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小题目大应用——以一道课本练习题为例

2019年12月1日理科考试研究•数学版•31•小题目大应用——以一道课本练习题为例郭兴甫（会泽县东陆高级中学校云南曲靖654200）摘要:课本是高考命题的依据，很多高考试题是由课本习题改编而成的.本文以一道课本练习题为例，通过多种证明，例举实例说明其结论、思想方法的应用.关键词：课本练习题；多证;应用结论高考试题来源于课本中的例题和习题，是近年高考命题的一个亮点，体现了考试说明中的源于教材又略高于教材的思想•本文以普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第18页练习第3题为例进行说明. 1试题呈现题目在“ABC中，求证:a=bcosC+ccosB,b= ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.该习题的结论表明：A在三角形中任何一边等于其它两边与这边所夹角的i V余弦值之积的和•这是数b上d___L\c学中十分著名的三角形射。

D bcosC 影定理，这与三角形各边图1在其它边的射影有关，如图1,在中，边b,c在a 上的射影分别是bcosC,ccosB.由此结论显而易见，这有助于我们理解习题性质的内涵，拓展知识视野,感受数学的自然之美,记忆十分方便•殊不知，该题虽是一道小小的练习题,确有不俗的大应用.该习题的证明方法灵活多样，可借助正弦定理化边为角，再用两角和的正弦公式获证;可借助余弦定理化角为边获证;也可转化为直角三角形进行证明•2试题解析证法1由三角形内角和定理有A=it-(B+ C)，所以sia4=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB.①由正弦定理有sinA=a.r-.b.“c代入①整理得,a=bcosC+ccosB.同理可证,b=ccos4+acosC,c=acosB+bcosA.证法2由余弦定理的推论有,bcosC+ccosB=b a2+62-c a2+c1-b22a1-------------+c•--------------=——=a.2ab2ac2a所以a二bcosC+ccosB.同理可证,6=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.证法3由余弦定理有,b2=a+c2-2accosB,①c2=a2+62-2a6cosC.②由①+②得，2a2=2a（bcosC+ccosB）・所以a二 bcosC+ccosB.同理可证，6=ccosA+acosC,c=acosB+6cosA.证法4（平面向量法）由平面向量知识有乔+荒+刁=6,所以炭=页+花所以|荒|2=BC-BA+BC-AC.即a2=accosfi+abcosC.因为a#0,所以a=ccosB+bcosC.同理可证,6=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.评注证法1的方法及逆用是高考试题及模拟题命题者常用的方法，要用到两角和的正弦公式及变形，学生易错;证法2,化角为边,利用余弦定理的推论可得结论;证法3体现整体相加思想，应该掌握;证法4利用向量思想，向量数量积，转化思想，值得学习•体现思维的灵活性.特别地，逆用课本习题结论可以简化解题过程,迅速正确求解问题.3结论应用例1（2018年泉州市高中数学学科竞赛试题）已知AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+75"asinC-b—c=0.（1）求角4的大小；（2）若AABC内接于单位圆，求边BC上的中线AM的最大值.解析（1）由acosC+-fi asinC-6-c=0得acosC+v^"asinC=b+c.作者简介：郭兴甫（1970-）,男，云南会泽人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学.・32・理科考试研究・数学版2019年12月1日又b=ccosA+acosC,所以^/3asinC=c+ccosA.由正弦定理得TTsirvl-cosA二1,即sin（4-乎）=oy.又因为4为三角形的内角，故A=寺.（2）因为AABC内接于单位圆，由正弦定理得士sirvl =2x1,所以a=2sinA=73~-由余弦定理得a2=b2+c2-2be c os A.所以3=62+c2-be.由b2+c2=bc+3M2bc可得bcW3,当且仅当b=c '时取等号.由中线长定理可得，仙2=2沪+了一°2=26^+3Q QW计，所以AM的最大值为寺评注问题（1）标准答案是利用正弦定理化边为角，诱导公式，两角和正弦公式，辅助角公式求解，过程复杂，易错•利用课本习题结论，可以简化过程，迅速求解；问题（2）也是利用课本20页习题4组第13题的结论直接进行求解，同时也可以利用余弦定理及其逆定理求得中线AM的表达式，再利用不等式思想求最值•本题的命制体现了源于教材又高于教材的思想，是一道好的竞赛试题.例2（2016年全国高考理科I卷）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+ 5cos4）=c.⑴求C；（2）若c=打，/\ABC的面积为叩，求△佃C的周长.解析（1）由已知及课本习题结论可得,2ccosC =c.因为cMO,所以cosC=*所以C=寺（2）由（1）及已知可得,*absinC=攀.又因为C=~,所以ab=6.由已知及余弦定理得,/+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而（a+6）2=25.所以ZUBC的周长为5+存.评注课本中的习题结论可以当做公式应用，问题（1）直接利用课本习题结论可使问题迅速获解；问题（2）体现整体思想的灵活运用，整体配凑和的完全平方,简化解方程组带来的麻烦.例3(2016年全国高考四川文科)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,K—+^=-.a b c(1)证明：sinAsinB=sinC；(2)若b? +c2-a2=求tanB.证明（1）由泌+響=泌两边同时乘以a%a b c得c（bcosA+acosB）=absinC.所以由课本习题结论可得c?=absinC.利用正弦定理可得sir?C=sinAsinBsinC.又A,B,C是三角形的内角，所以sinAsinBsinCH 0.所以sinAsinB=sinC.（2）由已知,b2+c2-a2=^-bc,根据余弦定理，有所以si n A=a/1-cos24二由(1),sin4sinB=sinC=sin(4+B)=sinAcosB+4 4 3cosAsinB，所以—sinB=—cosB+—sinB.故tanB=sinB.^B=4-评注本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查学生的分析问题的能力和计算能力.第（1）问，直接去分母，利用习题结论及正弦定理简洁证明;第（2）问，利用余弦定理解岀cosA=丰,再根据平方关系解出sinA,结合（1）可解出tanB的值.在解三角形时,凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化:一种是化为三角函数问题;一种是化为代数式的变形问题•在角的变化过程中注意三角形的内角和为180。

2018年5月泉州市高中毕业班第二次质量检查理科数学试题

2018年5月泉州市高中毕业班第二次质量检查理科数学试题准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题2018.5 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，则AB =（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}0,1 （D ）(){}1,0（2）设向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()3-=a a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）3π （C ）32π（D ）65π （3）设等差数列{}na 的前n 项和为nS .若136a a+=，416S=，则4a =（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 （4）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点()40F ，到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为（A ）3y x = （B ）3y x= （C ）5y x =（D ）5y x=（5）执行如图所示的程序框图，若输出的2=S ，则判断框内可以填入（A ）()()ee23f f >- （B ）()()23e ef f >-（C ）(0.5log3f >（9）如图，长为1，体积为（A ）32π （C ）116π （D ）136π （10）已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，,M N分别为111,B C BB 的中点.现有下列四个结论：1p ：1//AC MN ； 2p ：11AC C N ⊥；3p ：1B C ⊥平面AMN ；4p ：异面直线AB 与MN 所成角的余弦值为24.其中正确的结论是（A ）12,p p （B ）23,p p （C ）24,p p（D ）34,p p（11）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线2:2(0)E ypx p =>的焦点，点A 为C与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C的离心率为（A 51- （B 21（C ）35（D 21（12）函数()2e ,1,143,1,x x f a x x ax x x x ⎧>-⎪=+⎨⎪++≤-+⎩+则关于x 的方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实数解最多有（A ）4个（B ）7个（C ）10个（D ）12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）在复平面内复数i1ia z =+对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是 . （14）若,x y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为 .（15）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 .（16）已知数列{}na ，{}nb ，{}nc 满足1112,2,2,n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c +++=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩且18a=，14b =，10c =，则数列{}nna 的前n项和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且2cos b A c =-．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若42c =72cos A =△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=，PE120∠=，点E为PA的中点．ADP（Ⅰ）求证：//BE平面PCD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：A机器生B机器生产的产品产的产品23 4 5 5 0 2 2 4 5 6 6 7 8 9 6 6 8 9 9 8 7 6 3 2 19 8 6 4 2 2 11 08 8 8 7 6 5 54该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90,100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80,90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅱ）完成下列22 列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；A生产的产品B生产的产品合计良好以上（含良好）合格合计（III）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1. 独立性检验计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2. 临界值表： 2()P K k ≥ 0.25 0.15 0.10 0.050.025k 1.323 2.072 2.7063.8415.024（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(22，，离心率为22．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程．（21）（本小题满分12分）函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，()1122!ee!nn nn n n n n n ++⋅<<⋅.选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。

