八年级四边形证明专题
八年级数学平行四边形梯形和平行性质的证明题
A C BD学生姓名 彭 年级初三 授课时间 教师姓名 刘 课时 2课 题 四边形教学目标 掌握特殊四边形的性质和判定方法 重 点 特殊四边形的性质和判定方法难 点综合应用平行、三角形全等、四边形性质进行综合的证明【知识点】：(必须熟记在心！！！)1、平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线）4、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
5、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
八年级数学四边形证明题专项练习
八年级数学四边形证明题专项练习本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March姓名 班级1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。
_F_B_ D_ C_ G_ A_ B_ D _ C_ E_ F_ D_A_B_ C_ E_ F _ A_ B_ D_ C_ O_ D_ C_ H_ F_ G_ E6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。
7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。
_B8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ， 求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训(带答案)
人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练1．ABCD 中，点E 、F 是AC 上的两点，并且AE CF =．求证：四边形BFDE 是平行四边形．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且//,//DE AC CE BD ．求证：四边形OCED 是菱形．3．如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，DE ，DF 是ABC 的中位线，连接EF ，AD ．求证：EF AD =．4．如图，将▱AECF 的对角线EF 向两端延长，分别至点B 和点D ，且使EB ＝FD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，BE DF =；AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）求证：ABE △≌CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO CO =．6．如图，在ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE CF=，连接EF，AC交于点O．求证：OE OF=．7．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF ＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．AC，连接CE、OE，连接AE交9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得''，且B C''恰好经过点D．到多边形AB C E（1）线段DC′的长度；（2）求ADE的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．12．如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF，（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．15．如图，在ABCD中，过点D作DE AB=，连接AF，BF．⊥于点E，点F在边CD上，CF AE（1）求证：四边形BFDE是矩形；AD=，求DC的长度．（2）已知60∠=︒，AF是DABDAB∠的平分线，若316．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．18．如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．19．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论20．如图，在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1/cm s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．参考答案：1．证明：如图，连接,BD 交AC 于,OABCD ,,,OA OC OB OD ∴==,AE CF =,OA AE OC CF ∴-=-,OE OF ∴=∴四边形BFDE 是平行四边形．2．∵////DE AC CE BD ，，∴四边形OCED 是平行四边形．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形．3．证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∵∠CAB ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ．4．解：连接AC 交EF 于点O∵四边形AECF 为平行四边形∴OF OE =，OA OC =∵EB FD =∴OF FD OE EB +=+∴OD OB =∴四边形ABCD 为平行四边形5．【详解】（1）证明：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，∵AB CD =，BE DF =，∴ABE △≌CDF ．（2）由（1）ABE △≌CDF ，∴AE CF =，∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒，∵AOE COF ∠=∠，∴()AEO CFO AAS ≌∴AO CO =．6． 证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEO CFO在AOE △和COF 中AOE COF AEO CFO AE CF ∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴≅OE OF ∴=．7．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．8．证明： （1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AFE ＝∠DCE ， ∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）四边形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，又∵∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形．9．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝1AC，AC⊥BD，2AC，∵DE＝12∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，AC=1，AC⊥BD，AD=2，∵OA=12∴OD=∴在矩形OCED 中，CE ＝OD∴在Rt △ACE 中，AE10．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90°∵将四边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB′C′E ， ∴AB=AB'=6，CE=C'E ，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90°∵8∴C'D=B'C'-B'D=2，（2）设DE=x ，则EC′=6-x ，由（1）可知∠C'=90°，C'D=2∴在Rt △C′DE 中，222(6)2x x -+=，解得：103x =∴ADE 的面积为111050102233AD DE ⋅=⨯⨯= 11．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF=⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．12．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠E ，AE =CD ，又∵∠AFE =∠CFD ，在△AEF 和△CDF 中，E D AFE CFD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CDF (AAS )，∴EF =DF .13．