结构力学第五章

位荷载作用下的支座反力FRK。
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
1 F RKcK 0
(6 - 3)
（c）由虚功方程，解出所求位移：
F RK cK
(6 - 4)
例:
图示三铰刚架， 支座B下沉c1，向 右移动c2。求铰 C
的竖向位移⊿CV和
铰左右截面的相对 角位移φC。
)
§5-2 结构位移计算的一般公式
• 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产 生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系 的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。
• 推导位移计算一般公式有几种途径：
• 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一
般公式。
• 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移 公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公 式。
• 上述方法也可称为“单位荷载法”
• d、通过上例可推出静定结构支座移
动时，位移计算的一般公式。
• 注：因为静定结构在支座移动作用下，不 产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚 体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。
4、支座移动时静定结构的位移计算
当支座有给定位移ck时（可能不止一个），
（a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单
能位移上所作的功恒为零。
• 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理） 用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的 基础。
•
因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
•
根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应
用形式，解决两类不同的问题。
•
虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚
⊿CV
φC
l
c1 l/2 l/2 c2
⊿CV
FP=1
φC
l
虚拟状态
1/4
1/4
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
1/2
1/2
⊿CV =-∑FRKcK= - [-1/2×c1 – 1/4×c2 ]= c1/2+ c2/4
(↓)
⊿CV
FP=1
φC
l
1 /l
1 /l
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
φC=-∑FRK cK= - [-1/l×c2]= c2 /l (
第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
• 2、结构位移计算概述
• （1）、结构位移的种类
• 绝对位移：线位移和角位移——杆件结构中某一截 面位置或方向的改变。
• 相对位移：相对线位移和相对角位移——两个截面 位移的差值或和。
• 广义位移：绝对位移和相对位移的统称。
FP
D ⊿DV C
φC
B
D’ ⊿CD
⊿CV
C’
⊿CH
A
φCD
（2）、引起位移的原因
*荷载作用； *温度变化和材料涨缩； *支座沉陷和制造误差。
（3）、位移计算的目的
*检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。 * 为超静定结构计算打基础。 * 其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。
• 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原 理为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体
系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移， 则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
• 即：
W =0
•
理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，
如：光滑铰链、刚性链杆等。
•
刚 体 ——具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可
• 力状态；
• 位移状态。
• 外力虚功可表示为：
• W = FP1×△1+FP2×△2+ M1×φ1
•
+ FR1×c1+ FR2×c1+ FR3×c3 =∑FP×⊿
• FP：包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力 ，
称为广义力。
• △：包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。
（3）、刚体体系虚功原理（虚位移原理、虚力原理）
•
方法：
•
用虚功原理推导出位移计算公式。
•
计算时应满足的条件：
•
*静力平衡；
•
*变形协调条件；
•
*物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移）
（1）虚功的概念
功的两个要素——力和位移
W= FP×⊿
功=力×相应位移
W=2FP×(r×φ) = M×φ
力与位移相互对应。
FP FP
c1
由平衡方程求出： FR1 = - b/a
△B
FP=1
△B=FP·c1=b/a ·c1
注：
FR1= - b/a
a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若
设FP=1，称为虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
荷载，利用力系平衡求出与c1相应的R1,即利用平衡 方程求解几何问题。
（4）、体系（结构）的物理特性
• 线性变形体系（线弹性体）：
• *应力、应变满足虎克定律；
• *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用
•
位置不变，位移计算可用叠加原理；
• *体系几何不变，约束为理想约束。
• 非线性体系：
• * 物理非线性；
• *几何非线性（大变形）。
（5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
• 一、局部变形时静定结构的位移计算举例
• 设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端 相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形， 仍然是刚体。
体体系，也适用于变形体体系。
（4）、虚设（拟）力状态—— 求位移
• 例1：
c1
• 图示简支梁，支 座A向上移动一已知 距离c1 ,现在拟求B点
的竖向线位移ΔB。
• 解：已给位移状态;
• 虚设力状态，在拟求
位移ΔB方向上加一单 位荷载FP=1，形成平
衡力系。
FR1= - b/a
△B
FP=1
虚功方程： △B ·1+c1·FR1 =0
B’
FP B
O r
φ
A A’
FP
虚功
使力作功的位移不是由该力本身引起的，则： 作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移
独立无关
（2）两种状态
FP1 M1
FP2
FR1 FR3
FR2 力状态
⊿1
⊿2
φ1
cc3 2 c1
位移状态
• 两种状态
• 既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。
第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。