晶体的宏观对称
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晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
第三章 晶体的宏观对称
第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
晶体的宏观对称性
1.1.5 晶体的宏观对称性 1、几个概念
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
晶体宏观对称性
钻石常见晶形
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为
第3章-晶体的宏观对称
• 对称要素种类 对称面、对称轴、对称中心、旋转反伸轴、 旋转反映轴
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
24
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
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晶体的宏观对称性
L2n + P = L2n PC L2 • P = C
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
材料物理课件12晶体的宏观对称性
2成. 的Cn。h群因此这这类类群群是包由含Cnn群个与转水动平及反n个映旋面转h反组射合，而
故群共有2n个群元。这类群共有五个。
+
+
6) C1h={h,E}
+
C1h
7) C2h={C2,h,C2h, E}
C2h
++
8) C3h={C3,C3,2h, C3 h, C3 2h, E} 9) C4h={C4,C4=2 C2 ,C4 ,3h ,
C
8
2020/2/24
4
v
d d
2020/2/24
2. 反映面(镜面) (A Plane of Reflection)
h
v
d
d
反映面的阶次
为2，用表示。
d
d
正四面体有9 个反映面 。
2=E
5
3. 对称中心 (Center of Inversion)
与对称中心相应的动作是中心反演(或倒 反)，记作I。
对于立方体群，由於不存在主轴，所以不能用
极射投影图而用单位球来表示，但很繁复。实际
上常直接在立方体中标出各种转轴。
2020/2/24
12
1.3.3 晶体的32类点群
1次. 轴Cn的群转动这操类作群。仅这有种一群个称n次作轴轴，转群动元群都。是绕这n
+
Cn 群是个循环群，即
+
C1
Cn ={Cn,Cn2,…,Cn =n E}
2020/2/24 个反映面穿过此旋转轴。(万花筒定理)
9
1.2.2 对称元素组合原理(Cont’)
三、旋转轴与对称中心的组合 定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，那么 必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。 推论：在有对称中心时，图形中偶次轴数目
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体的宏观对称性
推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二 次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基 转角的一半。
二次轴和四次 轴的组合 L44L2
第四节 晶体的三十二点群
晶体点群的推导 晶体的分类 晶体的定向 点群的符号 晶体的晶型
L6
L33L2
3L24L3、旋转轴型与反映面的组合 1、旋转轴与反映面垂直 L1 + P⊥ = P (Cs) L3 + P⊥ = L3 P (C3h) L6 + P⊥ = L6 PC (C6h) L33L2 + P⊥ = L33L24P (D3h) L66L2 + P⊥ = L66L27PC (D6h) 3L24L3 + P⊥ = 3L24L33PC (Th) 4L33L46L2 + P⊥ = 4L33L46L29PC (Oh) 组合原理：定理三及推论（偶次轴）；定理四或定理二 L2 + P⊥= L2 PC (C2h) L4 + P⊥ = L4 PC (C4h) 3L2 + P⊥ = 3L23PC (D2h) L44L2 + P⊥ = L44L25PC (D4h)
第二节 晶体的宏观对称元素
宏观对称元素(Symmetry element)和对称动作 (symmetry operation)
对称动作类型 对称元素 反映面 对称中心 旋转轴 反轴 对称动作 反映 倒反（反演） 旋转 旋转倒反
简单 复合
反映面：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面 的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到 对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。
晶体的宏观对称性
【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度
· 是2.167*103kg m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。
【解】固体密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分 子的质量。 每个分子的质量m为
于是得到
m
58.46*10-3
kg/mol
1mol 6.02*1023
Ex'
E
' y
=
'
Ex'
E
' y
'
A
