江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(50)
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：考前冲刺 必备六 高频考点练透
必备六高频考点练透
高频考点一集合运算
1.(2019南京三模,1)已知集合U={x|1<x<6,x∈N},A={2,3},那么∁U A=.
2.(2019南通、如皋二模,1)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={0,2,4},C=A∩B,则集合C 的子集共有个.
3.(2019锡山高级中学实验学校检测,1)集合A={0,e x},B={-1,0,1},若A∪B=B,则
x=.
4.(2019南师附中、天一中学、淮阴中学、海门中学联考,1)已知全集I={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,6},则(∁I A)∩B=.
高频考点二复数
1.(2019苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一,2)i为虚数单位,复数(1-2i)2的虚部.
2.(2019江苏七大市三模,2)已知复数z=a+i
1+3i
(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.
3.(2019南京三模,2)若复数z满足z(1+i)=1,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点在第象限.
4.(2019扬州中学检测,3)已知虚数z满足2z-。
2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(精品)
南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， （第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析
【答案】
【解析】
由图可知,当直线y＝kx在直线OA与x轴（不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
8.已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4)（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案。
【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A ，A 1，解得B ，所以A﹣B ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
【详解】（1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ,
且 ,
所以
。
(2)因为 ，且 ,所以 ，
又 ,
则 ,
所以 .
16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点．
（1）求证:VA∥平面BDE；
（2）求证:平面VAC⊥平面BDE．
综上所述,a＝﹣2．
故答案为:﹣2．
【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9。已知双曲线 （a＞0，b＞0)的两个焦点为 、 ,点P是第一象限内双曲线上的点,且 ，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理得 ，根据余弦定理得 2PF1•PF2cos∠F1PF2 3，联立方程得到 ，计算得到答案。
江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)
交 y 轴于 M , N ，且 ON 3OM ，则双曲线的离心率为
.
7．已知动圆 M 与圆 C1 : (x 1)2 y2 1 ，圆 C2 : (x 1)2 y2 25 均内切，则动圆圆心 M 的
轨迹方程是
.
8．设点 A1, 2 ，非零向量 a m, n ，若对于直线 3x y 4 0 上任意一点 P ， AP a 恒为
P
（2） FG ∥平面 EBO ．
E
F
A
G O
C
B
12. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在正整数 r，t，且 r＜t，使得 Sr＝t，St＝r 同时成立，则称数 列{an}为“M(r，t)数列”． （1）若首项为 3，公差为 d 的等差数列{an}是“M(r，2r)数列”，求 d 的值； （2）已知数列{an}为等比数列，公比为 q．若数列{an}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求 q 的值．
2
a2 a3，a3 a4，a4 a5 成等差数列，则 q 的值为
.
6．在平面直角坐标
xOy
中，双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 , A, B
分别为
左，右顶点，点 P 为双曲线上一点，且满足 PF2 F1F2 ，点 Q 为 PF2 上一点，直线 QF1, BQ 分别
.
是 i 100 否
N N 1 i
S N T
4．高三某班级共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状 况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 6 人进行
T
T
i
1 1
输出 S 结束
调查，若抽到的最大学号为 45，则抽到的最小学号为
江苏省南通市2020届高三年级二轮复习第1次模拟考试数学试卷含附加题(附答案)
江苏省南通市2020届高三年级二轮复习第1次模拟卷数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}22,4,46A a a=-+，{2,}B a=，A B B=I，则实数a的取值的集合为_________．2．若复数z满足()2z i z=-（i为虚数单位），则z=_________．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1500，1200，900，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为_________．4．如图所示的程序框图，输出的结果是_________．5．己知()f x是R上的奇函数，当0x>时，22()f x xx=-，则(1)f-=_________．6．等比数列{}n a中，1232a a a++=，4564a a a++=，则101112a a a++=_________．7．若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为1S，2S，则12SS的值是_________．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，直线2by=与椭圆交于,B C两点，且090BFC∠=，则该椭圆的离心率是_________．（第4题）（第8题）9．已知2b 是4a 与4的等差中项，则1162a b +的最小值为_________． 10．若命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则实数m 的取值范围是_________． 11．已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y --=，动点P 为l 上一点，圆O 存在一点Q ，使得QPO ∠=30°，则点P 横坐标的取值范围是_________．12．已知,a b r r 是单位向量，且夹角为60°，c =r 1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r 的取值范围是_________． 13．已知奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=--，且当10x -<<时，()2axf x e e =-，若23(ln 3)20f e +=，则实数a 的值为_________．14．已知函数()()22e 2x k f x x x kx =--+（k 是常数，e 是自然对数的底数）在区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是_________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在x ,42ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点．如图，在四棱锥P ABCDPB平面EAC；（1）求证：//⊥．