运用“换元”法解题微积分
微积分中的积分换元法
微积分中的积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数、微分、积分等概念和性质。
在微积分中，积分换元法是一种重要的积分方法，能够将复杂的积分公式化简为简单易解的形式，大大提高了求解积分的效率和精度。
本文将详细介绍积分换元法在微积分中的应用和基本原理。
一、积分换元法的基本概念积分换元法，又称替换法，是指将被积函数中的某一部分替换为一个新的变量，从而简化积分的方法。
简单来说，就是将原积分式中的变量用一个新的变量代替，然后对新的积分式进行求解。
具体来说，对于形如 f(x)dx 的积分，我们可以进行如下的积分换元：1、假设原积分式中的自变量x 可以表示为另一变量u 的函数：x=g(u)；2、则有：dx=g'(u)du，即 dx/du=g'(u)。
3、用 u 表示 f(x)，有 f(x)=h(u)。
4、将 1 和 3 结合，得 f(x)dx=h(u)g'(u)du。
5、用 u 代替 x 进行积分。
其中，g(u) 是连续可导函数，g'(u) 不等于 0。
如果散列w是$f$中$x$可以表示的函数，则用$g(u)=w$ 设$u=g^{-1}(w)$，则$fwg^{-1}$的微分单位表达式为$f(x) dx = fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
因此$\int f(x) dx = \int fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
二、积分换元法的应用积分换元法在微积分中有广泛的应用，特别是对于一些复杂的积分问题，使用积分换元法能够帮助我们将问题转化为相对简单的积分形式，从而更容易求解。
下面以几个例子来说明积分换元法的应用：1、对于形如 $\int e^{x} \cos x \, \mathrm{d}x$ 的积分，我们可以令 $u=e^{x}$，则 $\mathrm{d}u=e^{x}\mathrm{d}x$，从而原式变为 $\int \cos x \, \mathrm{d}u$，进一步求解即可。
微积分中的换元积分法
微积分中的换元积分法在微积分中，换元积分法是一种非常重要的积分方法，它主要用于解决一些较难的积分问题。
换元积分法是一种基本的数学思想，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更加方便地求解。
本文将详细地介绍换元积分法的基本思想和应用方法，并结合一些典型的例子进行讲解。
一、基本思想换元积分法的基本思想是通过变量替换的方式，将一个积分式中的变量替换成另一个变量，从而把一个较难的积分问题转化成一个较简单的积分问题。
具体来说，设有一个积分式：∫f(x)dx如果能够将x用t表示出来，并且求出dt/dx，那么就可以把积分式中的x全部用t来表示，将原来的积分式变成：∫f(t)(dt/dx)dx然后再将t看作自变量，x看作因变量，对f(t)(dt/dx)进行积分，最终得到原来的积分值。
二、应用方法换元积分法的应用方法比较灵活，下面将分别介绍三种典型的应用方法。
1.代换法代换法是换元积分法中最常用的方法，其具体思路是将积分式中的变量用一个新的变量表示出来，然后对新的变量进行求导，最终得到积分式中的原变量的微元。
代换法的一般步骤如下：（1）根据积分式中的特点选取代换变量（2）用代换变量表示出积分式中的自变量，并求出代换变量的微分（3）将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，将原积分式变为代换后的积分式（4）对代换后的积分式进行求解，得到最终答案代换法的应用可以通过一个例子来具体说明。
例1：求积分∫x√(1+x^2)dx。
解：积分式中含有根号，所以很难直接求解，这时就可以采用代换法来解决。
选取代换变量t=1+x^2，此时x^2=t-1。
对t求导，得到dt/dx=2x，即dx=(1/2√t)dt。
将x√(1+x^2)dx用代换变量表示为(t-1)√tdt/2，完成了变量替换。
此时将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，积分式变为：∫(t-1)√tdt/2对上式进行积分，最终得到积分值为：(2/3)(1+x^2)√(1+x^2)-2/3arcsin(x)+C其中C是积分常数。
使用换元法解决函数积分问题
使用换元法解决函数积分问题函数积分是微积分中常见的计算方法，通过对给定函数求积分，可以得到对应的定积分值或不定积分表达式。
在某些情况下，为了简化积分的计算或变换积分的形式，可以采用换元法（也称为代换法或替换法）来解决函数积分问题。
本文将介绍换元法的基本原理，并通过具体的例子来展示该方法的应用。
一、换元法的基本原理换元法是一种基于链式法则的积分变换方法，其基本思想是通过引入新的变量来替代原积分变量，以便简化或改变积分的形式。
该方法的核心是选择合适的换元变量和建立原变量与换元变量之间的函数关系。
具体步骤如下：1. 选取换元变量：根据积分被积函数的形式，通常选择一个与原变量之间存在某种函数关系的新变量，以便简化剩余的积分计算。
2. 建立函数关系：通过选择换元变量后，建立该变量与原变量之间的函数关系。
这可以是通过直接赋值或利用已知的函数性质得到。
3. 计算偏导数：根据函数关系，计算出所选换元变量的一阶或高阶导数，并将其用于后续的换元计算。
4. 替换变量：将换元变量代入原积分，实现变量的替换。
在此过程中，注意用新变量替代原变量，并根据链式法则调整积分表达式。
5. 计算积分：将新表达式的积分进行计算，并进一步简化或改变积分形式，以求得最终的积分结果。
二、使用换元法解决函数积分问题的例子为了更好地理解换元法的应用，以下将以不同类型的函数积分问题为例进行说明。
例1. 解决∫(3x + 5)^2 dx。
解答：首先，我们选取换元变量 u = 3x + 5，并建立函数关系 u = 3x + 5。
然后，计算变量 u 的导数 du/dx = 3，并根据链式法则有 dx = du/3。
将 u = 3x + 5 代入原积分中∫(3x + 5)^2 dx，得到∫u^2 (du/3)。
我们可以发现，该积分形式比原积分更简单。
进一步计算积分，得到(1/3) ∫u^2 du，这是一个较易积分的形式。
通过求解，我们得到积分结果为 (u^3/9) + C，其中 C 为常数。
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
换元求解的技巧
换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。