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.14．（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠ACD=∠CAD ，∴AD=CD ，∵AB=AD ，CB=CD ，∴AB=CB=CD=AD ，∴四边形ABCD 是菱形．15．解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //DC AB ∴，DC AB =，CF AE =，DF BE ∴=且//DC AB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，又DE AB ⊥，∴四边形DFBE 是矩形；（2）60DAB ∠=︒，3AD =，DE AB ⊥，32AE ∴=，DE =四边形DFBE 是矩形，BF DE ∴==AF 平分DAB ∠，1302FAB DAB ∴∠=∠=︒，且BF AB ⊥， 92AB ∴==， 92CD ∴=． 16．证明：（1）∵▱ABCD ，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一）即 BD ⊥AC ，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．17．（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，∵EF=DE，∴DF=2DE，∴AB=DF，且AB∥DF，∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形，∴AD=BF，且AD=CD，∴BF=DC．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD，又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°，∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE，∴△DCF≌△BAE（SAS），∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形.19．（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．20．解：（1）在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =， 16BC AD cm ∴==，8AB CD cm ==，由已知可得，BQ DP tcm ==，(16)AP CQ t cm ==-， 在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，得8t =，故当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）AP CQ =，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形16t -时，四边形AQCP 为菱形，解得6t =， 故当6t s =时，四边形AQCP 为菱形；（3）当6t s =时，16610AQ CQ CP AP cm ====-=， 则周长为41040cm cm ⨯=；面积为210880cm cm cm ⨯=．。
八下数学第十八章平行四边形证明题专项·练习
八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
北师大八年级下册 第六章 平行四边形证明题专项练习(包含答案)
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:DE=BF2.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:OA=OE.3.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD 的度数4.如图(1),▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图(2)和图(3)),OE与OF还相等吗?若相等,请你说明理由.5.如图,点E为▱ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。
6.如图,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.(1)求证:CF=CD;(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.7.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?请说明理由.9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD交于点G、H.(1)求证:四边形FBDH为平行四边形;(2)求证:FG=EH.10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.(1)线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?并说明理由;(2)如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗?如果不成立,你能得出什么结论?请说明你的理由.12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=3MN.14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.15.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证:BN=DN;(2)求△ABC的周长.17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.(1)AG与CG有怎样的位置关系?说明你的理由;(2)求证:四边形AECG是平行四边形.18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,求∠AMD'+∠BNC' 的度数20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 ㎝，BC＝26㎝，动点P从点A开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?（3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．23.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．答案1.证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠ADE= ∠ADC,∠CBF= ∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA).∴DE=BF.证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED, ∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.2.证法一:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.证法二:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.在△AOB和△EOD中,∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.4.题图(2)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF题图(3)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF5.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF= =76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD.(2)DE⊥AF.理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.9. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.(2)由(1)知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形,∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.10. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.11. (1)PE+PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.(2)(1)中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF是平行四边形,∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.12. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC.∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.13. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.(3)如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°.∴∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD= MN.14.∵D,E 分别为AC 、AB 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC,且DE=21BC,又∵F 、G 分别是OB 、OC 的中点, ∴FG 是△BCO 的中位线,∴FG ∥BC,且FG= 21BC,∴DE ∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG 是平行四边形. 15.∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC,∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行,同位角相等),又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.16. (1)证明:∵AN 平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN ⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN ≌△ADN,∴BN=DN.(2)由△ABN ≌△ADN 知,AD=AB=10,点N 为BD 的中点,又M 是BC 的中点,∴MN 为△BCD 的中位线,∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.17. (1)AG ⊥CG.理由:∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,AF=CF,∴EF ∥BC,∴∠FGC=∠GCD, ∵CG 平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG ⊥CG.(2)证明:由(1)知,FG= 21AC,∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF= 21BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG 是平行四边形. 18. 结论:EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).证明如下:如图所示,连接AF 并延长交BC 的延长线于点G,∵AD ∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF 和△GCF 中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,∴△ADF ≌△GCF(AAS),∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,∴EF ∥BG,EF= 21BG,即EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).19.四边形纸片ABCD 中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.∵将纸片折叠,使C,D 落在AB 边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°,∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC （平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH ＝∠FBG ． 又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴DE ＝BF ．又∵BG ＝DH ，∴．△DEH ≌△BFG （SAS ），∴EH ＝FG ，∠DHE ＝∠BGF ． ∴∠EHG ＝∠FGH （等角的补角相等）．∴EH ∥FG ．∴四边形EGFH 是平行四边形21.由已知得AP ＝t ，CQ ＝3t ，PD ＝24－t ，BQ ＝26－3t ．（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD ＝CQ 时，即3t ＝24－t 时，四边形PQCD 为平行四边形，解得t ＝6．故当t ＝6时，四边形PQCD 为平行四边形． （2）如图3—38所示，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则CE ＝2．当QF ＝CE 时，即QF+CE ＝2CE ＝4时，四边形PQCD 是等腰梯形．此时有CQ －EF ＝4，即3t —（24一t ）＝4，解得t ＝7．故当t ＝7时，四边形PQCD 为等腰梯形．（3）若四边形ABQP 为矩形，则AP ＝BQ ，即t ＝26—3t ，解得t ＝213．故当t ＝213时，四边形ABQP 为矩形．22.（1）证明：在△ABN 和△ADN 中， ∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ， 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝6， 故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，∵在△AOE 和△COF 中，1234OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，由（1）得AE ＝CF ，由折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．。
八年级平行四边形几何证明汇总
1.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE ＝CF ，连接EF 、BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE ＝BF ，∠BEF ＝2∠BAC ． （1）求证：OE ＝OF ；（2）若BC ＝AB 的长．2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ， 求证：∠DHO ＝∠DCO．3．如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． （1）求证：△APB ≌△APD ；（2）已知DF ︰FA ＝1︰2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE ． （1）求证：AB ⊥AE ； （2）若BC 2=AD ·AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点。
BE =2DE ，延长DE 到点F ，使得EF =BE ，连接CF .（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积. C A6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF ＝DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．7．如图8，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O,AB=5,AO=4,求BD 的长. 8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD 。