（2）求证：CD AE17．（本小题满分14分）某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d．（1）若P是EF的中点，求d的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求△AEF面积的最小值．18．（本小题满分16分） 如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,0)P ，且离心率2e =，圆2C 以椭圆1C 的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l 交椭圆C 于另一点D ，直线2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 和圆2C 的标准方程；（2）求ABD ∆面积的最大值．19．（本小题满分16分） 已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈． （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围．。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(16)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（16）班级 学号 姓名1．若2{|0},{|1}A x x B y y x =>==-，则=B A I ．2．设,,,a b c d ∈R ，复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是 ．3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内有 条直线与l 垂直．4．设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，F 1F 2=8，P 是椭圆上的点，PF 1+PF 2=10，且PF 1⊥PF 2，则点P 的个数是 ．5．一条直线过点（5，2），且在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线方程为 ．6．一个等差数列的项数为n 2，若72,902421231=+++=+++-n n a a a a a a ΛΛ， 且3321=-n a a ，则该数列的公差是 ．7．设周期为4的奇函数)(x f 的定义域为R ，且当)6,4[∈x 时，22)(x x f -=，则 )1(-f 的值为 ．8．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，则三个数量积：①⋅2；②⋅2；③2⋅中，结果为2a 的序号为 ．9．若直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是 ．10．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”．例如函数]2,1[,2∈=x x y 与]1,2[,2--∈=x x y 即为“同族函数”．下面6个函数：①tan y x =；②cos y x =；③3y x =；④2x y =；⑤lg y x =；⑥4x y =．其中能够被用来构造“同族函数”的有 ．11．若不等式21x ->)1(2-x m 对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．12．已知函数)(x f 的图象与21)(++=x x x h 的图象关于点A （0，1）对称． （1）求)(x f 的解析式；（2）若x a x f x g +=)()(且)(x g 在区间（0，2）上为减函数，求实数a 的取值范围．。
2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题基础保分强化训练(五)文(最新整理)
基础保分强化训练(五）1．集合A＝｛x|x2－7x<0,x∈N*}，则B＝错误!错误!∈N＊，y∈A}中元素的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析A＝｛x｜0〈x<7，x∈N*｝＝{1,2,3，4,5，6}，B＝错误!＝{1，2,3,6｝，则B中的元素个数为4个．2．在复平面内，表示复数z＝错误!的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由复数除法运算，可得z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，所以在复平面内对应点的坐标为错误!,即位于第二象限，所以选B。
3．已知F1，F2为椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>2）的左、右焦点，若椭圆C上存在四个不同点P满足△PF1F2的面积为43，则椭圆C的离心率的取值范围为( ）A。
错误! B.错误! C。
错误! D。
错误!答案D解析设P（x0，y0)，S△PF1F2＝错误!｜F1F2|·｜y0｜＝c|y0｜＝4错误!，则｜y0|＝错误!＝错误!，若存在四个不同点P满足S△PF1F2＝4错误!，则0〈｜y0｜〈2，即0〈错误!〈2，解得a>4,e＝错误!＝错误!∈错误!，故选D。
4．设a,b为实数,则“a2b<1”是“b<错误!”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当b〈错误!成立时,a2〉0，从而ba2<1一定成立．当a＝0时，a2b<1不能得到b〈错误!，所以“a2b<1"是“b<错误!”的必要不充分条件．5．执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a，则函数y＝x a，x∈［0，＋∞）是增函数的概率为( )A。
错误! B。
错误! C.错误! D。
错误!答案C解析执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2,y＝0;x＝－1，y＝－1;x＝0，y＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15;x＝4，退出循环．则集合A中的元素有－1,0,3，8，15，共5个,若函数y＝x a，x∈[0，＋∞）为增函数，则a〉0，所以所求的概率为错误!.6．已知数列{a n｝，｛b n｝满足b n＝log3a n，n∈N*，其中｛b n｝是等差数列，且a1a2019＝3，则b＋b2＋b3＋…＋b2019＝( ）1A．2020 B．1010 C。
江苏省南通市2020届高三下学期第三次高考全真冲刺模拟数学试题 Word版含解析
即 所以
所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查向量数量积和余弦定理的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是将已知条件设为 .
13.若 中， ， 45°， 为 所在平面内一点且满足 ，则 长度的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，则 ，
由①方法一得
∴ 面积
，
令 ， ，则 ， ，
∵ ，∴ 在 为减函数，
∴ ，即 时， ，即 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，重点考查转化，变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键是直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系转化坐标表示的几何关系，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由 ， ，得 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
（2）取 中点 ，连结 ， ，推导出 平面 ， 平面 ,从而平面 平面 ，由此能证明 平面 ．
【详解】（1） ， ． ，且 平面 ,
平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
（2）取 中点 ，连结 ， ， 为 的中点，
3.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为 ，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 的为一等品，在区间 和 的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由频率分布直方图计算一等品和二等品的频率，求三等品的频率，根据频数=样本容量 频率，计算样本中三等品的件数.