它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。
在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。
一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。
例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。
解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。
2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。
例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。
解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。
由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。
二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。
例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。
解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。
然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。
三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。
例4：求解积分∫x^2 e^x dx。
解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。
然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。
通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。
四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。
微积分中的变量替换与积分换元法的应用技巧
微积分是数学中的一门重要学科，主要研究变化率和积分的概念与性质。
在微积分的学习过程中，变量替换与积分换元法是一种常用的技巧，通过合理运用这两种方法，可以简化积分计算并解决一些复杂的问题。
变量替换是一种通过引入新的变量来简化表达式或积分的方法。
当我们遇到一些复杂的表达式或无法直接求积分的函数时，可以通过选择合适的变量替换来简化计算。
变量替换的关键是寻找一个适合的替代量，使得新的表达式或积分更容易处理。
在变量替换中，常用的方法包括令u=f(x)或x=g(u)，其中f(x)和g(u)是一对反函数。
通过这样的变换，我们可以将原始积分转化为对新的变量的积分。
在选择变量替换时，需要考虑代换的合理性和方便性。
一个好的替换应使得原式中的被积函数变得简单明了，易于处理。
以一个简单的例子来说明变量替换的应用技巧。
考虑积分∫(x^2+1)dx，如果直接对其进行积分，则需要运用常见的积分公式，较为繁琐。
而通过变量替换，令u=x^2+1，则我们可以将积分转化为∫udu，很明显，∫udu的积分结果为u+C。
最后，我们再将u=x^2+1带回，即得到∫(x^2+1)dx的积分结果为(x^2+1)+C。
通过变量替换，我们简化了积分的计算过程。
积分换元法是一种通过引入新的变量来使被积函数更容易积分的方法。
与变量替换类似，积分换元法的核心是选择一个合适的换元变量。
通常情况下，我们选择的变量与被积函数中的主要部分相关。
通过换元，我们可以将积分转化为在新变量下的简单积分问题。
对于一般的形式∫f(g(x))g'(x)dx，假设u=g(x)是一个可导的函数，根据链式法则，有du=g'(x)dx，我们可以将被积函数中的g'(x)dx用du来代替，此时被积函数变为∫f(u)du，这个积分往往更容易求解。
最后，得到的积分结果再用原来的变量表示即可。
以一个实际的例子来说明积分换元法的应用技巧。
考虑积分∫(x+1)^2dx，通过积分换元法，我们可以令u=x+1，则du=dx，并将被积函数变为∫u^2du，这个积分很容易求解，得到的结果为(u^3)/3+C。
换元法用法
换元法用法换元法是微积分中的一种重要的求积方法，常用于解决一些特定形式的积分问题。
它通过引入新的自变量替代原积分中的自变量，从而将原本复杂的积分式转化为更简单的形式，进而求解。
换元法的基本思想是，通过选择合适的新的自变量替代原来的自变量，使得积分式的形式更加简单。
一般来说，换元法适用于具有以下特点的积分：1. 积分式中的被积函数可以通过某种函数关系表示，例如三角函数、指数函数等；2. 积分式中的自变量与被积函数之间具有某种关系，例如自变量的导数与被积函数成比例等。
具体来说，换元法的步骤如下：1. 选择合适的新自变量。
根据被积函数的特点，选择合适的新的自变量进行替换。
一般来说，选择新自变量可以使得被积函数在新自变量下的形式更加简单，例如通过三角函数的关系进行替换。
2. 计算新自变量对应的微分。
根据新自变量和原自变量之间的关系，计算新自变量对应的微分，即求出原自变量与新自变量的关系式，并对该关系式求导。
3. 将原积分式转化为新的积分式。
根据新自变量的定义和微分的计算结果，将原积分式中的自变量和微分进行替换，得到新的积分式。
4. 求解新的积分式。
根据新的积分式的形式，进行求解。
由于经过换元法的替换，新的积分式往往更加简单，可以采用更直接的方法进行求解，例如常用的积分公式、部分分式分解等。
需要注意的是，换元法不是解决所有积分问题的通用方法，只适用于具有特定形式的积分。
在使用换元法时，需要根据被积函数的特点和积分式的形式，选择合适的新自变量进行替换，才能得到有效的结果。
同时，对于一些复杂的积分问题，可能需要多次换元才能得到最终的结果。
微积分 换元积分法
换元积分法"换元积分法" 是求积分的方法，适用于可以写成一个特定格式的函数。
第一步，也是最重要的一步，是把积分写成这个格式：注意积分里有 g(x) 和它的 导数g'(x)像这例子：在这例子里，f=cos，g=x2，还有其导数 2x格式对了，可以用换元积分法来求这个积分了！若积分写成了这个格式，我们可以做这个变换（换元）：接着我们可以求 f(u) 的积分，然后把 g(x) 代回去 u 里。
