
三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。
如在圆O中，AB就是一条弦。
- 直径：经过圆心的弦。
例如CD是圆O的直径。
- 弧：圆上任意两点间的部分。
圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。
二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论的证明- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。
三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。
- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。
圆2垂径定理及其推论
1 •垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且ZAMN ZCNM •求证：AB=CD A”------- 、,例2已知，不过圆心的直线l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。
求证：CE=DF例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。
（1）求证：AE = BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形若不是，请说明理由。
例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cmCDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,3.如图1, O O的半径为B4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（A . 2cm B.4cm C.6cm图17. 如图,OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么0P长的取值范围是8. 如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是9. 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm求水的最大深度CD10. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90 ,B11. 已知：如图，在OO中，弦AB的长是半径OA的,3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说明理由.无数条.其中正确的判断有（)A . 0 个 B.1个 C.2个 D.35.如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D 若AB=4,径之比为( )A . 3:2 B....5 :2 C.5:2个CD=2圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半D.5:4m.长为）BAB于D,贝U AD的12. 如图所示，在O O 中，弦AB 丄AC,弦BD 丄BA AC BD 交直径 MN 于E 、F.求证：ME=NF.13•（思考题）如图，GO 与002交于点A,B ,过A 的直线分别交O0i , OO 2于M,N,C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC. 1. 已知O O 的直径AB=10cm 弦CDL AB 垂足为M 。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
人教版初三数学上册垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。
垂径定理及其20个推论
垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。
下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。
推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。
推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。
推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。
推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。
推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。
推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。
推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。
推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。
推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。
推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。
推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。
推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。
推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。
推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。
推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。
推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。
第24章第3课时垂径定理及其推论
1.2.2垂径定理及其推论一、知识回顾：（1）直径、弦、弧等相关概念？（2）垂直定理是？二、新知探究：问题1：垂径定理有哪些题设和结论？①直径过圆心 ③平分弦②垂直于弦 ④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的少弧【解析】问题2：已知，CD 是直径，AB 是弦，CD 平分AB ，求证：⋂⋂⋂⋂==⊥BC AC BD AD AB CD ,,【解析】知识点一：垂径定理的推论（一）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧问题3：已知，CD 是直径，AB 是弦，并且⋂⋂=BC AC ，求证：CD 平分AB ，⋂⋂=⊥BD AD AB CD ,【解析】问题4：已知，CD 是直径，AB 是弦，并且⋂⋂=BD AD ，求证：CD 平分AB ，,AB CD ⊥⋂⋂=BCAC【解析】②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧问题5：已知AB 是弦，CD 平分AB ，,AB CD ⊥求证：CD 是直径，⋂⋂=BC AC ，⋂⋂=BD AD【解析】③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧【解析】④垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧【解析】⑤平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧【解析】⑥平分弦所对的两条弧的直径经过圆心，并且垂直平分弦【解析】知识点二：垂径定理推论（二）圆的两条平行弦所夹的弧相等试一试：1、已知：⋂AB ，求作：⋂AB 的中点【解析】第一步：连结AB ；第二步：作AB 的垂直平分线⋂CD ，交AB 于点E 。
2、已知：⋂AB ，求作：⋂AB 的四等分点【解析】第一步：连结AB第二步：作AB 的垂直平分线，交⋂AB 于点E第三步：连结AC第四步：作AC 的垂直平分线，交⋂AC 于点F第五点：点G 同理结论：等分弧时一定要作弧所夹的弦垂直平分线3、你能确定⋂AB 的圆心吗？【解析】第一步：连结AB第二步：作AB 的垂直平分线，交⋂AB 于点C第三步：作AC 、BC 的垂直平分线第四步：三条垂直平分线交于一点O三、例题精析：例题1、判断正误（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧 （ ）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧（ ）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （ ）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ ）例题2、已知A 、B 、C 是圆O 上三点，且AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为5cm ，求AB 长。
垂径定理及其推论课件
B
于点C．
3． 作AC、BC的
垂直平分线．
4． 三条垂直平分线
交于一点O．
O
点O就是A⌒B的圆心．
第十六页，共30页。
第十七页，共30页。
你 能 破 镜
重A
圆
吗？
m
n
C
B
O
作法：
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交 于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧．
长为16cm，圆心O到AB的距离为 6cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．
第二十六页，共30页。
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
① 直径过圆心 ③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
第八页，共30页。
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
第十八页，共30页。
垂径定理三角形
有哪些等量关系？
d+h=r
rd h a
第十九页，共30页。
在a，d，r，h
中，已知其中任意 两个量，可以求出
其它两个量．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
垂径定理及其推论
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
即：∵ 、 是两条切线
∴ ； 平分
圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等.
