三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒)
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高
直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高前一阶段我们探讨了一次函数和三角形的面积问题，后台有一些同仁提出了一些宝贵的看法，在此笔者表示感谢。
我们知道对于不规则三角形的面积肯定是用割补法，由此引申出一种水平宽铅垂高的做法，也就是铅垂法。
今天我们来深入地探讨一下铅垂法的做法依据。
我们先从三个顶点都确定的三角形来看。
如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，1）、B （3，4）、C（5，2），试求△ABC的面积。
显然这个三角形属于我们说的所谓不规则三角形（三条边均不和坐标轴平行，且不在坐标轴上），所以我们的基本思路是割补法。
由于此题相对来讲比较简单，我就简单用图形罗列一下各种不同的解法。
方法一：方法二：方法三：方法三是过点B作AC的平行线将不规则的△ABC转化为规则的△ADC从而来求解的过程，其实我们还可以过点A作BC的平行线或者过点C作AB的平行线来进行转化。
鉴于这不是本文研究的重点，另外两种方法在此略过。
方法四：方法五：方法六：方法七：方法八：方法九：方法四、方法五都是在点B处处理，方法四是在点B处作y轴的平行线，方法五是在点B处作x轴的平行线；方法六、方法七都是在点A处处理，方法六是在点A处作y轴的平行线，方法七是在点A处作x轴的平行线；方法八、方法九都是在点C处处理，方法八是在点C处作y轴的平行线，方法九是在点C处作x轴的平行线。
我们再来研究这六个图：如果我们对这六种方法都进行运算、思考，我们就会发现△ABC的面积为图中两个红色线段（一横一竖）乘积的一半。
这就是所谓的铅垂法求面积。
那么如何构造这些线呢？我的看法是选三角形的两个顶点（比如A和B），将AB之间的横坐标体现的横着的线段找出来（图５中的AM），最后一个顶点C作竖着的直线交AB边于点D，此时竖着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。
或者将AB之间的纵坐标体现的竖着的线段找出来（图6中的AM），过第三个顶点C 作横着的直线交AB边于点D，此时横着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒) (2)
三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC 交于点D ，线段BD BD ，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离. 公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH1122AG BD CH BD +＝()12AG CH BD +＝12EF BD . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得. 解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0）点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ），∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，从A ，B ，方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂线，则OB 可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB 的解析式可以得OAOB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得42a =-. 公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -＝12EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，形面积问题，尤其是在例3，可以将P 对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒) (2)
坐标会采公式线，其中过A 的长交于点DBD ，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（AC ）交点（D 2AG BD CH BD +＝()12AG BD +＝2EF BD . ——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为ABCD ,中点，则△A 说明：与△CDF 三角形解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2x轴，y 在第在第Rt △ABC 说明：的面积＝△用a 的二是与△ABC 面积相等，求C ’坐标，析式，将点P 三是P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过A 或头转个OB ＝2AB 的中点， 所以PE ＝-a+2，从而有1122122a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得4a =-.从例CG .S △ABC ＝12CG EH CG FH -＝12EF 说明条垂线到交点（G 例3与x 轴交于点点A 落到点C （1（2）若点N ，B 点N （3求出点（4）点Q 使得BQ -解析解析式FHEOy为243y x x=-+，BD解析式为3y x=-+，由于问题中并未交待P点在BD的上方或下方，故要分类讨论：当P在BD下方时，如右上图，水平宽为OD＝3，铅垂高为PE＝224333x x x x x-++-=-；当P在OD＝3为两种情23x x-当23x-不可当23x-即当P解后垂高公，可以将P上方时，。
角形面积公式——之水平宽铅垂高
三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P相等，则可得PC ’三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂解.解析：过线，则OB 而PE 度）由AB 的解析式可以得OA ，OB ＝1，而P的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭， 解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG g . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=，xyEDBA C OPxy EDBCOP即当P（－1，8）或P（4，3）时，S△PBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
(完整版)水平宽铅垂高求三角形面积.doc
例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 ；(3)是否存在一点P，使S△PAB= S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）B（1， ）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得 ，因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
设直线AB为y=kx+b.所以 ，因此直线AB为 ，当x=－1时， ，因此点C的坐标为（－1， /3）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代 中得 ∴
∴抛物线解析式为：
(2)存在。 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴 对称
∴直线BC与 的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵
∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为 的解
∴ ∴Q(－1，2)
（3）答：存在。理由如下：
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当 时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积 ．
25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积的公式主要有以下三种：
一、公式1：面积= 泊松号 X 铅锤长度^²
①泊松号：指一个水体中水深和宽度的比值，根据泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：指用铅锤测定水体深度的时候，把铅锤垂直向下投放的距离，也就是两支铅锤的总长度。
二、公式2：面积= 2 X 垂膨泊松号 X 铅锤长度 X 面积系数
①垂膨泊松号：指水体中水深（投放铅锤时，从投放点到水体底部的距离）和宽度的比值，根据垂膨泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：与公式1中定义相同。
③面积系数：指水体宽度在铅锤投放时会发生变化而产生的影响，通过查阅相关资料可以确定面积系数的大小。
三、公式3：面积= 2 X 水柱体积 X 面积系数
①水柱体积：指用两支铅锤测量水体的时候，铅锤之间的柱体积，也就是一个整体的一个立方体的体积。
②面积系数：与公式2中定义相同。
三角形面积铅垂法公式
三角形面积铅垂法公式
就是沿三角形的最高点做一条垂直于平面的直线,另外两点作这条线的垂线,如果在平面直角坐标系中,两条高就是两个点横坐标的差,再求出那条直线在三角形内的长就行了。
设三角形abc，铅垂线ad垂直bc焦点d，面积为ad*bc/2。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常用的三角形按边棕斑普通三角形（三条边都不成正比），等腰三角（腰与底左右的等腰三角形、腰与底成正比的等腰三角形即为等边三角形）；按角分存有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形泛称横三角形。
从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
铅垂高水平宽求三角形面积
铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。
铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。
把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒) (2)
三角形面积公式之水三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B 公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD上的高AG ，CH 1122AG BD CH BD +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得. 解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0）点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ），∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，从A ，B ，方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.解析：过A，B，P三点作y轴的垂线，则OB可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB的解析式可以得OA＝3，OB＝1，而P的纵坐标为12，所以E为AB的中点，所以PE＝-a+32，从而有11322122a⎛⎫⨯⨯=⨯⨯-+⎪⎪⎝⎭，解得34 a=-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x轴，也可以作向y轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有1 2EF CGg.简单推导：S△ABC＝S△ACG－S△BCG＝1122CG EH CG FH-g g＝12EF CGg.说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB）的延长线相交，此时顶点（C）到交点（G）的距离为铅垂高（CG）.例3（适合九年级）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y 翻折，点A落到点C，抛物线过点B，C和D（3，0（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N标轴上，以点N，B，D为顶点的三角形与△MCD 似，求所有满足条件的点N的坐标．x y铅垂高水平宽GF HEDOACB（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，形面积问题，尤其是在例3，可以将P 对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
三角形面积铅直高乘水平宽
您所指的公式是指三角形的面积，当三角形的高度是从基底到相反顶点的垂直线时，三角形的宽度是基点两个端点之间的水平距离。
公式是：
面积=（1/2）x底座x高度
其中底座是三角形的水平宽度，高度是从底座到相反顶点的垂直距离。
这被称为“按基数和高度划分的三角形面积”公式，它适用于任何三角形，无论其形状或大小。
该公式之所以有效，是因为三角形的面积等于其基数和高度乘积的一半。
需要注意的是，只有当高度是从基底到相反顶点的垂直线，并且宽度是基座两个端点之间的水平距离时，这个公式才有效。
如果高度不是垂直的或宽度不是水平的，公式将不起作用，应使用其他方法来找到区域。
三角形面积公式之水平宽铅垂高叶茂恒
三角形面积公式之水平宽铅垂高叶茂恒集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F而过B 点的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 12EF BD 的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B 公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH BD +＝()12AG CH BD +＝12EF BD . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则△BFD 的面积是（ ）.A . 281aB . 2161aC . 2321a D . 2641a 说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去△BCF 与△CDF 的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ）， ∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 的面积相等列方程求解； 二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC 面积与△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，则可得PC ’三是垂线（即左右方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂线，则OB 可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB 的解析式可以得OA OB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a +2， 从而有1122122a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭ ， 解得4a =. 公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -＝12EF CG . D说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-；当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6； 当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高
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付款前记得用红包三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离.公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +＝()12AG CH BD +＝12EF BD .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF2利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；3二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC 面积与△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 坐标先求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线PC ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过线，则OB 而PE 度）由AB OB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭， 解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -＝12EF CG .4说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；5当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒)
1三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 的长度称为铅垂高，则S △ABC ＝12BD ，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF 通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（AC ）交点（D ）之间的距离.公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH ，12CH BD+＝()12AG CH BD +＝12EF BD . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .2641a 说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去△BCF 与△CDF 的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为238a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ， ∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，后用a的代数式表示，与Rt △ABC 解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC与△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △的面积相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，先求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过OB OA OB ＝1，而P 的纵坐标为2，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a从而有11221222a ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 解得42a =-. 公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S △ABC ＝12EF CG .简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH-＝12EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论： 当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-；4当P 在BD 上方时，POD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝2343x x x x -+-+-=-234x x -=±.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6. 解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 上方时，.26日记于温十七中。