部编数学八年级上册专题14边边角证全等(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题14 边边角证全等1．已知如图：∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP＝180°，求证：AB+BC＝2BD．【解答】解：过点P作PM⊥AB，垂足为点M，∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PM＝PD，BM＝BD，∵∠BAP+∠BCP＝180°，且∠BAP+∠MAP＝180°，∴∠PAM＝∠BCP，在△PAM和△PCD中，，∴△PAM≌△PCD，∴AM＝CD，∴BM﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD．2．如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，（1）求证：DC＝AD；（2）若BC＝21，AB＝9，AD＝10，求BD的长．【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△BAD和△BED中，∵，∴△BAD≌△BED（SAS），∴DA＝DE，∠A＝∠BED，∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DC＝AD．（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵△BAD≌△BED，∴BA＝BE＝9、AD＝DC＝10，∵BC＝21，∴EC＝12，∵DE＝DC，∴EF＝FC＝EC＝6，在Rt△DFC中，DF＝＝＝8，在Rt△BDF中，BD＝＝＝17．3．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，试说明AD＝CD的理由．【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，所以，∠EDF+∠BAD＝180°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∵∠BAD与∠BCD互补，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD．4．如图所示，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【解答】证明：如图，过D作出DE⊥BA，DF⊥BC，．∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFC中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C＝∠EAD，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠BAD+∠C＝180°．5．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．【解答】解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，AB＝AD，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE ，AC ．（1）求证：△ACE 是等腰直角三角形；（2）若AC ＝6cm ，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠DCB ＝90°，∴∠B +∠ADC ＝360°﹣∠BAD ﹣∠DCB ＝180°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∴∠ADE ＝∠B ，在△ADE 和△ABC 中，，∴△ADE ≌△ABC （SAS ），∴∠DAE ＝∠BAC ，AE ＝AC ，∴∠CAE ＝∠CAD +∠DAE ＝∠CAD +∠BAC ＝∠BAD ＝90°，∴△ACE 是等腰直角三角形．（2）解：∵△ADE ≌△ABC ，∴S △ADE ＝S △ABC ，∵△ACE 是等腰直角三角形．AC ＝6cm ，∴AC ＝AE ＝6cm ，∴四边形ABCD 的面积＝S △ACD +S △ABC ＝S △ACD +S △ADE ＝S △ACE ＝×6×6＝18（cm 2）．7．已知：如图，点E 、F 在BC 上，AF 与DE 交于点G ，AB ＝DC ，GE ＝GF ，∠B ＝∠C ．求证：AG ＝DG ．【解答】证明：∵GE ＝GF ，∴△GEF 为等腰三角形，∴∠GEF＝∠GFE，∵在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C，∴∠A＝∠D，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE，又∵GF＝GE，∴AF﹣GF＝DE﹣GE，即AG＝DG．8．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD．（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△CDF与Rt△CEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），∴BE＝FD；（2）解：由（1）知，BE＝FD，∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△ACD与Rt△ACE中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE，∵AB＝AE+BE＝AD+BE＝AF+FD+BE，AF＝4，AB＝6，∴6＝4+FD+BE＝4+2•DF，∴DF＝1．9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，点B在x轴上．（1）如图1，AC交x轴于点D，若∠DBC＝10°，则∠ADB＝ 55° ；（2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，﹣1），求点B坐标；（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM＝45°，MF 交直线AE于点M，若点B（﹣1，0），BM＝5，求EM的长．【解答】解：（1）∠ADB＝55°；∵AB＝BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠DBC＝10°，∴∠ADB＝45°+10°＝55°；（2）解：如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E，∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵AB⊥BC，∴∠EBC+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠EBC，在△ADB与△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴BD＝CE，∵A（3，3），C（1，﹣1），∴OD＝3，CE＝1，∴OB＝OD+BD＝OD+CE＝3+1＝4，∴B（4，0）；（3）解：如图2，在AM上截取AN＝OB，连接FN，∵A（3，3），∴OF＝AF＝3，在△BOF与△NAF中，，∴△BOF≌△NAF（SAS），∴∠BFO＝∠NFA，BF＝NF，∵∠BFM＝∠BFO+∠OFM＝45°，∴∠NFA+∠OFM＝45°，∵∠OFA＝90°，∴∠NFM＝∠OFA﹣（∠NFA+∠OFM）＝90°﹣45°＝45°，∴∠BFM＝∠NFM，在△BFM与△NFM中，，∴△BFM≌△NFM（SAS），∴BM＝NM，∵BM＝5，B（﹣1，0），∴MN＝5，BO＝AN＝1，∴EM＝MN+AN﹣AE＝5+1﹣3＝3．10．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，若∠C＝50°，求∠BAD的度数．【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°，∵∠C＝50°，∴∠BAD＝130°．11．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD叫做“等补四边形”．（1）概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是 D ．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形②等补四边形ABCD中，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A＝ 90° ．（2）知识运用如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，BC＞BA．求证：四边形ABCD是等补四边形．（3）探究发现如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．【解答】解：（1）①∵平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，∴平行四边形不一定是等补四边形，故不选A；∵菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，∴菱形不一定是等补四边形，故不选B；∵矩形对角互补，但邻边不一定相等，∴矩形不一定是等补四边形，故不选C；∵正方形四个角是直角，四条边相相等，∴正方形一定是等补四边形，故选D．