机械工程控制基础

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线性定常系统稳定的充要条件（三种说法）：
①该系统全部极点必须位于复平面的左半部分。
②该系统闭环传递函数特征方程的所有根必须 是负实数或具有负实部的共轭复根。
③对于闭环传递函数的特征根来说，下述四个条 件缺一不可：
?没有零根； ?没有共轭纯虚根：Re(s)=0，系统等幅振荡； ?所有实根都是负的； ?共轭复根具有负实部。
i?1
i?1
(2)可改写成：
? ? ? ? y(t) ?
k
Di e si t ?
r e?jt ( E icos
it ? Fisin
it)
(4)
i?1
i?1
由(3)、 (4)可知，若si、δi都是负的，则当t → ∞时， y(t) → 0。这说明控制系统的特征方程式的根是负
实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定的。
的塔科马。
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一．稳定性概念
y(t)
1
2
?曲线1：系统经过衰 减振荡后趋于稳定
?曲线2：系统达到一 定的峰值后趋于稳定
0 t
控制系统的稳定性： ①系统在给定信号作用下，输出应能达到新 的平衡状态； ②在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的 精度恢复到原来的平衡状态。
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y(t)
2
1
1－等幅振荡
t 2－发散振荡
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例：某单位负反馈系统的开环传递函数为：
k GK (s) ? s(Ts ? 1)
其中T、K均大于零，且 1 ? 4,T则k 系? 0统的
闭环传递函数：
?
(s) ?
GK (s) 1? GK (s)
?
Ts
2
k ? s?
k
特征方程式为： Ts 2 ? s ? k ? 0
特征根为：
s1, 2
?
? 1?
1 ? 4Tk 2T
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撤除扰动： (an sn ? an?1sn?1 ? ? ? ? a1s ? a0 )Y (s) ? 0
即： an
dn y dt n
?
an?1
d n?1 y dt n? 1
?
an? 2
d n?2 y dt n? 2
?
??
?
a1
dy dt
?
a0
y
?
0
根据齐次微分方程的有关定义知道，该齐次微分 方程的特征方程和解的一般形式为：
an s n ? an?1sn?1 ? ? ? ? a1s ? a0 ? 0
(1)
y(t ) ? c1e s1t ? c2e s2t ? ? ? cn e snt
(2)
cn为由初始条件决定的积分常数，sn为特征方程 的根。
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如果(1)中有k个实根，2r个复根，则(1)可改写成：
k
r
? an ?s ? si ?? ?s ? ??i ? ?j i ????s ? ??i ? ?j i ??? 0(3)
s n-1 an-1 an -3 an-5 an -7 ?
sn -2 b1
b2
b3
2.特征方程的各项系数符号一致。
以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。
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二．劳斯稳定判据的充要条件
设系统的特征方程式为：
an sn ? an-1sn -1 ? an-2 sn-2 ? an-3 sn-3 ? ? ? a1 s ? a0 ? 0
特征方程系数的劳斯阵列：
sn
an an-2 an-4 an-6 ?
波德判据 : 是奈奎斯特判据的另一种描述法，它 们之间有着相互对应的关系。
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第一节 控制系统稳定性的基本概念
跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通 于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会 晃动。
2
1940年11月7日，在一
阵 每 小 时 42 英 里 的
“和风”吹拂下坍塌
了。
彩色图为 1949 年重建
2. 不稳定平衡点b ：只要有干扰力作用于小球，小 球就不会再回到这点；
3. 若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。7
二．系统稳定的条件
N(s)
X(s)
G1(s)
G2(s)
Y (s)
H(s)
Y (s) ?
N (s)
因为特征方程根具有负实部，所以该闭环系 统稳定。
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第二节 劳斯稳定判据
判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程的 根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全
部位于[s]平面的虚轴左侧。有两种判别方法：
?解特征方程确定特征根，对于高阶系统来说是 困难的；
?讨论根的分布，研究特征方程的根是否包含 右根及有几个右根。（逆向思维）
若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不 能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的 持续振荡，这样的系统就是不稳定的。
控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的， 而与输入信号的形式无关。
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y1(t)
x(t)
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x (t)
系系1 y1(t)
y2(t)
t
x(t)
系系2 y2(t)
y3(t)
t
t
x (t)
G2 (s)
?
1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
bm sm ? bm ?1s m ?1 ? ? ? ? b1s ? b0 an sn ? an? 1sn? 1 ? ? ? ? a1s ? a0
即： (an sn ? an? 1sn? 1 ? ? ? ? a1s ? a0 )Y (s) ? (bm sm ? bm? 1sm ? 1 ? ? ? ? b1s ? b0 )N (s)
系系3 y3(t)
t
系统的稳定性 ：系统存在干扰，干扰信号为脉 冲信号。
?系统1：衰减振荡，系统稳定；
?系统2：等幅振荡，系统处于临界状态；
?系统3：发散振荡，系统不稳定。
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系 系 系
系
系 系 系 系
小球的稳定性
b
系 系 系 系
a
1. 稳定平衡点a ：作用在小球上的有限干扰力消失 以后，小球总能回到a点；
劳斯稳定判据是基于特征方程根的分布与系数
间的关系来判别系统的稳定性。 无需解特征方
程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单
而实用的稳定性判据。
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1. 劳斯稳定判据的必要条件
设系统的特征方程式为：
an sn ? an-1sn-1 ? ? a1s ? a0 ? 0
则系统稳定的必要条件是：
1.特征方程的各项系数 an , an-1 ,? 均, a不1,为a0零。
第六章 控制系统的稳定性分析
控制系统能实际应用的首要条件—系统稳定。 判别系统稳定性的准则—系统的稳定性判据。
劳斯判据 :依据闭环系统特征方程式 对系统的 稳定性做出判别，是一种代数判据。
奈奎斯特判据 : 依据系统的开环极坐标图与 （? 1，0）点之间的位置关系对闭环系统的稳 定性作出判别，是一种几何判据。