2018年福建省高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题参考答案(新)

2bc
6c
∴ c2 10 ， c 10 。
∴ cos C a2 b2 c2 4 9 10 1 。
2ab
223 4
3．设复数 z 满足 z i 2 ，则 z z 的最大值为
。（ i 为虚数单位， z 为复
数 z 的共轭复数）【答案】 6 【解答】设 z x yi （ x ， y Βιβλιοθήκη R ），4 y0
。
∴ r1 r2 16 ，结合 r1 r2 4 ，得 r1 10 ， r2 6 。
由此得到， F1P 2 F1F2 2 F2 P 2 。因此， PF2 F1F2 。
∴
△F1PF2
的外接圆半径
R

1 2
F1P
5。
4
8．最近网络上有一篇文章很火。源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理。（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）
1的左、右焦点，点
P
在双曲线 C
上， G
、I
分别为 △F1PF2 的重心、内心，若 GI∥x 轴，则 △F1PF2 的外接圆半径 R
。
【答案】 5
【解答】不妨设 P(x0 ，y0 ) 在第一象限， PF1 r1 ， PF2 r2 。依题意， r1 r2 4 ， F1F2 8 。
∴ z z 的最大值为 6 。
1
4．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称，当 0 x 2 时，f (x) x 1，
则 f (100) f (101)
。
【答案】 2
【解答】由 f (x) 为奇函数，且其图像关于直线 x 2 对称，知 f (x) f (x) ，且

福建省泉州市2018届高三1月单科质量检查数学(理)试题+Word版含解析

准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2018届高中毕业班单科质量检查理科数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则AB = （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2A B x x =≤，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（A ）{|0}A B x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i +【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99 （B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯ 【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C.【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的渐近线上，则E的离心率等于（A）2（C（D）2【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线by xa=上，则12ba=，所以2ea==，故选B.【错选原因】错选A：误认为222c a b=-导致错误；错选C：误认为双曲线的焦点在y轴上.错选D：未判断双曲线的焦点位置.【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)则C的渐近线方程为（A）y＝14x±（B）y＝13x±（C）y＝12x±（D）y x=±（5）已知实数,x y满足1,30,220,xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y=-的最大值为（A）-1（B）13（C）1（D）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y=-检验得：当1,0x y==时，z取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A：误把z-的最大值当成z x y=-的最大值；错选B：误把z的最小值当成z x y=-的最大值；错选C：误把z-的最小值当成z x y=-的最大值.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x，y满足约束条件21,21,0,x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y=-的最小值为．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）16π3（B）11π2（C）17π3（D）35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V rππ==，故选A.【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥.错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥.错选D：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A）π17（B）π18（C）π20（D）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 开始d输入0,0,1,1i S x y ====否S S x y=++是2x x =i输出S d<结束12y y =1i i =+【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥ 1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2x x =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =- （B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+ （C ）()e e 2x xf x -+= （D ）()e 1e 1x x f x -=+ 【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC ==，由余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0)错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44k k k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A ）33[,0)(0,]33- （B ）33(,[,)33-∞-+∞ （C ）[3,0)(0,3] （D ）(,3][3,)-∞-+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l 的距离2222()32d =-=，即231am mm +=+所以223(1)3m a =+-，又因为1a ≥，所以203m <≤，30m ≤<或03m <≤解法二：由题意可得，圆心C 到l 的距离2222()32d =-= 又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以33sin AC θ=，所以l 的斜率tan [3,0)(0,3]m θ=∈. 【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点. 当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x+=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x--'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e xf x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点. 当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a>时，()0f x '<，所以2max ()(ln )ln e f x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2max ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->. 令2()ln e g t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >. 综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点. 错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018届福建省泉州市高三(5月)第二次质量检查数学(理)试题Word版含答案

