甘肃省靖远县2018-2019学年高三数学试卷(文科)最后一次联考

绝密★启用前
高三数学试卷（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
62i
2i +=-（ ） A.144i 55
-
+ B.42i 5
+
C.22i +
D.
14
2i 5
+
2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{
B x y ==，则A B =I （ ）
A.{}1,2
B.{}0,1,2
C.{}2,1--
D.{}2,1,0--
3.已知函数()(
)22
ln x
x
f x x -=+的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等比数列{}n a 满足14a =，312450a a a a a =>，则公比q =（ ）
D.2
5.已知抛物线C ：2
2x py =（0p >）的准线l 与圆M ：()()2
2
1216x y -+-=相切，则p =（ ）
A.6
B.8
C.3
D.4
6.3
1log 2
m =，0.1
7n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A.m p n >>
B.p n m >>
C.p m n >>
D.n p m >>
7.已知函数()cos 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 8.“割圆术”是刘微最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据，如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为
0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ） 2.0946≈）
A.3.1419
B.3.1417
C.3.1415
D.3.1413
9.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，E 是AD 中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13
CE AB AC μ=+u u u
r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A.
13
B.13
-
C.
76
D.76
-
10.在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
11.已知双曲线22
221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247
的直线与双
曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r
，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A.
22
143x y -= B.
22
134x y -= C.
22
1169
x y -= D.
22
1916
x y -= 12.已知正项数列
{}
n a 的前
n
项和为
n S ，满
足1n a =，则
()516810024246810011111111111
a a a
a a S S S S S +++++-+-++-=-----L （ ） A.
100
101
B.
102
101
C.
200
201
D.
202
201
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的最小值是______.
14.某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为______. 15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为______. 16.设函数()1ln 2f x x a x =++
，1,x a a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，若函数()f x 的极小值不大于32a +，则a 的取值范围为______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60
分. 17.（12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求A 的大小； （2）若a =3
B π
=
，求ABC ∆的面积.
18.（12分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD . （2）求点1C 到平面AEC 的距离. 19.（12分）
某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分别五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意），其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.
（1）求“住宿满意度”分数的平均数；
（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；
（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y ≤≤的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 20.（12分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>
（1）求C 的方程； （2）若斜率为1
2
-
的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直
线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 21.（12分） 已知函数()23
2f x ax x
=+
-. （1）若2a =，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围.
（二）选考题：共10分、请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()1,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求2
2
MP MQ +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()2f x x =+.
（1）求不等式()()24f x f x x +-<+的解集；
（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围.
高三数学试卷参考答案（文科）
1.C 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
()()()()
62i 2i 62i 1010i
22i 2i 2i 2i 5++++===+--+ 2.D 【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力 因为{}1,0,1,2A =-，{}
0A x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I . 3.B 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力. 函数()f x 是偶函数，当()0,1x ∈时，()0f x <，故选B. 4.A 【解析】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想
由123450a a a a a =>，可得4
4q =，q =
5.D 【解析】本题考查抛物线与圆的几何性质，考查推理论证和运算求解能力.
抛物线C ：
2
2x py =的准线为2p x =-，因为准线l 与圆M ：()()22
1216x y -+-=相切，所以242
p +=，则4p =.
6.B 【解析】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.
()31
log 1,02
∈-，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈，故p n m >>.
7.B 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.
22π
ωπ=
=，()cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，令2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，
解得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故a 的最大值是3π.
8.A 【解析】本题考查数学文化以及几何概型，考查运算求解能力. 设圆的半径为r ，则圆的面积为2
r π，
正六边形的面积为2
16222
r r ⨯
⨯⨯=，因而所求该实验的概率
为2
2
20.8269r π==
，则 3.1419π=≈. 9.B 【解析】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力
()
1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r ，因为E 是AD 中点，所以
11
32
λ+=，1
132μ--=
，解得12λ=，56μ=-，即13
λμ+=- 10.C 【解析】本题考查计算异面直线所成角，考查空间想象能力和运算求解能力.
由题可知O 是正方形ABCD 的中心，作N 为OC 的中点，所以OP MN ∥，则BMN ∠是异面直线OP 与
BM 所成的角，因为OP ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD
，易得BN =
，MN =
，
BM =则异面直线OP 与BM 所成角为60︒.
11.D 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力和化归与转化的思想
由()
21210F A A F F F +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，可知122
2F F F A c ==，且217
cos 25
AF F ∠=- .在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =
，由双曲线的定义得16225c c a -=，所以5
3
c e a ==，则:3:4a b =，所以此双曲线的标准方程可能为
22
1916
x y -=. 12.A 【解析】本题考查数列的递推关系以及数列的求和，考查运算求解和推理论证能力.
当1n =时
，11a =，解得11a =；当2n ≥时，()()2
2
114141n n
n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式相减可得22
11422n n n n n a a a a a --=-+-，
221122n n n n a a a a --+=-，可得12n n a a --=，所以()12121n a n n =+-=-，()2
2
14
n n
a S n +=
=.
212111111
n n a n S n n n +==+---+，所以 ()516810024246810011111111111a a a
a a S S S S S +++++-+-++------L 1111111110013355799101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 13.0【解析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 由题可知，再画出可行域（图略）知当l ：0x y +=平移到过点()2,2-时，min 0z =. 14.$0.954y x =+【解析】本题考查线性回归方程，考查运算求解能力.
设线性回归方程为$$y bx a =+$，因为52x =，518y =，由题意可得$$
551
28811.6
b a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩$$，解得0.95b =$，$4a =，即$0.954y x =+.（答案写成0.954y x =+不扣分）
15.8π【解析】本题考查圆柱体的外接球，考查空间想象能力和运算求解能力.
