河南省鹤壁市高级中学2020_2021学年高二数学上学期尖子生联赛调研试题二理

河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高二数学上学期尖子生联赛调研试题二 理一、单选题1．设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=2．数列{}n a 满足11221n n n n a a ++=-，且11a =，若15n a <，则n 的最小值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．744．由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为 ( )A ．6B ．4C ．103D ．1635．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（ ） A ．108里B ．96里C ．64里D ．48里7.已知函数()()()()2102ln 10x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞8．正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ．B +C ．D ．9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a cb+的值为 ( )A ．2BC ．2D ．410．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=11．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．-2eC ．2e D ．-1e12．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>，其焦距为2，且过点12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD ∆面积的最小值为( )A ．2BC D ．2二、填空题13．已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是__________.14．若钝角三角形ABC 的三边长a ，8，b ()a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是________.15.椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =.若1PQ PF ⊥，则椭圆的离心率e =______. 16．已知函数()3x f x e -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为______. 三、解答题17．设命题p ：函数f （x ）=lg （ax 2-x +16a ）的定义域为R ；命题q ：不等式3x-9x＜a 对任意x ∈R 恒成立．（1）如果p 是真命题,求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n S n n n N*=+∈，数列{}nb 是等比数列，且111b a =-，4425a b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）若函数()f x 有两个零点,求a 的取值范围; （2）()xf x xe ≤恒成立,求a 的取值范围.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA （O 为坐标原点）. （1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220x y tt +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.鹤壁高中高二年级尖子生联赛调研二数学（理）答案1．【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 2．【答案】C【解析】∵11221n n n n a a ++=-，即11221n nn n a a ++-=，∴数列{2n a n }为公差是1的等差数列， 又a 1=1，∴21a 1=2，即其首项为2，∴2n a n =2+（n ﹣1）×1=n+1，∴a n =12nn +． ∴a 1=1，a 2=34，a 3=12，a 4=516＞15，a 5=632=316＜315=15，∴若15n a ＜，则n 的最小值为5，故选C ．【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列{2na n }为公差是1的等差数列，并求得a n =12nn +是关键，考查分析应用能力．属于中档题． 3．【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题. 4．【答案】D 【解析】由y x =2y x =-得交点为(4,2)， 所以所求面积为322440016(2)(2)3232x x x x dx x +=-+=⎰，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题. 5．【答案】D【解析】x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为4，目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．6．【答案】B【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为{}n a ，则数列{}n a 是以12的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即6189S =，则有166112189112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解可得：196a =，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前n 项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用. 7.【答案】C【解析】当0x ≥时，()()ln 1f x x =+，则()1'1f x x =+，()'01f =； 当0x <时，()212f x x x =-+，则()1'22f x x =-+，当0x →时，()1'2f x →； 画出()f x 和y kx =函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知112k <<.故选：C .【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键. 8．【答案】B【解析】由0PE AC ⋅=，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE . 设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O . 所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD . 所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥, 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O =所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG . 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点. 所以111,,222EF BD GE SB FG SD === 又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以22BD =,()21+2=3SB =.所以23EF FG GE ++=故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题. 9．【答案】A【解析】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B -=，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 30B B =，即tan 3B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 10．【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 11．【答案】A【解析】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，0f x，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时0f x在(]0,e 上恒成立，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，0f x，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1x e a<<时，0f x，所以()f x 在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题. 12．【答案】B【解析】由题意可得22c =，即221,1c a b =-=，代入点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得221112a b +=，解得2,1a b ==，即有椭圆的方程为2212x y +=，设()22,B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212x x y y += 令210,D x y y ==，令0y =，可得22C x x =，所以222211212OCD S y x x y ∆=⋅⋅=，又点B 在椭圆的第一象限上，所以222222,0,12xx y y>+=，即有2222222212xyx y x y+=22222x yy x=+222222x yy x≥⋅2=，所以2OCDS∆≥，当且仅当2222122xy==，所以当21,2B⎛⎫⎪⎪⎝⎭时，则OCD∆的面积的最小值为2.故选：B【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，考查基本不等式求最值问题，考查类比推理，综合性较强，属于中等题型.13．【答案】33【解析】在三棱锥P ABC-中,1,PA AB BC===2AC PB==,3PC=.222222222,,AB BC AC PA AB PB PA AC PC∴+=+=+=,,AB BC PA AB PA AC∴⊥⊥⊥AB AC A⋂=，∴PA⊥平面ABC以A为原点,在平面ABC中,过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系如图:则22(0,0,0),22A B⎛⎫⎪⎪⎝⎭,2,0),(0,0,1)C P.∴22,,0,(0,2,1)22AB PC⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭，设异面直线PC 与AB 所成角为θ，∴cos ||||AB PCAB PC θ⋅=⨯==∴异面直线PC 与AB所成角的余弦值为3. 