②∵等补四边形对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：2：3：4，又∵∠A+∠C＝180°，∴∠A＝∠C＝90°，故填90°．（2）如图1，证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SAS），∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．∵AD＝CD，∴DE＝DC．∴∠C＝∠DEC．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；（3）如图2，过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），即AC平分∠BCD．12．已知在∠MON中，A，B分别为ON，OM上一点．（1）如图，若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA+OB＝2OD，求证：∠MON+∠ACB＝180°；（2）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON+∠ACB＝180°，求证：OA+OB＝2OD．【解答】解：（1）作CH⊥OA垂足为H，∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，∴CD＝CH，在RT△OCD和RT△OCH中，，∴△OCD≌△OCH，∴OD＝OH，∵OA+OB＝2OD，∴OH+AH+OD﹣BD＝20D，∴BD＝AH，在△CDB和△CHA中，，∴△CDB≌△CHA，∴∠BCD＝∠ACH，∴∠DCH＝∠BCA，在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，∴∠MON+∠DCH＝180°，∴∠MON+∠BCA＝180°．（2）作CH⊥OA垂足为H，∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，∴CD＝CH，在RT△OCD和RT△OCH中，，∴△OCD≌△OCH，∴OD＝OH，在四边形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，∴∠MON+∠DCH＝180°，∵∠MON+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝∠DCH，∴∠BCD＝∠ACH，在△CDB和△CHA中，，∴△CDB≌△CHA，∴BD＝AH，∴OB+OA＝OD﹣BD+OH+AH＝2OD．13．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，则MN的长为 20 ．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AC，如下图，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM，连接AE、EN，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°，在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS），∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°，在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN，在Rt△ENC中，由勾股定理得EN2＝EC2+NC2，∴MN2＝BM2+NC2，∵BM＝12，CN＝16，∴MN＝＝20，故答案为：20．。
八年级数学证明题
A B F CD E A B E C F D A BF O CD E 平行四边形 1. 已知：如图，AB=CD ，BC=DA ，AE=CF ． 求证：BF=DE ．2、在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF 。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
3、 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD ＝∠BAF 。
① 求证：ΔCEF 是等腰三角形；②观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？并说明理由。
4、如图所示，ABCD 中的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 经过点O 与AD 延长线交于E ，与CB 延长线交于F 。
求证：OE=OF5、如图, ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE .(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数.6、如图，在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF 、GH 。
求证：EF 与GH 互相平分。
A B C D F E GAB C D E F OG H7、 如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O ，MN 是过O 点的直线，交BC 于M ，交AD 于N ，BM=2，AN=2.8，则BC= ，AD=8、 如图,在ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、AB 边上的点，且DE ＝BF.试说明四边形AFCE 是平行四边形.菱形：1. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 与E ，EF ⊥BC 于F 。
求证：四边形AEFG 为菱形。
2. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GCF ．求证：BE=DG ．3. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．DE C BF A 图19（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．4. 两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形．5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE.（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.6. 在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =． A QDE BP C OC D E M ABFN A B C DE F D ′7.如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．8.如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．矩形：1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 、CH 、DG 分别为内角平分线，这四条角平分线分别交于点M 、N 、P 、Q 求证：四边形MNPQ 是矩形AB CD E F 2.如图，将矩形ABCD 沿直线EF 对折，点D 恰好与BC 边上的点H 重合，∠GFP=62°，那么∠EHF 的度数等于——3. .如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． . 4.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是5.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．6. 如图，O 为△ABC 内一点，把AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接形成四边形DEFG ． 四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；7. 如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．DA BC DE F8.如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，P 是BC 延长线上一点，PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，PF ⊥AC 交AC 延长线于F ，D 为BC 中点，连接DE ，DF ．求证：DE=DF ．正方形：1.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．2. 