山东大学《高等数学》期末复习参考题 (3)

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数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，下列哪个选项是正确的？A. 函数值可以无限接近但不等于极限值B. 函数值必须等于极限值C. 函数值可以等于也可以不等于极限值D. 函数值必须等于极限值，且只能等于一个值答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^3 dx = x^4 + CD. ∫x^4 dx = x^5 + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：B5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f''(x) = 2x + 3C. f''(x) = 2D. f''(x) = 3x^2答案：C6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 形式的极限可以通过洛必达法则求解B. ∫∞/∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解C. ∫0×∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解D. ∫∞-∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解答案：B7. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A8. 以下哪个选项是正确的定积分计算？A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4C. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5D. ∫[0,1] x^5 dx = 1/6答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2x + 3yB. ∂f/∂y = 3x + 2yC. ∂f/∂z = 4x + 5yD. ∂f/∂w = 6x + 7y答案：A10. 以下哪个选项是正确的曲线积分？A. ∫C x ds = ∫C x dsB. ∫C y ds = ∫C y dsC. ∫C z ds = ∫C z dsD. ∫C xy ds = ∫C xy ds答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

山大高数期末考试题及答案

山大高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数是：A. -1B. 0B. 1D. 22. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是：A. -6B. -4C. 0D. 43. 曲线y=sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=45. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 函数f(x)=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1+x+x^2/2B. 1+x+x^2C. 1+x+x^2/6D. 1+x+x^2/37. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x-eC. y=1D. y=x8. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=49. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e^e - 1C. e^e - e^2D. e^e - e^2 + 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=2x-1，则f'(x)=________。

12. 函数g(x)=x^2+3的最小值点是x=________。

13. 曲线y=cos(x)在x=π/3处的导数是-________。

14. 函数h(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是x=________。

15. 定积分∫[-1,1] |x| dx的值是________。

16. 函数p(x)=sin(x)+cos(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项是1+________。

山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(1)模拟试卷

《高等数学》模拟题（1）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题名词解释1．区间：2. 邻域;3. 函数的单调性：4. 导数：5. 最大值与最小值定理：第二题选择题1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .2、函数)(x f 在点0x 的导数)(0x f '定义为（）（A ）xx f x x f ∆-∆+)()(00；（B ）xx f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 000；（C ）xx f x f x x ∆-→)()(lim 00；（D ）0)()(lim 0x x x f x f x x --→； 3、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A ）它们都给出了ξ点的求法 .（B ）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

（C ）它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .（D ）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 4、设)(,)(21x F x F是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（）(A) C x F x F =+)()(21；（B ） C x F x F =⋅)()(21；(C) )()(21x CF x F =； (D) C x F x F =-)()(21.5、=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n nn Λ ( ) （A ）0；（B ）21；（C ）4π；（D ）2π .6、曲线xyln =与直线ex 1=，e x=及0=y 所围成的区域的面积=S （）；（A ）)11(2e-；（B ）e e 1-；（C ）e e 1+；（D ）11+e.7、若→a ，→b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =⋅→→b a （）.（A ） 1；（B ）-1；（C ） 0；（D ）),cos(→→b a . 8、二元函数22221arcsin 4ln y x y x z +++=的定义域是( ).（A ）4122≤+≤y x ；（B ）4122≤+<y x ；（C ）4122<+≤y x ；（D ）4122<+<y x .9、⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=(D )(A)⎰⎰-110),(dx y x f dy x ； (B)⎰⎰-xdx y x f dy 101),(；(C)⎰⎰11),(dx y x f dy ； (D)⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.10、设L 为230,0≤≤=y x x ,则⎰Lds 4的值为( B).(A)04x ， (B),6 (C)06x .第三题.)16(log 2)1(的定义域求函数x y x -=-第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题.2sin 120⎰-πdx x 求《高等数学》模拟试卷（1）参考答案第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题解)0()(lim)0(0--='→x f x f f x )100()2)(1(lim 0---=→x x x x Λ!100=.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=⎰-=dxxx1)23()23(2原式解⎰-=1)23()23(23ln 12x xd ⎰-123ln 12t dt ⎰+--=dt t t )1111(23ln21Ct t ++--=11ln )2ln 3(ln 21.2323ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=tx =)23(令解 ]5)1[ln(2'+++x x Θ,112x+=]5)1[ln(5)1ln(22+++⋅+++=⎰x x d x x 原式.]5)1[ln(32232C x x ++++=)1221(1122xx xx ++⋅++=1. .2sin 120⎰-πdx x 求解⎰-=20cos sin πdxx x 原式⎰⎰-+-=2440)cos (sin )sin (cos πππdxx x dx x x .222-=。