像这样：例子：∫cos(x2) 2x dx这已经是可以换元的格式：求积分：∫cos(u) du = sin(u) + C 把 u=x2 代回去：sin(x2) + C所以∫cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C。
不错！（当然不错，不然我不会举这个例了！）换元积分法只适用于某些积分，并且可能需要先重排式子：例子：∫cos(x2) 6x dx糟了！是 6x，不是 2x。
格式不对了！没关系。
重排积分就行了：∫cos(x2) 6x dx = 3∫cos(x2) 2x dx （常数乘数可以移到外面。
见 积分法则。
）可以照样做了：3∫cos(u) du = 3 sin(u) + C 把 u=x2 代回去：3 sin(x2) + C做好了！我们来看一个比较复杂的例子：:例子：∫x/(x2+1) dx好…… x2+1 的导数是 2x …… 所以我们可以这样重排：∫x/(x2+1) dx = ½∫2x/(x2+1) dx 得到：求积分：½∫1/u du = ½ ln(u) + C 把 u=x2+1 代回去：½ ln(x2+1) + C来看看这个：例子：∫(x+1)3 dx…… x+1 的导数是 …… 1！所以：∫(x+1)3 dx = ∫(x+1)3 · 1 dx 得到：求积分：∫u3 du = (u4)/4 + C 把 u=x+1 代回去：(x+1)4 /4 + C就是这样！总结若积分可以写成这个格式：我们便可以做这个变换：u=g(x)，然后求积分∫f(u) du最后把 g(x) 代回 u 里。
[微积分常用公式]学好微积分的技巧换元公式如何运用
![[微积分常用公式]学好微积分的技巧换元公式如何运用](https://img.taocdn.com/s3/m/3b0de1dbdb38376baf1ffc4ffe4733687e21fcd5.png)
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相关资料一: 学好微积分的技巧换元公式如何运用学好微积分的技巧换元公式如何运用第一类换元法，也称为凑微分法，顾名思义，就是把f[g(x)]g’(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g’(x)dx。
要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很清楚（比如有些函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。
除此，多项式的因式分解，三角函数恒等式等等都会用到。
学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。
第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g’(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。
常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。
适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a±x），√（x－a）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x））的积分。
熟能生巧！！相关资料二: 微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)微积分公式等价无穷小：当x→0时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx ～ln(1+x)～ex1;21?cosx～x2;(1+x)a?1～ax(a≠0);ax?1～xlna(a>0,a≠1).基本积分表∫kdx=kx+C(k=1时,∫dx=x+C)∫xμdx=xμ+1μ+1+C∫1xdx=ln|x|+C∫11+x2dx=arctanx+Cx=arcsinx+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=?cosx+C∫1sec2cos2xdx=∫xdx=tanx+C∫1sin2xdx=∫csc2xdx=?cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=?cscx+C ∫exdx=ex+C∫xdx=axalna+C(a>0,a≠1)∫sinhxdx=coshx+C∫coshxdx=sinhx+C不定积分线性运算法则∫[αu(x)+βv(x)]dx=α∫u(x)dx+β∫v(x)dx不定积分的换元法∫f[?(x)]?′(x)dx=??∫f(u)du?u=(x)∫f(x)dx=[f[υ(t)]υ′(t)dt]t=υ?1(x)积分公式∫dx1xa2+x2=aarctana+C=arcsinxa+C=1barcsinbxa+C(a>0,b>0)∫dxx2?a2=12alnx?ax+a+C∫secxdx=ln|secx+tanx|+C∫cscxdx=ln|cscx?cotx|+C=ln(x++C(a>0)=ln|x+C不定积分的分部积分法∫uv′dx=uv?∫u′vdx或∫udv=uv?∫vdu定积分的换元法设函数f∈C[a,b].如果函数x=?(x)满足：(1)?(α)=a,?(β)=b,且?([α,β])?[a,b]或?([β,α])?[a,b];(2)?′∈C[α,β](或?′∈C[β,α])那么：∫baαf[?(t)]?′(t)dt1微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册) 同济二版微积分(下)若f∈C[?a,a],并且为偶函数，则∫aaf(x)dx=2∫af(x)dx;若f∈C[?a,a],并且为奇函数，则∫a?af(x)dx=0∫ππ20f(sinx)dx=∫20f(cosx)dx∫ππxf(sinx)dx=π∫20∫ππ2nsi nxdx=∫20cosnxdx定积分的分部积分法∫buv′dx=[uv]bbaa?∫avu′dx∫baudv=[uv]bba∫avdum=1,2,3,?第五章向量代数与空间解析几何向量的运算1??．向量的加法a??+??b(a+??=b+b)+??ac=??a+(b??+??c)2．向量与数的乘法（数乘）λ(μ??a)=(λμ)??a(λ+μ)??a=λ??a+μ??a λ(??a+??b)=λ??a+λ??b3．不等式||??a|?|??b||≤|??a±b??|≤|??a|+|??b|4．