文科数学备考典型题解第八章圆锥曲线的方程

第八章 圆锥曲线的方程

1、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形，

若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）

A 、324+

B 、13-

C 、

2

1

3+ D 、13+

1、D

【思路分析】法一：F 2 (c , 0)，M (0 ,3c)

依MF 2中点N (2c 3,2c )在双曲线上，得22

22b

4c 3a 4c -=1

即)

a c (4c 3a 4c 22222--=1)1e (4e 34e 222--⇒=1.

注意到e >1，解得e =3+1.

法二：连NF 1，则| NF 1| =3c ，| NF 2| = c. 根据双曲线的第一定义，有| NF 1| - | NF 2| = 2a. 即3c – c = 2a ∴e =

a

c

=3+1. 2．下列命题中假命题是（ ）

A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直

B ．过点（1，1）且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0

C ．抛物线y 2

= 2x 的焦点到准线的距离为1

D ．223x +225

y =1的两条准线之间的距离为425

2．解答：A ：e = 2，a = b ，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。

B ：设所求直线斜率为k ，则k=－2，由点斜式得方程

为2x+y －3＝0 也为真命题

C ：焦点F （

21，0）准线x = －2

1

d = 1真命题 D ： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2·2

25c a 2= 假命题，选D 评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。

3.双曲线)0,(122

22>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的

点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,2

1

tan 1221-=∠=

∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．135

1222

=-y x B ．1312

522

=-y x

C ．15

1232

2=-y x D ．112

532

2=-y x 3. A 【思路分析】：设),(00y x p ，则

1,2,2100000==-=+cy c

x y

c x y ，

∴ 3

3

2,635,2300===

y x c 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算

4、已知点P 为椭圆

120

4522=+y x 上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线01234=+--m y x 的距离不大于3，则实数m 的取值范围是( )

A.[-7 ，8]

B.[29-

，2

11

] C.[2-，2] D.(∞-，7-)∪[8 ，

∞+] 4、A 5=c ，设),(00y x P ，则

15510-=-⋅+x y x y x x ，120

452

20=+y x ， ∴ 30-=x , 40-=y

，

35

|

12|≤-=

m d ，得 87≤≤-m . 5、在ABC ∆中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y )，给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC ∆满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分)

5、

① ② ③ ④

(a ) (b ) (c )

(d )

[ ① → (d ) ，② → (a ) ， ③ → (b )

④ → (c ) ]

6．已知点P 是抛物线y 2

=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最不值为 （ ） A ．5

B ．4

C

．

5

（D ）

115

6、 C

【思路分析】：由于点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以过焦点F 到直线x+2y+10=0的距离即是 【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想

7、已知双曲线12222=-b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线上，且215PF PF =，

则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A 、

34 B 、23 C 、3

5

D 、2 7、（分析：r PF =1，22r PF =由 215r r = （已知）

a r r 2)(21=- a r =⇔22 又a c r -≥2 ∴

2

3

232≤⇔≥⇔-≥e c a a c a 故选B 项） 8．动圆C 恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，则此动圆圆心的轨迹方程为（ ）

A ．y 2=4x

B ．x 2=4y

C ．y 2=2x

D ．x 2

=2y

8．B [思路分析]：圆心到（0，1）的距离等于到y=-1的距离，则其轨迹为抛物线。 [命题分析]：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。

9．若1F 、2F 为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，

点M

在双曲线的右准线上，且满足,1OP PM O F ==λ)0(>λ，则该双曲线的

离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

9．C 【思路分析】：由PM O F =1知四边形OMP F 1

是平行四边形，又λ=

知OP 平分OM F 1∠，即OMP F 1是菱形，设c OF =1，则c PF =1.

又a PF PF 212=-，∴c a PF +=22，由双曲线的第二定义知：12

2+=+=e

c c a e ,且1>e ，∴2=e ，故选C .

【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.

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