多元时间序列分析及其应用

• 格兰杰教授的研究兴趣主要集中在统计和经 济计量学（尤其是时间序列分析）、预测、 金融、人口统计学以及方法论等方面，其专 著和论文几乎涵盖近40年来时间序列分析方 面的所有重大进展。 • 格兰杰在协整理论、虚假回归、因果关系和 谱分析等许多领域的研究工作都是开拓性的， 协整概念就是由他在20世纪70年代首先提出 来的。 • 在此之前很长的一段时间里，计量经济学家 们在处理时间序列时，不得不采用平稳数据 的分析方法，如最小二乘法、自回归移动平 均法(ARMA)等。
误差修正模型
• 设Yt与Zt之间具有CI(1,1)协整关系,其模型为: Tt =β0 +β1Zt +β2Y（t-1）+β3Z（t-1）+ut 进行变换为: ΔYt =β0 +β2ΔZt+γ(Y（t-1）-βZ（t-1）)+ut • 其中, • ΔYt=Yt–Y（t–1）,ΔZt=Zt-Zt-1,β=-（β2+β3）/β1 是长期参数。 • β2ΔZt 反映了短期动态关系 ,γ(Y(t–1)–βZ(t–1))是 误差修正项 ,反映了长期均衡关系 , γ=β1 < 0是修正 系数 ,表示误差修正项对ΔYt 修正速度。
• 格兰杰引入的协整理论能够把时间序列分析 中短期与长期模型的优点结合起来，为非平 稳时间序列的建模提供了较好的解决方法。 在80年代发表的一系列重要论文中，格兰杰 教授提出了单整阶数(degree of integratio n)概念，并证明若干非平稳时间序列（一阶 单整）的特定线性组合可能呈现出平稳性， 即它们之间存在“协整关系”
协整理论应用的一般步骤： （1）单位根检验; （2）协整检验; （3）误差修正模型。 因此大部分有关协整的应用论文都是围绕着这三 点展开:首先对几个时间变量进行非平稳性的单位根 检验(检验方法通常是ADF检验或PP检验),一旦确定了 它们的单整阶数是相同的;那么接下来就对它们的协 整关系进行检验(双变量通常用EG两步法,而多变量则 用Johansen法);最后对具有协整关系的变量建立误差 修正模型。
• 协整理论从分析时间序列的非平稳性着手， 探求两个或多个非平稳经济变量间蕴涵的长 期稳定关系，从而为协整变量之间建立误差 修正模型奠定了理论基础。 • 任何时间序列数据都可以视为某个随机过程 的一个（特殊）实现，这一方法允许研究者 使用统计推断来构建和检验回归方程，导出 经济变量之间的关系。传统的时间序列分析 大量考察的是所谓平稳随机过程，即假定时 间序列是平稳的，这保证了普通最小二乘法 得到的估计量具有一致性和渐近正态性。
• 格兰杰和他的同事保尔· 纽博德(Cranger and Newbold 1974)证明，当经典的平稳随机过程理论和模型用于 非平稳时间序列数据的分析时，往往会推断出毫不相 关的变量在统计上却显著相关的结论，这一结论显然 是不合理的。 这时，鉴于非平稳数据的特性，如何 设计出能够排除短期波动干扰、揭示潜在长期关系的 统计方法构成了对经济学家的巨大挑战。 • 长期以来，研究者常用的解决办法是对非平稳序列数 据进行差分，然后用差分项序列建模。但是，建立在 差分基础上的计量模型往往丢失了数据中包含的长期 信息，无法判断变量间的长期协方差变动情况。
（1）单位根检验。对几个时间变量进行非平 稳性的单位根检验，来确定它们的单整阶数 是否相同 检验方法通常是ADF检验或PP 检验（见文章 比较DF、ADF和PP检验）
• 时间序列单位根检验的方程为以下三种之一:不含常数项和时间 趋势、仅含常数项、含常数项与时间趋势,以一阶自回归AR(1) 过程表示[AR(p)检验式中增加了 m个分部滞后项 ∑ mi = 1φi ΔYt-i],分别有下列模型: • (a) ΔYt =ρYt - 1 + ut ; • (b) ΔYt =μ+ρYt - 1 + ut ; • (c) ΔYt =μ+ vt +ρYt - 1 + ut。 • 其中,ut服从白噪声过程(均值为0 ,方差为常数)。对上式中ρ 的显著性检验 ,就是检验时间序列是否存在单位根的问题。根 据检验式模型回归得到的临界值τα(α为显著性水平),按照迪 基 - 富勒用蒙特卡罗模拟方法得到了统计量的百分位数表判断 序列是否是非平稳的(在一般的计量经济软件中,如 Eviews ,单 位根检验均会给出临界值与几个常用显著性水平下的DF值或ADF 值）。当(A)DF>临界值时,认为时间序列服从单位根过程 ,即{Y t}为非平稳序列;当(A)DF<临界值时,认为ρ具有显著性,即{Yt} 为平稳系列。