2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x ，则=B C A ( )A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,32.已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ，则2i z +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若123=S ，则=3a ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．14 4.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ) A ．41 B ．21 C. 43D ．1 5.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于( )A ．12B ．13 C.14 D ．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()R x x f ∈的表述，正确的是( )A ．()x f 是奇函数，且为减函数B ．()x f 是偶函数，且为增函数 C.()x f 不是奇函数，也不为减函数 D ．()x f 不是偶函数，也不为增函数7.已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为P F ,为C 上一点，M 为PF 的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( )A ．12-B ．12+ C. 22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( ) A ．12π B ．4π C.3π D ．125π 9.在梯形ABCD 中，060,32,2,1,//=∠===ACD BD AC AB CD AB ,则=AD ( ) A ．2 B ．7 C. 19 D ．3613-10.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是4,3,2,1中的任一个，现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同，则上述四人所设密码最安全的是( ) A ．甲 B ．乙 C.丙 D ．丁11.已知直线PB PA ,分别于半径为1的圆O 相切于点().12,2,,PO B A λλ-+==，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D ．()1,012.已知函数()().,2ax ax x g e x f x -==，若曲线()x f y =上存在两点，这两点关于直线x y =的对称点都在曲线()x g y =上，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．()+∞,1 C. ()+∞,0 D ．()()+∞,11,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆134:22=+y x C 的左顶点、上顶点，右焦点分别为F B A ,,，则=⋅AF AB ．14.已知曲线x x y C 2:2+=在点()0,0处的切线为l ，则由l C ,以及直线1=x 围成的区域的面积等于．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()()11,≥x x P ，则θθs i n c o s +的取值范围是．16.已知在体积为π12的圆柱中，CD AB ,分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥BCD A -的体积的最大值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中,().221,4211n n a n na a n n +=+-=+ （Ⅰ）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ；18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1表.2已知表1 数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(Ⅰ)求b a ,的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a b y ；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：回归方程ˆy ba ∧∧=+中，()1221,.ni ii nii x y n x y b a y b x xnx∧∧∧==-⋅==--∑∑）19.如图，在三棱锥BCD A -中，平面ABD ⊥平面42,60,,0===∠=BC BD CBD AD AB BCD ，点E 在CD 上，.2EC DE = （Ⅰ）求证：BE AC ⊥；（Ⅱ）若二面角D BA E --的余弦值为515，求三棱锥BCD A -的体积.20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,过点F 的直线l 交C 于B A ,两点,交x 轴于点B D ,到x 轴的距离比BF 小1. (Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）若AO D BO F S S ∆∆=，求l 的方程.21.已知函数().ln k kx x x f +-= (Ⅰ)若()0≥x f 有唯一解,求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1≤a 时，()().12--<-+ax e k kx x f x x （附：39.7,48.4,10.13ln ,69.02ln 223≈≈≈≈e e ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，（α为参数）；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为.sin cos 2θθρ=（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线()0:≥=x kx y l 分别交21,C C 于B A ,两点（B A ,异于原点），当(]3,1∈k 时，求OB OA ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数().a x a x x f ++-= （Ⅰ）当2=a 时，解不等式()6>x f ；（Ⅱ）若关于x 的不等式()12-<a x f 有解，求实数a 的取值范围.2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题试卷答案一、选择题1-5:CBBCC 6-10:DBABC 11、12：BD二、填空题13.6 14.3115.(]2,1 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）()n n a n na n n 22121+=+-+的两边同时除以()1+n n ，得()*+∈=-+N n na n a nn 211，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ），得()121-+=n a na n，即22+=n na n即n n a n 222+=，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+-+⋅=+=11121112122112n n n n n n n n a n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121n n S n , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=113121131211n n ,().1211121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn 18.解：（Ⅰ）依题意，得2650106-=a ，解得40=a ，又10036=++b a ，解得24=b ；故停车距离的平均数为.27100255100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（Ⅱ）依题意，可知60,50==y x ，22222250590705030106050590907070605050303010⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∧b 107=, 255010760=⨯-=∧a ,所以回归直线为.257.0+=∧x y（Ⅲ）由（Ⅰ）知当81>y 时认定驾驶员是“醉驾” 令81>∧y ，得81257.0>+x ，解得80>x ,当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 19.解：（Ⅰ）取BD 的中点，连接.,,EO CO AO 因为OD BO AD AB ==,，所以BD AO ⊥,又平面⊥ABD 平面BCD ,平面 ABD 平面⊂=AO BD BCD ,平面ABD , 所以⊥AO 平面BCD ,又⊂BE 平面BCD ,所以.BE AO ⊥在BCD ∆中，EC DE BC BD 2,2==,所以2==ECDEBC BD ，由角平分线定理，得DBE CBE ∠=∠，又2==BO BC ，所以CO BE ⊥,又因为⊂=AO O CO AO , 平面⊂CO ACO ,平面ACO , 所以⊥BE 平面ACO ,又⊂AC 平面ACO ，所以.BE AC ⊥（Ⅱ）在BCD ∆中，060,42=∠==CBD BC BD ,由余弦定理得32=CD ，所以222BD CD BC =+，即090=∠BCD , 所以DE BE EDB EBD ==∠=∠,300，所以BD EO ⊥,结合（Ⅰ）知，OA OD OE ,,两两垂直，以O 为原点，分别以向量,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），设()0>=t t AO,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,332,0,2,0,,0,0E B t A , 所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0,2,332,,2,0BE t BA , 设()z y x n ,,=是平面ABE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n BA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0233202y x tz y ，整理，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,3y t z y x 令1-=y ，得23,1,.n t ⎛⎫=- ⎪⎭因为⊥OE 平面ABD ,所以()1,0,0m =是平面ABD 的一个法向量.又因为二面角D BA E --的余弦值为515，所以5154133,cos 2=++=><t n m ，解得2=t 或2-=t （舍去），又⊥AO 平面BCD ,A 所以AO 是三棱锥BCD A -的高, 故.3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-BCD BCD A S AO V 20.：（Ⅰ）C 的准线方程为2py -=，由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离，即2P y BF B +=, 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1，所以12+=+B B y Py ，故12=P，解得2=P ，所以C 的方程为.42y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点()1,0F ，因为直线l 交C 于B A ,两点，交x 轴于点D ，所以l 的斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()()().,,,,011111y x B y x A k kx y ≠+=，则⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k D . 联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x ，消去y ，得.0442=--kx x()()01616414422>+=-⨯⨯--=∆k k ,由韦达定理，得.4,42121-==+x x k x x 设点O 到直线l 的距离为d ,则.21,21AD d S BF d S AOD BOF ⋅=⋅=∆∆ 又AO D BO F S S ∆∆=，所以AD BF =.又F D B A ,,,在同一直线上，所以FB DA =，从而211x k x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--，即k x x 112==, 因为()()()()4444221221212-⨯-=-+=-k x x x x x x , 所以()()221444⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-k k ，整理，得01161624=-+k k , 故4252-=k ，解得225-±=k , 所以l 的方程为1225+-±=x y . 21.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为().,0+∞要使()0≥x f 有唯一解,只需满足()0max =x f ,且()0max =x f 的解唯一,()xkx x f -='1, ①当0≤k 时,()0>'x f ,故()x f 在()+∞,0上单调递增,且()01=f ,所以()0≥x f 的解集为[)+∞,1,不符合题意；②当0>k ，且⎥⎦⎤ ⎝⎛∈k x 1,0时，()()x f x f ,0≥'单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1k x 时，()()x f x f ,0<'单调递减，所以()x f 有唯一的一个最大值为⎪⎭⎫⎝⎛k f 1, 令()()01ln 1>--=⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k f k g ，则()()kk k g g 1,01-='=, 当10<<k 时，()0<'x g ,故()k g 单调递减；当1>k 时，故()k g 单调递增，所以()()01=≥g k g ，故令01ln 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k f ,解得1=k ，此时()x f 有唯一的一个最大值为()1f ，且()01=f ，故()0≥x f 的解集是{}1，符合题意；综上，可得.1=k（Ⅱ）要证当1≤a 时，()(),1--<-+ax e k kx x f x x即证当1≤a 时，01ln 2>---x x ax e x ,即证.01ln 2>---x x x e x由（Ⅰ）得，当1=k 时，()0≤x f ,即1ln -≤x x ，又0>x ，从而()1ln -≤x x x x ,故只需证0122>-+-x x e x ，当0>x 时成立；令()()0122≥-+-=x x x e x h x ，则()14+-='x e x h x ,令()()x h x F '=，则()4-='x e x F ，令()0='x F ，得.2ln 2=x因为()x F '单调递增，所以当(]2ln 2,0∈x 时，()()()x F x F x F ,0,0≤≤'单调递减，即()x h '单调递减，当()+∞∈,2ln 2x 时，()()x F x F '>',0单调递增，即()x h '单调递增，且()()()0182,020,02ln 854ln 2>+-='>='<-='e h h h ,由零点存在定理，可知()()2,2ln 2,2ln 2,021∈∃∈∃x x ，使得()()021='='x h x h ，故当10x x <<或2x x >时，()()x h x h ,0>'单调递增；当21x x x <<时，()()x h x h ,0<'单调递减，所以()x h 的最小值是()00=h 或().2x h由()02='x h ，得1422-=x e x ，()()()122252122222222---=-+-=-+=x x x x x e x h x ,因为()2,2ln 22∈x ，所以()02>x h ,故当0>x 时，所以()0>x h ,原不等式成立.22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 1y x 可得()αα2222sin cos 1+=+-y x , 即1C 的普通方程为().1122=+-y x 方程θθρsin cos 2=可化为θρθρsin cos 22= ()* ,将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,代入方程()*，可得y x =2,所以2C 的直角坐标方程为y x =2，（Ⅱ）联立方程组()⎩⎨⎧==+-,,1122kx y y x 解得.12,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k A 联立方程组⎩⎨⎧==,,2x y kx y 可得()2,k k B ，故k k k k k OB OA 21121222=⋅+⋅+⋅+=⋅, 又(]3,1∈k ,所以(].32,2∈⋅OB OA 23.解：（Ⅰ）当2=a 时，()⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤->=++-=,2,2,22,4,2,222x x x x x x x x f当2>x 时，可得,62>x ，解得.3>x当22≤≤-x 时，因为64>不成立，故此时无解；当2-<x 时，由62>-x 得，故此时.3-<x综上所述，不等式()6>x f 的解集为()().,33,+∞-∞-（Ⅱ）因为()a a x a x a x a x x f 2=---≥++-=,要使关于x 的不等式()12-<a x f 有解，只需122-<a a 成立. 当0≥a 时，122-<a a 即,122-<a a 解得21+>a ，或21-<a （舍去）；当0<a 时，122-<a a ，即,122-<-a a 解得21+->a （舍去），或21--<a ；所以，的取值范围为()().,2121,+∞+--∞-。

