充分挖掘课程资源 培养学生发散思维

充分挖掘课程资源培养学生发散思维【摘要】恩格斯说：“思维是地球上最美丽的花朵。”而要让数学思维的花朵，在学生的心里绚丽绽放，数学课程资源是培养发展学生思维能力的重要载体。新课程的实施，需要灵活、合理挖掘和拓展课程资源，让学生体验数学的千变万化，通过习题中已知条件和结论的发散，纵横联想，启迪学生的智慧；通过抓住问题本质特征，进行一题多解、一题多变、一题多思，从而促进思维发散，进而启发学生举一反三，触类旁通，培养了学生的发散性思维能力和品质。

【关键词】发散思维一题多解一题多变一题多思

数学教学的目的之一是培养学生的数学思维能力，而挖掘课程资源是培养学生思维能力的重要载体。为了提高数学学习效率，教师应把学生从题海中领出来，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，通过多解、多变、多思来激活思维，使学生产生众横联想，进而培养思维的灵活性、深刻性、广阔性、变通性，从而培养学生的数学思维品质。

一、一题多解

一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。让学生多角度、多方位地进行分析思考，探求不同的解题途径。在课堂教学过程中，教师应有意识地对一些典型例题开展“一题多解”、“寻找更优解”等活动，这样不仅可以激发学生解决问题的热情，突出学生在课堂教学中的主体地位，而且对提高学生的思维品质，培养解

题能力是非常有益的。

例1比较与的大小，并说明理由。（浙教版数学八年级下册15页习题7）

解法一：

显然

（被开方数越大算术平方根就越大）

解法二：直接用计算器求算术平方根法

最直接的方法就是最简单的方法。

解法三：构图法

以长为两直角边的直角三角形中，其斜边的平方由勾股定理得，则这个直角三角形的斜边长为。根据三角形的任意两边之和大于第三边的性质，就有两直角边长之和大于斜边长，即。再逆用二次根式的性质⑶，有，所以就有。

这种巧构直角三角形的数形结合的解题方法，不仅开阔了学生的视野，同时激活了学生的思维。

同一个问题通过多种方法来求解，增强了学生思维的灵活性和变通性，多种方法的灵活运用能让学生产生“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的感觉。

二、一题多变

布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和

更易于记忆，领会数学的基本思想方法就是通过迁移。变是求异思维、创新思维的最高境界。对题中的条件、问题做各种扩缩、顺逆的变化，让学生在各种变化了的情境中，从不同角度训练学生的发散思维。一个问题解决后，引导学生整理思维过程，确定解题关键，再进一步提炼解题规律，从而提高思维的深刻性。

例2已知：如图，在△abc中，ab=ac。以ab为直径的圆交bc 于点交ac于点e。求证: bd =de。（浙教版数学九年级上册78页）分析：要证明bd =de，只要证明∠bad=∠cad，即ad是∠bac

的平分线。因此问题就化归为证明ad是bc边上的高，这可由ab

是圆的直径得到。

变式1在上题的基础上，作df⊥ac于点f。求证：df是⊙o的切线。

分析：要证明df是⊙o的切线，只要连结od,证明od⊥df，而已知df⊥ac。因此问题就化归为证明ac∥od，这可由ab=ac ,ob=od 得到同位角∠bdo=∠c，即可解决此题。

归纳解题方法：有切点，连半径，证垂直。

变式2在变式1的基础上，如果将△abc进行适当的相似变化，当满足od=df时，判断ac是否为⊙o的切线。

分析：要判断ac是⊙o的切线，只要过点o,作od⊥de交ac于点e，再证明oe是⊙o的半径。由变式1的结果得od⊥df，而df ⊥ac得到四边形odfe是矩形，已知od=df，显然四边形odfe是正方形，这样oe=od，可证得ac是⊙o的切线。

归纳解题方法：无切点，作垂直，证半径。

变式3在△abc 中ab=ac。现以bc为直径作⊙o，与边ab相交于点d，切线de⊥ac,垂足为点e。此时，△abc是否为特殊三角形？

分析：要判断△abc的形状，而de是⊙o的切线，只要连结od,可得 od⊥de，又de⊥ac, 就有ac∥od，则同位角∠bod=∠c；已知ab=ac得∠b=∠c，所以∠bod=∠b，就有od=bd,显然ob=od，得ob=od=bd, 从而得到∠b=60°，这样可证△abc的为等边三角形。

归纳解题方法：是切线，找半径，必垂直。

解完一道题后归纳解题规律，在原题上进行编题，探索新命题，通过多题同解，做到举一反三，触类旁通，从而发展思维。

例3（浙教版数学八年级上册43页阅读材料）如图⑴，分别以rt△abc三边为边向外作三个正方形，其面积分别用s1、s2、s3 表示，则不难证明s1= s2+s3。

⑴如图⑵，分别以rt△abc三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用s1、s2、s3 表示，那么s1、s2、s3之间有什么关系（不必证明）？

⑵如图⑶，分别以rt△abc三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用s1、s2、s3 表示，请你确定s1、s2、s3之间的关系并加以证明。

（图1）（图2）（图3）

⑶若分别以rt△abc三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用s1、s2、s3 表示，为使s1、s2、s3之间仍具有与⑵相同的

关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

⑷类比例3的⑴、⑵、⑶的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。

略解：设rt△abc三边bc、ca、ab的长分别为a、b、c，则有c2=a2+b2

⑶当所作的三个三角形相似时，s1= s2+s3。理由如下：

因为所作的三个三角形相似，所以有

⑷分别以rt△abc三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用s1、s2、s3 表示（s1最大），则s1= s2+s3。

上述两个例题属于开放式的变形，学生的发散思维能力发挥的淋漓尽致，但学习中应注意甄别比较其异同点，加强“同中求异”、“异种求同”的思维训练。

三、一题多思

爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”对于一个现有的问题，引导学生从多角度思考问题的内涵和外延，对提高思维的发散性、增强通达善变的能力大有裨益。

从上述例3出发，可以引导学生做如下探究思考。

思考1若以△abc三边为边向外作三个正方形的面积满足

s2+s3= s1，则该三角形是直角三角形吗？

解析：根据正方形面积公式和勾股定理的逆定理可以证明得之。