3 协整理论在国内外的应用
（1）协整理论在国内的发展：
Fra Baidu bibliotek
通过检索《中国期刊网》可以发现：以 2003 年为分水岭，2003年以前期刊网经济类文章中名称 包含“协整”二字的论文一共有 50 篇，其余的见 下面的统计表。这些统计数据还不包括论文名称或 关键词中不包含“协整”二字但计量检验方法却是 协整方法的论文数量。统计数据和发展趋势分别见 表 1。
9 5
篇 1 名
关 键 词
9 6 0 1
9 7 4 9
98 99 00 01 02 03 7 9 4 9 16 32
04 05 06
07
08
09
55 95 195 158 102 58 23 33 644 651 570 384 8 4
3
14 26 19 44 64 12 5
通过上面的统计以及对这些文章内容的初步了 解，可以看出协整理论在中国主要是应用，只有极 少数发展理论。
协整理论在中国的应用已经涉及到经济领域的 各个方面：如我国长夜结构和经济增长关系的协整； 经济增长、人口老龄化与我国医疗费用的协整；我 国能源消费与经济增长的协整；我国城镇居民收入 与消费关系的协整；对外贸易与经济增长的协整； GDP与居民可支配收入的协整……而且有些方面会 有很多人来做，因而也就会得出一些不同的结论， 从而有点让人怀疑该理论在国内的应用。
在这里 ,所用统计量是EG和AEG统计 量 ,其计算公式和检验方法与DF和A DF相同 ,由于临界值考虑到了对β 的估计 ,统计量的分布不同 ,不能 用DF和ADF检验临界值 ,其临界值可 从EG和AEG渐近临界值表中查到。
（3）误差修正模型。最后对具有协整关系的变量建立 误差修正模型。 • 如果非平稳变量之间存在着协整关系 ,那么这些变量 之间就存在着长期均衡关系(围绕均值上下波动) ,但 这种关系并不能反映经济变量间的短期动态 ,即短期 而言它们可能是不均衡的。对此我们可以通过建立误 差修正模型(ECM)将经济变量之间的关系表示成长期 均衡关系与短期动态关系之和的形式 ,即当时间序列 偏离了它们的均衡关系 ,就一定有外力(误差修正过 程)使它们回到均衡状态。 • 例如考虑两个汇率之间的关系，在短期内投资者对一 种货币的偏爱可能会导致这种货币相对于其他货币升 值。在其他时期 ,投资者可能会更关注另一种货币。 在这两种情况下 ,货币将会偏离它们的长期均衡关系。 但是经济力量会使它们恢复到长期均衡水平。
2 协整的定义及应用步骤
• Granger用一个简单的回归模型： yt a0 a1 xt t 其中，Yt是被解释变量，Xt是惟一的外生变量， {ε} 是白噪声序列。同时，Granger确立了变 量的整合程度概念。在方程中，假定 Xt～I(1)，Yt～I(1)，如果存在一个系数β， yt xt ～I(0)，那么变量Xt和 能够满足 Yt被称为是协整的。更一般地说，如果一组I (1)变量的线性组合是I(0)，那么这些变量就 是协整的。
• 1976年Dickey和Fuller建立了积分过程的检 验方法DF检验，1979-1980年又对DF检验进行 了拓展，提出了ADF检验。（前者只适用于一 阶自回归过程AR(1) ,且不能保证回归模型中 的 ut 为白噪声 ,而后者则适用于高阶自回 归过程 AR(p) ,它是通过增加因变量 Yt 的 滞后值来进行的。） 协整的作用在于正确的解释了经济现象和预测 现象。
