可计算性理论 I

1． 2 闭包性质
定义：一个 DFA 称为非重始的（nonrestarting）的，如果不存在状态 q 使得
(q, s) q0
其中 q0 Q 为初始状态。
定理：存在一个将给定 DFA M 化为非重始的 DFA M 的算法使得 L( M ) L( M ) 证 明 ： 令 M (Q, , , q0 , F ) ， 其 中 Q {q0 , q1 ,, qn1} 。 构 造 M (Q, , , q0 , F ) ， 其 中
~
~ * L ，即 M 仅接受 M 所不接受的语言。
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定理：令 L1 和 L2 是正规语言，则 L1 L2 亦为正规语言。
证明：令 L1 , L2 ，则
*
L1 L2 * ((* L1 ) (* L2 ))
由上面定理即得。 定理： 和 { } 为正规语言。 证明： ：自动机的终结状态为空集时；
定义：有穷自动机 M (Q, , , q0 , F ) ，其中： Q 为一有穷状态集合； Σ 有穷输入字母表；
q0 Q ：初始状态；
F Q ：终结状态集合
: Q Q ：状态转移函数
例 1.

输入 状态 a b
q0 q1 q2
q3
q1
q1
q3
q2
q2
q3 q3
q3
a
a
[q1 , q2 ,, qi ] ，其中 q1 , q2 ,, qi Q ，
F 定义
([q1 , q 2 ,, qi ], a) [ p1 , p 2 ,, p j ]
iff ({q1 , q 2 ,, qi }, a) { p1 , p 2 ,, p j }
对于输入字符串的长度使用归纳法，容易证明：
, F ) 如下： M (Q, , , q0
~ Q Q Q
q0 q0
~ F F
状态转移函数
q Q F { (q, s)} ~ ~ (q, s) { (q, s)} { (q0 , s)} q F ~ ~ q Q { (q, s)}
L(M ) {x * | (q0 , x) F} 为 M 接受的语言。
定义：一个语言是正规的，如果它是某个有限状态自动机接受的语言。 定义：非确定的有穷自动机 M (Q, , , q0 , F ) ，其中： Q 为一有穷状态集合； Σ 有穷输入字母表；
q0 Q ：初始状态；
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ M (Q, , , q 0 , F ) 使得 L L( M ) 及 L L( M ) 。不妨设 Q Q ，则构造
, F ) 如下： M (Q, , , q0
~ ~} } {q0 , q Q Q Q {q0 0
备的。 任何一个足够强的一致公设系统 ,必定是不完备的
可计算函数
计算复杂度理论
分层
不可计算函数 不可解度
计算机
Turing 机（ 1936） 程序存储思想（通用 Turing 机）
内容： 有限自动机 下推自动机 正规语言 上下文无关语言
上下文相关语言 Turing 机 递归论 可计算函数 原始递归函数和部分递归函数 递归理论 短语结构文法
* ( P, w) (q, w)
qP
例 2. 输入 状态 a { q 0 , q1 } { q3 } b { q0 , q 2 }
q0 q1 q2

