运用“换元”法解题微积分
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ｓｎ ｉ
（） １ 解设
耍 ｔ ｉ ｍ
一 —
ｆ＝ ＋１
￣
—
／ ＋２ｘ＋２－１ ｘ ２
：
ｌ ｉ ａ ｒ
。
孕
—
， ＋１ ｌ 。 ＋
＝ ＝＝ ＝＝ ＝ ＝ 一 ｘ
，．
√ ＋１ ｆ —１
工 ｌ
一
ｍ
ｌ ０
０ 岫 一
￥
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＝ ＝ ＝— 一
［０１ ０ ３ ：１
．
３６ ／ ． ｓ ．０ １ ８ ７ ．００ ２ ．１ ９ ９ ｊｉ ｎ １０ － ９ ２２ １ ．４０ ６ ｓ
运 用 “ 元 ’ 解 题 微 积 分 换 ’法
樊福印 大连广播 电视 大学 １ ６２ ０１ １
铡２ 、求 下列函数 的极限
（） １
、 一 （＋ ， （ “ ： ｌ １ （，、 ） 、－ ．１ ２ ∞一 ） 等
实现 。 对于 ６变 量以上 的逻辑 函数 ，也 仅仅需荽对 ｍ数组的列数、ｃ ｍｐ数组的 ｏ 结构和 内容及部分循环结构的循环次数进
令， 则１ ， ＝， 入 方程 得 ＝ ， ＝ ＋， 带
ｘ＇ ｔ ：
行 简单 的修 改 即可 。实践 表 明 ，通过 上 述 流程 对逻 辑 函数进 行处理 的结果 ，与
问 题 加 以 讨 论 ， 或 许 能 开 拓 学 习者 的 解 题 思 路 。
一
解 ： 由
贝 ＝
：
，
的积 分 公 式 知 先设
Ｃ
“：ａｃ ｉ ： ｒｓ ｎ
“ 元 ”方法在 函数 中的解 题 实例 换
例１ 、已知函娄厂 ＋ ） 一 ）＋２ －５ｊ ｘ ：？ ｉ （ １＝（ ３ 【 Ｘｔ ， （） － ｝
ｌ而 Ｉ ｆ ＋ ＋ ｃ
镶 上接第 ４ 页 ４
所 以
求
１４ ｌ ｘ ＋ Ｊ＋
Ｊ ＋ ｃ
⑦ ｍ【］ ５＝ ０ １ ０ １ ０【 】 ０ ０ ０ ０ 、ｍ【】 ５ ５ １【 】 ５
＝
０ ０ Ｏ ｌ 、ｍ［１ ５＝１ ０ ０ ０ ０ １０ ｌ ２１ ］ ０ ０ １ ； ５
③ ｍ【 】 ９ ＝ ０ ０ Ｏ ｌ ０［ １ Ｏ ０ １ ０ 、ｍ【 】 ９ ５ １［ 】 ５
对 于例１ 以直 接利 用 换元法 ： 可
解 ：设， ＝Ｘ＋ｌ 则变 化 函数， ｘｔ ） 一３ Ｘ＋５＝（ ’ －１＝（ （ － ） ＋２ ＋１ ） ＋２ｘ＋１＋３ —４ （ ） 带入 ｔ ＝Ｘ＋ｌ 则厂 ｆ＝０—４ ＋２ ＋３ ， （） ） ｔ ，
ｄ ： ｙ
×
×
一
≤
Ｙ… 佃
四 “ 元 ” 方 法 在 积 分 中 的 解 题 实 例 换
√１ ｘ ６ ＋８ ｘ＋５
解
１ ｘ ８ ５＝４， ６ ｘ
√
谢 ＝４ ＋ｌ 则 １ ｄ （ｘ ） Ｊ ４ ＋１
、
十
分公式 』
４ ， √＋
２ ＝４
者 就 要 多 做 相 关 的 习题 。其 实 数 学 解 题 的 方 法 很 多 ， 要 我 们 慢 需
：
￡ ～ ｆ
三 “ 元 ” 方 法 在 微 分 中 的 解 题 实 例 换
例 ３ 求 函 数 Ｙ＝ ｅ ”一 、 的微 分
慢的学习和积 累。本 文单独对 “ 换元”这一方 法 ，对微积分相关
以此类推，再令 ， ＝
而 ：２
幽 ：√ ．
ｌ一 ，
× ×
置换 变 量厂 ） 一４ ＋２ ｔ ＝（ ） ｘ ＋３
所 以 ＝ “×
１
×２ ＝
１
２
二 、“ 元 ”方法在 极 限 中的解 题 实例 换
＝
４ 一 ７
■一
例４ 、求
＋ ＋ ｘ（ ｘ ＋ １ ＋ ／４ ） ４
＝
五 、“ 元”方法在微分 方程 中的解题实例 换
例６ 、求 微分 方程 Ｙ － 。 ），＝０ 足 ４（ ～ 满
０ ０ １ ０ 、ｍ［］ ９＝１ ０ ０ 。 ０ ０ １ ０ ２［ １ ０ １ ５ ０ ０ 即函数 Ｆ 的 本原蕴 涵项 为 ：
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十 １ ÷
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— 一 — —
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：
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（２） 解设 ｒ ＝ ￡ 则 ｌ ｉ ａ ｒ
一
（ 等 ～ ｌ （ ＝ ｉ 一 ａ ｒ
（ ＋ １ … ＿ １ ）
３．结 束 语
本文介绍的求解多变量逻辑 函数本原 蕴 涵项 的方法 严格 遵循蕴 涵法 理论 ，设 计 的程 序流程 清晰 、准 确 ，符合结 构化
初女 钧 ｙ ＝一 ｌ ｌ
解 ：方 ｝ ！ 一 ） ＝ｏ ｑ ＋（ ｖ 以化 成
，
：
高 ： 兰
．
标准 ，用 Ｃ、ＶＢ等高级编程工具很容 易
用公式 法 、卡诺 图法等 手工 方法进 行处 理 的结果完 全一致 ，但在提 高可靠性 、减 小 复杂度和降低工作成本等方面优点是 明
显的 。
（一 １ ）
ｆ
：
两边ห้องสมุดไป่ตู้积 分
， Ｉ 一 ｎ，： Ｉ ＋ Ｉ ｎ． ｎＣ
ｔ＝ Ｉ （ ｎ ｔ
即 ： ｌ ｎ
’
通 解 是 ｃ ＝ｅ ｙ
带入初 始条件 （） １ ｃ 一 １：一 知
ｅ
、
最
为 Ｊ：一 ，
通 过上述的 例题 ，我们发现换元这一方法贯穿微积分教学的整个过程 ，只要在 函数 、极限 、微 分 、积分 中巧妙地运 用换元 的方法 ，可以轻 易地 解决一 些计算 问 题 。只要我 们善于 和应用 换元 的方法 ，将 在高等 数学 的后继 学习 中获益 匪浅 。
… ： ｌ ｉ ｍ
ｘ
ｌ ｉ ａ ｒ
ｆ
ｆ
（ 一 ＋ １） 一 １
，
￡
＝ —— ——一
高等数学是 高等 院校 许多专业开设的一门重要的基础课程 ，