如图：已知在ABC △中，A B A C =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，.（1） 求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.3. 、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． ACBD P QD CB EAF（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．4.如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．5. 、如图8-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F .(1) 求证：BP =DP ；(2) 如图8-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；6. 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．7. E 、F 、M 、N 分别是正方形ABCD 四条边上的点，AE=BF=CM=DN ，四边形EFMN 是什么图形？证明你的结论． AD EF C BA B C DE F E ' GD C A BGH F E8.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．梯形：1. 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是BC 边上的高，求证：四边形DEFH 是等腰梯形2. .如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．（1）求证：AF =BE ；3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =．（1）求ABC ∠的度数；（2）求证：CAF △为等腰三角形．EB AD E PBAC4.如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD 、分别交线段BC 于点E F 、，且PA PD =． 求证：ABE DCF △≌△．5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是___6.已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线相交于点F ，连接AC ．BF ．（1）求证：AB=CF ；（2）四边形ABFC 是什么四边形，并说明你的理由．7.如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC=BD ，AD=AB=4cm ，∠A=120°，求梯形ABCD 的面积．8.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠DBC=45°，点F 在AB 边上，点E 在BC 边上，将△BFE 沿折痕EF 翻折，使点B 落在点D 处．若AD=1，BC=5。
(完整版)八年级下平行四边形专题汇总
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．
7．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4B． ： C． ： D． ：
三、平行四边形与角度专题
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
5．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）SABDC=SBDFE；（4）S△ABE=S△DCF．其中正确的有（ ）
浙教版八年级下专题六 与平行四边形的判定有关的证明
教材P99作业题第3题)已知：如图1，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E.求证：四边形AFCE是平行四边形．图1证明：连结AC，交BD于点O.在▱ABCD中，AB綊CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABF＝∠CDE.又∵AF，CE分别是∠BAD与∠BCD的平分线，∴∠BAF＝∠DCE.∴△AFB≌△CED.∴BF＝DE.又∵OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴OF＝OE.∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．【思想方法】平行四边形的判定主要从三个方面看：(1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．[2013·温州二模]如图2，A，D，F，B在同一直线上，AE＝BC，且AE∥BC，AD＝BF.(1)求证：△AEF≌△BCD；(2)连结ED，CF，则四边形EDCF是____________(从平行四边形，矩形，菱形，正方形中选填)．图2解：(1)证明：∵AE ∥BC ， ∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝DB . 在△AEF 和 △BCD 中，⎩⎨⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝DB ，∴△AEF ≌△BCD (SAS )； (2)平行四边形．∵△AEF ≌△BCD ，∴EF ＝CD ，∠EF A ＝∠CDB ， ∴EF ∥DC ，∴四边形EDCF 是平行四边形．[2013·郴州]如图3，已知BE ∥DF ，∠ADF ＝∠CBE ，AF ＝CE .求证：四边形DEBF 是平行四边形．图3证明：因为BE ∥DF ，所以∠AFD ＝∠CEB .又因为∠ADF ＝∠CBE ，AF ＝CE ，所以△ADF ≌△CBE ，所以DF ＝BE .又因为BE ∥DF ，所以四边形DEBF 是平行四边形．[2013·梧州]如图4，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF⊥AD ，垂足为点F ，并且AE ＝DF .求证：四边形BECF 是平行四边形．图4证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°. ∵AB ∥CD ， ∴∠A ＝∠D .在△AEB 与△DFC 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，∴△AEB ≌△DFC (ASA )， ∴BE ＝CF .∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴BE ∥CF ，∴四边形BECF 是平行四边形．[2013·青海]如图5，已知▱ABCD ，过A 作AM ⊥BC 于M ，交BD于E ，过C 作CN ⊥AD 于N ，交BD 于F ，连结AF ，CE .求证：四边形AECF 为平行四边形．图5证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD＝∠CDB.又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠AMB＝∠CND＝90°，∴∠BAM＝90°－∠ABM＝90°－∠CDN＝∠DCN.∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∴∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形．[2013·无锡]如图6，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构成命题．(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……那么……”的形式)图6解：(1)是真命题．证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)假命题：①四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．②四边形ABCD中，AC交BD于O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．反例：①②变形5答图如答图①，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；如答图②，四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD 不是平行四边形．[2012·定西]如图7，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD.图7证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC(内错角相等，两直线平行)．