故答案为:3.【点睛】本题主要考查了由向量法求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的解法和向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 14．【答案】24d <<【解析】由题意得16a b +=且8a b <<，三角形ABC 为钝角三角形，∴222cos 02a c bB ac+-=<即22640a b +-<，∴2264b a ->即()1664b a ->，∴4b a ->，又由三角形三边关系可得8b a -<，∴48b a <-<即428d <<，∴24d <<.故答案为：24d <<.【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题. 15.1 【解析】设2PF m =，则12PF a m =-，因为1PF PQ =，所以2222QF a m m a m =--=-， 由椭圆的定义可得()12222QF a a m m =--=，因为1PQ PF ⊥，在1PFQ 中，22112QF PF =，即()22422m a m =-①， 在12PF F △中，2221212F F PF PF =+，即()22242c a m m =-+②，由①-②2⨯可得222484m c m -=-，可得m c =，③，将③代入②可得()222420c a c c =-+=，整理可得：2220e e +-=，()0,1e ∈，解得1e =. 1.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，属于中档题. 16．【答案】ln21-【解析】不妨设()()f m g n t ==，∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e -=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)， 令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>,所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 当12t >时，()0h t '>，当102t <<时，()0h t '<， 即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值，此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-，故答案为：ln21-.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题.17．【答案】(1)18a >．(2)11 84a <≤． 【解析】(1)命题p 是真命题,则ax 2-x +16a ＞0恒成立,得到a ＞0,△=1-64a 2＜0, 即a ＞18,或a 18<（舍去）,所以a 的取值范围为18a >．（2）命题q 是真命题,不等式3x-9x＜a 对一切x ∈R 均成立,设y =3x-9x，令t =3x＞0，则y =t -t 2,t ＞0，当12t =时,111244max y =-=,所以14a >．命题“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,则p ,q 一真一假．即有1184a ≤＜或a ∈∅,综上，实数a 的取值范围1184a <≤．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是基本知识的考查．18．【答案】（1）21n a n =+,2nn b =（2）()12122n n T n +=-⋅+【解析】（1）当1n =时，113a S ==，当2n ≥时，()()2211211n S n n n -=-+-=-，则121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，13a =满足上式，则21n a n =+.因为111b a =-，4425a b +=，所以12b =，4925b +=，所以416b =.设等比数列{}n b 的公比为q ，则34116b b q ==，解得2q，故112n nn b b q -==.（2）由（1）可得()212nn n a b n =+⋅，则23325272n T =⨯+⨯+⨯()212n n +++⋅， ① 2342325272n T =⨯+⨯+⨯()()1212212n n n n +++-⋅++⋅，② ①-②得()34116222212n n n T n ++-=++++-+⋅()11222n n +=-⋅-，故()12122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项公式，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查用错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题. 19．【答案】(1) 3B π=; (2)(82. 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A BC π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题. 20．【答案】（1）证明见解析，（2【解析】（1）证明：连接1A B ，因为11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，11AA AA =， 所以11A AB A AC ∆≅∆，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A DAD D =，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O ，因为1A AD ∆是等边三角形，所以1A O AD ⊥.由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以23AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13AO =. 所以)3,0,0A，()10,0,3A ，()3,2,0B -，()3,2,0C --，则()13,0,3AA =-，()23,2,0AC =--.设平面1AA C 的法向量(),,n x y z =，则13302320n AA z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1z =，得()3,3,1n =-.易知平面1A AD 的一个法向量为()0,4,0BC =-，记二面角1D AA C --为θ，则cos 13413n BC n BCθ⋅===⨯， 故2213sin 1cos θθ=-=【点睛】此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小. 21.【答案】（1）(-1,0) （2）(-∞,1]. 【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1x+a. ①当a ≥0时,f'(x)>0,f(x)在定义域上单调递增,不可能有两个零点; ②当a <0时,由f'(x)=1x +a =0,得x=-1a>0, 当x 10,a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,f'(x)>0,f(x)在定义域上单调递增,当x 1,a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,f'(x)<0,f(x)在定义域上单调递减, ∴x=-1a时,f(x)取得极大值. ∵f(x)有两个零点,∴f 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭>0,解得-1<a <0. ∵f 1a e e ⎛⎫=⎪⎝⎭<0,∴f(x)在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一的零点; 取x 0=()2ea ->1a -,则f(x 0)=1+2ln 11e a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭<2+21210e e a aa -⎛⎫--+=< ⎪⎝⎭, ∴f(x)在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有唯一的零点,∴a 的取值范围是(-1,0). (2)f(x)≤xe x恒成立,即xe x≥lnx+a x+1在(0,+∞)恒成立. 也就是a ≤ln 1xx e x x--在(0,+∞)恒成立. 令g(x)=ln 1xx e x x--,则g'(x)=e x +222ln ln x x x e x x x +=, 令h(x)=x 2e x+lnx,则h'(x)=2xe x+x 2e x+1x>0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=e>0,h 12110eee e⎛⎫=-< ⎪⎝⎭, ∴∃x 01,1e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得h(x 0)=0,即020xx e +ln x 0=0,∴020x x e =-001ln x x =01ln 00011lnln x e x x x =,令φ(x)=xe x , 在(0,+∞)上,φ'(x)=(x+1)e x>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增,∴x 0=ln1x , 而在(0,x 0)上,h(x)<0,即g'(x)<0,∴g (x)在(0,x 0)上单调递减, 在(x 0,+∞)上,h(x)>0,即g'(x)>0,∴g(x)在(x 0,+∞)上单调递增,∴g(x)min =g(x 0)=001ln 000000ln 111x x x x e e x x x x ---=--=,∴a ≤1.∴a 的取值范围是(-∞,1].22．【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t = 【解析】（1）因为OA，所以b = 因为椭圆E的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛±⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即3t =， ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=， 则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ， 因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得 ()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+， 因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即t =，综上，存在3t =，使得OP OQ ⊥. 【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.。