学 习 好 这 门 课 程 对 相 关专 业 后 继 课 程 的 学 习 格 外 重 要 。 微 积 分 而 是 高 等 数 学 的 基 础 ， 样 学 好 它 呢 ？ 除 了对 概 念 的 深 刻 理 解 ， 怎 再
（） １ 解设
耍 ｔ ｉ ｍ
一 —
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／ ＋２ｘ＋２－１ ｘ ２
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ｌ ｉ ａ ｒ
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一
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３６ ／ ． ｓ ．０ １ ８ ７ ．００ ２ ．１ ９ ９ ｊｉ ｎ １０ － ９ ２２ １ ．４０ ６ ｓ
运 用 “ 元 ’ 解 题 微 积 分 换 ’法
樊福印 大连广播 电视 大学 １ ６２ ０１ １
铡２ 、求 下列函数 的极限
（） １
、 一 （＋ ， （ “ ： ｌ １ （，、 ） 、－ ．１ ２ ∞一 ） 等
实现 。 对于 ６变 量以上 的逻辑 函数 ，也 仅仅需荽对 ｍ数组的列数、ｃ ｍｐ数组的 ｏ 结构和 内容及部分循环结构的循环次数进
令， 则１ ， ＝， 入 方程 得 ＝ ， ＝ ＋， 带
ｘ＇ ｔ ：
行 简单 的修 改 即可 。实践 表 明 ，通过 上 述 流程 对逻 辑 函数进 行处理 的结果 ，与
问 题 加 以 讨 论 ， 或 许 能 开 拓 学 习者 的 解 题 思 路 。
一
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，
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“ 元 ”方法在 函数 中的解 题 实例 换
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所 以
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１４ ｌ ｘ ＋ Ｊ＋
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０ ０ Ｏ ｌ 、ｍ［１ ５＝１ ０ ０ ０ ０ １０ ｌ ２１ ］ ０ ０ １ ； ５
③ ｍ【 】 ９ ＝ ０ ０ Ｏ ｌ ０［ １ Ｏ ０ １ ０ 、ｍ【 】 ９ ５ １［ 】 ５
对 于例１ 以直 接利 用 换元法 ： 可
解 ：设， ＝Ｘ＋ｌ 则变 化 函数， ｘｔ ） 一３ Ｘ＋５＝（ ’ －１＝（ （ － ） ＋２ ＋１ ） ＋２ｘ＋１＋３ —４ （ ） 带入 ｔ ＝Ｘ＋ｌ 则厂 ｆ＝０—４ ＋２ ＋３ ， （） ） ｔ ，
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四 “ 元 ” 方 法 在 积 分 中 的 解 题 实 例 换
√１ ｘ ６ ＋８ ｘ＋５
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１ ｘ ８ ５＝４， ６ ｘ
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谢 ＝４ ＋ｌ 则 １ ｄ （ｘ ） Ｊ ４ ＋１
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者 就 要 多 做 相 关 的 习题 。其 实 数 学 解 题 的 方 法 很 多 ， 要 我 们 慢 需
：
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三 “ 元 ” 方 法 在 微 分 中 的 解 题 实 例 换
例 ３ 求 函 数 Ｙ＝ ｅ ”一 、 的微 分
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二 、“ 元 ”方法在 极 限 中的解 题 实例 换
＝
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例４ 、求
＋ ＋ ｘ（ ｘ ＋ １ ＋ ／４ ） ４
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五 、“ 元”方法在微分 方程 中的解题实例 换
例６ 、求 微分 方程 Ｙ － 。 ），＝０ 足 ４（ ～ 满
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（２） 解设 ｒ ＝ ￡ 则 ｌ ｉ ａ ｒ
一
（ 等 ～ ｌ （ ＝ ｉ 一 ａ ｒ
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３．结 束 语
本文介绍的求解多变量逻辑 函数本原 蕴 涵项 的方法 严格 遵循蕴 涵法 理论 ，设 计 的程 序流程 清晰 、准 确 ，符合结 构化
初女 钧 ｙ ＝一 ｌ ｌ
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：
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， Ｉ 一 ｎ，： Ｉ ＋ Ｉ ｎ． ｎＣ
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高等数学是 高等 院校 许多专业开设的一门重要的基础课程 ，
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