2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷
绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值； （2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。
2020江苏高考数学二轮微专题 巩固强化
.--------------------------------------------------------.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
!"# 1-'1-,-
.
.
.
.
总分!,!分!建议用时!#$*!分钟
.
.
.
.
.
.
姓名!!!!!!!!!!班级!!!!!!!!!!学号!!!!!!!!!!得分!!!!!!!
$ (
$'!
&"#则下列命题为真命题的是!!!!#"填序号$
. . .
. .
"0&$1"0-$*"0&$2"0-$*"0&$2-*&2-#
. .
.
.
.
.
.
"-% 给出以下四个结论!
.
.
.
.
命题'若$!'($'3&"#则$&3(的逆否命题为'若$33#则$!'($'33"(*
.
.
.
.
'$&3(是'$!'($'3&"(的充分条件*
.
.
.
.
.
. . .
&% "!"$-扬州月考$若函数+"$$&$,'$)'$是奇函数#则 )&!!!!#
. . .
.
.
.
江苏南通高考数学二轮冲刺小练50个全部附答案
江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（1）班级 学号 姓名1．设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R______．2．在平面直角坐标系中，已知向量AB = (2，1)，向量AC = (3，5)，则向量BC 的坐标为 ． 3．在中,已知, 则 ．4．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为 ． 5．在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为 ．6．函数的单调减区间为 ．7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 9． 已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<． ()y f x =的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象相邻的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ，点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，则tan APQ ∠= ． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5．设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ．ABC ∆sin :sin :sin 2:3:4A B C =cos C =2()(1)xf x x x e =++()x R ∈开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第4题）xy P R QAO11．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好，设AB =x 米．（1）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．（1）若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０；（2）若C =0，{}n a 是首项为1的等差数列，设20142211111i i i P a a =+=++∑，求不超过P 的最大整数的值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（2）班级 学号 姓名1．已知a ，b 是实数，且b 2+（4+i ）b +4+a i=0（其中i 是虚数单位），则|a +b i|的值是 ． 2．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子ABCD（第11题）P朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ．3．如果双曲线的两个焦点分别为F 1（0，3）和F 2（0，3），其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为 ． 4．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2． 5．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ． 6．若关于x 的不等式组2220,2(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解集的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ．7．在平面直角坐标系中，不等式00x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数）表示的平面区域的面积为8，则23x y x +++的最小值为 ．8．如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ．9．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在C （0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（23π,1）时，则OP OC ⋅为 ．11．如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF CE .求证：⑴平面BCEF ⊥平面ACE ；⑵直线DF 平面ACE ．AB C DOEF（第11题图）P O xy1 1C12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 26＋y 22＝1．（1）若P 是椭圆C 上的动点， M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN 是定值，并求出这个定值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（3）班级 学号 姓名1．已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实 数x = ．2．如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是 ．3．过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满 足3a b =的直线方程为 ．4．若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ． 5．已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ．6．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．7．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ．8．已知抛物线22(y px p =＞0)与双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 .9．在平面直角坐标系xOy60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．10．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数应是 .11．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知函数()sin(2)6f x x π=- 满足：对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．12．已知函数()ln f x x x a x =--．（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值；136547891015141312112（2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（4）班级 学号 姓名1．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z -，若2z +z -= 3 + 4i ，则z = ． 2．已知集合，集合，若命题“”是命 题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．3．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为2222212341(16)4s x x x x =+++-，则数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数为 ．4．在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足，则等于 ． 5．将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数()y f x =的图象，则()f x 的一个解析式为 ．6．直线x +a 2y +1=0与直线(a 2+1)x - by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值是 .7．四面体的四个面的面积分别为、、、，记其中最大的面积为，则的取值范围是_ ．8．平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为{|5}A x x =>{|}B x x a =>x A ∈x B ∈a 2BM MA =CM CB ⋅1S 2S 3S 4S S SSi i341∑=xOy C )0,0(12222>>=+b a by a x，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．9．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．函数f （x ）=sin 2x +23cos 2x ﹣3，函数g （x ）= mcos （2x ﹣6π）﹣2m +3（m ＞0），若存在x 1，x 2[0,]4π∈，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数m 的取值范围是 ．