2018届福建省泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试

泉州市2018 届普通中学高中毕业班质量检査理科数学第 I 卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数iai ++21(i 为虚数単位)是纯虚数,则实数 a 的值为（）A.2B. -2C. 21- D. 212.各项均为正数的等比数列{na }中,a 3,3a 2,5a 1,成等差数列且 a n < a n+1(n *N ∈) ,则公比q 的值等于（）3 执行如图所示程序框图的算法, 输出的结果为（） A. 10log9B. 11lgC. 2D. 10log34. 已知非负实数x,y 满足⎩⎨⎧≤-≤+14y x y x 若实数k 满足y+1=k(x+1)，则（ A. k 的最小值为1, k 的最大值为75B. k 的最小值为21, k 的最大值为75C. k 的最小值为21, k 的最大值为5D. k 的最小值为75, k 的最大值为5若(1-χ)5=a 0+a 1(1+x)+ a 2(1+x)2 +……+ a 5(1+x) 5,则a1十a2十a3十a4十a5的值等于（）A. -31B. 0C. 1D. 326、设 a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是（）A.存在唯一直线l ,使得l丄 a,且l丄bB.存在唯一直线l ,使得l// a,且l丄bC.存在唯一平面α,使得 a⊂α,且 b//αD.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b丄α7.已知函数f(x) =x2-2ax+1,其中a∈R,则“a> 0”是“f〔-2018) >f(2018)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.8. 曲线y=e x与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(m∈Z)内，则实数m的值为（）A. 1B.2C. 3D. 4 '9.已知直线ax + by2-= 0(a> l, b> 1)被圆x2+y2 -2x -2y-2= 0截得的弦长为23，则ab的最小值为（）A. 2-1B. 2+1C. 3-22D. 3+2210. 平面向量a,b 中,｜a ｜≠0, b= ta(t ∈R).对于使命题“,1>∀t ｜c-b ｜≥｜c-a ｜”为真的非零向量c,给出下列命题: ①,1>∀t (c - a)•( b- a)≤0; ②∃t>1, ( c - a) • (b- a) >0;③∀t ∈R, (c - a) •( c -b) <0; ④∃t ∈R, (c - a) • (c -b) <0.则以上四个命题中的真命题是（）A. ①④ B ②③ C.①②④ D. ①③④第 II 卷(非选择題共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

