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《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
424平面向量的数量积公开课
7. 0a 0a
×
例题讲解
例4．如图，已知等边三角形ABC的 边长为2，圆A的半径为1，PQ 为圆A的任意一条直径.
求 BP CQ 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大值.
回顾小结
你学到 了什么？
谢谢指导
(1) 600 (2) 1350
(3)a∥b (4)a b
例题讲解
例2．如图，已知菱形ABCD的边长 为2，BAD 60 .
(1234)求若EAA2为BBABAADBDA上、D与B靠、CAAD近ABDAA、的B2AA的一CD值个A、D；三2的A等值B分；AD
的点值 ，； 求AC ED的值.
情景创设
前面我们学习了向量的哪些运算呢？ 向量的加法 向量的减法 向量的数乘
学生活动
物体在力F 的作用下产生的位移 为s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所 做的功应当怎样计算？
F
W | F || s |cos
θ s
力F 和位移s都是向量，θ是F 与s 的 夹角.
数学构建
如图，正方形ABCD边长为2，E为 CD边的中点.
积），记作 a b ，即：
a b | a || b | cos
向量的数量积的定义
a b | a || b | cos (a 0，b 0)
规定：零向量与任意向量的数量
积为0，即 0 a 0．
注意：a·b不能省略“·”， 也不能写成a×b .
例题讲解
例1．已知向量a与b的夹角为 ，
|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下 求a·b.
练习2：判断下列说法的对错 1．若a =0，则对任意向量b，
√ 有a·b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向 量b ,有a·b≠0．
2024版平面向量的数量积复习课公开课优质课件
零向量是长度为0的向量， 单位向量是长度为1的向 量。
7
向量的线性运算
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法 则，结果向量起点连接第一个向 量的起点，终点连接最后一个向
量的终点。
2024/1/28
向量的减法
减去一个向量相当于加上这个向量 的反向量，满足三角形法则。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，它的 长度等于这个实数与原来向量长度 的乘积，方向由实数的正负决定。
2024/1/28
23
功的计算
2024/1/28
功的定义 功是力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，即 $W=vec{F} cdot vec{s}$，其中$vec{F}$是力向量， $vec{s}$是位移向量。
正功与负功 当力与位移方向相同时，功为正；当力与位移方向相反时， 功为负。这可以通过数量积的正负来判断。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，系统 内部各物体之间的相互作用力不 会改变系统的总动量，即系统的 总动量守恒。这可以通过计算系 统内部各物体动量的数量积来验 证。
碰撞问题
在碰撞问题中，可以通过动量守 恒定律来确定碰撞前后各物体的 速度变化。同时，结合能量守恒 定律和恢复系数等条件，可以进 一步求解碰撞过程中的其他物理 量。
在平面几何中，经常需要计算两 点之间的距离，例如在计算三角 形的边长、圆的半径等问题中都
会用到该公式。
2024/1/28
19
定比分点公式
公式表述
设点$P$分有向线段$overrightarrow{AB}$的比为$lambda$，则定比分点$P$的坐标为 $left(frac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, frac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}right)$。
7
向量的线性运算
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法 则，结果向量起点连接第一个向 量的起点，终点连接最后一个向
量的终点。
2024/1/28
向量的减法
减去一个向量相当于加上这个向量 的反向量，满足三角形法则。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，它的 长度等于这个实数与原来向量长度 的乘积，方向由实数的正负决定。
2024/1/28
23
功的计算
2024/1/28
功的定义 功是力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，即 $W=vec{F} cdot vec{s}$，其中$vec{F}$是力向量， $vec{s}$是位移向量。
正功与负功 当力与位移方向相同时，功为正；当力与位移方向相反时， 功为负。这可以通过数量积的正负来判断。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，系统 内部各物体之间的相互作用力不 会改变系统的总动量，即系统的 总动量守恒。这可以通过计算系 统内部各物体动量的数量积来验 证。
碰撞问题
在碰撞问题中，可以通过动量守 恒定律来确定碰撞前后各物体的 速度变化。同时，结合能量守恒 定律和恢复系数等条件，可以进 一步求解碰撞过程中的其他物理 量。
在平面几何中，经常需要计算两 点之间的距离，例如在计算三角 形的边长、圆的半径等问题中都