《高等数学基础》期末试题及答案

《高等数学基础》期末试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数f(x) = x² - 2x + 1在x = 1处的导数是（）A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A2. 函数y = ln(e²x)的导数是（）A. 2xB. 2C. e²xD. 1答案：A3. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) sinx/x = 0B. lim(x→0) sinx/x = 1C. lim(x→0) sinx/x = ∞D. lim(x→0) sinx/x = -1答案：B4. 函数y = x²e²x的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：C5. 定积分∫(0→1) x²dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数y = 2x³ - 3x² + 2x + 1的一阶导数是______。

答案：6x² - 6x + 27. 函数y = x²e²x的二阶导数是______。

答案：4x²e²x + 4xe²x8. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)²ⁿ = ______。

答案：e9. 定积分∫(0→π) sinx dx的值是______。

答案：210. 定积分∫(0→π/2) eˣdx的值是______。

答案：eπ/2 - 1三、解答题（每题25分，共75分）11. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 4，求f'(x)和f''(x)。

解：f'(x) = 3x² - 6x，f''(x) = 6x - 6。

12. 求函数f(x) = x²e²x的极值点和极值。

山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)

0 0 0
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2

(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±

5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、设Ω是由分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。

高数期末考试题及答案选择

高数期末考试题及答案选择一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 0 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案： A2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{2}{3} $D. $ \frac{3}{4} $答案： A3. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} $ 存在，则$ \lim_{x \to 0} f(x) $ 与 $ \lim_{x \to 0} g(x) $ 必须：A. 都存在B. 都不存在C. 至少有一个存在D. 至少有一个不存在答案： D4. 函数 $ y = \sin(x) $ 的周期是：A. $ 2\pi $B. $ \pi $C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \frac{1}{2} $答案： A5. 根据泰勒公式，函数 $ e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式为：A. $ 1 + x $B. $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $C. $ 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots $D. $ 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \cdots $答案： B6. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 收敛于：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{\pi^2}{6} $C. $ \frac{e}{2} $D. $ \frac{1}{e} $答案： B7. 若 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $，则函数 $ f(x) $ 必须：A. 在 $ x $ 足够大时，值接近 $ L $B. 在 $ x $ 足够大时，值等于 $ L $C. 在 $ x $ 足够大时，值小于 $ L $D. 在 $ x $ 足够大时，值大于 $ L $答案： A8. 函数 $ y = x^3 - 3x^2 + 2x $ 的拐点是：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = 2 $D. $ x = 3 $答案： B9. 若 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上连续，则 $ \int_{a}^{b}f(x) dx $ 存在，其中 $ a, b $ 是区间 $ I $ 上的任意两点：A. 正确B. 错误答案： A10. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是：A. $ x > 0 $B. $ x < 0 $C. $ x \geq 0 $D. $ x \leq 0 $答案： A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的导数是_______。

山大2011级高数上期末试题及答案

11-12高数上期末：一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题（共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即，这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

山大高数复习测试题二及答案

高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→h a f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x xx f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++= 何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<< .)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q.8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(100002003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim )sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解.6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eeeelim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim 1)arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim )(2)()(lim)(')(''.200020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→)A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。

高等数学三(山大网络教育模拟题)

高等数学模拟卷3一求下列极限 1 1lim n tgn n→∞ =02 求lim x a x a x a →-- = 1 ，x →-a-1 , x →a3 求120lim x x e → =∞0sin 4lim sin x mx nx → =m/n20()0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数。

解：当x ＞0时，f(0+0)=0当x ＜0时，f(0-0)=0当x=0时，f(0)=0所以，f(0+0)= f(0-0)= f(0)=0，即f （x ）在0x =处的导数为0.三计算下列各题1、3,tan (ln )y x y =已知求解：y ’=3tan 2 (ln x).sec 2 (ln x).(1/x)2、2,()y f x y =已知，求解：y ’=f ’(x 2).2x四 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰证明，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。

证明：对于320()a x f x dx ⎰ 令2x t =，则2xdxd dt =且x a =时2t a =，0x =时0t =223200()1()21()2aa a x f x dx tf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰左边 = 右边证毕。

五计算反常积分2d ;1x x +∞-∞+⎰ []2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰解原式六求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解解：方程化为2211arctan 11dx x y dy y y +=++ 此方程为倒线性微分方程22111121(arctan )1dy dy y y x e ye dy c y -++⎰⎰=++⎰ arctan arctan 21(arctan )1y y e ye dy c y -=++⎰arctan arctan (arctan )y y e yde c -=+⎰arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+所以方程通解为arctan arctan 1y x cey -=+-（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

期末高数试题及答案

期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。

答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。

答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。

答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。

答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。

答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。

答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。

12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。

答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。

然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。

高数期末考试题型及答案

高数期末考试题型及答案题型一：选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 5在x = 1处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 1在x = 2处的切线斜率是：A. 5B. 3C. 1D. -1答案：A3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/12答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. cos(x) - sin(x) + CC. sin(x) + cos(x) + CD. -sin(x) - cos(x) + C答案：C5. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. 1D. 2答案：A题型二：填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是________。