2018年福建泉州市普通高中毕业第二次质量检查

2018年福建泉州市普通高中毕业第二次质量检查理科数学第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1216}xA x =<≤，{|}B x x a =<，若AB A =，则实数a 的取值范围是（）A ．4a >B ．4a ≥C ．0a ≥D ．0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数134i i-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（） A ．15B ．25C ．49D ．454．设12,F F 为双曲线()2222:10,0x y a b abΓ-=>>的左、右焦点，P 为Γ上一点，2P F 与x 轴垂直，直线1P F 的斜率为34，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =±C ．y =D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为2，则输出S 的值为（）A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*12n n n a a n N +=∈，则2016S =（）A ．1008323-B ．201621-C ．200923-D ．200823-7．已知函数()()()sin 2co s f x x x ϕϕ=+-+()0ϕπ<<的图象关于直线x π=对称，则c o s 2ϕ=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．在区域(),|11x x y x y x y ⎧≥⎫⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0a x y +>的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值是（） A ．23B ．12C ．12-D ．23-9．在四面体A B C D 中，若A B C D ==，2A C B D ==，A D B C ==则直线A B 与C D 所成角的余弦值为（） A ．13-B ．14-C ．14D ．1310．函数2||1||()2x x n x f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2P F 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2P F 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（）A ．4 C ．412．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形A B C D 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）A ．383r B ．383r π C ．3163r D ．3163r π第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知椭圆22:143xyC +=的左顶点、上顶点、右焦点分别为,,A B F ，则A B A F ⋅=_________.（14）已知曲线2:2C y x x =+在点(0,0)处的切线为l ，则由,C l 以及直线1x =围成的区域面积等于__________.（15）在平面直角坐标系x O y 中，角θ的终边经过点(,1)(1)P x x ≥，则co s sin θθ+的取值范围是_____.（16）已知在体积为12π的圆柱中，,A B C D 分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A B C D -的体积最大值等于_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n n a n a n n +-+=+.（Ⅰ）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .（18）（本小题满分12分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.表1表2已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.（Ⅰ）求,a b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程ˆˆˆyb x a =+；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy b x a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i ni i x y n x ybx n x==-=-∑∑，ˆˆay b x =-.）（19）（本小题满分12分）如图，在三棱锥A B C D -中，平面A B D ⊥平面B C D ，A B A D =，60C B D ∠=，24B D B C ==，点E 在C D 上，2D E E C =．（Ⅰ）求证:A C B E ⊥；（Ⅱ）若二面角E B A D --5A B C D -的体积.（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2:2(0)C x p y p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交x 轴于点D ，B 到x 轴的距离比B F 小1.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若B O F A O D S S ∆∆=，求l 的方程.（21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x kx k =-+.（Ⅰ）若()0f x ≥有唯一解，求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1a ≤时，2(())e 1xx f x k x k a x +-<--.（附：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，32e 4.48≈，2e 7.39≈）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线1C 的参数方程为1c o s ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2c o s s in ρθθ=．（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y k x =(0)x ≥分别交1C ，2C 于,A B 两点（,A B 异于原点）.当k ∈时，求O A O B ⋅的取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a x a =-++. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()6f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a <-有解，求实数a 的取值范围.2018年福建泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC（11）解法一：以圆心O 为原点，O P 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，则有()2,0P ，1(,22A ，1(,22B -.设()00,Mx y ，可解得()01132x λ=-，)0312y λ=-，因为()00,Mx y 在圆内，所以()()22131331144λλ-+-<，整理，得311λ-<，解得2(0,)3λ∈，故答案选（B ）.解法二：如图，在线段P A 的延长线上取点Q ，使得P A A Q =.连结O Q ，交圆O 于C .可求得60B O P A O P A O Q ∠=∠=∠=，故,,B O Q 三点共线.因为2P A P Q =，所以2(1)(1)P M P A P B P Q P Bλλλλ=+-=+-，故B M B Q λ=.又因为点M 在圆O 的内部（不包括边界），所以2(0,)3λ∈，答案选（B ）.（12）解法一：可以看出，(1,0)是曲线(1)y a x x =-与曲线ln y x =的一个公共点，且当1a =时，两曲线在点(1,0)处的切线方程均为1y x =-.由导数的概念，可知当01a <<或1a >时，曲线(1)y a x x =-与直线1y x =-交于两点，必与曲线ln y x =交于两点，故答案为（D ）.解法二：方程2ln a x a x x -=显然有一个根1x =.若满足在去心邻域(1,1)δδ-+存在非1的根则符合题意.又因为对于区间(1,1)δδ-+（其中δ为任意充分小正数），1ln x x -（表示等价无穷小），故去心邻域(1,1)δδ-+中，方程等价为1a x =，所以a 取遍去心邻域11(,)11δδ+-，所以排除选项（A ）（B ）（C ），答案为（D ）.解法三：2ln a x a x x -=有两个不同根，由于两者都是连续函数，令特殊值1a =，不合题意；令特殊值2a =，符合题意；令特殊值12a =，符合题意.故选项（D ）.解法四：依题意，可知()ln 1x a x x=-有两个不同实根.设()ln x F x x=，则()21l n 'xF x x-=.当(0,1)x ∈时，()F x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()F x 单调递减；当1a =时，()()1F x a x ≤-恒成立，当且仅当1x =取到等号，即只有一个根，与题意不合.当1a <时，显然符合题意.当1a >时，可以发现0x +→时，()()1F x a x <-；（或者()()111F a a a --<-）21x a=当时，()211F x a a⎛⎫>-⎪⎝⎭（证明后补）.根据零点存在性定理可得在(0,1)必有一根.故两图象有两个公共点.故a 的取值范围是(0,1)(1,)+∞.补证：21x a=时，()()1F x a x >-，即证2221ln 1a a a a⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即证221ln a a a a >-，这是显然的22ln 0a a >，而10a a-<.得证解法五：方程2ln a x a x x -=显然有一个实根1x =，故当1x ≠时方程()ln 1x a x x =-还有另一个实根，当0x +→时，()ln 1x x x →+∞-；当x →+∞时，()ln 01x x x +→-；且()()()()()2111111ln 'ln 'ln 1limlimlimlimlim112121'1'x x x x x x x x x x x x x xx x x x -----+→→→→→=====-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()2111111ln 'ln 'ln 1limlimlimlimlim112121'1'x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++++-→→→→→=====-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；显然，0a >，且1a ≠都是符合题意.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）6 （14）13（15）（16）8解析：（15）解法一：依题意，可知π(0,]4θ∈，所以ππ(,]442πθ+∈，故πs in (),1]42θ+∈，所以πc o s s in in ()(1,4θθθ+=+∈，故答案为.解法二：由三角函数定义，得c o s θ=，s in θ=，所以c o s sinθθ+=+====因为1y xx=+在[1,)+∞单调递增，所以[2,)y∈+∞，所以2(0,1]1xx∈+，从而co s sinθθ+∈，故答案为(1,.（16）解：设上、下底面圆的圆心分别为1,O O，圆的半径为r，由已知21π12πV r O O=⋅=圆柱，所以2112r O O⋅=，则A B C D C O A B D O A BV V V---=+，因为O是C D中点，所以C到平面O A B的距离与D到平面O A B的距离相等，故C O A BD O A BV V--=，从而2A B C D C O A BV V--=.设三棱锥C O A B-的高为h，则h r≤，所以11221223323A B C D D O A B O A BV V S h A B O O h r O O h--∆===⋅⋅=⋅212212833r O O≤⋅=⨯=，故三棱锥A B C D-的体积最大值等于8.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）21(1)22n nn a n a n n+-+=+的两边同时除以(1)n n+，得*12()1n na ann n+-=∈+N，·······································································································3分所以数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列.·································································6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得22nann=+，································································································7分所以222na n n=+，故2111(1)111()222(1)21nn na n n n n n n+-==⋅=⋅-+++， ···························8分所以111111[(1)()()]22231nSn n=-+-++-+，1111111[(1)()]223231n n=++++-++++，11(1)212(1)n n n =-=++. ····························································································· 12分解法二：依题意，可得1(1)22nn n a a n n++=++， ········································································ 1分所以1(1)222211nn n n n n n a n a a a a a nn nn nnn++++-=-=+-=++，即*12()1n n a a n n n+-=∈+N ， ··········································································································· 3分所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列.································································· 6分（Ⅱ）同解法一. ····················································································································· 12分（18）（本小题满分12分）本小题主要考查频率分布直方图、数学期望等基础知识；考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查统计与概率思想、分类与整合思想.解：（Ⅰ）依题意，得6502610a =-，解得40a =，······································································· 1分又36100a b ++=，解得24b =； ································································································ 2分故停车距离的平均数为26402482152535455527100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ················ 4分（Ⅱ）依题意，可知50,60x y ==， ···························································································· 5分 2222221030305050607070909055060ˆ1030507090550b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=++++-⨯， ············································· 6分 710=， ············································································································································ 7分 7ˆ60502510a=-⨯=，所以回归直线为ˆ0.725yx =+. ········································································································ 8分（Ⅲ）由（I ）知当81y >时认定驾驶员是“醉驾”. ······························································· 9分令ˆ81y>，得0.72581x +>，解得80x >， ············································································· 11分当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. ···························································· 12分（19）（本小题满分12分）解法一:（Ⅰ）取B D 的中点O ，连结,,A O C O E O .因为A B A D =，B O O D =，所以A O B D ⊥， ······································································· 1分又平面A B D ⊥平面B C D ，平面A B D平面B C D B D =，A O ⊂平面A B D ，所以A O ⊥平面B C D ， ················································································································· 2分又B E ⊂平面B C D ，所以A O B E ⊥. 在B C D ∆中，2B D B C =，2D E E C =，所以2B D D E B CE C==，由角平分线定理，得C B E D B E ∠=∠， ····················································································· 3分又2B C B O ==，所以B E C O ⊥， ··························································································· 4分又因为A OC O O =，A O ⊂平面A C O ，C O ⊂平面A C O ，所以B E ⊥平面A C O ， ················································································································· 5分又A C ⊂平面A C O ，所以A C B E ⊥. ························································································ 6分（Ⅱ）在B C D ∆中，24B D B C ==，60C B D ∠=，由余弦定理得C D =222B C C D B D +=，即90B C D ∠=，所以30E B D E D B ∠=∠=，B E D E =，所以E O B D ⊥， ················································· 7分结合（Ⅰ）知，,,O E O D O A 两两垂直.以O 为原点，分别以向量,,O E O D O A 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O x y z -（如图），设(0)A O t t =>，则()0,0,A t ，()0,2,0B -，(,0,0)3E ，所以()0,2,B A t =，22,0)3B E =， ············································································ 8分设(),,x y z =n 是平面A B E 的一个法向量，则0,0,B A B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,20,3y tz x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得,2,x z y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令1y =-，得21,)t=-n . ·································································································· 9分因为O E ⊥平面A C D ，所以(1,0,0)=m 是平面A B D 的一个法向量. ······························ 10分又因为二面角E B A D --5，所以c o s ,5<>==m n ，解得2t =或2t =-（舍去）， ···························· 11分又A O ⊥平面B C D ，所以A O 是三棱锥A B C D -的高，故111223323A B C D B C D V A O S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. ····················································· 12分解法二：（Ⅰ）取B D 中点O ，连结,,O A O C O E .因为A B A D =，B O D O =，所以A O B D ⊥， ································································· 1分又因为平面A B D ⊥平面B C D ，平面A B D平面B C D B D =，A O ⊂平面A B D ，所以A O ⊥平面B C D ， ··············································································································· 2分在平面B C D 内，过O 作O F O D ⊥（如图），则O F ，O D ,O A 两两垂直. 以O 为原点，分别以向量,,O F O D OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O x y z -（如图），设()0A O t t =>， ······························································· 3分在B C D ∆中，24B D B C ==，60C B D ∠=，由余弦定理得C D =因为222B C C D B D +=，所以90B C D ∠=，故30C D B ∠=， ········································· 4分则有()0,0,A t ，()0,2,0B -，1,0)C -，0,0)3E ， ·········································· 5分所以1,)A C t =--，22,0)3B E =，所以()()12003A CB E t ⋅=+-⨯+-⨯=，所以A C B E ⊥. ························································································································· 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()0,2,B A t =. 设(),,x y z =n 是平面AB E 的法向量，则0,0,B A B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20,3y tz x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得,2,x zy t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令1y =-，得21,)t=-n . ·································································································· 9分因为O E ⊥平面A C D ，所以(1,0,0)=m 是平面A B D 的一个法向量. ······························ 10分又因为二面角E B A D--的余弦值为5，所以c o s ,5<>==m n ，解得2t =或2-（不合，舍去）， ····················· 11分又A O ⊥平面B C D ，所以A O是三棱锥A B C D -的高，故111223323A B C D B C D V A O S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. ····················································· 12分解法三:（Ⅰ）同解法一. ·················································································································· 6分（Ⅱ）过点O 作O F A B ⊥于点F ，连结E F .。

(完整word版)2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）【第1题:集合与不等式】设有集合2{|log (34)2,0}x S x x x x =-≥>，22{|log (2)2,0}x T x x k x x =-≥>满足S T ⊆，则实数k 的取值范围是。

【第2题：函数性质】若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________. 【第3题:柯西不等式】a b 、为正的常数，10<<x ，xb x a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值是_____. 【第4题:平面向量】 .在ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是______________【第5题:函数图像性质】方程230xx e -=的实根的个数为。

【第6题:三角函数：三倍角、四倍角】二元函数22()cos47cos47cos4cos48sin sin 6f x y x y x y x y =+++++-+，的最大值为___【第7题:空间几何体，球】一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 52BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为【第8题:圆锥曲线】已知B 是双曲线22:2410C x y -+=上靠近点(0,)(1)A m m >的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点，则m 的取值范围是．【第9题:规划面积问题：高斯函数中不等关系】设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【第10题：复数，圆锥曲线】二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题参考答案

2023年泉州市普通高中数学学科竞赛参考答案一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分。

1．设集合3{|}10x A x x ，2320{|}B x x x ，则A B =__________．【答案】 2 【解析】由013x x 得13x ＜，则1{}3|A x x ＜，又2{}1,B ，因此 2A B ． 2．已知23x ，39log 2y ，则1y x__________．【答案】2【解析】223log 3x x ，所以33319log 2log log 922y x ． 3．已知数列{}n a 满足11a ，*11()(1)n n n n a a a a n n n N ，则n a __________．【答案】21nn 【解析】由11(1)n n n n a a a a n n，得111111(1)1n n a a n n n n ，故111111n n a n a n，即{11}n a n 为常数列，得1111121n a n a ，所以21n na n． 4．若3sin()35x ，且5(,)66x ，则sin(2)3x__________．【答案】2425【解析】因为5(,)66x，所以,322x ，又3sin 35x ，所以4cos 35x，所以23424sin(2sin(22sin()2()33335525x x x x ．5．记,,max{,},,a ab a b b a b≥则函数2()max{|1|,|5|}f x x x 的最小值为__________．【答案】1【解析】令212()1,()5f x x f x x ，则两个函数图象交于点,,,A B C D ，根据()f x 的定义可知()f x 的图象是图中实线的部分，易知点B的纵坐标是函数的最小值，由方程215x x ，解得3,2D B x x ，所以()(2)1B f x f ．6．设,a b 为实数，且0ab ，虚数z 为方程20ax bx a 的一个根，则|1i |z 的最大值为__________．1【解析】因为z 和z 为实系数二次方程02 a bx ax 的两个共轭虚根，由韦达定理知1az z a，即12z ，所以1 z ，z 对应的点Z 是复平面中以 0,0O 为圆心，半径1r 的圆上的点，1iz 可以看成点Z 与定点)1,1(A 的距离，当且仅当z 时，1i z 取最大值1AO r ．7．已知函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，当0x 时，1()e x f x ，设10a，b ，22tan201tan 20c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为__________．（请用“<”连接）【答案】()()()f b f a f c【解析】函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，所以()y f x 的图象关于y 轴对称，当0x 时，1()e x f x ，所以()y f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，()()()1010f a f f，()(sin 10f b f f f ，22tan 20()((tan )101tan 20f c f f ，易知 0sintan 101010，所以()()()f b f a f c ． 8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点O 满足sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC，若2a ，6BC OA，则sin A 的最大值为__________．【答案】31【解析】易知O 是ABC △的外心．因为2211()622BC OA AO AB AC AO AB AO AC c b ，所以1222 b c ，又2a ，得2123a ，所以2223c b a ．由余弦定理，得2222222233342cos 2623b c a b c a b c A bc bc bc ，当且仅当bc 时取等号，所以sin A 的最大值为13．9．过点1(0,2F 的直线l 与抛物线22x y 交于,A B 两点，则4AF BF 的最小值为__________．【答案】92【解析】易知112AF BF ，故4111194(4)()(14222BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ，当且仅当322AF BF时取等号．10．在直角ABC △中，2AB BC ，D 是ABC △内的动点，则2AD BD 的最小值为__________．【答案】【解析】如图，将ACD △绕着点C 按顺时针旋转90 ，再以C 点为位似中心放大到2倍，得到A CD △．2AD BD A D BD DD ，根据“两点之间线段最短”可知，当,,,B D D A四点共线时，2AD BD 取得最小值BA ．易知90ACA ，CA ，过A 作A H BC 交BC 延长线于H ，则ABC CHA △∽△，因为ABC △是等腰直角三角形，AB BC ，所以45BAC BCA ，所以45HA C A CH ，所以4CH A H ，所以''BA ．11．现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如右图），其杯口内径为4 cm ，深8cm ，现将一半径为r cm 的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r 的取值范围为__________．【答案】10,2【解析】杯口内径为短轴，杯深为长半轴，故可设半椭圆轴截面方程为221(0)644y x y ，设小球球心(0,)D t ， 8,t ，(,)P x y 为半椭圆轴截面上任一点，则 22222152416PD x y t y ty t，其中 8,0y ，当函数2215()2416f y y ty t 的对称轴1685y t，即1582t 时，函数()f y 在 2,0 递增，当8y 时，2PD 取最小，这时小球可以接触杯底，半径1(8)0,2r t．12．已知函数()f x (e )e x x a ，当(0,)x 时，()ef x x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】 ,1 【解析】e ee x x ax 两边同时取自然对数，得e ln eln e x x ax (e )1ln xx a x ，所以e ln 1x x x a x ，令ln e ln 1e (ln 1)()x x x x x x g x x x ，()e 1x h x x ，则()e 10(0)x h x x ，所以()h x 在(0,) 单调递增，所以 00h x h ，故ln e ln 1x x x x ，所以 ln eln 1ln 1ln 1e ln 11x xx x x x x x x g x x x x，故1a ．13．有2024个半径均为1的球密布在正四面体ABCD 内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为__________．【答案】3214．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22323a b c ，则ABC △面积的最大值为__________．【答案】2316【解析】过点C 作CD AB 于D ．当点D 落在线段AB 上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,当且仅当8m ，4h 时取等号．当点D 落在AB 或BA 的延长线上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,易知等号取不到．故答案为：2316． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数[]()y x x R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设2024120242024(1)2023k kk k S，则S 除以2023的余数是__________．【答案】1013【解析】当2k t 时，222202420242202412023212202412122023202320232023t t t t t t t t，当21k t 时，212120242024(21)202412023(21)220232023t t t t t21211202421202422122023202320232023t t t t t t，因此2212024101210121112024202420242024220242024(21)2023(1)20232023k t t k k t t k t t S221101210122111202412112024222(2024)12023202320232023t t t t t t t t t 1101211013(mod 2023) ．二、解答题(本大题共5小题，共110分。