会用到该公式。
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19
定比分点公式
公式表述
设点$P$分有向线段$overrightarrow{AB}$的比为$lambda$，则定比分点$P$的坐标为 $left(frac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, frac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}right)$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
数学公开课：平面向量数量积的各种求法课件
02
平面向量数量积的坐标求法
坐标表示法
定义
平面向量数量积的坐标表示法是通过向量的坐标来计算数量积的方法。
公式
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
应用
适用于已知向量基底的情况，可以方 便地表示任意向量，并计算其数量积 。
03
平面向量数量积的基底求法
基底的定义与选择
基底的定义
基底是一组不共线的向量，可以 用来表示任意向量。
选择基底的技巧
选择基底时应考虑向量的线性无 关性、几何意义以及计算简便性 。
基底运算求法
01
02
03
定义法
根据数量积的定义，利用 基底表示任意向量，再计 算数量积。
平面向量数量积的投量在另一个向量上的投影 是一个标量，等于被投影向量与 投影方向向量的数量积除以投影
方向向量的模。
投影性质
投影长度总是非负的，当且仅当两 个向量共线时，投影长度为零。
投影与夹角关系
投影长度与被投影向量和投影方向 向量的夹角有关，夹角越小，投影 长度越大。
03
投影运算的几何解释
在三维空间中，投影运算可以理解为将一个向量从原点出发沿着某个方
向移动一定的距离。
投影与坐标求法
坐标系选择
在计算投影时，需要选择一个合适的 坐标系，使得投影方向向量和被投影 向量都落在坐标轴上或与坐标轴平行 。
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学公开课平面向量数量积的各种求法PPT课件
应用4.（高考全国Ⅰ卷∙11∙5分）
已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，
那么 PA PB 的最小值为（ ）
A. 3 2 2 B. 3 2
C. 4 2 2
D. 4 2
解析：设
APO，则
，PA由定 义1，
A
tan
PA PB 1 cos 2 cos2 (1 2 sin2 )，设t sin2 ， O
解法1：DE CB （DA AE）CB （CB AE）CB
2
CB AE CB 1
设 AE AB （0 1），DE DC （DA AE）DC
A
B
E
2
DA DC AE DC AB 1
解法2：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，B（1, 0），C（1,1），D（0,1） 设E（x，0），则DE CB （x, -1) (0，-1) 1
P
tan2
sin2
则 PA PB (1 t )(1 2t ) 2t 1 3 2 2 3.
B
t
t
四、考点突破
必 会 内
1.两个公式：a •b = a b cosθ； a = (x1, y1),b = (x2, y2)，则 a • b = x1x2 + y1 y2
容 2.五种方法：直接用定义；基底转化后用定义；建系0) x 1.
A
E Bx
方法：用坐标求数量积；条件：互相垂直的线段；思想：以数辅形.
应用3.（高考浙江卷∙15∙4分）
在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 AB • AC=_______.
思路：把 AB、A用C
AM表•示BC，然后用定义可的结果.
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促进数学教育的普及和提高
平面向量数量积的定义和性质
平面向量数量积的定义
• 定义：两个平面向量的数量积定义为其中一个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量的模的乘积
• 性质：数量积为零当且仅当两个向量垂直；数量积为正表示两个向量方向相同；数量积为负表示两个向 量方向相反 以下是用户提供的信息和标题： 我正在写一份主题为“千里江山图诗歌鉴赏”的PPT,现在 准备介绍“诗歌鉴赏”,请帮我生成“诗歌主题”为标题的内容 诗歌主题
性质：数量积为零意味着两个向量垂直；数量积大于零意味着两个 向量夹角为锐角；数量积小于零意味着两个向量夹角为钝角。
几何意义：数量积的几何意义可以理解为两个向量的合成向量在另一 个向量上的投影长度。
应用：在解决实际问题时，可以利用数量积的性质来判断两个向量 的夹角是锐角、钝角还是直角，以及计算它们的模长等。
运算规则：平面向量数量积的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积等。在三角形中，可以利用这些运算规 则进行计算和化简。
在平行四边形中的应用
平行四边形的性质：平行四边形的对角线 互相平分，且相邻两边互相垂直。
平面向量数量积的定义：两个向量的数量 积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦 值的乘积。
平行四边形中向量数量积的应用：在平 行四边形中，可以通过向量的数量积计 算对角线的长度、判断是否为矩形等。
性质：数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义：两个向量的数量积等于它们所构成的平行四边形的面积。
物理意义：两个向量的数量积可以表示为它们所构成的矢量的合力在某个方向上的投影。