Ex Ey
' zx
' zy
' zz
Ez'
Ez'
Ez
' A =A
可得 '=A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
电位移
☆对于立方对称的晶体，其为对角张量
0 , 立方对称
因此，介电常数可看作一个简单的标量 D 0 E
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
11 12 13 介电常数 21 22 23
—— 共有3个对称操作
1 0 0
3)
不动操作
0
1
0
0 0 1
—— 1个对称操作
注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的
材料物理课件12晶体的宏观对称性
+
C3h
C4 h ,C2 h ,C4 3 h ,E} 10) C6h={C6,C3,C2,C3,C26,5h,C6 h,
++ ++
C4h
++ +
2019/9/14
C3 h,C2 h,C3 h,C26 h,E5}
+ + + 14
C6h
32类点群(3)
3由垂.对直C称反nv群元映素面之。这间因类的此群关，含系群有可的n次知群旋，元转数C轴为nv及群2n过必，主包其轴含中的nn个垂个过直是主反绕轴映主的面轴。
C6v 上的反射，分别记作2,3 ,4 ,5及6 ,其镜面与xz平
面的夹角分别为(n-1)/6。
16
32类点群(4)
4时类群.，群都S2与的是m群C群阿n元贝h群都尔这等是群类价旋。群。转仅所反包以射含这操n类次作群反(S只轴2m有，)n三，且个其n=：中2mS12。、n当S24nm及为。S奇6这。数类这
c2xxy=Ic2y=xz=1, c26zxy=Ic56z,
c2yxy=Ic2x=yz=4, c36zxy=I,
c2xy=Ic2=2, c46zxy=Ic6z,
c2xy=Ic2=3, c56zxy=Ic26z,
++
c2xy=Ic2=5, c66zxy=xy,
第一章 晶态结构
第二节 晶体的宏观对称性
1.2.1. 宏观对称元素
1. 旋转轴(A proper Axis of Rotation)
若图形中可以找到一直线L，绕此直线 将图形旋转某一角度，可使图形复原，则 C4
此直线称为旋转轴。
绕旋转轴转动 = 2n角，记作Cn
材料设计—8-晶体的宏观对称性
小结
对称操作；变换矩阵：旋转和反演
对称素；
晶体可能具有的旋转对称操作；
晶体中独立的8种对称素；
分析立方体，正四面体的对称素 物理张量与对称性
谢 谢
先绕2转动180°，再绕2’转动180°，则N点 从N’回复到N点，所以NN’所在直线上的点 不动，而其它点只能是绕NN’的转动。 同时两次转动后，2轴变为2’’轴，之间夹 角为2θ。
考虑到NN’轴只能是1,2,3,4,6次轴，所以：
晶体不可能具有多于1条6次轴，也不可能有一条6次轴和 一条4次轴相交。 假设n次轴和m次轴交与O点，取m次轴 上的B点，绕n次轴转n次得到n变形。
取B为顶点的正n变形两条边，绕m次轴 转动，得到正m面顶椎体。这m个内角 之和为：
显然当m=n=6以及m=6,n=4时候不满足上式。
三 实例
立方对称性（sc,bcc,fcc）
三条4次轴<100> （9） 四条3次轴<111> 六条2次轴<110> 一个不动操作 E (8) (6) (1)
以上操作与反演操作的组合操作 (24)
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
(3)面对角线C2： 6个2度轴；
3个立方轴； 4个3度轴；
四面体对称性
三条4次旋转反演轴 <100> 四条3次轴<111> （9） （8） （6）
六条2次旋转反演轴<110>，即对称晶面 不动操作 E (1)
三、晶体的宏观对称性和宏观物理量
介电函数张量
由此得到：
绕着x轴旋转180度：
由此得到：
所以所有非对角元都是0
再次考虑沿着（111）方向转动2π/3：
第二章 晶体的宏观对称
N=2时，特写为mm2 N2m－ Lin和包含它的P以及垂直它的L2的组合 N/mmm－ Ln和包含它的P以及垂直它的P的组合 X3Y或X3－第二位上为3者表示4L3
六 晶体的对称分类
属于同一 对称型的 晶体
32晶类
高次轴的有无及 多少
高、中、低级Βιβλιοθήκη 族 轴次的高低 及数目7大晶系
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三方晶系
L4
L6
L7
L8
A. B. C. D.
过一对平行晶面的中心 过一对晶棱的中心 相对两角顶的连线 角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线
对称轴可 能出现的 位置为
数目
0 L2 6 0 L3 4 0 L4 3 0 L6 1
对称中心（C）
定义：位于晶体几何中心的一个 假想的点 对称操作：是对此点的反伸
特点：如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点
识别标志： 两两成对
所有 晶面
对对平行 同形等大 方向相反
旋转反伸轴（Lin）
定义：一根过晶体几何中心假想的直线 对称操作：围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸 的复合操作
旋转反伸轴与其他对称要素之间的关系
Lin (n/2)L2(n/2)P（n为偶数） 定理6 Lm Ln＝ nLmmLn 且Lm Ln＝。
五 对称型的概念
概念 结晶多面体中全部对称要素的组合 种类 32
对称型符号
习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号 mLnmPC(n-对称轴轴次，从高到低排列，m-对称 轴或对成面的数目） 国际符号（反映对称要素及其在空间的取向） 3L44L36L29PC