福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)数学(理)

· 3·
B
3+ 5
．
C.
2
15 2
D
．1 5
2
11. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为
3 ，则其包装盒的体积的最小值
为（）
A． 36
B ． 72
C. 81
D ． 216
12. 不等式 x ln x x2 ( a 2)x ≤ 2a 有且只有一个整数解，则 a 的取值范围是（
）
A． [ 1， )
B ． ( ， 4 4ln 2] [ 1， )
C. ( ， 3 3ln 4 4ln 2 ， 3 3ln3] [ 1， )
第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知复数 z (1 2i )(2 i ) ，则 z ． 14. (x 1)4 (1 1 ) 4 的展开式中，常数项是．
A． ( ，3） B ． ( 1， ) C ． ( 1，1) D ． (1，3)
2. 已知向量 a (3 ，2) ， b (2 ，3) , 则下列结论正确的是（
）
A． a b B ． (a b) (a b) C ． a∥ b D ． ( a b) ∥ ( a b)
3. 已知函数 f ( x) 是偶函数，且 f ( x) f (x 4) ， f (1) 1 ，则 f ( 9) （）
x
15. 已知抛物线 E ： y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ， l 交 x 轴于点 T ， A 为 E 上一点， AA1 垂
直于 l ，垂足为 A1 ， A1F 交 y 轴于点 S ，若 ST ∥ AF ，则 AF ．
16. 在平面四边形 ABCD 中， ABC =120 ， AC 2 19 ， 2AB 3BC ， AD 2BD ，△ BCD

2018年福建省高一数学竞赛试卷及解析

2018年福建省高一数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题，B={x|log2(x2－x)<1}，则A∩B=（）A. (1，2)B. (－1，3]C. [0，2)D. (－∞，－1)∪(0，2)2.若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（）A. －2B. －3C. 2D. 33.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E分别为棱BC、BB1的中点，N为正方形B1BCC1的中心.l为平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.如图，在三棱锥中，SA=SB=AB=BC=CA=6，且侧面ASB⊥底面ABC，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（）A. 60πB. 56πC. 52πD. 48π5.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)={−x2−2，x∈(−1，0]，x2−2，x∈(0，1]。