公开课的目的和意义
拓展学生的数学思维和解题 技巧
提高学生对平面向量数量积 的理解和掌握
增强学生的数学兴趣和自信 心
平面向量数量积的定义和性质
平面向量数量积的定义
• 定义：两个平面向量的数量积定义为其中一个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量的模的乘积
• 性质：数量积为零当且仅当两个向量垂直；数量积为正表示两个向量方向相同；数量积为负表示两个向 量方向相反 以下是用户提供的信息和标题： 我正在写一份主题为“千里江山图诗歌鉴赏”的PPT,现在 准备介绍“诗歌鉴赏”,请帮我生成“诗歌主题”为标题的内容 诗歌主题
性质：数量积为零意味着两个向量垂直；数量积大于零意味着两个 向量夹角为锐角；数量积小于零意味着两个向量夹角为钝角。
几何意义：数量积的几何意义可以理解为两个向量的合成向量在另一 个向量上的投影长度。
应用：在解决实际问题时，可以利用数量积的性质来判断两个向量 的夹角是锐角、钝角还是直角，以及计算它们的模长等。
运算规则：平面向量数量积的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积等。在三角形中，可以利用这些运算规 则进行计算和化简。
在平行四边形中的应用
平行四边形的性质：平行四边形的对角线 互相平分，且相邻两边互相垂直。
平面向量数量积的定义：两个向量的数量 积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦 值的乘积。
平行四边形中向量数量积的应用：在平 行四边形中，可以通过向量的数量积计 算对角线的长度、判断是否为矩形等。
性质：数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义：两个向量的数量积等于它们所构成的平行四边形的面积。
物理意义：两个向量的数量积可以表示为它们所构成的矢量的合力在某个方向上的投影。
公开课的目的和意义
拓展学生的数学思维和解题 技巧
提高学生对平面向量数量积 的理解和掌握
增强学生的数学兴趣和自信 心
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积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
《平面向量的数量积》公开课课件
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a||b|。
特例：aa = |a|2或 | a | a a
b O a
1．两个非零向量夹角的概念
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量
aபைடு நூலகம்
和
b
的夹角，范围是：
0
≤
≤
180
特别地: a 0 0 a 0
例3 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例4 3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 ABBC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 ABBC 0 ,则△ABC 是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 ABBC 0
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
AB CD AB CD cos180 4 4 ( 1) 16
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量的数量积公开课
②若→a ·→b =→a ·→c 平，面则向→b量= →c ；③(→a ·→b ) →c =→a (→b ·→c )
④
a
(b
c)
a(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
其中正确的命题为(4) (5) (6) .
考点一:数量积的定义与运算及运算律
【例 1】 (2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点，则DE BC 的值为____-1___; DED的C最大值为______1.
考点二:数量积——模和夹角
【例
2】
(2012全国高考)
已知向量a, b夹角为450，
且 a 1,2ab 1,0 则 b 3_2____
【练习(22】012湖北高考)已知向量
a (1 ,0 则)b ,(1 ,1 )
（（12））向 与量2a同bb向与3a的向单量位夹向a角量的的余坐弦标值表为示_为_________;52_. 5
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
4.
abac
不一定有b
c
作业——《优化设计》
基础自测，例1.例2.举 一反三，巩固提升124
01
平面向量
02
03
04
选做：巩固提升5
1.已知正三角形的边长为 1，则 ①A→B·B→C＝________. ②A→B在B→C方向上的投影为________．
平面向量
2.已知非零向量 a,b,c,
× ① 若 a，c则bc吗？ ab
② (ab )c 恒 成a 立(吗b？c)
a
② kcma则不成立
b
ac
3．向量数量积的坐标运算
④
a
(b
c)
a(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
其中正确的命题为(4) (5) (6) .
考点一:数量积的定义与运算及运算律
【例 1】 (2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点，则DE BC 的值为____-1___; DED的C最大值为______1.