定义：通过晶体几何中心的一根假
六 晶体的对称分类
属于同一 对称型的 晶体
32晶类
高次轴的有无及 多少
高、中、低级Βιβλιοθήκη 族 轴次的高低 及数目7大晶系
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三方晶系
L4
L6
L7
L8
A. B. C. D.
过一对平行晶面的中心 过一对晶棱的中心 相对两角顶的连线 角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线
对称轴可 能出现的 位置为
数目
0 L2 6 0 L3 4 0 L4 3 0 L6 1
对称中心（C）
定义：位于晶体几何中心的一个 假想的点 对称操作：是对此点的反伸
特点：如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点
识别标志： 两两成对
所有 晶面
对对平行 同形等大 方向相反
旋转反伸轴（Lin）
定义：一根过晶体几何中心假想的直线 对称操作：围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸 的复合操作
旋转反伸轴与其他对称要素之间的关系
Lin (n/2)L2(n/2)P（n为偶数） 定理6 Lm Ln＝ nLmmLn 且Lm Ln＝。
五 对称型的概念
概念 结晶多面体中全部对称要素的组合 种类 32
对称型符号
习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号 mLnmPC(n-对称轴轴次，从高到低排列，m-对称 轴或对成面的数目） 国际符号（反映对称要素及其在空间的取向） 3L44L36L29PC
定义：通过晶体几何中心的一根假
晶体的宏观对称性
α = β = 90 γ = 120
a=b≠c
α = β = γ = 90
注： 四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少” 的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
单斜（P）
单斜（C）
三斜（P）
晶胞类型：
a ≠ b ≠ c
晶胞类型：
a ≠b≠c
α = γ = 90 β ≠ 90
α ≠ β ≠ γ ≠ 90
i
m
32 2, 2 m 3 2 , 3 m, i
2
α = β = γ = 90
a=b≠c
D 2h
中
四 方
4
10 11 12
α = β = γ = 90
c4 s4
c4h
D4
222 mm 2 22 2 mmm 4 4 4 m 422
4
4 4 , m, i 4, 4 2
续表：
对称 晶 性的 高低 系 四 方 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
特征对称元素与7 特征对称元素与7个晶系
由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的 内部微观结构，而特征对称元素却是它们在整个晶体外形上的反 映，是能够直接观察到的，所以特征对称结构可以作为实际划分 晶体的依据。 由表3我们已经知道，根据晶胞类型的不同，即与其相对应 的平行六面体形状的差异，可将32点群分为7类，即7个晶系。 七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即： 晶 族 包含的晶系 立方晶系 对称性强弱 对称性最高 高级晶族 中级晶族 低级晶族
六方、四方、三方晶系 对称性较弱 正交、单斜、三斜晶系 对称性最弱
明确了晶体对称性与规则性的关系，可以根据其宏观外形的 特征对称元素来判定晶体的晶系。
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Li63L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li42L22P
附加：Ln与垂直对称面及包含对称面的组合
垂直P与包含的P，二者互相垂直，交线必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC (只考虑n为偶数)：
mm2, 6/mmm, 321, 4mm
mmm, 312, 4, 6,
-31m,
-1,
4/mmm, -42m,
-4
4． 高级晶族(立方晶系、等轴晶系) 的对称型及 国际符号
国际符号方位：c，a+b，a+b+c
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23
(16)
3
321 312
L3 L33L2 Li3 L33P
(17) 32
(18) -3
(19) 3m
-3m1
(20) -3m
-31m
Li33L23P
国际符号第一位为3或-3
6）六方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
(21)
6
L6 L66L2 L3PC L36P
(22) 622
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 (32) 3L44L36L29PC 432
4/m -3 2/m m3m 或m-3m
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23 m3 -43m
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 432 (32) 3L44L36L29Pm3m， -43m， 432， m3， 23
作业一
根据以下点群符号，描述各主要方位的对称要素，写出各 对应的对称型、所属的晶系、单位晶胞的形状特点。 6mm, 1, 3m, 2, -6, -43m, -62m, 422, -3m1, m3, mm2, 6/mmm,
L66L2
定理2.