11．如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧棱SA =SB =SC =SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点． （1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若E 为BC 中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并保持PE ⊥AC ，试指出动点P 的轨迹， 并证明你的结论．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax E 的焦距为2，且过点)26,2(． （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值．F l B BF 1d F l 2d 126d d =C SCBA D O E江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（5）班级 学号 姓名1．若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ．2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍， 则实数m = ．3．如图所示程序框图，输出结果是 ．4．已知实数1,,2a b 成等差数列，且0ab >， 则1ab -的取值范围为 ．5．将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色 的概率是 ． 6．设向量，若，则等于 ．7．己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y =a 1x 与圆 （x ﹣2）2+y 2=1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n = .8．已知中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若的面积为S ，且等于 ．9．过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切 点1n T +．则点1n T +的坐标为 ．10．如图放置的正方形ABCD ，AB =1，A ，D 分别在x 轴、y 轴 ABC ∆ABC ∆()222,tan S a b c C =+-则的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是 ．11．如图，在六面体中，，，.求证：（1）； （2）.12．对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（6）班级 学号 姓名1111ABCD A B C D -11//AA CC 11A B A D =AB AD =1AA BD ⊥11//BB DD ABCD D 1C 1B 1A 1M1．设集合}2,1{=A ，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 共有 个．2．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 3．已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ．4．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ． 5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若在正方体内（包括边界）任取一点M ，则四棱锥M －ABCD 的体积不小于81的概率是 ． 6．如右流程图所给的程序运行的结果为S =132，那么判断框 中应填入的关于k 的判断条件是 ．（图中“=”表示赋值） 7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,a =3,sin 2sin b C A ==，则sin A = ．8．若以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．9．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换： (1) f (x )=(x -1)2, T 1将函数f (x )的图像关于y 轴对称； (2) f (x )=2x -1-1，T 2将函数f (x )的图像关于x 轴对称；(3) f (x )=1+x x，T 3将函数f (x )的图像关于点(-1,1)对称； (4) f (x )=sin(x +3π)，T 4将函数f (x )的图像关于点(-1,0)对称．其中T 是f (x )的同值变换的有_______．(写出所有符合题意的序号)10．定义域为的函数的图象的两个端点为A ,B , M (,)x y 是()f x 图象上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数上“k 阶线性近似”，若函数上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为_______．11．某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为． (1)试分别求出函数、的表达式；(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?[],a b ()y f x =()()()1,1x a b R ON OA OB λλλλλ=+-∈=+-向量MN k ≤()[],f x a b 在[]112y x x=+在，ABCD AB BC CD BC 2t 312t ≤≤AOD 1C cos 1y x =-O BC 1()h t 2C 98O BC 2()h t 1()h t 2()h t O BC12．已知(2,0),(2,0),A B C D -点、依次满足12,()2AC AD AB AC ==+．（1）求点D 的轨迹；（2） 过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（7）班级 学号 姓名1． 设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i = ． 2．一个样本有五个数组成，且这五个数按a ，99，b ，101，c 的顺序组成等差数列，则这个样本的标准差为 ．3．已知点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA ⋅+⋅+CA AB ⋅的值是 ．4．关于x 的不等式0)1)(2(<--ax a x 的解为ax 1>或a x 2<，则实数a 的取值范围为 ．5．如图，在正方体中，给出以下四个结论：1111ABCD A B C D -ADCBOxy D 1A 1B 1C 1①∥平面；②与平面相交； ③AD ⊥平面；④平面⊥平面． 其中正确结论的序号是 ．6．已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 .7．已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是______．8．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上，若在圆C 上存在一点Q ，使得60OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为 .9．已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是 ．10．如图，椭圆的左、右焦点为，上顶点为A ，离心率为，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为________．11．如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．12．设函数*∈-++-+-=N n nx x x x x f nn n ,)1(321)(32 ． （1）试确定)(3x f 和)(4x f 的单调区间及相应区间上的单调性;1D C 11A ABB 11A D 1BCD 1D DB 1BCD 11A ABB 2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩21212,,x x R x x ∃∈≠12()()f x f x =a O ABCD M N BC CD 1MN ≤OM ON ⋅{}n a 1212233445a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅2221n n a a t n +-≥⋅*n N ∈t 22221(0)x y a b a b+=>>12,F F 12112:2:1PF A PF F S S ∆∆=1PF O Ay xF 1 F 2PABCDA 1B 1C 1D 1（2）说明方程0)(4=x f 是否有解,并且对任意正偶数n ,给出关于x 的方程0)(=x f n 的解的一个一般结论,并加以证明．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（8）班级 学号 姓名1．直线(1)2x m y m ++=-与28mx y +=-垂直的充要条件是m = ． 2．如果复数2()3bib i-∈+R 的实部与虚部互为相反数，则b = ． 3．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况， 随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介 于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成 五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……; 第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布 直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组 的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8， 则调查中随机抽取了 个学生的百米成绩．4．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S 为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．5．由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ．6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为 ． 7．设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐近线bx x x f +=2)())1(,1(f A l 023=+-y x })(1{n f n n S 2013Sxy B B´ A A´OD D´ (第10题图)相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 ．8．在△ABC 中，已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +，若,,a b c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则2abc 的最大值为 ． 9．已知向量(cos ,sin )OA λαλα=，(sin ,cos )OB ββ=-，其中O 为坐标原点，若||2||BA OB ≥对任意实数α、β都成立，则实数λ的取值范围是 ．10．如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ．11．请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF 是边长为30cm 的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱 形状的纸盒．G 、H 分别在AB 、AF 上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设 AG =AH =x (cm)．（1）若要求纸盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）若要求纸盒的的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比．12．已知数列的前项和为．（1）若数列是等比数列，满足，是，的等差中项，求数列的通项公式；（2）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．A BCDEFG H江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（9）班级 学号 姓名1．函数(1)()coscos22x x f x -=的最小正周期为 ． 2． 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ， 4a ，5a 的方差为 ．3．根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ． 4．已知三个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 .5．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ． 6．若5sin(),413x π-=且0,4x π<<则cos 2cos()4x x π+= ．7．如图，将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的 方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .8．直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈的图象相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC ⋅= ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，设点11P x y ，、22Q x y ，，定义：()d P Q ，12x x12y y ． 已知点10B ，，点M 为直线220xy 上的动点，则使()d B M ，取 最小值时点M 的坐标是 ．10．设x ，y 是正实数，且x +y =1，则2221x y x y +++的最小值是 ．图1第7题 0102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←(第3题)11．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．数列{}n b 中，11b =，它的第n 项nb 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若对任意的*n ∈N ，不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅+<-+++++恒成立，试求m 的取值范围．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（10）班级 学号 姓名1．若复数(a +i )(1－2i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a = ．2．已知a 为第二象限角，且4sin 5α=，则tan α= ． 3则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．4．已知数列{n a }满足1a =1，且对任意的正整数m 、n ，都有2012m n m n a a a +=++，则a 2014 - a 2013 = ． 5．已知实数x ,y 满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为 ．6．用计算机随机产生的有序二元数组(x ，y )满足11,22,x y -<<⎧⎨-<<⎩对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算22x y +的值，记“(x ，y )满足221x y +<”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ．7．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ====，则函数()2()f x yg x +=的图象在x =5处的切线方程为 ．8．已知集合22{|230},{|0}A x x x B x ax bx c =-->=++≤，,,a b c R ∈，且0ac ≠，若(3,4]A B =，A B R =，则22b aa c +的最小值为 ．9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ．10．将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为 .11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若32AB BC ⋅=-，且b =a +c 的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．3322-++-=x x y []2,0∈x θθθ12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为,A B分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）设(,)(0)C x y x a <<为椭圆上一动点，D 为C 关于y 轴的对称点，四边形ABCD 的面积为()S x ，设2()()3S x f x x =+，求函数()f x 的最大值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练参考答案（1）1．(]03，； 2．（1，4）； 3．； 4．38； 5．3 6．(或闭区间)； 7．13 ； 8．2212016x y +=； 9．10．(12，17)．11．解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<．设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x-=-+⇒=-，12x <<．记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x =--23()2x x=-+≤-，当且仅当x =∈(1，2)时，S 12-米时，节能效果最好．（2）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．于是，3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒=． 关于x 的函数2S在上递增，在上递减．所以当x =时，2S 取得最大值．2-米时，制冷效果最好．12．解⑴因为{n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n dna n n d An Bn C +-++-=++，即2111()()()022d d A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． ⑵因为{}n a 是首项为1的等差数列，由⑴知，公差1d=，所以n a n =．(1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++， 所以111111111(1)(1)(1)(1)2015122334201420152015P =+-++-++-+++-=-， 所以，不超过P 的最大整数为2014．（2）1．22；2．；3．23；4．33；5．1126．[3,2)-；7．642-；8．216；9．6π； 10．32． 11．解：⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE ，因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．14-(2,1)--⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径，所以BD BC ⊥， 因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD平面ACE ．因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ，因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ，所以平面BDF 平面ACE ， 因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．12．解：（1）设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]．所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．（2）由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． 