即：在⊙ 中，∵弦 、 相交于点 ，
∴
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
如图： 垂直平分 .
即：∵⊙ 、⊙ 相交于 、 两点
∴ 垂直平分
圆的公切线
（1）公切线的长： 中， ；
（2）外公切线的长： 是半径之差； 是半径之和
三角形的内切圆和外接圆
1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.
d=r 点P在⊙O上；
d>r 点P在⊙O外.
过三点的圆
1、不在同一直线上的三个点确定一个圆.
2、经过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆.
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心.
直线与圆的
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共Байду номын сангаас，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种.
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
垂径定理及推论
垂径定理及推论
垂径定理是数学中比较重要的定理之一。
它是欧几里得第九定理的一个特殊情况，它描述了连接两个点的距离与这两个点在一条直线上的距离关系。
垂径定理可以概述为：对于任意一条线段AB，在AB垂直延长线上任取一点C，连接AC和BC所得的距离AC、BC之和为AB的两倍，即：AC+BC=2AB。
垂径定理的证明：在矩形ABCD中，AB=CD，BC=DA，AC=DB，则构成一个等腰直角三角形ABC，可得： AC^2+BC^2=AB^2，即：AC+BC=2AB。
垂径定理在实际中有着广泛的应用，可以解决各种问题。
以三角形的最大边长为例，在三角形的两个顶点A和B之间有一个顶点C，若知道C在AB之间的距离AC和BC，则可以用垂径定理求出三角形最大边长为：AB=AC+BC/2。
再以圆形的周长计算为例：以给定的圆心O为原点，延长圆上任意一点M到MO上取一点N，使得ON=NM，由垂径定理可知：ON+MN=2MN，带入圆的半径为R，则得出圆的周长为2πR。
垂径定理还可以推广到更高维数，比如十维空间。
十维空间中，垂径定理可表示为：连接点A、B、C之间的距离之和为AB与AC两倍，即：AC+BC=2AB。
因此，可以看出，垂径定理是数学中思想方式独特、重要又有用的定理，它可以帮助我们正确理解和解决实际中出现的问题，可谓是数学科学的一颗璀璨之星。
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：
在5个条件中：
1。
平分弦所对的一条弧；
2。
平分弦所对的另一条弧；
3。
平分弦；
4。
垂直于弦；
5。
经过圆心(或者说直径)。
只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。
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① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
5 3 OO
A
4 PP B
D
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C
A ·O B
试一试
1.判断：
()(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
√( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
短的弦等于 2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O
D
P E
C
A
A OM
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳：
• 已知：直径，弦长，弦心距， 拱高四者知其二，即可根据勾股定 理求出另外的两个量。
垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
C
A
B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线．
A
=⌒BC
E D
B
OA=OB ∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理&三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d 2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件。
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
·O
E
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
证求AD明证=：：BD连CD,接⊥OAAB，，O且⌒B，⌒则A⌒C
D
A
B
E
O
A
DB
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：Q OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2
·
在Rt △ AOE 中
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
证明：Q OE AC OD AB AB AC
OEA 90o EAD 90o ODA 90o
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
小练习 C
已知：A⌒B．
求作：A⌒B的中点．
E
A
B
作法：
1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 平分线 C⌒D，交 AB于点E．
点E就是所求A⌒B的中点． D
已知：A⌒B． 求作：A⌒B的四等分点．
作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 于点E． 3． 连结AC．
4平．分作线A，C的交垂A⌒C直 于点F． 5． 点G同理．
D A
C E
B
点D、C、E就是A⌒B的四等分点．
× 作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE