原子物理学 褚圣麟 第二章习题解答

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即n=1。根据量子化条件，

π

φ2h

n

mvr

p == 1010.52910r a m −==×可得：频率 2

1211222ma h

ma nh a v πππν===

1516.5610s −=×

速度：m/s 6

1110188.2/2×===ma h a v νπ加速度：

221/8.9810w v a ==×2m /s 22.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为，把氢原子的能级公式代入，得：

1E E E i −=∞2/n Rhc E n −=Rhc hc R E H i =∞−=1

1

1(

2

=13.60eV。 电离电势：60.13==

e

E V i

i V 第一激发能为将电子从n=1的能级激发到n=2的能级上所需要的能量：

20.1060.134

343)2111(

22=×==−=Rhc hc R E H i eV 第一激发电势：20.101

1==

e

E V V 2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：由氢原子能级公式：2/H E hcR n =−得：

113.6E eV =−2 3.4E e =−3 1.51E e ，，V V −40.85E eV ，==−

可见，具有12.5电子伏特能量的电子只能激发H 原子至3≤n 的能级。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

1221

1

11

(5/36656323H H R R A ολλ=−=⇒=

2222

3223

1

113

()12151241

118

()1025.7139H H H H R R R R οA

A

ολλλλ=−=⇒==−=⇒=

2.4 试估算一次电离的氦离子、二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量

之比值。

+e H +i L 解：估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响。

a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：222

0122

4,1,2,34h n n r a n mZe Z πεπ===…… =对于 ,1,23e H Z H Z Li Z +++==；对于；对于，；1

1

,2

3

e

He Li H H H H

H L r r Z Z r Z r Z +++++===

=i +； b) 氢和类氢离子的能量公式：

……=⋅=−=3,2,1,)4(222

12220242n n Z E h n Z me E πεπ

电离能之比：

2

2

22

004,

900H e H e L i L i H H

H H

Z E Z E E Z E Z +++

++−−====−− c) 第一激发能之比：

2222

2121

11112222222

22121

11112222

223321************

He He Li Li H H H H E E E E E E E E E E E E E E E E −−−−===−−−−= d) 氢原子和类氢离子的赖曼系第一条谱线的波数为：

2

122111

()12v

Z R λ

=−=

因此， 11111

1

,49

H e L i H

H λλλλ+++==

2.5 试问二次电离的锂离子从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否

有可能使处于基态的一次电离的氦粒子的电子电离掉？

+

+i L +e H 解：由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

+

+i L

227119()14

hcR hcR ∞

∞−=∞

+e H 的电离能量为：211

4()41He v hcR hc +R ∞∞=−=∞

所以能将的基态电子电离掉。

+

e H 2.6 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（）光谱线之间的波长差αH λΔ有多大？已知氢里德伯常数，氘的里德伯常数。

71.096775810H R −=×m 1711.097074210D R −=×m 解：

)3

1

21(

1

22−=H H

R λ，H H R 5/36=λ )3121(

1

2

2−=D D

R λ，D D R 5/36=λ 3611

( 1.795H D H D

A R R ολλλΔ=−=−=

2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少？

ο

A 解：先计算电子偶的R：

R=1

/21R R m m

∞∞=+

由 221113()124

R R λ∞=−=

得: ολA R 243010973731

3138=×==∞米

2.8 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率n ν。当n>>1时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的波数为：

])

1(11[1~2

2+−==n n R v n n λ