晶体的宏观对称

4/m,
-6m2, -31m,
mmm, 312,
4, -1, 6,
6/m,
m,
-4m2,
2/m, -4 23
321,
4mm
4/mmm, -42m, -3，
m3m， 222 ， 432，
1. 晶体的宏观对称
1. 对称要素 2. 对称要素组合定律
3. 国际符号(中低级晶族)
4. 高级晶族的对称型及国际符号
1 对称要素 1）对称面P (Plane)
对称面的国际符号：m 图形符号：———
3P
5P
9P
2）对称轴（Ln，n=1，2，3，4，6）
L1，L2是低次轴，L3，L4，L6是高次轴。
国际符号特点：第2位为3或-3。
m3m， -43m， 432， m3， 23
作业一
根据以下点群符号，描述各主要方位的对称要素，写出各 对应的对称型、所属的晶系、单位晶胞的形状特点。 6mm, 1, 3m, 2, -6, -43m, -62m, 422, -3m1, m3, mm2, 6/mmm,
L66L2
定理2.
L2n × P⊥ = L2nP⊥C,
L2PC
L4PC
L6PC
定理3.
P// × Ln = LnnP//
L22P
L33P
L44P
L66P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li33L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
2/m
L2PC
国际符号只有1位，2或/及m
3）斜方晶系(正交晶系) a≠b≠c; α=β=γ=90° 方位：a、b、c (6) 222 (7) mm2
(8) mmm
222 mm2 (mm) 3L2 L22P
mmm (2/m2/m2/m)
3L23PC
国际符号多于1位，每位只能是2或/及m
4）四方晶系 a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b (9) 4
L2，L3，L4，L6的国际符号分别是：2，3， 4，6 ； 图形符号是: 对称轴的写法：1个：L3；4个: 4L3。
有多种对称轴时，按高次轴在前，低次轴在 后的秩序排列，如L66L2。
观察如下图形分别具有几个几次对称轴：
长方体、四方体
3L2
L44L2
思考：六方柱具有几个几次对称轴、几个对称 面？各在什么方位？
L22L23PC=3L23PC， L44L25PC L66L27PC。
3L23PC
L44L25PC
L66L27PC
3． 点群的国际符号(中低级晶族)
国际符号的书写原则：
按方位书写：沿某方位，有对称要素就写出来，无就空着或写
为‘1’。
写各个方位对称要素时：
(1) 平行与该方位只有对称轴，记轴次(1,2,3,4,6,-3,-4,-6)； 垂直于该方位只有对称面，记作m。 (2) 该方位有对称轴及垂直的对称面时，记为n/m。
(23) 6/m
(24) 6mm (25) 6/mmm (26) -6 (27) -62m
-6m2
L66L27PC
Li6
-62m
Li63L23P
国际符号第一位为6或-6
6mm, 1, 4/m, -6m2,
3m, 2,
-6, 222,
-62m, 422, 6/m, m,
-3m1, -3, -4m2, 2/m,
六方柱对称轴的轴次及分布 L66L2
六方柱对称面的分布 7P
六方柱对称轴、对称面的分布 L66L27P(C)
3）对称中心—C
4) 旋转反伸轴 –Lin
操作为旋转+反伸的复合操作。
Li 1 = C
Li 2= P
Li 3（= L3C） 菱面体
Li 4 四方四面体
Li 6 （= L3P）
三方双锥
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 (32) 3L44L36L29PC 432
4/m -3 2/m m3m 或m-3m
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23 m3 -43m
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 432 (32) 3L44L36L29PC m3m
☼ 独立的旋转反伸轴有：Li3，Li4，Li6。 ☼ 对应的国际符号是-3，-4，-6。
图形符号 △
☼ 当晶体中同时存在L3和C时，只能写成Li3，
而非L3C ； 组合L3+P⊥只能写成Li6，而非L3P。
2． 对称要素的组合定理
定理 1. Ln ×L2⊥ = LnnL2，
L22L2
L33L2
L44L2
L4
L44L2 L4PC L44P L44L25PC
(10) 422
(11) 4/m
(12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
-42m
Li4
-4m2
Li42L22P
国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
5）三方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
Li63L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li42L22P
附加：Ln与垂直对称面及包含对称面的组合
垂直P与包含的P，二者互相垂直，交线必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC (只考虑n为偶数)：
mm2, 6/mmm, 321, 4mm
mmm, 312, 4, 6,
-31m,
-1,
4/mmm, -42m,
-4
4． 高级晶族(立方晶系、等轴晶系) 的对称型及 国际符号
国际符号方位：c，a+b，a+b+c
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23
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(16)
3
321 312
L3 L33L2 Li3 L33P
(17) 32
(18) -3
(19) 3m
-3m1
(20) -3m
-31m
Li33L23P
国际符号第一位为3或-3
6）六方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
(21)
6
L6 L66L2 L3PC L36P
(22) 622
1） 三斜晶系 a≠b≠c; α≠β≠γ≠90° 无方位： (1) 1 (2) -1 1 L1
-1
Li1=C
国际符号只有1位，且无P无对称轴
2） 单斜晶系 a≠b≠c; α=γ=90° β≠90° 方位：b （b轴方向为唯一轴：与L2重合或与P垂直） (3) 2 (4) m
(5) 2/m
2 m L2 P
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P
四面体类 23
m3或m-3
四面体类 (28) 3L24L3 23 (29) 3L24L33PC m3 -43m (30) 3Li44L36P
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 (32) 3L44L36L29PC 432