令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|．因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝2 63|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6．即ABFN为定值6．（3）1．0；2．3；3．310x y ++=或12y x =-；4．6π； 5．815； 6．12n -；7．2；8．1； 9．3π 10．2014．11．解（1）由题意，△对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， △()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ，当()f x 取得最大值时，22,62x k k πππ-=+∈Z ，即,3x k k ππ=+∈Z ，△,3A k k ππ=+∈Z ，又△A 是三角形的内角，即0A π<<，△3A π=．（2）△AM 是BC 边上的中线，△在△ABM 中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， △在△ACM 中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， △ 又△AMB AMC π∠=-∠，△cos cos AMB AMC ∠=-∠，△＋△得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=，△2222032b c b c bc +<+-=≤，△2236b c <+≤，△23944AM <≤，即32AM <≤．12．解（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>，所以()f x 在[1,]e 上单调增,2max ()()1f x f e e e ∴==--.（2）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈；（ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立．令ln ()xh x x x=-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤．令ln ()x g x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-， 则1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞．（4）1．1 + 4i ；2．；3．2； 4．24； 5．()π2sin 3y x =-；6．2； 7．(]；8．； 9．[10,)+∞；10．[，2]．11．证 （1）∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC ⊥BD ，又∵SA =SC ，∴AC ⊥SO ，而SO BD =O ，∴AC ⊥面SBD ．（2）取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN ．证明如下：连结EM 、EN ，∵E 是BC 中点，M 是SC 中点，∴EM22c =1c =222312ab=+a422530b b --=23b =212b =-24a =E 22143x y +=111(,)(0)P x y y ≠0(2,)M y 012y k =1212y k x =-,,A P B10142y y x =+20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--11(,)P x y 22113(4)4y x =-211221432(4)2y k k x ==--{1,1}-14-(,1)-∞-49() e nn ，（2）因为，平面，平面， 所以平面．又平面，平面平面，所以．同理得， 所以．12．解（1）在数列}{n a 中，取1=n，则23122a a a ==+，不满足条件①， 所以数列}{n a 不具有“m 性质”；在数列}{nb 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”．（2）由于数列}{n c 是各项为正数的等比数列，则公比0>q ，将413=c 代入=3S 473323=++c qc q c 得，5a <3432,3343-BD M AM 1A M 11A D A B=AD AB =BD AM ⊥1BD A M ⊥1AMA M M =1AM A M ⊂、1A AM BD ⊥1A AM 1AA ⊂1A AM 1AA BD ⊥11//AA CC 1AA ⊄11D DCC 1CC ⊂11D DCC 1//AA 11D DCC 1AA ⊂11A ADD 11A ADD 111D DCC DD =11//AA DD 11//AA BB 11//BB DD0162=--q q ，解得21=q 或31-=q （舍去）所以11=c ，121-=n n c ，1212--=n nS对于任意的*N n ∈，122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ，且2<n S 所以数列}{n S 满足条件①和②，所以数列}{n S 具有 “m 性质”．（6）1．4；2．15；3．1；4．±5．58； 6．10k ≤（或11k <）；78．；9．①③④； 10．． 11．解：(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D 的坐标为，所以点到的距离为,而,则对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D 的坐标为 所以点到的距离为,而,所以(2)因为 ,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为，又 ,而 ,所以当时,取得最大值为，因为,所以,故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(5)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（5）班级 学号 姓名1．设集合A={x |x －a <0}，B={x |x <2}，若A∩B=A ，则实数a 的取值范围是 ．2．若()f x '是31()213f x x x =-+的导函数，则(2)f '= ．3．给出如下三个命题，其中不正确．．．命题的序号是 ． ①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad =bc ；②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若b a ＜1，则ab ＞1； ③若f (x )=log 2x , 则f (|x |)是偶函数．4．已知三个实数a ，b ，c 互不相等，若a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列， 且a +3b +c =10，则a = ．5．已知实数1,,2a b 成等差数列，且0ab >，则1ab -的取值范围为 ．6．函数20.5log (34)y x x =--的单调增区间为 ． 7，焦点到对应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ．8．如图，将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 ．9．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≤≥O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠uuu r 的最大值是 ．10．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1()f x kx k k =++∈R 有4个实数根，则k 的取值范围是 ．11．已知等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）求数列的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值．12．在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定A，B两点，在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值．。
2024届江苏南通高三高考考前押题数学试题答案
南通市2024届高三高考押题卷数学参考答案2024.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BBADDACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.题号91011答案ABCACDAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2π；113.3614.2e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）由题意得222sin sin sin sin sin sin A C A CC B--=，且.A C ≠即21sin sin .sin sin A C C B +=由正弦定理得22b c ac =+，又由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2cos c a c B =-，故sin sin 2sin cos C A C B =-，故sin sin()2sin cos C B C C B =+-，整理得sin sin()C B C =-，又ABC 为锐角三角形，所以C B C =-，因此2.B C =（2）在BCD 中，由正弦定理得4sin sin BDBDC C=∠，所以4sin 4sin 4sin 2sin sin 22sin cos cos C C C BD BDC C C C C====∠，因为ABC 为锐角三角形，且2B C =，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得.64C ππ<<故cos 22C <<BD <<因此线段BD 长度的取值范围(316.（15分）解：（1）连接11O C ，则四边形11OO C C 是直角梯形.过C 1作1C N OC ⊥于N ，则四边形11OO C N 是矩形，11//OO C N ∴，1.4MC N π∴∠=连接11.1NM ON O C == ，2OC =，N ∴为OC 的中点.