单位向量eaa=|a|空间两点间的距离公式|PP12|=向量的坐标表示以点M1(x1,y1,z1)为起点,M2(x2,y2,z2)为终点的坐标M??1M??ab=|??a||??b|cosθ a0=??0???a=0 ab=|??a|Prj??=|b??|Prj??abba即:Prja???ab=??|a|=ea?bab=(ax,ay,az)?(bx,by,bz)=axa??bx+ayby+azbz a=|??2a? b??a|??a?(??=b???a(λ??b+c)a)?(μ??=a?b+a?cb)=λμ(??ab)向量??a与??b的夹角满足公式cosθ=a?|b(其中0≤θ≤π)若??a||b|a=(a?? x,ay,az),b=(bx,by,bz),则cosθ=ab+ab+ab2微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)若??a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a⊥b??的充要条件是a+a xbxyby+azbz=0向量的向量积设??a和b??是两个向量,规定??a 与???a??b??的充要条件是??a×??b=??0=(a?aybz?azby)i+(azbxxbz)j+(axby?aybx)k=ayaz??ax??bbi+azj+axay??b??y??zbxbxbkyijzk=axayazbxbybz两向量的向量积的几何意义(i)??a×b??由于|??的模a×??:b|=|??a||b??|sinθ=|所以|??a|h(h=|b|sinθ),a×??b|表示以??a和b??为邻边的平行四边形的面积.(??ii)??a×??b的方向:a×b??与一切既平行于??a又平行于?? b的平面垂直.向量的混合积(a×b)?c=ayazbcazaxx+cxayy+aybzbzbxbxbczyaxayaz=bxbybzcxcycz[abc]=[bca]=[cab三向量??a,b??,?? ]c共面的充要条件是axayazbxbybz=0cxcycz平面的方程1．点法式方程过点My??0(x0,0,z0)且以n=(A,B,C)为法向量的平面Π的方程为A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=02．一般方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)的图形是平面,其中x,y,z的系数A,B,C 是平面的法向量的坐标即n??,=(A,B,C)是平面的法向量.特殊的平面：A=0,平行于x轴的平面；B=0,平行于y轴的平面；C=0,平行于z轴的平面；D=0,过原点的平面；A=B=0,垂直于z轴的平面；B=C=0,垂直于x轴的平面；C=A=0,垂直于y轴的平面.平面的夹角cosθ=n??1?n2|nn=1||2|3微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)平面Π1和Π2相互垂直的充要条件是:A1A2+B1B2+C1C2=0 相互平行的充要条件是:A1B1CA=B=122C2点到平面的距离点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为:d=直线的方程1．参数方程过M,y??0(x00,z0)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x=x0+tm?y=y0+tn.??z=z0+tp2．对称式方程（点向式方程）过M(x,z??00,y00)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x?x0y?y0z?z0m=n=p.3．一般方程直线L可以看作两个平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0与Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的交线.空间一点M(x,y,z)在直线L上,当且仅当它的坐标x,y,z同时满足Π1与Π2的方程,的下面的直线方程:??A1x+B1y+C1z+D1=0,?A2x+B2y+C2z+D2=0.其中A1=B1=C1AB不成立.22C2两直线的夹角直线??L1与L2的方向向量分别是s??1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),则夹角公式为:cos?=s1?s2|s=1||s2|直线L1和L2相互垂直的充要条件是:m1m2+n1n2+p1p2=0相互平行的充要条件是:m1n1p1m==2n2p2直线与平面的夹角直线??L与平面Π法线的方向向量分别是s=(m,n,p),n?? =(A,B,Csin?=|n??),则夹角公式为:s||n||s|=直线L和平面Π相互垂直的充要条件是:ABCm=n=p;相互平行的充要条件是:Am+Bn+Cp=0.旋转曲面若在曲线C的方程f(y,z)=0中z保持不变而将y改写成±就得到曲线C绕z轴旋转而成的曲面的方程f(z)=0;若在f(y,z)=0中y保持不变而将z改写成就得到曲线C绕y轴旋转而成的曲面的方程f(y,=0.二次曲面图形及方程1．椭球面4微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)x2y2z2a2+b2+c2=1??x=asinθcos??y=bsinθsinz=ccosθ其中θ∈[0,π],?∈[0,2π]2．抛物面（1）椭圆抛物面x2y2a2+b2=±z??x=avcosu?y=bvsinuz=v2其中u∈[0,2π],v∈[0,+∞)（2）双曲抛物面x2y2a2?b2=±z??x=a(u+v)?y=b(u?v)??z=4uvx=或?auy=bvz=u2v2u,v∈R3．双曲面（1）单叶双曲面x2y2z2a2+b2?c2=1??x=acoshucosv?y=bcoshusinv ??z=csinhuu∈R,v∈[0,2π]（2）双叶双曲面x2a2+y2b2?z2c2=?1??x=v??y=vz=cuu∈(?∞,?1]∪[1,+∞),v∈[0,2π] 4．椭圆锥面x2y2z2a2+b2=c2??x=avcosu?y=bvsinuz=cvu∈[0,2π],v∈R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对x轴的斜率;偏导数fy(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对y轴的斜率.全微分若函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处都可微,则f(x,y)在每点处连续且可偏导,其全微分为:dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,或dz=zxdx+zydy复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数5微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)如果函数u=?(t),v=υ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(t),υ(t)]在点t可导,且有:dz?zdu?zdv=?+?dt?udt?vdt设三元函数F(x,y,z)在区域?内是C(1)类函数,点(x0,y0,z0)∈?且满足F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0,在点(x0,y0,z0)的某领域内唯一确定了一个C(1)类的二元函数z=z(x,y),它满足条件z0=z(x0,y0),FyFx?z?z且有=?,=?.xFzyFz3．2．复合函数的中间变量均为多元函数如果函数u=?(x,y),v=υ(x,y)都在点(x,y)可微,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(x,y),υ(x,y)]在点(x,y)可微,且有:?z?z?u?z?v=?+?,?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v=?+??y?u?y?v?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数。
微积分换元法公式
微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。
换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。
1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。
将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。
具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。
我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。
将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。
需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
换元原理的实际例子
换元原理的实际例子
换元原理是微积分中的一种重要的计算方法，它可以用于简化复杂的积分问题。
下面是一些实际例子：
1. 通过换元原理，可以简化一些三角函数的积分。
例如，考虑积分∫
sin(x)cos(x)dx，通过令u=sin(x)，可以将原来的积分转换为∫udu，进而可以得到结果为u^2/2，最后再将u还原为sin(x)，即得到sin^2(x)/2。
2. 另一个例子是通过换元原理可以简化一些指数函数的积分。
考虑积分∫e^x dx，可以令u=e^x，进而将原来的积分转换为∫du，结果即为u，最后再将u 还原为e^x，即得到e^x。
3. 换元原理还可以用于简化一些多项式函数的积分。
例如，考虑积分∫x^2*(x^3 + 2)^4 dx，通过令u=x^3 + 2，可以将原来的积分转换为∫(u-2)^4/3 du，进而可以得到结果为(u-2)^5/15，最后再将u还原为x^3 + 2，即得到(x^3 + 2)^5/15。
这些例子展示了换元原理在计算复杂积分中的应用。
它可以将原来的积分问题转化为更简单的形式，使得计算变得更加容易。
微积分中的积分换元与分部积分
微积分中的积分换元与分部积分微积分是数学中的重要分支，其中积分是其中的一项基本操作。
在求解不定积分的过程中，积分换元与分部积分是常用的两种方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理和应用。
一、积分换元积分换元，也称为代换法，是一种将复杂的积分转化为简单的积分的方法。
其基本思想是通过某种变量替换，将原积分中的被积函数或积分元素换成新的变量，使得积分表达式更加简单。
下面通过一个具体的例子来说明积分换元的过程。
例题：计算不定积分∫(2x+1)² dx解：我们可以令u=2x+1，然后对u求导，得到du=2dx。
通过这个代换，我们可以将原积分转化为∫u²/2 du。
这个新的积分就非常简单，直接求解即可。
通过这个例子，我们可以看到，积分换元的关键是选择合适的代换变量，使得原积分可以转化为更简单的形式。
在实际应用中，我们常常需要观察被积函数的结构，选择合适的代换变量，从而简化计算过程。
二、分部积分分部积分是求解不定积分中的另一种重要方法。
其基本思想是将原积分中的乘积形式，通过对其中一个函数求导，另一个函数积分的方式进行转化。
下面通过一个例子来说明分部积分的过程。
例题：计算不定积分∫x*sin(x) dx解：我们可以将被积函数分为两个部分，f(x)=x和g'(x)=sin(x)。
接下来，我们可以利用分部积分的公式∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x) dx，将原积分转化为∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx。
通过分部积分，我们将原来的积分分解为两个较简单的积分。
继续对第二个积分∫cos(x) dx 进行求解，即可得到最终的结果。
值得注意的是，在应用分部积分时，我们需要遵循一定的顺序。
一般来说，选择的第一个函数应该是可以求导的函数，而选择的第二个函数应该是可以积分的函数。
通过适当选择积分次数，我们可以通过多次应用分部积分的公式，将原积分转化为更简单的形式，最终得到的结果可以通过简单的计算求解。
微积分换元积分法5
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax
b)
(a
0)
小结
f (axm1 b)xmdx
常见旳凑微分类型有
1
f (axm1 b)d(axm1 b)
a(m 1)
f
1 dx (x) x2
f ( 1 )d( 1 ) xx
1
2 cos xd(cos x) u cos x 2 udu
u2 C cos x2 C
注 同一种积分用不同旳措施计算,可能 得到表面上不一致旳成果,但是实际上都 表达同一族函数.
第二换元积分法
1
1
x
dx
困难 有根式
处理措施 消去根式,令t x , 即 x t 2(t 0) 则 dx 2tdt
一般规律如下：当被积函数中具有
(1) a2 x2 可令 x a sin t;
(2) a2 x2 可令 x a tan t;
(3) x2 a2 可令 x a sec t.
例 5.11 求下列积分 (1) a2 x2 dx (a 0)
解 令 x a sin t dx a cos tdt t ,
f (cot x)csc2 xdx f (cot x)dcot x
f (arcsin x)
1 dx 1 x2
f (arcsin x)darcsin x
f
(arctan
x
)
1
1 x
2dx
f
(arctan x)darctan x
f ( x)dx f (x)
df ( x) ln f ( x) C f (x)
换元法的常见形式
换元法的常见形式换元法是微积分中常用的一种积分方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为一个更易于处理的形式进行积分。
换元法有许多常见的形式，下面将介绍其中的几种。
一、使用代换公式假设有一个被积函数f(x)，根据换元法，我们可以引入一个新的变量t，使得t和x之间存在一个函数关系x = g(t)，将x替换为t，即可将f(x)表示为f(g(t))。
这时候我们需要计算新的变量t的导数，即dx/dt，然后将f(g(t))乘以dx/dt。
接着我们可以对f(g(t))dx/dt进行积分，最后将t换回x，即可得到原来被积函数f(x)的积分结果。
具体的换元公式有：1. 代换公式：如果x = g(t)是可导的，且g(t)的导数g'(t)不为0，那么 f(x)dx = f(g(t)) * dx/dt dt。
2. 特定换元公式：另x = g(t)为可导函数，且g'(t)不为0，并且我们得到一个特定的函数h(t)满足 dh(t)/dt = f(g(t)) * dx/dt，那么f(x)dx = h(t) dt。
二、常见的换元法形式1.简单的代换法对于一些简单的函数形式，我们可以通过直接的代换来进行积分。
例如，对于∫f(x)dx，如果我们可以将x转化为t，使得f(x)dx可以转化为一个常数的倍数乘以dt，那么我们可以通过替换变量来进行积分。
2.三角换元法（特别是正弦余弦换元）对于一些复杂的三角函数形式的积分，我们可以通过引入适当的三角函数进行积分。
常见的换元包括sin(t)换元和cos(t)换元。
3.指数换元法对于一些指数函数形式的积分，可以通过引入适当的指数换元来化简积分。
例如，对于∫f(e^x)dx，我们可以通过令e^x = t来进行换元。
4.对数换元法对于一些对数函数形式的积分，可以通过引入适当的对数换元进行化简。
例如，对于∫f(ln(x))dx，我们可以通过令ln(x) = t来进行换元。
5.倒数换元法对于一些倒数函数形式的积分，可以通过引入适当的倒数换元来进行积分。
微积分换元积分法
解题技巧的总结与提炼
观察与分析
在解题过程中，学会观察和分析，识别题型和所使用 的换元方法。
灵活运用公式
熟练掌握各种换元公式的形式和特点，根据题目条件 灵活运用。
简化计算
在解题过程中，尽量简化计算，避免复杂的运算过程， 提高解题效率。
实际问题的应用与解决
物理问题
将换元积分法应用于解决物理问题，如力学、 热学等领域的问题。
详细描述
在选择换元变量时，应尽量选择容易处理的变量，如使积分区间变为常见的简单区间或 使被积函数形式简化。同时，需要确保换元转换的等价性，即新旧变量之间的转换关系
必须是可逆的。
换元后积分的计算与化简
总结词
换元后需要对新的积分进行计算和化简，这 一步涉及到对积分公式和技巧的掌握。
详细描述
在换元后，需要利用已知的积分公式和技巧 对新积分进行计算。有时可能需要利用代数 方法对积分表达式进行化简，如合并同类项、 提取公因式等。此外，还需注意消除积分的 上下限，并确保最终结果的正确性。
指数代换
对于形如$x^n$的被积函数，可 以使用指数代换将其转换为容易 积分的形式。