{ q3 }

q3
{ q3 }
{ q3 }
q1
a a, b
a
a, b
q0
b b
q3
q2
定理：设 L 是被一个非确定的有限状态机接受的集合，则存在一个确定的有限状态自动机接受同一 集合。
{ } ： M ({q0 , q1},{a}, , q0 ,{q0 }) ，其转移函数
(q0 , a) (q1 , a) q1
则 M 仅接受 。 定理：令 u ，则 {u} 为正规语言。
*
证明：若 u ，成立；否则， u a0 a1 al 1 ，其中 ai ，定义自动机： M (Q, , , q0 , F ) ， 其中 Q {q0 , q1 ,, ql } ，转移函数
0
~ , s)} , s) { (q0 , s)} { (q (q0 0
~
于是： L( M ) L L
*
~
定理：令 L 为一正规语言，则 * L 也是正规的。 证 明 ： 假定 M (Q, , , q0 , F ) 接 受 语 言 L ， 即 L( M ) L ， 则 M (Q, , , q0 , Q F ) 接 受
L {u1} {u 2 } {u n }
定义：令 L1 和 L2 是正规语言， L1 , L2 ，定义
*
L1 L2 L1 L2 {uv | u L1 , v L2 }
定义：令 L * ，其闭包
L* {u1 u n | n 0, u1 , u 2 ,, u n L}
参考书： [1.] M.D.Davis, E.J.Weyuker Computability,Complexity and Languages
Academic Press, 1983 ， 1994（ 2nd eds） [2.] J.E.Hopcroft, J.D.Ullman Computation [3.] J.D.Monk [4.] Yu.I.Manin 侧重集合论 [5.] M.R.Garey, D.S.Johnson NP-完全性 [6.] R.I.Soare 不可解度 [7.] N.Cutland Computability: An introduction to recursive function theory Recursively Enumerable Sets and Degrees, 1987 Computers and Intractability, 1978 Introduction to Automate Theory,Language and
前言
数理逻辑 （ 1）公理化集合论 （ 2）模型论 （ 3）递归论和可计算理论 （ 4）证明论和构造主义 构造性证明：存在两个无理数 a， b 使得 ab 为有理数。 证明：令 2 为正无理数，使得 2 2 。令 2
2
2
，则
如果α 为有理数，令 a b 2 ，于是 ab 为有理数； 反之，如果α 为无理数，令 a , b 2 ，于是 a b 2 数； 故无论 α 为有理数还是无理数，都有无理数 a， b 使得 ab 为有理数。 构造主义不认为上述证明是证明。
, x) [q1 , q 2 ,, qi ] (q0 iff (q0 , x) {q1 , q 2 ,, qi }
[q0 ] 基始：对于 | x | 0 即 x ， q0
归纳：假定对于长度小于等于 m 的输入正确，设 | xa | m 1, a
, xa) ( (q0 , x), a) (q0
根据归纳假设，
, x) [ p1 , p 2 ,, p j ] (q0
iff
(q0 , x) { p1 , p 2 ,, p j }
iff
([ p1 , p2 ,, p j ], a) [r1 , r2 ,, rk ]
q1
b
q0
b
a
q2
b
q3
a, b
F={ q3 } L(M)={ a n b m | n, m>0}
描述 M 在一个字串上的动作：
a b
q0
* ( q, ) q * (q, wa) ( * (q, w), a)
由于 和 不冲突，故仍记为
*
a
q1
b
q2
定义 2：有限状态自动机 M 接受字符串 x，如果 (q0 , x) p F ；称集合
, xa) [r1 , r2 ,, rk ] iff 故 (q0 , x) F 而 (q0 iff
({ p1 , p 2 ,, p j }, a) {r1 , r2 ,, rk }
(q0 , xa) {r1 , r2 ,, rk }
(q0 , x) F ，从而 L(M ) L(M )
~
~
~
~
~
~
~ Q Q {qn } ，并定义：
(q, s) ~ ( q, s ) q n
及
q Q ( q, s ) q 0 q Q ( q, s ) q 0
(q n , s ) (q0 , s )
则 M 无转移函数进入状态 q 0 。再定义终结状态集合为：
定理：若 L 和 L 为正规语言，则 L L 亦为正规语言。 证 明 ： 不 失 一 般 性 ， 假 定 存 在 同 一 字 符 集 上 的 非 重 始 的 DFA M (Q, , , q0 , F ) 和
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ M (Q, , , q 0 , F ) 使得 L L( M ) 及 L L( M ) 。不妨设 Q Q ，则构造
Addison-Wesley, 1979 Mathematical Logic, GTM 37 Springer-Verlay
A Course in Mathematical Logic, GTM 53
Cambridge Univ. Press, 1980
I 有穷自动机和正规文法
1．1 有穷自动机
(qi , ai ) {qi 1} i 0,1,, l 1
(qi , a) a {ai }
于是， L( M ) {u} 推论： 的任意有限集是正规的。
*
证明： 是正规的；对 u1 ,, u n ，
*
L {u1 ,, u n } 亦是正规的：
F Q ：终结状态集合
: Q 2 Q ：状态转移函数
对前述的 记号也进行推广：
*
* (q, ) {q} * (q, wa) { p | 对于在 * (q, w)中的某个状态r , p (r , a)}
再推广： : 2 2
Q * Q
, F ) 如下： 证明：设 M (Q, , , q0 , F ) 是一个接受 L 的 NFA，则定义 M (Q, , , q0 Q 2 Q [q0 ] q0
F 是 中 所 有 包 含 M 的 一 个 终 结 状 态 的 那 些 状 态 所 组 成 的 集 合 ， 并 将 Q 中 元 素 记 为
2

2
2
2 2
2 2 为有理
2
Cohen（ 1963）
ZFC 中连续统假设不能被证明，也不能被否证。
Church_Turing 论题：任何能行可计算的模型与 Turing 机等价。 Gö del 不完备性定理（ 1931） ：如果一个形式理论 T 足以容纳数论并且无矛盾，则 T 必定是不完
~ ~ ~ } q F q ~ F } {q0 , q F F {q0 0 0 0 F ~ otherwise F F
状态转移函数
{ (q, s)} (q, s) ~ { (q, s)}
q Q {q0 } ~ ~ q Q {q }
~
~
q0 F ~ F F q0 F F {q n }
除去 M 重新进入 q 0 而 M 进入 q n 外，M 与 M 状态转移完全相同，上面的构造保证了重始时两者的 等价性。
~
~
定理：若 L 和 L 为正规语言，则 L L 亦为正规语言。 证 明 ： 不 失 一 般 性 ， 假 定 存 在 同 一 字 符 集 上 的 非 重 始 的 DFA M (Q, , , q0 , F ) 和