答案：2，37. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式为________。

答案：1 + x + x^2/2! + x^3/6! + ...8. 函数y = ln(x)的不定积分是________。

答案：xln(x) - x + C9. 曲线y^2 = 4x的渐近线方程是________。

答案：y = ±2x10. 若∫f(x)dx = 3x^2 + C，则f(x) =________。

答案：6x题型三：简答题（每题5分，共10分）11. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

答案：证明略。

12. 解释什么是拉格朗日中值定理，并给出一个应用场景。

答案：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

大学高数期末复习卷试卷与答案1

第二学期高等数学练习题（二）一、选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数存在（B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续（D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。

2．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的（）(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3．微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是（） (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4．曲面1232222=++z y x 上，点)1,2,1(-处的切平面方程是（）A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5．下列级数条件收敛的是（）（A ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n（B ）211)1(n n n ∑∞=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）n n n 1sin )1(1∑∞=- 6．设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为（）（A ）0 （B ）711 （C ）117 （D ）2 。

7．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A. 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2．交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为。

山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(2)模拟试卷

《高等数学》模拟题（2）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题名词解释1. 邻域;2. 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 定积分的几何意义：第二题选择题1、如果)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，c为介于b a ,之间的任一点，那么在),(b a （）找到两点12,x x ，使)()()()(1212c f x x x f x f '-=-成立.（A ）必能；（B ）可能；（C ）不能；（D ）无法确定能 .2、下列结论正确的是（）（A ）初等函数必存在原函数；（B ）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C ）初等函数的原函数必定是初等函数；（D ）C B A ,,都不对 .3、定积分⎰1dx e x的值是（）（A ）e ；（B ）21；（C ）21e；（D ）2 .4、由球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积=V ( )；（A ）π144；（B ）π36；（C ）π72；（D ）π24 . 5、设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ，则平面（）.(A) 轴平行于x ； (B) 轴平行于y ；(C) 轴经过y ； (D) 轴垂直于y .6、函数),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的( ).（A ）充分条件,但不是必要条件；（B ）必要条件,但不是充分条件；（C ）充分必要条件；（D ）既不是充分条件,也不是必要条件. 7、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz=( ).(A) 481 ； (B) 481-；(C) 241 ； (D) 241- .8、设),(,),(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与⎰+LQdy Pdx 路径无关的条件 D y x yP xQ ∈∂∂=∂∂),(,是( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.9、部分和数列{}ns有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 ( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=；(B)322121sin C x C x C x y +++=；(C)1cos C x y +=；(D)x y2sin 2=.第三题).(.1,0,2)1()(x f x x x xx f x f 求其中设≠≠=-+第四题.,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求《高等数学》模拟试卷（2）参考答案第四题2. .,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题 2..cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求解,12x u +=设,11ln 41arctan 21-++=u u u y 则)1111(41)1(212-++++='u u u y uΘ411u -=,2142x x --=)1(2'+='x u x ,12xx +=.1)2(123x x x y x ++-='∴解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求解⎰+=dx x xx e x 2cos 2)2cos 2sin 21(2原式⎰+=dx xe x e x x)2tan 2cos 21(2]2tan )2(tan [(⎰+=x x de xx d e ⎰=)2tan (xe d x .2tan C xe x +=解,cos sin sin 20⎰+=πdx xx xI 由,cos sin cos 2⎰+=πdx xx xJ 设,220ππ==+⎰dx J I 则⎰+-=-2cos sin cos sin πdxxx xx J I ⎰++-=2cos sin )sin (cos πxx x x d .0=,22π=I 故得.4π=I 即。

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山东大学《数学分析III 》期末复习参考题
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、设u x
y =2，则∂∂∂2u x y
=。

2、设u x y y
x =+2，则∂∂∂2u x y
= ___________________。

3、曲面3
2
3
04xy z
xyz ++
=在点(,,)2112-处的切平面方程是
__________________________________。

4、曲线x te y e z t e t
t
t
===232222,,在对应于t =-1点处的法平面方程是______。

5、函数u =(x 2+y 2－z 2)
的等值面方程为__________.
二、选择题（共 10 小题，40 分）
1、设某个力场的力的方向指向y 轴的负向，且大小等于作用点(x ,y )的横坐标的平方。

