人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型教案

高中数学必修三第三章3.3几何概型教学设计一，教材分析本节课是新教材人教版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现几何概型（3.31）和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；并引入了均匀随机数的产生（3.32）二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍,给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的P(A)的公式计算方法前后对应,使几何概型这一知识板块更加系统和完整.这节内容中的例题既通俗易懂,又具有代表性,有利于我们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法,尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量;教学难点是突出用样本估计总体的统计思想,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.二，学情分析通过最近几年的实际调查发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.前面学生在已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，又学习了古典概型。

在古典概型向几何概型的过渡时，以及实际背景如何转化为长度比、面积比、体积比时，会有一些困难。

但只要引导得当，理解几何概型，完成教学目标，是切实可行的。

根据学生的状况及新课程标准，对教材作了如下处理：开头的两个问题，学生独立思考，说出结果，师生共同纠正。

之后的探究处理成演示试验，以强化数学知识实际背景与形成过程，便于激发学生的学习兴趣，加深对知识的理解与应用。

例题、习题的选用，尽可能选用与日常生活息息相关的例子。

考虑到突出重点和化解难点的需要，在练习环节根据教材和学生的实际，适当改造和增补例题，并设计成不同形式，逐步提高思维的层次，使一般学生都能熟练掌握要求的内容，学有余力的学生能得到进一步的加深。

三，教学目标1．知识目标①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别；②理解并掌握几何概型的定义；③了解几何概型的概念及基本特点；熟练掌握几何概型中概率的计算公式；会进行简单的几何概率计算.2．过程与方法：（1）利用ＰＰＴ让学生从熟悉的图片中产生对问题的积极思考。

（2）经历思维，探究知识的建构过程，并在师生、生生的交流与思维的碰撞的过程中，学生发现了几何概型计算方法。

（3）教师例题引导，学生独立完成练习并由小组交流推荐回答，提高表达能力。

（4）巩固知识形成解题方法。

3．情感目标：①让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象；②通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.4.能力目标：培养学生的分析能力和抽象概括能力；渗透转化、数形结合等思想方法；提高解决实际问题的能力四．教学重点：正确理解几何概型的定义、特点；掌握几何概型中概率的计算公式；会进行简单的几何概率计算.五，教学难点：①根据古典概型与几何概型的区别，来判断一个试验是否为几何概型②几何概型的应用 , 将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。

六．教学方法：根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，本节课我采用以下教学方法.教法方面：采用启发式、讨论式以及讲练结合的方式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题.学法方面：在引导学生分析时，鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，留出思考时间和空间，让学生去联想、探索，从而弄清思路和解决问题.七，设计思想：提供必要的概率统计数学基础; 激发学生的数学学习兴趣，形成积极主动的学习方式; 突出数学的人文价值，提高学生的数学文化品味; 注重信息技术与数学课程内容的整合；学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为热情的观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。

前面已经学习过了第二章统计和第三章概率的前两节内容，概率是研究随机现象规律的学科，它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。

由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然。

“几何概型”这一节就是新增加的内容，是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，同时也更广泛地满足了随机模拟的需要。

几何概型的关键是建立合理的几何模型解决相关概率问题，通过建立基本事件与相应元素的对应，达到求解相关概率问题的目的，体现了数形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美结合本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个纬度目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。

八．教学过程：（注意紧扣教材内容教学，以教材内容为主题，其他扩充内容为辅）（一）创设情景，引入新课引例1北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.引例2厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？设计意图：1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.”提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”教师继续提问：这个问题是古典概型吗？通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.（二）结合教材问题:学生活动图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.同学们能在两种情况下分别猜想甲获胜的概率分别是多少吗?请将你的结论先偷偷告诉同桌.学生分组做游戏:同桌二人一组(自定甲乙)玩自制如上图转盘.记录胜败次数.1、你最关心的目标是什么?(想获胜的心理状态)2 、在字母B区域内的标准是什么?如何度量?圆弧的长度。

3 、可否将刚才猜想的结果用一个公式来表示?(具有几何特征)教师活动教师利用ＰＰＴ展示图片。

教师分析学生的观点，师生交流，理清思路，明确概念，正确表达。

体会数学来源与生活又高于生活。

总结如下:甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向每个圆弧上的哪一点都是等可能的.只要字母B所在的扇形区域的圆弧长度不变,不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.学生活动学生结合教材130页回答与教师的引导进行补充与改正。

教师活动针对学生体表的回答教师采用ＰＰＴ课件，在总结时关注数学语言的规范性和精确性让学生体验问题的几何性。

(三).几何概型的定义：教师活动1、如果每个事、件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2、几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.2、(2)每个基本事件出现的可能性相等.学生活动学生对定义的阐述与修正。

设计意图检验学生的概括能力与自学水平，准确表达几何概型的定义，反映数学的类比思想。

学生体验到探究的乐趣与数学表达的科学性与简炼，体会数学化。

(四).几何概型概率的计算公式：教师活动（板书）学生活动思考：1、引例2概率如何用公式表达？3、转盘问题中若是改为“现在向该圆形区域内随机地投掷一石子，求石子落在B区域内的概率？设计意图类比古典概率的计算方法，给出了计算公式，教师通过思考让学生加深对公式的理解，特别是公式的适用范围与问题特征，为其运用打下基础(五)讨论研究1.几何概型的特征：无限性，等可能性；2.几何概型与古典概型关系：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.3.判断下列问题是不是几何概型：⑴抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面；⑵某人射击中靶或不中靶.分析：因为⑴事件结果有限；⑵不是等可能的，均不满足定义，所以两个都不是几何概型.（六）教材例题讲解与拓展教材例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为教材例题2假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.分析:我们有两种方法计算事件的概率.(1)利用几何概型的公式.(2)利用随机模拟的方法.解法1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以解法2:设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到P(A).教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生结合教材132页例题2展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调:这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率.教材例3. 如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即假设正方形的边长为2,则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以这样就得到了π的近似值.另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;(3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N1,计算(N代表落在正方形中的豆子数).可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高.本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.让同学们结合教材例题3进行理解接下来请同学们把讲过的例题认真理解一下，部分没有讲过的教材内容请同学们先自学然后提出问题来一起探究拓展与练习（多媒体展示）：例1.在集合M=｛x为实数|1≤x≤10｝中，求x>3.5的概率.分析：因为x能取的值为无限个，且每个值被取得的可能性相等，所以此问题属于几何概型.解：记“x>3.5”为事件A,则其几何测度为区间长度，所以P(A)=(3.5,10]的区间长度/[1,10]的区间长度=(10-3.5)/(10-1)=13/18.答：x>3.5的概率为13/18.例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图2），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．解：记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)=圆的面积/正方形的面积=(Пa2 )/(4a2)=П/4.答：豆子落入圆内的概率为П/4．思考练习（多媒体展示）:练习1. 如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（）A．一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定设计意图：通过与引例2对比，使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角度”，而不是“面积”.而引例2之所以用面积比也能解决问题，是因为其面积比恰好等于角度比.提出问题：如何才能找到最恰当的几何度量呢？引导学生找问题中的“提示”.如问题3中在圆周上任意取点，因此选取弧长作为几何度量是最恰当的方法.教材练习2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率教材练习1 .有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.设计意图：在练习1的基础上，学生能通过练习2、3、4并结合例题１进一步明确了公式中的长度、面积、体积。