二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习

二项分布？还是超几何分布

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用

这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；

（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率

均为1

， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则

1

，．55

0312

∴ P(X 0) C301

464 ；P(X 1)C31

1

448 ；

5512555125

21

P(X 3) C33

130

P(X 2) C321

412 ；4 1 ．5512555125

因此， X 的分布列为

X0123

P

6448121 125125125125

（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：

P(Y 0)C20C837

；P(Y1)C21C82

7

；P(Y2)C22C81 1 ．

C10315C10315C10315

因此， Y 的分布列为

Y012

771

P

1515

15

例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4

（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,

（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克

的产品数量，求Y 的分布列；

（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505

克的概率。

17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :

40 (0.05

5+0.01 5)=40 0.3=12.

(2)Y 的分布列为 :

Y 0 1 2

P

C 282 C 281 C 121

C 122

C 402

C 402

C 402

(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3

),

10

2 3 2 7 3

3087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =

10000 .

即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为

3087

.

10000

超几何分布与二项分布特点

(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :

一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个

A . 符合该条件的即可断定是超几何分布

C M k C N n

k M

, 按照超几何分布的分布列 P( X k)

C N n

（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件

: ①在一次试验中试验结果只有

A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概

率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .

辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分

布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题

时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意

▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布

超几何分布和二项分布的判断方法

（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）

（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

二项分布、超几何分布、正态分布练习题

一、选择题

1．设随机变量 ξ～ B 6，

1

，则 P(ξ＝ 3)的值为 (

)

2

5 B.

3

C.

5

D.

7

A. 16

16

8

16

2．设随机变量 ξ～ B(2， p)，随机变量 η ～ B(3， p)，若 P(ξ≥ 1) 5

，则 P(η≥ 1) ＝ ()

＝9

1 5 8

19 A. 3

B.9

C.27

D. 27

3．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球

出现 10 次时停止，设停止时共取了

ξ次球，则 P(ξ＝ 12)＝ (

)

10

3

10

5 2 9

3 9 5 2 3 9

5 9 3 2

9 3 9

5

2

A ． C 12

8

·

B ．

C 11

8

8

·

C ． C 11

8

·

D ．C 11

8

·

8

8

8

8

4．在 4 次独立重复试验中，随机事件

A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则

事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 (

)

A ． [0.4,1)

B ． (0,0.6]

C ． (0,0.4]

D ． [0.6,1)

5．已知随机变量

2

)

ξ服从正态分布 N(2， σ)， P(ξ≤ 4)＝ 0.84，则 P(ξ＜ 0)＝ (

A ． 0.16

B ． 0.32

C ．0.68

D ．0.84

二、填空题

6．某篮运动员在三分线投球的命中率是

1

，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 ________．

2

7．从装有 3 个红球， 2 个白球的袋中随机取出两个球，设其中有 X 个红球，则 X 的分布列为 ______．

8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～ N(4,0.25) ．质检人员从该厂生产的

1000 件零件中随机抽查一件，

测得它的外径为 5.7 cm. 则该厂生产的这批零件是否合格 ________．

三、解答题

9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核

辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 . 已知某产品第一轮检测不合格的概率

为 1 ，第二轮检测不合格的概率为

1

，两轮检测是否合格相互没有影响 .

6 10

（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利

40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损

80 元（即获利 - 80 元） . 已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X).