简单的线性规划问题练习题及答案解析

1.

目标函数z = 4x + y ,

将其看成直线方程时，z 的几何意义是(

)

A .该直线的截距

B .该直线的纵截距

C .该直线的横截距

D .该直线的纵截距的相反数

解析：选B.把z =4x + y 变形为y = — 4x +z ,则此方程为直线方程的斜截式，所以 z 为

该直线的纵截距.

2.

若x >0, y >0,且x + y < 1,贝

U z = x — y 的最大值为( )

B . 1

D . — 2

S max = 4+ 5= 9.

答案：9

y < 2x

4.已知实数x 、y 满足y 》一2x.

x < 3

(1) 求不等式组表示的平面区域的面积；

(2) 若目标函数为z = x — 2y ,求z 的最小值. 解：画出满足不等式组的可行域如图所示： (1) 易求点 A 、B 的坐标为：A(3,6), B(3,— 6), 所以三角形OAB 的面积为： 1

S^O AB = 2^ 12X 3= 18.

1 z

1 z

(2) 目标函数化为：y = ~x —2,画直线y =2x 及其平行线，当此直线经过 A 时，—？的值 最大，z 的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z 的最小值为3— 2X 6= — 9.

一、选择题

的线性约束条件下，取得最大值的可行解为 B . (— 1,— 1) 1 1

D .(2, 2)

解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当 x = 0, y = 1时，z =— 1;当x =— 1, y 1 1 =—1 时，z = 0;当 x = 1, y = 0 时，z = 1;当 x = 2，y = 2时，z = 0.排除 A , B , D.

A . — 1 C . 2 答案：

B x + y — 2> 0,

y 满足x <4,

l y w 5,

解析：可行域如图所示，

作直线y = — x ,当平移直线y = — x

至点A 处时，s = x + y 取得最大值，即 3 .若实数X 、 贝U s = x + y 的最大值为 _______ .

2x — y + 1> 0

1. z = x — y 在 x — 2y — 1 < 0

x +y < 1

A . (0,1)

■ x+ 3y —3》0,

2. (2010年高考浙江卷)若实数x, y满足不等式组2x —y —3<0, 则x+y的最大值

x-y+ 1 > 0, 为()

15

A. 9

B.〒

7

C. 1 D不

解析：选A.画出可行域如图：

令z= x+y,可变为y= —x+ z,

作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大.

2x—y—3= 0,

由得A(4,5),.，Z max= 4+ 5= 9.

x—y+ 1 = 0,

3. 在^ABC 中，三顶点分别为A(2,4), B( —1,2), C(1,0)，点P(x, y)在^ABC 内部及其边界上运动，贝U m= y —x的取值范围为()

A . [1,3]

B . [ —3,1]

C. [ —1,3] D . [ —3,—1]

2

解析：选 C.直线m= y—x 的斜率k1 = 1 >k AB = 3,且k1 = 1v k AC= 4,

•••直线经过C时m最小，为—1,

经过B时m最大，为3.

■p x—2< 0

4. 已知点P(x, y)在不等式组y—1W0 表示的平面区域内运动，则z= x—y的取

■x+ 2y —2> 0

值范围是()

A . [ —2,—1]

B . [ —2,1]

C. [ —1,2] D . [1,2]

解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，

'.z= x—y,.°y=x—乙

由图知截距一z的范围为[—2, 1]，/z的范围为[—1,2].

'?x—y+ 1 ?'?x+y—4'?》0, 2 2

5 .设动点坐标(x, y)满足I 则x + y的最小值为()

丸》3, y> 1.

A. 5

B. 10

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CQ D. 10

解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x= 3, y= 1时，x2+ y2的最小值为10.

6 . (2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得

利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（）

A . 12万元

B . 20万元

C. 25万元 D . 27万元

解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，贝U获得的利润为z= 5x+ 3y.

由题意得

「x>0,

y> 0,

i 可行域如图阴影所示.

3x+ y w 13,

• 2x+ 3y< 18,

由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x= 3,y = 4, z= 5X 3+ 3X 4 = 27（万元）.

二、填空题

0< x< 1

7. 点P（x, y）满足条件｛0< y< 1，则P点坐标为寸，z= 4- 2x + y取最大值

I 1

y—x》2

解析：可行域如图所示，

当y—2x最大时，z最大，此时直线y —2x=乙，过点A（0,1）,（Z1）max= 1,故当点P 的坐标为（0,1）时z= 4 —2x+ y取得最大值5.

答案：（0,1） 5

■p x》0

8. 已知点P（x, y）满足条件y w x （k为常数），若x+ 3y的最大值为8,则k=

2x+y+ k w 0

解析：作出可行域如图所示：

k k 作直线l o x+ 3y= 0,平移I o知当I o过点A时，x+ 3y最大，由于A点坐标为（—3,—刁.二k —3—k= 8,从而k= — 6.

答案：—6

9. （2010年高考陕西卷）铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c