（2）协整检验。对协整关系进行检验 双变量通常用EG两步法 ,而多变量则用Johansen 法 （见文章Johansen和Juselius协整检验应注意的几个 问题） EG两步法的核心是对模型的残差进行单位根检验,确 定残差的单整性,从而判断时间序列的协整关系。检 验时间序列Yt,Xt 间的协整性,常用的做法是:第一步 用OLS法估计协整回归方程Yt=α+βXt+ut,得到残差 序列为εt = Yt -α-βXtｔ，作为均衡误差ｕｔ的 估计值。第二步，检验εt的平稳性。若εt为平稳的， 即为I(0),则序列Yt,Xt具有协整性，反之，则不是协 整的。
• 由此他归纳出著名的格兰杰表示定理(Grange r Representation Theorem)，证明用误差修 正模型可以刻画非平稳协整变量间的联合动 态关系。 • 协整概念及其方法的提出对于用非平稳变量 建立经济计量模型非常重要。当且仅当若干 个非平稳变量具有协整关系时，由这些变量 建立的回归模型才有意义，所以协整性检验 也是区别真实回归和虚假回归(spurious reg ression)的有效方法。
一 协整理论
1 协整理论的产生背景 2 协整的定义及应用步骤 3 协整理论在国内外的应用 4 协整理论当前研究和应用的热点问题
1 协整理论的产生背景
• Engle and Granger在1978年首先提出协整的概 念，并将经济变量之间存在的长期稳定关系成 为“协整关系”。 • 克莱夫· 格兰杰1934年生于英国威尔士的斯旺西。 1955年获得诺丁汉大学颁发的首批经济学与数 学联合学位，随后留校担任数学系统计学教师。 1959年获诺丁汉大学统计学博士学位。1974年 移居美国后，格兰杰在加州大学圣迭戈分校经 济学院任教，是该学院经济计量学研究的开创 者，现为该校的荣誉退休教授。格兰杰曾担任 美国西部经济学联合会主席，并于2002年当选 为美国经济学联合会杰出资深会员。
• 如果 Y(t -1）>βZ（t–1）,那么,前一期的 Y已超过了均衡水平,因为γ< 0 ,误差修正项 会把 Y拉回来 ,使它回到均衡水平;如果 Y（t–1）<βZ（t–1）,误差纠正项会使 Y朝 着向均衡返回的方向有一个正的变化。 • 因此 ,被解释变量的波动分成了短期波动和 长期均衡两部分。对误差修正模型的参数做 估计时 ,只需做ΔYt 对ΔZt 和St - 1 = Y （t–1）-βZt的回归就可以了。
• 在协整概念的基础上，1987年Engle 和 Gran ger建立了检验经济变量间存在协整关系的EG 两步法理论以及检验向量的估计。 • EG两步法可以得到一致的参数估计，主要适 用于处理只存在一个协整向量的系统，特别 适用于两变量的情形。此后，约翰森(Johans en)改进了协整关系的检验方法。 • 在与恩格尔及其他研究者的合作中，格兰杰 对协整理论做了若干拓展，研究了季节协整、 门限协整和多重协整等问题，他还运用协整 理论做了大量的实证研究。
如果一组I(1)变量的线性组合是I(0)， 那么这些变量就是协整的。
=
如果变量Xt和Yt都不是单位根平稳，同时它 们的线性组合具有单位根平稳性，则定义Xt 和Yt是协整的。
对协整的应用： 实际中对协整的检验有些困难，困难的 主要原因是协整检验忽视了分量序列的尺度 效应。然而协整的思想和金融研究是高度相 关的。
• （注：如果一个随机过程的均值和方差在时间过程中 都是常数，并且在任何两期之间的协方差值仅依赖于 上述两期间的距离或滞后，不依赖于计算这一协方差 的实际时间，就称它为平稳时间序列。在这个意义上， 如果一个时间序列不是平稳的，就称它为非平稳时间 序列。） • 然而在实际中，大多数宏观经济和金融时间序列数据 （比如国内生产总值、价格、消费等）是非平稳性， (因为这些时间序列数据之间具有某种长期的均衡关 系，但是短期内的变动又毫不相干 )它意味着经济变 量并不具备回归到某个常数或某一线性趋势的显著倾 向，因而假设这些时间序列数据由非平稳随机过程产 生才比较恰当。