又M 为BC 的中点，11.2NM OB ∴==1OO ⊥ 平面ABC ，11//OO C N ，1C N ∴⊥平面.ABC 又NM ⊂ 平面ABC ，1C N NM ∴⊥，1 1.C N NM ∴==在1C OC 中，11NC OC ON NC NO =-=== ， OC ∴⊥C 为 AB 的中点，.OC OB ∴⊥又1OO OB ⊥ ，OC ，1OO ⊂平面1O OC ，1OC OO O ⋂=，OB ∴⊥平面1.O OC 又1CC ⊂平面1O OC ，1.OB CC ∴⊥11CC OC ⊥ ，1CC OB ⊥，OB ，1OC ⊂平面1OBC ，1OB OC O ⋂=，1CC ∴⊥平面1.OBC （2）以O 为原点，直线OC ，OB ，1OO 分别为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系.设1||OO h =，则1(1,0,).C h (2,0,0)C ，(0,2,0)B ，(1,1,0)M ∴，1(1,0,)OC h ∴= ，(1,1,0).OM =设平面1OMC 的法向量1111(,,)n x y z =，则11111110000n OC x hz n OM x y ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒+=⎪⎩ ，取11z =得1(,,1).n h h =- (2,2,0)BC =- ，1(1,0,)CC h =-，设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222122022000n BC x y n CC x hz ⎧⋅=⇒-=⎪⎨⋅=⇒-+=⎪⎩ ，取21z =得2(,,1).n h h = 11cos |cos 3n θ=⇒< ，22111|3213n h >=⇒=+ ，解得 1.h =在1Rt C MN 中，11MN NC ==，1.4C MN π∴∠=由(1)知1C MN α=∠，.4πα∴=17.（15分）解：（1）记“甲任选一道题并答对”为事件M ，“甲知道答题涉及内容”为事件A ，依题意，1()3P A =，2()3P A =，(|)1P M A =，1(|4P M A =，因为事件MA 与MA 互斥，所以()()()(P M P MA MA P MA P MA =+=+1(|)()(|)().2P M A P A P M A P A =+=（2）①21211(4)32329P X ==⨯⨯⨯=，21211(2).32329P X =-=⨯⨯⨯=②依题意，随机变量2X =-，1-，0，1，2，4，1(2)9P X =-=，1212(1)23329P X =-=⨯⨯⨯=，111(0)339P X ==⨯=，21212(1)232329P X ==⨯⨯⨯⨯=，1212(2)23329P X ==⨯⨯⨯=，1(4)9P X ==，故1212212()(2)(1)0124.9999993E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18.（17分）解：（1）先求过抛物线上一点的切线方程，设()00,G x y 为抛物线2:2(0)E y px p =>上一点，当0y >时，则y y =⇒'=，故过G的切线方程为：200000))22y y py y x x x x p y -=-=-=-，即()00y y p x x =+，当0y <时，则y y =⇒'=-，同理过G 的切线方程为：()00y y p x x =+，综上，过抛物线上一点()00,G x y 的切线方程为：()00y y p x x =+.因为//AM x 轴，可得211,2y M y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设222,2y N y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则由AP PN = 可得：221122,22y x y y p P ⎛⎫+ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故211:2MPy l y y p x p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将221122,22y x y y p P ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭代入可得：221212112()222y x y y y p y p p ++⋅=+，即222211211.2y y y y px y +=++，即22121.()2y y y p x p=+，而过N 的E 的切线方程为：2222y y y p x p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即A 在该直线上，故得证.（2）设直线123l l l 、、的倾斜角分别为α、β、γ，由(1)知：1tan p y α=、2tan p y β=因为A 、B均在双曲线左支，故12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1211x x +=-(sin sin )αβ=-+sin ()sin ()2222αβαβαβαβ+-+-⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦2sin cos 22αβαβ+-⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.如图所示，此时90γ︒>，设123l l l 、、与x 轴分别交于E 、C 、D 三点，易得：PCE PEC MPN θπβα∠+∠=∠⇒=-+，1122PDE PEC MPN πγα∠+∠=∠⇒-+=，所以22παβγ+=+，所以2sin cos 2cos sin2222πθπθγγ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2tan ,cos k k γθ==-，所以2211cos ,11tan k γγ=-++21cos 1sin 222k θθ-+==化简可得12112x x +=是定值.同理，若90γ︒，如图此时易得：PCE PEC MPN θπβα∠+∠=∠⇒=-+1122PDE PEC MPN γπβθ∠+∠=∠⇒+-=，所以22αβπγ+=-，所以2sin ()cos ()2cos sin 2222πθπθγγ-+-=-，因为2tan ,cos k k γθ==-，所以2211cos ,11tan k γγ=++21cos 1sin 222k θθ-+==化简可得1211x x +=是定值.综上：1211x x +=是定值，得证19.（17分）解：（1）证明：由(]()ln ,0,1,f x x x =-∈得12()02f x x x'-=-=<，即()f x 在(0,1]上单调递减，又(1)1f =，当0x >且x 无限趋近于0时，()f x 趋向于正无穷大，即()f x 的值域为[1,),+∞且函数在(0,1]上单调递减，对于()f x 可以取到任意正整数，且在(]0,1x ∈上都有存在唯一自变量与之对应，故对于*n N ∀∈，令()f x n =，其在(0,1]上的解必存在且唯一，不妨设解为n c ，即*n N ∀∈，则都存在唯一的实数(]0,1,n c ∈使得()n f c n =，即()f x 存在源数列；（2）()0f x -恒成立，即x x λ- 恒成立，令(0,1],t =即22ln t t t λ- 恒成立，令()22ln t t t t ϕ=-，则()22ln 2t t t ϕ'=--，令()()(]22ln 2,0,1,g t t t t t ϕ'==--∈则()220g t t'=- ，仅在1t =时取等号，即()g t 在(0,1]上单调递减，故()(1)0g t g = ，即()t ϕ在(0,1]上单调递增，故max ()(1)1t ϕϕ==，故1λ ；（3）证明：由()i可得()f x()n f cn ，故221122121214n c n n n n <=--+-，当1n =时，11215113S c ==<，当2n 时，122222225251355721213213n n S c c c n n n =++++-+-++-=-<-++ ，故{}n c 的前n 项和5.3n S <。
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是 ．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ． 【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ． 【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=． 故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示： 是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 42+ 第二圈 是 7 428++ 第三圈 是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<． 由图象可知：由021k <<可得102k <<， 故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2． 故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)， 由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件； 综上所述，2a =-． 故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=， 解得112B =-， 所以1116124A B -=+=． 故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]． ．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增． （1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =， 此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的； （2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间． 综上可知2a „． 故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ， 同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e． 【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-． 那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=， 解得：10sin B =． （2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ， 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ， 所以//VA 平面BDE ； （2）因为VO ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ． 