考点二:数量积——模和夹角
【例
2】
(2012全国高考)
已知向量a, b夹角为450，
且 a 1,2ab 1,0 则 b 3_2____
【练习(22】012湖北高考)已知向量
a (1 ,0 则)b ,(1 ,1 )
（（12））向 与量2a同bb向与3a的向单量位夹向a角量的的余坐弦标值表为示_为_________;52_. 5
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
4.
abac
不一定有b
c
作业——《优化设计》
基础自测，例1.例2.举 一反三，巩固提升124
01
平面向量
02
03
04
选做：巩固提升5
1.已知正三角形的边长为 1，则 ①A→B·B→C＝________. ②A→B在B→C方向上的投影为________．
平面向量
2.已知非零向量 a,b,c,
× ① 若 a，c则bc吗？ ab
② (ab )c 恒 成a 立(吗b？c)
a
② kcma则不成立
b
ac
3．向量数量积的坐标运算
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
高中数学平面向量数量积公开课课件
因为我们青春 所以我们选择行动 我们要给希望插上翅膀
平面向量的数量积的求解问题
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
定义说明：1.书写时a与b之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
2.规定:零向量与任一向量的数量积为0。
平面向量数量积的性质
设a与b均为非零向量：
(1)a⊥b⇔ a·b=0
(2)当
a∥b
时，a·b＝
|a||b| -|a||b|
，当a，b同向时， ，当a，b反向时.
(3)a·a＝ |a|2 或|来自|＝ a·a . a·b(4)cos θ＝ |a||b| .
(5)|a·b| ≤ |a||b|.
答案 返回
练习．若|a|＝4，|b|＝3，a 与b 的夹角为120，°则a·b 为( B )
A．6
B．－6
C．－6 2
D．6 2
练习
B
题型探究 1
.
反思与感 解析答案
.
大招：极化恒等式1式速解数量积
.
题型探究 2
.
反思与感 解析答案
题型探究 3
.
反思与感 解析答案
题型探究 4
.
反思与感 解析答案
题型探究 5xx17级高一期末第11题
如图，在四边形ABCD中， 的最小值为
， ， ， 那么
，
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
，
课堂随练1：
课堂随练1：
课堂随练2：
课堂随练2：
课堂随练3：
课后练1：
课后练2：
课后练3：
平面向量的数量积的求解问题
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
定义说明：1.书写时a与b之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
2.规定:零向量与任一向量的数量积为0。
平面向量数量积的性质
设a与b均为非零向量：
(1)a⊥b⇔ a·b=0
(2)当
a∥b
时，a·b＝
|a||b| -|a||b|
，当a，b同向时， ，当a，b反向时.
(3)a·a＝ |a|2 或|来自|＝ a·a . a·b(4)cos θ＝ |a||b| .
(5)|a·b| ≤ |a||b|.
答案 返回
练习．若|a|＝4，|b|＝3，a 与b 的夹角为120，°则a·b 为( B )
A．6
B．－6
C．－6 2
D．6 2
练习
B
题型探究 1
.
反思与感 解析答案
.
大招：极化恒等式1式速解数量积
.
题型探究 2
.
反思与感 解析答案
题型探究 3
.
反思与感 解析答案
题型探究 4
.
反思与感 解析答案
题型探究 5xx17级高一期末第11题
如图，在四边形ABCD中， 的最小值为
， ， ， 那么
，
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
，
课堂随练1：
课堂随练1：
课堂随练2：
课堂随练2：
课堂随练3：
课后练1：
课后练2：
课后练3：
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2
22 2 (3) 52
23
× 【基础 3】下列命题中，①若→a ·→b =0，则→a =0 或→b =0；
× × ②若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c ； ③(→a ·→b )→c =→a (→b ·→c )
b
a
c
a
③
左边
右边
k mc 与 a与c共a共线线
× 【基础 3】下列命题中，①若→a ·→b =0，则→a =0 或→b =0； × × ②若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c ；③(→a ·→b )→c =→a (→b ·→c )
A
E
B
考点一:数量积的定义与运算及运算律
【例 1】(2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点，则 DE CB 的值为____-1___; DE DC 的最大值为___1___.
【练习 1】(2012浙江高考)在 ABC中，M是BC边上 的中点， AM=3，BC=10，则 AB AC __1_6_;
b 同向的单位向量的坐标表示为_____.