L2n × P⊥ = L2nP⊥C,
L2PC
L4PC
L6PC
定理3.
P// × Ln = LnnP//
L22P
L33P
L44P
L66P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li33L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
1. 晶体的宏观对称
1. 对称要素 2. 对称要素组合定律
3. 国际符号(中低级晶族)
4. 高级晶族的对称型及国际符号
1 对称要素 1）对称面P (Plane)
对称面的国际符号：m 图形符号：———
3P
5P
9P
2）对称轴（Ln，n=1，2，3，4，6）
L1，L2是低次轴，L3，L4，L6是高次轴。
1） 三斜晶系 a≠b≠c; α≠β≠γ≠90° 无方位： (1) 1 (2) -1 1 L1
-1
Li1=C
国际符号只有1位，且无P无对称轴
2） 单斜晶系 a≠b≠c; α=γ=90° β≠90° 方位：b （b轴方向为唯一轴：与L2重合或与P垂直） (3) 2 (4) m
(5) 2/m
2 m L2 P
(23) 6/m
(24) 6mm (25) 6/mmm (26) -6 (27) -62m
-6m2
L66L27PC
Li6
-62m
Li63L23P
国际符号第一位为6或-6
6mm, 1, 4/m, -6m2,
3m, 2,
-6, 222,
-62m, 422, 6/m, m,
-3m1, -3, -4m2, 2/m,
L2，L3，L4，L6的国际符号分别是：2，3， 4，6 ； 图形符号是: 对称轴的写法：1个：L3；4个: 4L3。
有多种对称轴时，按高次轴在前，低次轴在 后的秩序排列，如L66L2。
观察如下图形分别具有几个几次对称轴：
长方体、四方体
3L2
L44L2
思考：六方柱具有几个几次对称轴、几个对称 面？各在什么方位？
2/m
L2PC
国际符号只有1位，2或/及m
3）斜方晶系(正交晶系) a≠b≠c; α=β=γ=90° 方位：a、b、c (6) 222 (7) mm2
(8) mmm
222 mm2 (mm) 3L2 L22P
mmm (2/m2/m2/m)
3L23PC
国际符号多于1位，每位只能是2或/及m
4）四方晶系 a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b (9) 4
六方柱对称轴的轴次及分布 L66L2
六方柱对称面的分布 7P
六方柱对称轴、对称面的分布 L66L27P(C)
3）对称中心—C
4) 旋转反伸轴 –Lin
操作为旋转+反伸的复合操作。
Li 1 = C
Li 2= P
Li 3（= L3C） 菱面体
Li 4 四方四面体
Li 6 （= L3P）
三方双锥
☼ 独立的旋转反伸轴有：Li3，Li4，Li6。 ☼ 对应的国际符号是-3，-4，-6。
图形符号 △
☼ 当晶体中同时存在L3和C时，只能写成Li3，
而非L3C ； 组合L3+P⊥只能写成Li6，而非L3P。
2． 对称要素的组合定理
定理 1. Ln ×L2⊥ = LnnL2，
L22L2
L33L2
L44L2
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P
四面体类 23
m3或m-3
四面体类 (28) 3L24L3 23 (29) 3L24L33PC m3 -43m (30) 3Li44L36P
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 (32) 3L44L36L29PC 432
L4
L44L2 L4PC L44P L44L25PC
(10) 422
(11) 4/m
(12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
-42m
Li4
-4m2
Li42L22P
国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
5）三方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
4/m,
-6m2, -31m,
mmm, 312,
4, -1, 6,
6/m,
m,
-4m2,
2/m, -4 23
321,
4mm
4/mmm, -42m, -3，
m3m， 222 ， 432，
L22L23PC=3L23PC， L44L25PC L66L27PC。
3L23PC
L44L25PC
L66L27PC
3． 点群的国际符号(中低级晶族)
国际符号的书写原则：
按方位书写：沿某方位，有对称要素就写出来，无就空着或写
为‘1’。
写各个方位对称要素时：
(1) 平行与该方位只有对称轴，记轴次(1,2,3,4,6,-3,-4,-6)； 垂直于该方位只有对称面，记作m。 (2) 该方位有对称轴及垂直的对称面时，记为n/m。