设底面圆的半径为r ，则()2
24r =，1r =，该圆柱的外接球的半径R ==
，球的表面积为
2
48π
π=.
16.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】本题考查导数与极值问题，考查化归与转化以及运算求解能力.
由题可知10a a >
>，则11a a >>.由()22111
x f x x x x -'=-=，可知函数1x =是函数()f x 的极小值，所以()31212f a a =+≤
+.解得3
12
a <≤.
17.解：（1）由题可知2
2
b c a a ⎫+=⎪⎭
，
222b c a +-=，
所以2cos bc A =
，即cos 2
A =
， 4
A π
=
.
（2）()sin sin C A B =+=
由正弦定理
sin sin a b
A B
=，可得b =
13sin 24
ABC S ab C ∆=
=. 评分细则：
（1）第二问利用正弦定理求出c =
，再计算三角形面积ABC S ∆=，各得3分. 18.（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥面ABCD ，则1AA CD ⊥. 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，
所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.
因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥.
又CD ED D =I ，所以AE ⊥平面ECD .
（2）解：连接1CD ，点1C 到平面AEC 的距离即点1C 到平面1AD C 的距离.
在1ACD ∆中，AC =1D A =1CD =，112
ACD S ∆=
=又因为AD CD ⊥，1AD DD ⊥，1DD CD D =I ，所以AD ⊥平面1CDD C . 设点1C 到平面1AD C 的距离为h .
因为1111C C D C C A A D V V --=，所以1111
33
AD C C DC S h S AD ∆∆⋅=
⋅，
42
42
⨯=⨯
，即3h =.
评分细则：
（1）第一问，未证明CD ⊥平面11AA D D ，扣2分；
（2）第二问，点1C 到平面AEC 的距离可转化为点1C 到平面1AD C 的距离，按步骤酌情给分. 19.解：（1）
519215315465
3.1650
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为
12534
35
++++=，
其方差为
()()()()()2
2
2
2
2
132353334325
-+-+-+-+-=.
（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f .
从这6人中抽取2人有如下情况，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，
(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f .共15种情况.
所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124
155
P ==. 评分细则：
（1）平均数，方差直接写答案各得1分.
20.（1
）解：由题意可得2c a c ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
，解得2a c =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 又2
2
2
1b a c =-=，
所以椭圆方程为2
214
x y +=. （2）证明：设直线l 的方程为1
2
y x m =-
+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 由221214
y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()
2224410x mx m -+-=， 则(
)(
)2
2
2
163211620m m m ∆=--=->，且1
2
2x x
m +=，()
21221x x m =-，
故()212121212111
1224
2y y x m x m x x m x x m ⎛⎫⎛⎫=-
+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
()2
1212212121211
1424
OP CQ
PQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====， 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 评分细则：
（1）第一问中，计算出a ，b ，c 各得1分；
（2）第二问中，设2x y t =-+，联立列出关系式得1分，对()11,P x y ，()22,Q x y 写出韦达定理得2分. 21.解：（1）()2322f x x x =+-（0x ≠），()
3
6
2f x x '=-， 令()0f x '=
，解得x =
当(
))
,0x ∈-∞+∞U
时，()0f x '>
；当(x ∈时，()0f x '<.
故函数()f x 在(),0-∞
，
)
+∞上单调递增，()f x
在（(上单调递减.
（2）令()0f x =，可得3
2
230ax x -+=，令()3223g x ax x =-+，且()030g =≠，
本题等价于函数()g x 存在唯一的零点0x ，且00x >.
当0a =时，()2230g x x =-+=
，解得2
x =±，函数()g x 有两个零点，不符合题意. 当0a ≠时，()()23434g x ax x x ax '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或43x a
=. 当0a >时，函数()g x 在(),0-∞，4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x 在40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 又()03g =，又x →-∞，()g x →-∞，所以函数()g x 存在负数零点，不符合题意.
当0a <时，函数()g x 在4,3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递减，()g x 在4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 又()03g =，故32444230333g a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得a <. 综上，a
的取值范围为,9⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭
. 评分细则：
（1）第一问中，没考虑函数定义域0x ≠，扣2分；
（2）第二问中，能够利用数形结合得出正确答案，并且严格证明不扣分
22.解：（1）因为直线l
：cos 42
πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.
因为曲线C ：6cos 0ρθ-=，则曲线C 直角坐标方程为2260x y x +-=，即()2
239x y -+=. （2）设直线l
的参数方程为12
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
将其代入曲线C
的直角坐标系方程得250t --=.
设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-
，12t t += 所以()22222
12
1212218MP MQ t t t t t t +=+=+-=. 评分细则：
（1）第一问中，直线l 的方程写出1y x =-，不扣分；
（2）第二问中，利用平面几何求出点坐标和距离，答案正确，得满分，答案不正确按步骤酌情给分.
23.解：（1）不等式()()24f x f x x +-<+可化为24x x x ++<+，
当2x ≤-时，224x x --<+，2x >-，所以无解；
当20x -<≤时，24x <+，所以20x -<≤；
当0x >时，224x x +<+，2x <，所以02x <<.
综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是()2,2-.
（2）()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，
又x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，则22a a ≥+，
()2222a a ≥+，解得223
a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
评分细则：
（1）第一问中，分类讨论不分先后顺序，每答对一个得1分，最终答案未写成解集形式，不扣分；
（2）第二问中，不管用哪种方法，计算出()()f x a f x ++的最小值得2分，22a a ≥+采用分类讨论解不等式，答案正确，得满分，答案不正确按步骤酌情给分.。