03
换元积分法的实践应用
三角函数换元法
总结词
通过引入三角函数变量替换，将复杂的 积分问题转化为更易于解决的积分问题 。
VS
详细描述
三角函数换元法通常用于处理包含平方根 或与三角函数相关的积分。通过选择适当 的三角函数和变量替换，可以将积分表达 式简化，从而更容易计算出结果。
微积分换元积分法
目
CONTENCT
录
• 换元积分法简介 • 换元积分法的基本原理 • 换元积分法的实践应用 • 换元积分法的注意事项与难点 • 换元积分法的练习与提高
探讨如何运用“换元”法解题微积分
探讨如何运用“换元”法解题微积分目前,高等数学是众多高职院校开设的一门基础课程。
作为一门基础课程,高数有些艰涩难懂,但是我们必须将高数学会、学懂。
因为这门课程的相关知识会成为今后的学习中的基石,你会发现很多计算类学科的知识项目,正是由一个个高数知识点组成的。
那么我们应该怎么学好高数呢？首先,我们应该了解,什么是高数的基础？高数的基础就是微积分。
在高中的学习中,我们对于微积分应该有了一定了解,大学所教授的微积分与高中相比,深了一点,难了一点。
我们要掌握它,对于概念就要滥熟于心,而且还要多做习题。
其实数学解题的方法有很多,条条大路通罗马,通过不断的学习和积累,我们就能开辟出一条条宽广的大路,通向高等数学的殿堂。
下面所述的问题单独面向“换元法”,由此粗略讨论一下微积分的相关问题,希望能够开拓读者的解题思路。
在学习中,我们经常会用到换元法来解微积分的习题,而引进一个新的变量就是换元法的基本思想。
我们可以通过把一个很复杂的问题,通过换元法,将其转换成许多简单的小问题,这样问题就迎刃而解了。
我们在解题过程中,可以把高次的式子化简成为低次的;可以把一些看起来很难解决的分式化为整式;还可以把无理式化简为我们所熟知的有理式等,这些都是运用换元法的方便之处。
在高职院校的考试中,换元法常常是一个考点。
我们所用的换元法,一般是把需要求的未知量转化为跟已知量有关的联系,所以就需要引进一些新的变量,这样就可以把它们紧密的联系在一起,问题也就不会那么复杂,所以换元法是一种很好的解题方法,问题也就豁然开朗了。
在解微积分中的一些题目时,我们常常会用到换元法,而且其在高等数学中也有应用。
下面本文将会列举一些经常会出现的问题的解决方法,让学者可以一目了然的看出换元法解决问题的优势,也可以让学者掌握换元这种方法,熟练之后,解题就会很自然了。
1 “换元”方法在函数中的解题实例例1:求函数的定义域。
设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。
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显的 。
（一 １ ｎ，： Ｉ ＋ Ｉ ｎ． ｎＣ
ｔ＝ Ｉ （ ｎ ｔ
即 ： ｌ ｎ
’
通 解 是 ｃ ＝ｅ ｙ
３．结 束 语
本文介绍的求解多变量逻辑 函数本原 蕴 涵项 的方法 严格 遵循蕴 涵法 理论 ，设 计 的程 序流程 清晰 、准 确 ，符合结 构化
初女 钧 ｙ ＝一 ｌ ｌ
解 ：方 ｝ ！ 一 ） ＝ｏ ｑ ＋（ ｖ 以化 成
，
：
高 ： 兰
．
标准 ，用 Ｃ、ＶＢ等高级编程工具很容 易
一
≤
Ｙ… 佃
四 “ 元 ” 方 法 在 积 分 中 的 解 题 实 例 换
√１ ｘ ６ ＋８ ｘ＋５
解
１ ｘ ８ ５＝４， ６ ｘ
√
谢 ＝４ ＋ｌ 则 １ ｄ （ｘ ） Ｊ ４ ＋１
、
十
分公式 』
４ ， √＋
２ ＝４
ｓｎ ｉ
（） １ 解设
耍 ｔ ｉ ｍ
一 —
ｆ＝ ＋１
￣
—
／ ＋２ｘ＋２－１ ｘ ２
：
ｌ ｉ ａ ｒ
。
孕
—
， ＋１ ｌ 。 ＋
＝ ＝＝ ＝＝ ＝ ＝ 一 ｘ
，．
√ ＋１ ｆ —１
工 ｌ
一
ｍ
ｌ ０
０ 岫 一
￥
ｆ
＝ ＝ ＝— 一
＝
五 、“ 元”方法在微分 方程 中的解题实例 换
例６ 、求 微分 方程 Ｙ － 。 ），＝０ 足 ４（ ～ 满
