圆锥曲线第二定义与焦点弦

圆锥曲线第二定义与焦点弦

一、焦半径倾斜角式

设曲线上点A 坐标为00(,)A x y ，曲线焦点为F ,

θ为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)

2

π

θ∈1.在椭圆和双曲线中

2

cos b AF a c θ

=

±（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中1cos p

AF θ

=

±（弦的长短决定加减）

证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义： 圆锥曲线第二定义：

平面内的动点(,)P x y 到一个定点F 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数(0),e e >则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当

01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线。

设AF ρ=,则222

cos ,()F a a b AN MN x c c c c ρθ==−−=−+=

因此2

cos b AM AN NM c

ρθ=+=+

由第二定义知：

2

cos c e e b AM

a

c

ρ

ρ

ρθ=⇒

==

+

化简得：2

2cos 1cos b b a AF c a c a

ρθθ===−−,证毕.

到这里很多读者朋友会问：2

cos b a c θ+这个结论对应哪个焦半径？

答案是:2

cos b BF a c θ

=

+如何记忆？

θ为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)

2

π

θ∈一个θ对应两个焦半径AF BF 、怎么区分？ 弦的长短决定加减 怎么证明2

cos b BF a c θ=+？

仿照证明2

cos b AF a c θ

=−自行证明.

二、推论 1.弦长公式

①在椭圆和双曲线中：2

2

222cos ab AB a c θ

=−②在抛物线中：22sin p AB θ

=

记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2.焦半径混合运算①在椭圆和双曲线中：

2112a AF BF b

+=②在抛物线中：

2

2112,sin p AF BF AF BF p θ

+=⋅=