(完整word版)三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒
三角形面积公式之三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF 过夹在中间的顶点（B ）与边（AC ）交点（D 公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高1122AG BD CH BD +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得. 解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；二是将点C 沿AB翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂线，则OB 可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB 的解析式可以得OA ＝3，OB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a +3， 从而有11322122a ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得342a =-. 公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S △ABC ＝2EF 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH-g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D ）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．xy铅垂高水平宽GFHEDOA CB（4）点Q直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后题，尤其是在例3，可以将P 可以有效回避原本点P 在BD 快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒)
三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC交于点D ，线段BD 的长度称为铅垂高，则S △ABC ＝12EF 中水平宽EF AC ）交点（D ）之间的距离. 公式推导如右图，过点A，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH 2CH BD +＝()12AG CH BD +＝12EF BD . 公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A . 281a B .2161a C . 2321a D 说明：本题可以连结CF ，由△BCD 与△CDF 的面积求解，三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D （a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ）∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==.公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 用a 的代数式表示，与Rt △ABC 二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC 与△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 面积相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线PC 析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过A 或头转个OB ＝2AB 的中点，所以PE ＝-a从而有1122122a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得4a =-. 公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S △ABC ＝12EF CG .简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -＝12EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C 到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q 使得CQ BQ -的值最大，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式FHEO为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，POD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝22343x x x x -+-+-=-+两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6. 解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长P 在BD 上方时，26日记于温十七中。
三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒(可编辑修改word版)
2 三 角 形 面 积 公 式 之 水 平 宽 铅 垂 高三角形的面积公式计算较多，而在平面直角 坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作 x 过 A ，C 两条垂线与 x 轴交于点 E ，F ，线段 EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过 B 点的垂线与边 AC 交于点 D ，线段 BD 的长度称为铅垂高，则 S △ABC ＝ 1EF BD ，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽 EF 通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）与边（AC ）交点（D ）之间的距离. 公式推导如右图，过点 A ，C 作铅垂高 BD 上的高 AG ，CH ，则有 S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝ 1 AG BD + 1 CH BD ＝ 1 ( AG + CH ) BD ＝ 1EF BD . 2 2 2 2 公式应用 1——上下垂线例 1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形ABCD , E 为 AD 的中点， P 为CE 的中点， F 为中点，则△ BFD 的面积是（ ）.A. 1 a 2 8B. 1 a 2 16C. 1 a 2 32D. 1 说明：本题可以连结 CF ，由△BCD 的面积减去△与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以 B 为原点，B C 为 x 轴，B A 为 y 轴建立 平面直角坐标系，则点 C 坐标为（a ，0），点 D 坐标为（a ，a ），∵E 为 AD 的中点，∴点 E 坐标为（ 1a ，a ），2a a ∵ P 为CE 的中点，∴点 P 坐标为（ 3 a ， 1a ），4 2 ∵ F 为 BP 的中点，∴点 F 坐标为（ 3 a ， 1a ）.8 4过 F 点作 BC 的垂线交 BD 于点 G ，则点 G 的横坐标为 3a ，又直线 BD 的解析式为 y = x ，∴8点 G 的纵坐标为 3a ，8∴△BDF 的铅垂高 FG ＝ 3 a － 1 a ＝ 1a ，8 4 8 ∴S △BDF ＝ 1 BC FG = 11 = 1 a2 .2 28 16公式应用 2——左右垂线例 2（适合八年级） 如图，直线 y = -3x +1与 x 轴， y 轴分别交于点 A ，B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点 P ⎛ a , 1 ⎫， 2 ⎪⎝ ⎭ 且△ABP 的面积与 Rt △ABC 的面积相等，求a 的 y 值.C说明：本题常见解法有三，一是连结 OP ，△ABP 的B P面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积， xO A然后用 a 的代数式表示，与 Rt △ABC 的面积相等 y 列方程求解；C二是将点 C 沿 AB 翻折到 C ’位置，则△ABC 面积与 B△ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积 P x相等，则可得 PC ’//AB ，因此，可以由点 A ，C 坐标先 O A 求 C ’坐标，再根据 AB 的斜率与点 C 坐’ 标求直线 PC 的’ C'解析式，将点 P 纵坐标代入，即可求 a 的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从 A ，B ，P 三点向 x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从 A ，B ，P 向 y 轴作垂线（即左右方向作垂线）， 仿公式求解.