０ ０ １ ０ 、ｍ［］ ９＝１ ０ ０ 。 ０ ０ １ ０ ２［ １ ０ １ ５ ０ ０ 即函数 Ｆ 的 本原蕴 涵项 为 ：
８Ｅ
ＡＢ Ｅ ． ＡＢ Ｅ
［０１ ０ ３ ：１
．
３６ ／ ． ｓ ．０ １ ８ ７ ．００ ２ ．１ ９ ９ ｊｉ ｎ １０ － ９ ２２ １ ．４０ ６ ｓ
运 用 “ 元 ’ 解 题 微 积 分 换 ’法
樊福印 大连广播 电视 大学 １ ６２ ０１ １
铡２ 、求 下列函数 的极限
（） １
、 一 （＋ ， （ “ ： ｌ １ （，、 ） 、－ ．１ ２ ∞一 ） 等
实现 。 对于 ６变 量以上 的逻辑 函数 ，也 仅仅需荽对 ｍ数组的列数、ｃ ｍｐ数组的 ｏ 结构和 内容及部分循环结构的循环次数进
令， 则１ ， ＝， 入 方程 得 ＝ ， ＝ ＋， 带
ｘ＇ ｔ ：
行 简单 的修 改 即可 。实践 表 明 ，通过 上 述 流程 对逻 辑 函数进 行处理 的结果 ，与
ｌ而 Ｉ ｆ ＋ ＋ ｃ
镶 上接第 ４ 页 ４
所 以
求
１４ ｌ ｘ ＋ Ｊ＋
Ｊ ＋ ｃ
⑦ ｍ【］ ５＝ ０ １ ０ １ ０【 】 ０ ０ ０ ０ 、ｍ【】 ５ ５ １【 】 ５
＝
０ ０ Ｏ ｌ 、ｍ［１ ５＝１ ０ ０ ０ ０ １０ ｌ ２１ ］ ０ ０ １ ； ５
③ ｍ【 】 ９ ＝ ０ ０ Ｏ ｌ ０［ １ Ｏ ０ １ ０ 、ｍ【 】 ９ ５ １［ 】 ５
者 就 要 多 做 相 关 的 习题 。其 实 数 学 解 题 的 方 法 很 多 ， 要 我 们 慢 需
：
￡ ～ ｆ
三 “ 元 ” 方 法 在 微 分 中 的 解 题 实 例 换
例 ３ 求 函 数 Ｙ＝ ｅ ”一 、 的微 分
慢的学习和积 累。本 文单独对 “ 换元”这一方 法 ，对微积分相关
十 １ ÷
。 ｒ √ ÷１ ｓ ｆ ０ ÷ｌ
— 一 — —
× —１
：
‘ 口ｓ ｍ ｔ ‘ ０ √ ｒ ÷ Ｉ＋ １
＝
ｌ× ０ ０
＝
（２） 解设 ｒ ＝ ￡ 则 ｌ ｉ ａ ｒ
一
（ 等 ～ ｌ （ ＝ ｉ 一 ａ ｒ
（ ＋ １ … ＿ １ ）
问 题 加 以 讨 论 ， 或 许 能 开 拓 学 习者 的 解 题 思 路 。
一
解 ： 由
贝 ＝
：
，
的积 分 公 式 知 先设
Ｃ
“：ａｃ ｉ ： ｒｓ ｎ
“ 元 ”方法在 函数 中的解 题 实例 换
例１ 、已知函娄厂 ＋ ） 一 ）＋２ －５ｊ ｘ ：？ ｉ （ １＝（ ３ 【 Ｘｔ ， （） － ｝
以此类推，再令 ， ＝
而 ：２
幽 ：√ ．
ｌ一 ，
× ×
置换 变 量厂 ） 一４ ＋２ ｔ ＝（ ） ｘ ＋３
所 以 ＝ “×
１
×２ ＝
１
２
二 、“ 元 ”方法在 极 限 中的解 题 实例 换
＝
４ 一 ７
■一
例４ 、求
＋ ＋ ｘ（ ｘ ＋ １ ＋ ／４ ） ４
带入初 始条件 （） １ ｃ 一 １：一 知
ｅ
、
最
为 Ｊ：一 ，
通 过上述的 例题 ，我们发现换元这一方法贯穿微积分教学的整个过程 ，只要在 函数 、极限 、微 分 、积分 中巧妙地运 用换元 的方法 ，可以轻 易地 解决一 些计算 问 题 。只要我 们善于 和应用 换元 的方法 ，将 在高等 数学 的后继 学习 中获益 匪浅 。
… ： ｌ ｉ ｍ
ｘ
ｌ ｉ ａ ｒ
ｆ
ｆ
（ 一 ＋ １） 一 １
，
￡
＝ —— ——一
高等数学是 高等 院校 许多专业开设的一门重要的基础课程 ，
学 习 好 这 门 课 程 对 相 关专 业 后 继 课 程 的 学 习 格 外 重 要 。 微 积 分 而 是 高 等 数 学 的 基 础 ， 样 学 好 它 呢 ？ 除 了对 概 念 的 深 刻 理 解 ， 怎 再
对 于例１ 以直 接利 用 换元法 ： 可
解 ：设， ＝Ｘ＋ｌ 则变 化 函数， ｘｔ ） 一３ Ｘ＋５＝（ ’ －１＝（ （ － ） ＋２ ＋１ ） ＋２ｘ＋１＋３ —４ （ ） 带入 ｔ ＝Ｘ＋ｌ 则厂 ｆ＝０—４ ＋２ ＋３ ， （） ） ｔ ，
ｄ ： ｙ
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