∵DC＝EF，变形6答图∴四边形EFCD 是平行四边形； (2)如图，连结BE .∵BF ＝EF ，∠EFB ＝60°， ∴△EFB 是等边三角形， ∴EB ＝EF ，∠EBF ＝60°. ∵DC ＝EF ，∴EB ＝DC .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AB ＝AC ， ∴∠EBF ＝∠ACB ，∴△AEB ≌△ADC ， ∴AE ＝AD .如图8，已知△ABC 是等边三角形，D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF ＝AE ，连结AF ，BE 和CF .(1)求证：△BCE ≌△FDC ；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由．图8解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝AB ，∠ACB ＝60°. 又∵CD ＝CE ，∴△EDC 是等边三角形， ∴DE ＝CD ＝CE ， ∠DCE ＝∠EDC ＝60°.∵EF ＝AE ，∴EF ＋DE ＝AE ＋CE ， ∴FD ＝AC ＝BC ，∴△BCE ≌△FDC (SAS )；(2)四边形ABDF 是平行四边形． 理由如下：∵由(1)知△ABC ，△AEF ，△DCE 均为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠ABC ＝∠EF A ＝60°， ∴AB ∥FD ，BD ∥AF ， ∴四边形ABDF 是平行四边形．[2013·莱芜]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连结DE .(1)证明：DE ∥CB ；(2)探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形．图9解：(1)证明：如图， 连结CE .∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝AE . ∵△ACD 是等边三角形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠ACD ＝60°. 在△ADE 与△CDE 中，变形8答图AD ＝CD ，DE ＝DE ，AE ＝CE ，∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE＝∠CDE＝12∠ADC＝30°.∵∠DCB＝∠ACD＋∠ACB＝150°，∴∠EDC＋∠DCB＝180°.∴DE∥CB.(2)∵∠DCB＝150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，即∠DCB＋∠B＝180°，∴∠B＝30°.∴在Rt△ACB中，AC＝12AB或AB＝2AC.∴当AC＝12AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．。
八年级数学下册专题05平行四边形六大模型(原卷版)
专题05 平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，【变式1-1】则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。
[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。
模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。
即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD 取最大值【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC ＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是．模型三：十字架第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．【变式3-3】（2023春•滨州期末）已知ABCD是一个正方形花园．（1）如图1，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，问这两条路等长吗？为什么？（2）如图2，在正方形四边各开一个门E、F、G、H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？模型四：对角互补对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品文档BDP68MNBCCD1ABCD上一点，和的中点，，、．已知菱形、的两条对角线分别为是对角线分别是边=PM+PN．则的最小值
给．于点F，连接EFP作PE⊥BC于点E，PF⊥CD2．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中，个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；
③△APD4出以下所有正确的结论
是．
=12EHEFGH，若3．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形．厘米．的长是厘米，EF=16厘米，则边AD
．的长是中，点正方形ABCD和正方形CEFGD在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么CH4
A D
P F
C B E
（第2题）．计算5336－2?(1?3)?12－2).4（1）（＋(2分）＋2)(2
2x?－216x3?2x??）（2）（3???1?x?先化简，再求值：，??
22x2x??1x?x1?4x???3．2x其中＝－
BDCFOECACCD6BDOEABCD∥作连结．过点相交于点，在矩形是中点，已知：如图，．中，对
角线、FDFOE．求证：的延长线于点，连结交线段
FCE1ODE≌△△；（）ODFC2是菱形．）四边形（
精品文档．
精品文档
8分）24．（本题满分 ADE．边的中点，以AD为边作等边△如图，在等边△ABC中，D是BC CAE 的度数；(1)求∠是矩形．CE，试说明四边形AFCE，连接取AB边的中点FCF、 (2)
□＝CF．BD相交于点O，AE如图，ABCD的对角线AC、DOF；）求证：△（1BOE≌△. EBFD的形状，并说明理由，连接DE、BF，判断四边形（2）若BD＝EF B
C
F
O
A
D
题）（第18
，于FPF⊥AD上的一点，ACPE⊥AB于E，，∠如图，在四边形ABCD中，AB∥CDB＝∠D．P 为对角线是菱形．PF＝，求证：四边形ABCD且PE C D
F P
A B E
CDE，上，且∠ABF＝∠、AB∥CD，点EF在对角线AC分）如图，在四边形19．（7ABCD 中，．AE＝CF CDE≌△；（1）求证：△ABF?
为什么BFDE满足什么条件时，四边形是菱形?2（）当四边形ABCD
A
D
E
F
B
C
题）（第19
精品文档．
精品文档向矩形内部折叠，当点BAE沿BE=7，点E是AD上一个动点，把△如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC 的长为的平分线上时，CA 的对应点AA恰好落在∠BCD11 D
A E
A'
B
C
)
第( 6题
、、、、、. 、BCH分别是DACDCB中，ABCDAD=CD=8，AB==6，点EABF的中点G如图，在四边形）求证：四边形EFGH是矩形；（1D .．ABDA⊥，求四边形EFGH的面积（2）若EH
AC GF
B题）（第22
但售货员建议她买一种.15元钱小芳带分）15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付．21（6软皮本和硬皮本的质量更好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本. 价格分别是多少？
“阅读“数学思维”、、“科技制作”分）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”（22．6、写作”这四个选修项目的学生（每人限报一项）进行抽样调查．下面是根据收集的数据绘制的两幅不完整的统计图．精品文档．
精品文档
选修四个项目人数的条形统计图选修四个项目人数的扇形统计图人数
80
80 - 阅读写作数学思维
60 - 25%
50
科技制作
40 - 30
艺术鉴赏
20 -
阅读写作艺术鉴赏科技制作数学思维选修项目请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次共调查了名学生，户型统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是度．
（2）请把这个条形统计图补充完整．
（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”项目．
精品文档．。