现解析如下.3yCBPxOAy CBEPxOA3 2 解析：过 A ，B ，P 三点作 y 轴的垂线，则 OB 可以看成公式中的水平宽，而 PE 可以看成 公式中的铅垂高（，不习惯的同学可以将屏幕或头转个90 度）由AB 的解析式可以得OA ＝ ， OB ＝1，而 P 1的纵坐标为 ，所以 2E 为 AB 的中点，所以 PE ＝-a +3 ，21 1 ⎛ 3 ⎫从而有 2 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ⨯1⨯ -a + 2 ⎪ ，解得a =⎝ ⎭3 -4 .2公式应用 3——内外垂线从例 2 可以看到，三条垂线不一定作向 x 轴，也可以作向 y 轴，仿公式用即可.一般地， 水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任 意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S △ABC ＝ 1EF CG .简单推导：1 1y CS △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝ 2 CG EH - 2CG FH ＝1EF CG . 2说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶 点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. O例 3（适合九年级） 如图所示，直线 l ：y =3x +3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．把△AOB 沿 y 轴 翻折，点 A 落到点 C ，抛物线过点 B ，C 和 D （3，0）．（1） 求直线 BD 和抛物线的解析式．（2） 若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M ，点 N 在坐轴上，以点 N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相 ，求所有满足条件的点 N 的坐标．（3） 在抛物线上是否存在点 P ，使 S △PBD =6？若存，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．DBA垂垂垂EF垂垂垂GxH标似在（4） 点 Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 Q 使得 BQ - CQ 的值最大，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为y = x 2 - 4x + 3 ，BD 解析式为y = -x + 3 ，由于问题中并未交待 P 点在 BD 的上方或下方，故要分类讨论：当 P 在 BD 下方时，如右上图，水平宽为 OD ＝3， 铅垂高为 PE ＝ x 2- 4x + 3 + x - 3 = x 2- 3x ； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3 为 水平宽，则铅垂高 PE ＝ y -x + 3 - x 2+ 4x - 3 = -x 2+ 3x .两种情况合起来就是x 2 - 3x = ±4 .1 ⨯ 3⨯ x 22 P- 3x = 6 ，即E Bx 2 - 3x = -4 时，方程无实数根，即 P 在 BD 下时，不可能面积为 6；当x方O CD当 x 2 - 3x = 4 时，解得 x = -1, x = 4 ，12即当 P （－1，8）或 P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题， 尤其是在例 3，可以将 P 点的两种不同的位置分类统一为 PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点 P 在 BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶 2015 年 1 月 26 日记于温十七中yBEA O xCDP。
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三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式
会更加的方便. 公式呈现
如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点的垂线与边AC
交于
点D ，线段BD 的长度称为铅垂高，则S △ABC ＝1
2
EF 中水平宽EF AC ）交点（D ）之间的距离. 公式推导
如右图，过点A
，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH 2
CH BD +＝()12AG CH BD +＝1
2
EF BD . 公式应用1——上下垂线
例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形
E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，
F 为中点，
则△BFD 的面积是（ ）.
A . 281
a B .
2161a C . 232
1
a D 说明：本题可以连结CF ，由△BCD 与△CDF 的面积求解，三角形
水平宽铅垂高面积公式求得.
解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面
直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D （a ，a ），
∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（
1
2a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，1
2
a ）
∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，1
4
a ）.
过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为3
8
a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的
纵坐标为3
8
a ，
∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝1
8
a ，
∴S △BDF ＝21111
22816
BC FG a a a ==.
公式应用2——左右垂线
例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x
轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果
在第
二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且△ABP 的面积与
Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.
说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△
的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 用a 的
代数式表示，与Rt △ABC 二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC 与
△ABC ’面积相等，
若△ABP 的面积与Rt △ABC 面积相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线PC 析式，
将点P 纵坐标代入，即可求a 的值.
三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从P 三点
向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过A 或头转个OB ＝2
AB 的中点，
所以PE ＝-a
从而有1122122a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭
，
解得4a =
-. 公式应用3——内外垂线
从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的
宽度，则公式可以变化为：S △ABC ＝1
2
EF CG .
简单推导：
S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝11
22
CG EH CG FH -＝
1
2
EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C 到交点
（G ）的距离为铅垂高（CG ）.
例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 点A 落
到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．
（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，点N 的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6P 的坐标；若不存在，说明理由．
（4）点Q 是抛物线对称轴上一动点，是否存在
点Q 使得CQ BQ -的值最大，若存在，请直接写出点Q 的坐标；
若不存在，请说明理由.
解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物
线解析式
F
H
E
O
为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：
当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P
OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝22343x x x x -+-+-=-+两种情况合起来就是
21
3362
x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.
当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可
能面积为6；
当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6. 解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在
例3，可以将
P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长P 在BD 上方时，26日记于温十七中。