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5， 所以|429|55m -=， 即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分） （Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+， 代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故△224(51)4(1)0a a =--+>， 即21250a a ->， 由于0a >，解得512a >， 所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =． 由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =， 则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ； （2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数； 当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =； （2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列； 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<． （1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为； （2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点， 故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<． 本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)， 设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-， 解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ， 解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。
2020南通重点名校二轮总复习数学综合训练答案
S＝4；k＝－3，S＝10，所以①处填 k≥－3.
－3，3
5.
2
解析：因为函数
y＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝3－2
sinx＋1 2
2
，所
2
以当 sinx＝－1时，函数取得最大值为3，当 sinx＝1 时，函数取得最小值－3，故函数的值域
2
2
为
－3，3 2
.
6. 1 3
解析：如图，因为下底面 ABC 为正三角形，A1O⊥平面 ABC，点 O 是正三角形
②因为数列{an}是“优美数列”，
所以存在实常数 p，q，使得 an＋1＝pan＋q 对于任意 n∈N*都成立， 且有 an＋2＝pan＋1＋q 对于任意 n∈N*都成立， 因此(an＋1＋an＋2)＝p(an＋an＋1)＋2q 对于任意 n∈N*都成立， 而 an＋an＋1＝3·2n(n∈N*)，且 an＋1＋an＋2＝3·2n＋1(n∈N*)， 则有 3·2n＋1＝3·p2n＋2q 对于任意 n∈N*都成立，即 3·2n(2－p)＝2q 对于任意 n∈N*都成
又因为△ABC 的面积等于 3，所以 1absinC＝ 3得 ab＝4， 2
a2＋b2－ab＝4，
a＝2，
联立
解得
ab＝4，
b＝2.
(2) 由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以 sinBcosA＝2sinAcosA.
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(50)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（50）班级 学号 姓名1．已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ．2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ．3．下列四个命题中, 真命题的序号是 ．①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，； ③2n n n ∃∈<R ，； ④2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； ⑤n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 4．根据以下伪代码表示的算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ．Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x5．若在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6．若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ． 若BF CB 2=，则直线AB 的斜率为 ．8．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm ． 9．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 ．10．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b =m （m ∈N*），则这样的三角形共有 个（用m 表示）．11．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个小球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则为甲胜，否则为乙胜． （1）求两数字之和为6的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．12．直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB=2AD=2CD ．（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ； （2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平 面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的 结论．A B CDD 1C 1 B 1A 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（50）
班级 学号 姓名
1．已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ．
2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8
--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ．
3．下列四个命题中, 真命题的序号是 ．
①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，； ③2n n n ∃∈<R ，； ④2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； ⑤n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 4．根据以下伪代码表示的算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ．
Read x
If x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else
()f x ←2x End If Print ()f x
5．若在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则
122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
＝ ． 6．若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有ππ()()33
f t f t +=-+．记
()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3
g = ．
7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ． 若BF CB 2=，则直线AB 的斜率为 ．
8．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm ． 9．若不等式组0,22,
0,x y x y y x y a
-⎧⎪
+⎪⎨⎪⎪
+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围
是 ．
10．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b =m （m ∈N*），则这样的三
角形共有 个（用m 表示）．
11．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完
全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个小球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则为甲胜，否则为乙胜． （1）求两数字之和为6的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
12．直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB=2AD=2CD ．
（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ； （2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平 面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的 结论．
A B C
D
D 1
C 1 B 1
A 1。