3, 10
1 10
考点三:向量数量积的综合应用
【例 3】(2012辽宁高考)
已知两个非零向量
a,
b
满足
ab
a
b
,
则下列结论正确的是（
B
）
A.
a
//
b
B. a
b
C. a
b
D.a
b
a
b
提高题:向量数量积的综合应用
【思考】(2013湖南高考)
θ
O(B1)
a
A
思考 向量 a 在 b 方向上的投影是 a cos
1.已知正三角形的边长为 1，则
①A→B·B→C＝____12____. ②A→B在B→C方向上的投影为____12____．
C A
1200
B
AB BC 11 cos1200
AB cos1200
2．向量数量积的运算律
①
交换律：a
已知
a
b
1
，a
b
0
，
若向量
c 满足
c
a
b
1则
c 的最大值是（C
）
A. 2 1
B. 2
C. 2 1 D. 2 2
考点三:向量数量积的综合应用
【练习】 已知在ABC中，ACB是直角，CA=CB，D 是CB的中点，AE 2EB ，求证：AD CE
知识小结
1.a b
a
b
cos
b
b__ _a
② 结合律:
(a)
b
__(a__b_)_
③ 分配律:
(a b)c
_a_ b__a__ c_
3．向量数量积的坐标运算
非零向量 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)
结论 几何表示
模
a
aa
坐标表示
a
x21＋y21
夹角
cos
a
b
a b
cos Βιβλιοθήκη x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
（其中向量的夹角要注意）
2. a
a a 通常用来求向量的模
3.cos a,b
a
b
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4.
ab
a
c
不一定有
b
c
作业——《优化设计》
1. 基础自测，例1.例2.举一反三，巩固提升124 2.选做：巩固提升5
1.已知正三角形的边长为 1，则 ①A→B·B→C＝________. ②A→B在B→C方向上的投影为________．
④
a
(b
c)
a
b
a
c
；⑤
(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
其中正确的命题为(4) (5) (6) .
考点一:数量积的定义与运算及运算律
【例 1】(2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点，则 DE BC 的值为____-1___; DE DC 的最大值为___1___.
D
C
2014届文科数学一轮复习
第四章第三节
1．平面向量的数量积 （1）数量积的定义（非零向量 a、b, 夹角为 ）
B
θ
O
a
A
ab a
规定：
a
b 0
cos
0
（2）平面向量的投影的定义
投影:
b
cos
叫做向量b在a
方向上的投影.
B
b
B
b
B b
θ O a B1 A B1
θ O a aA
（3） cos _______
（4） a b a b ____ _______
考点三:向量数量积的综合应用
【练习】 已知在ABC中，ACB是直角，CA=CB，D 是CB的中点，AE 2EB ，求证：AD CE
【基础 2】已知| a | 2,| b | 5, a • b 3 ，则 cos< a, b >=___1_30_
2.已知非零向量 a,b,c,
× ① 若 a c b c ，则 a b 吗？
② (a b) c a (b c) 恒成立吗？
a
② k c m a 则不成立
b
ac
3．向量数量积的坐标运算
设a (x1, y1),b (x2 , y2 ),夹角为
则（1） a b _____ （2） a _____
（4）若 a 与 b 的夹角为θ， a 在 b 上的投影是 4cos.
3
【基础 2】已知| a | 2,| b | 5, a • b 3 ，则 cos< a, b >=___1_0_
| a b | 23 .
cos a,b
a
b
ab
3 25
a
b
2
a
2
2a
a
2
2a
b
b
2
b b
3．向量数量积的坐标运算
结论 数量积
几何表示
a
b
_a__b__c_o_s_
a b
的
充要条件
a
b
_0__
坐标表示
a
b
x_1 x_2__y_1 _y2
_x_1 x_2 __y_1 y_2 __0_
【基础 1】已知| a | 4,| b | 5
（1）当 a 与 b 的夹角为 60°时， a • b = 10 ； （2）当 a // b 时， a • b = 20 ； （3）当 a b 时， a • b = 0 ；
| a b | 23 .
【基础 3】已知正三角形的边长为 1，则
①A→B·B→C＝_____12___.
②A→B在B→C方向上的投影为______12__．
C
AB BC 11 cos1200
1200
考点二:数量积——模和夹角
【例 2】(2012全国高考)
已知向量
a,b
夹角为450，
且
a 1, 2a b
10 ,则b 3___2__
【练习 2】(2012湖北高考)已知向量
a (1,0), b (1,1)
则
（1）向量
（2）与
2a
b 3a
与向量
a
夹角的余弦值为___52__5_;