若某质点，质量为m ，沿着抛物线1－x =4y 2从点(1，0)移动到点(0，)，则场力所做的功
为( )
2、设函数u =2xz 3－yz －10x －23z ,则函数u 在点(1，－2，2)处方向导数的最大值为( ) (A)
(B)
(C) 7 (D) 3 3、设C 为曲线
0≤t ≤
则
( )
4、函数f x y xy x
x y
x (,)sin()=≠=⎧⎨⎪
⎩⎪00
不连续的点集为（） (A) y 轴上的所有点
(B)空集(C) x >0且y =0的点集
(D) x<0且y=0的点集
5、函数f x y e xy
(,)=在点(,)01处带皮阿诺型余项的二阶泰勒公式是（）（A ）[]
112212
++
+-x x x y !
() （B ）[]()
1122112
22++
+-++-x x x y o x y !
()() （C ）[]()
11222
22++
+++x x xy o x y !
（D ）[]()
111
21211222+-+
-+-+-+()!
()()()x x x y o x y 6、曲线x y R y z R 222222
+=+=⎧⎨⎩
在点R R R 222,,⎛⎝ ⎫
⎭⎪处的法平面方程为（）（A ）-+-=
x y z R 2
（B ）x y z R -+=
32
（C ）x y z R -+=
2
（D ）x y z R ++=
32
7、曲面tan()x y z ++=2302
3
在点(,,)111--处的法线方程为（）（A ）x y z -=
+=+11419（B ）x y z =-=+3410
9 （C ）x y z -=
+-=+-11419（D ）x y z =--=+34109
8、设L 为下半圆周. 将曲线积分
化为定积分的
正确结果是（）
9、函数f (x ,y )在有界闭域D 上有界是二重积分
存在的(
)
(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件； (C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。

10、利用函数f x y x y (,)=2在点(,)11处的二阶泰勒多项式计算1010982
..的近似值，应取
（
）
（A ）()1101
11
210110981+-+-⋅-(.)!
(.). （B ）1101
1
2101098++⋅⋅.!
.. （C ）11012101098++⋅⋅...
（D ）1101
1210110981+-+-⋅-(.)(.)(.) 三、计算题（共 4 小题，20 分）
1、设u x y x y x
y
(,)()arcsin
=+-22，求
∂∂u x x y ==1
2。

2、计算
其中∑是球面x 2+y 2=R 2,R >0,而
四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明：u f x y z =(,,)在点()M x y z 0000,,沿过该点等值面f x y z f x y z (,,)(,,)=000法线两个方向的方向导数分别为它在该点处方向导数的最大值与最小值。

其中f x y z (,,)具有连续的偏导数。

2、证明
是不依赖于路径的曲线积分，如果C 是从 (1-，
0)到(5，1)的一段曲线弧，试求曲线积分的值。

《数学分析III 》期末试卷03答案与评分标准
一、填空题（共 5 小题，20 分）
1、-
23
y 2、-
-21
32
y x
3、3ln 218)3ln 412()3ln 26()3ln 3(+=-++-+z y x
4、01132
=+--e y x
5、x 2+y 2－z 2=c
二、选择题（共 10 小题，40 分）
DCABBCDDCD
三、计算题（共 2 小题，20 分）
1、解：u x x (,)22
=
（4分）
d
d (,)x u x x 22= （8分）
∂∂u x
(,)
122=
（10分）
2、记∑1为∑中满足
的部分，∑2为余下部分，因此
（2分）
∑1在xoy 面上的投影域为D ：x 2+y 2≤
∑1的方程为面积元素
（5分）
⎰⎰
⎰⎰--+=∴
∑
D
y
x R y x y x R S z y x f 2
2
2
22d d )(d ),,(
⎰
⎰-θ=π2
/0
2
2
320
d d R r
R r r R
⎰
-π=R
R
u u R R 2
22d )(2（令222r a u -=）
46
2
58R π-=
（10分）四、证明题（共 2 小题，20 分）
1、证明：()()(){}
000000000,,,,,,,,z y x f z y x f z y x f n z y x '''±= 沿任意方向{}γβαcos ,cos ,cos 0=l 函数f x y z (,,)的方向导数为
()()()∂∂αβγu
l
f x y z f x y z f x y z x y z ='+'+'000000000,,cos ,,cos ,,cos
=⋅=l 0ϕ
（6分）
其中
{}),,(),,,(),,,(000000000z y x f z y x f z y x f g z y x '''=
ϕ为0l 与g 的夹角，因而当cos ϕ取1，即ϕ=0时，
g l
u
=∂∂取最大值；当cos ϕ=-1，即ϕπ=时，
g l
u
-=∂∂取最小值。

故沿n 的两个方向，f x y z (,,)的方向导数分别取最大值和最小值。

（10分）
2、证明：y x y x P sin 2),(=，223cos ),(y y x y x Q -=
x
Q y x y P
∂∂=
=∂∂cos 2
，∴曲线积分与路径无关（4分） ⎰--+=
)
1,5()0,1(22d )3cos (d sin 2y y y x x y x I
⎰⎰
-+
⋅⋅=-1
22
5
1
d ]3cos )
5[(d 0sin 2 y y y x x （7分）
103]sin 25[0y y -+= 11sin 25-=（10分）。