且f(x+2)=f(x)，g(x)=5−2xx−2，则方程f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（）A. 14B. 12C. 11D. 76.已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB 于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A. (√2−1，1)B. (2−√2，23]C. (2−√2，34]D. (√2−1，23]第II卷（非选择题）二、填空题7.函数f(x)=[log3(13√x)]⋅[log√3(3x2)]的最小值为________.8.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.9.若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.10.已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{a b|a∈A，b∈A，且a≠b}，则集合B中元素的个数为________.为有理数的所有正整数n的和为________.11.使√16n+17n+812.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且c>b>a>64.若对每个正整数n≤753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为________.三、解答题13.已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+√3y－4=0，l3：x－√3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足|PC|2=|PA|⋅|PB|.记直线P A、PB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范围.14.函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.15.如图，AB、P A、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交P A于点K.证明：（1）K是P A的中点；（2）AG2=BG⋅PG..16.已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60. （1）求 a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a4−a +b4−b+3c6−c的最小值17.设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.参考答案1.A【解析】1.由1≤3x ≤27，得0≤x ≤3.因此，A =[0，3]. 由log 2(x 2－x )<1，得{x 2−x >0x 2−x <2，解得，－1<x <0或1<x <2 所以A ∩B = (1，2)，选A. 2.B【解析】2.由点A 在直线l 1：x －y －7=0上，设A (t ，t －7). 由AB 中点为P (1，2)，知B (2－t ，11－t ). ∵点B 在直线l 2：13x +3y －11=0上， ∴13(2－t )+3(11－t )－11=0.解得，t =3. ∴A (3，－4)，k l =k PA =2−(−4)1−3=−3,选B. 3.D【解析】3.如图，由正方体的性质与条件，易得MN ⊥面ABCD ，BE ⊥面ABCD . ∴面A 1MN ⊥面ABCD ，面D 1BE ⊥面ABCD .∴l ⊥面ABCD ，l 与面ABCD 所成角的大小为90°. 选D. 4.A【解析】4.如图，设D 为AB 中点，O 1为△ABC 的外心，O 2为△SAB 的外心，O 为三棱锥S －ABC 外接球的球心，球O 的半径为R .由SA=SB=AB=BC=CA=6，知△SAB、△ABC是边长为6的正三角形.∴SD⊥AB，CD⊥AB，CD=SD=3√3，O1在CD上，O2在SD上，且O2D=O1D=√3，CO1=2√3.∵侧面ASB⊥底面ABC，OO1⊥面ABC，∴SD⊥面ABC，O2D⊥O1D，SD∥OO1.∴四边形O2DO1O为正方形，OO1=O2D=√3.∴R=OC=√O1O2+O1C2=√3+12=√15.∴三棱锥S－ABC外接球的表面积为4πR2=60π.选A.5.C【解析】5.如图，作出函数的图像.由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5.由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称.所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3.所以，方程f (x )=g (x )在区间[－3，7]上的所有实根之和x 1+ x 2+x 3+x 4+x 5=11. 选C. 6.B【解析】6.如图，设|CD |=m ，|CE |=n .由条件知，△ABC 为等腰直角形，CA =CB =2√2，CA ⊥CB . 由△CDE 的面积为2，得12mn =2，mn =4.由k >0，得m >n .因此，2<m ≤2√2.设DE 交y 轴于点F ，点F 到CA 、CB 的距离相等，设为t . 则S ΔCDE =12mt +12nt =2，t =4m+n.∴b =OF =2−CF =2−√2t =2−4√2m+n.∴b =2−4√2m+n的取值范围为(2−√2，23]. 选B.7.−258【解析】7.设log 3x =t ，则log 3(13√x )=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log 3√3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.8.√52【解析】8.如图，作EH ⊥AD 于H ，连HF .由P A ⊥面ABCD ，知P A ⊥AD ，EH ∥P A ，EH ⊥ABCD .作HG ⊥DF 于G ，连EG ，则EG ⊥FD ，∠EGH 为二面角E －FD －A 的平面角. ∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为PD 、BC 的中点， ∴H 为AD 中点，FH ⊥AD . 设P A =AB =2，则EH =12PA =1，FH =2，HD =4，HG =FH×HD FD=√5.∴tan∠EGH=EH HG=12√5=√52.∴二面角E －FD －A 的正切值为√52. 9.[1，2]【解析】9.∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2]. 10.18【解析】10.依题意，a 有5种取法；当a 取定后，b 有4种取法；故，得到5×4=20种取法.由于13=39，31=93.因此，共可得到20－2=18个不同的值. ∴集合B 中元素的个数为18. 11.205【解析】11.设16n+17n+8=(b a )2（a ，b 为互质的正整数)，则16na2+17a 2=nb 2+8b 2，n =8b 2−17a 216a −b =111a 216a −b −8.由a ，b 为互质，知a 2，b 2互质，于是，a 2与16a 2－b 2互质，且16a 2－b 2>0. ∴(16a 2−b 2)|111 ，且l 6a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )≥5.又111=1×111=3×37， ∴16a 2－b 2=(4a －b )(3a +b )=37，或16a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )=111. ∴{4a −b =14a +b =37 ，或{4a −b =14a +b =111 ，或{4a −b =34a +b =37. 解得，{a =194b =18（舍去），或{a =14b =55 ，或{a =5b =17 . {a =14b =55时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×1961×111−8=188（此时，√16n+17n+8=√3025196=5514）. {a =5b =17 时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×253×37−8=17（此时，√16n+17n+8=√28925=175）. ∴n =188或n =17.符合条件的正整数n 为188和17. ∴符合条件的所有正整数n 的和为205. 12.125【解析】12.显然，用这10个数能够表示的最大数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b +c =l 27+a +b +c ， ∴127+a +b +c ≥753.……………………①又用1，2，4，8，16，32，64，a ，b 这9个数能够表示的最大的数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b =127+a +b .因此，若c ≥127+a +b +2，则数127+a +b +1无法用这10个数中某些数的和表示. ∴c ≤127+a +b +1……………………②由①、②，可得753≤127+a +b +c ≤127+a +b +(127+a +b +1)，2(a +b ) ≥498，a +b ≥249. 结合a ，b 为整数，且6>a ，得6≥125.下面说明当a =124，b =125，c =377时，这10个数符合要求.结合二进制数的特征，对每个正整数n ≤1+2+4+8+16+32+64=127，都可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中的某些数的和来表示.∴当n≤127时，n可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中某些数的和表示；当n≤127+124=251时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124这8个数中某些数的和表示；当n≤251+125=376时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125这9个数中某些数的和表示；当n≤376+377=753时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377这10个数中某些数的和表示.∴a=124，b=125，c=377符合要求.∴b的最小值为125.13.（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】13.（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则|a+2|=|a+√3b−4|2=|a−√3b−4|2=r，结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+√3b−4)2=−(a−√3b−4)2=r.解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴. 因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2，a=0.∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4. ∵|PC|2=|PA||PB|，∴x 2+y 2=√(x +2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2，化简得，x 2－y 2=2. ∴k 1k 2=y x+2⋅y x−2=y 2x 2−4=x 2−2x 2−4=1+2x 2−4. 由x 2+y 2<4，以及x 2－y 2=2，y 2≥0，得2≤x 2<3.∴k 1 k 2∈(－1，0].∴k 1 k 2的取值范围为(－1，0].14.4750【解析】14.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =b =a ，得f (0)=f (0)+f (0)+0+2，于是f (0)=－2.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =2，b =－2，得f (0)=f (2)+f (－2)－4+2.∴－2=f (2)_3－4+2，f (2)=3.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =n －2，b =2，得f (n )=f (n －2)+f (2)+2(n －2)+2=f (n －2)+3+2(n －2)+2=f (n －2)+2n +l .∴f (n )－f (n －2)=2n +1.∴f (96)－f (94)=2×96+1， f (94)－f (92)=2×94+1，f (94)－f (92)=2×94+1，……上述等式左右两边分别相加，得f (96)－f (2)=2(96+94+…+4)+47.∴f(96)=2×(96+4)2×47+47+3=4750.15.（1）见解析（2）见解析【解析】15.（1)在△APC 中，由塞瓦定理，知AK KP ⋅PB BC ⋅CE EA =1.……①∵A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD .∴EB ∥AP ，PB BC =AE EC . ………………………………………②由①、②，得AK =KP .K 是P A 的中点.另解：∴A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD ，EB ∥AP .如图，过点F 作MN ∥AP ，交AE 于点M ，交PB 于点N .则MF AP =EM EA ，FN AP =BN BP.…………① 且EB ∥AP ∥MN ，EM EA=BN BP .…………② ∴由①、②，得MF AP=EM EA =BN BP =FN AP . ∴FM =FN .又由MN ∥AP ，得MF AK =CF CK =FN KP， ∴AK =KP ，K 是P A 的中点.（2）由（1）及切线长定理，得KP 2=KA 2=KG ⋅KC .因此，KP KC =KG KP . 又∠PKG =∠CKP ，∴△PKG ∽△CKP .∠APG =∠KPG =∠KCP =∠GCB =∠BAG .又∠P AG =∠ABG ，∴△GP A ∽△GAB ，AG BG =PG AG. AG 2=BG ⋅PG .16.（1）√55（2）5【解析】16.（1)由柯西不等式，知(a +b +c )2=(3⋅√3a +3√3b +12⋅2c )2 ≤[(1√3)2+(1√3)2+(12)2]⋅[(√3a)2+(√3b)2+(2c)2]2 =(13+13+14)(3a 2+3b 2+4c 2)=(23+14)⋅60=40+15=55. ∴a +b +c ≤√55.当且仅当√3a 1√3=√3b 1√3=2c 12>0，即a =b =√5√11时，等号成立.∴a+b+c的最大值为√55.（2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴a(4−a)≤(a+4−a2)2=4，b(4−b)≤(b+4−b2)2=4，c(4−c)≤(c+4−c2)2=9.∴a4−a +b4−b+3c6−c=a2a(4−a)+b2b(4−b)+c2c(4−c)≥a24+b24+c29=3a2+3b2+4c212=6012=5.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且a4−a +b4−b+3c6−c=5.∴a4−a +b4−b+3c6−c的最小值为5.17.20【解析】17.集合S的元素个数的最大值为2018.令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，显然集合S符合要求，且|S|=2018.另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0∉S（否则0+0+0=0）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.若A=∅，则|S|=|B|≤2018；若B=∅，则|S|=|A|≤2018.下面考虑A、B非空的情形.对于集合X，Y，记X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}，−X={−x|x∈X}.由题设可知，(A+B)∩(−S)=∅（否则，设x0∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.设集合A中元素为a1，a2，…，a k，集合B中元素为b1，b2，…，b l，且a1<a2<…<a k，b1<b2<…<b l.∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<a k+b l <a k+b2<…< a k+b l.∴A+B中至少有k+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.结合A+B⊆{x|x∈Z，且|x|≤2017}⊆M，−S⊆M，且(A+B)∩(−S)=∅，可得(A+B)∪(−S)⊆M，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.若|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由−2018∉A+B，2018∉A+B，知2018∈S，－2018∈S.∴对于k=1，2，3，…，1009，k与2018－k中至少有一个不属于S，－k与－2018+k 中也至少有一个不属于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.因此，|S|≤2018.综上可得，|S|≤2018.综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.。

2018年福建省高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题参考答案

r1 r2 16 ，结合 r1 r2 4 ，得 r1 10 ， r2 6 。
2
由此得到， F1P ∴
F1F2
2
F2 P
2
。因此， PF2 F1 F2 。
△F1 PF2 的外接圆半径 R
1 F1 P 5 。 2
4
8．最近网络上有一篇文章很火。源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理。（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设 a ， b 2 ， 3， 4， 5， 6， 7， 8 ，则最大值为【答案】
∴ ∴
c 2 10 ， c 10 。
cos C a 2 b 2 c 2 4 9 10 1 。 2ab 2 2 3 4
。（ i 为虚数单位， z 为复
3．设复数 z 满足 z i 2 ，则 z z 的最大值为数 z 的共轭复数）【答案】
6
【解答】设 z x yi （ x ， y R ），则 z x yi ， z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi ， z z 2 y 。由 z i 2 ，知 ( x yi ) i 2 ， x 2 ( y 1)2 4 。 ∴ ∴ ∴ ( y 1)2 4 ， 1 y 3 。 z z 2 y 6 ，当且仅当 y 3 ，即 z 3i 时，等号成立。 z z 的最大值为 6 。
1
4．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 的图像关于直线 x 2 对称，当 0 x 2 时，f ( x ) x 1 ，则 f (100) f (101) 【答案】
2
。