7(8)多元函数的极值与二元函数的泰勒公式
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
泰勒公式与极值问题
§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2+y 2=0.它的一阶偏导数为y(x 4+4x 2y 2_y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 22,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x-y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 2 2 , x y-2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z o y 丿(x 2+y 2)x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2:zf x x, y =f y x, y =fxx,y =寸 f因此有f x x o ,y oy - f x x o , y of xy &, y o二 li y m .o ---------------------------------- y --------------------------------------.. 1 f (x o +^x, y o + 也y )—f (x o ,y °+A y) =lim lim.y 】o Ay |[A )of X o ：x,y o - f (x °,y °)Z一f(X o +A x, y o +3 卜 f (X o , y o +A y) — f(X o +A x,yo )+ f (x °, y o ) =lim lim -.y o .x -p类似地有f yx X o , y o_ li m H m f (x o 中A x, y ° + 也y)— f (x °+ A x, y °) — f (x °, y o + 也y)+ f (x °, y o )x o二x i y 为使f xy X o , y o 二f yx X o ,y o 成立，必须使(1),(2)这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序•下述定理给出了使极限(1), (2)相等的一个充分条件.定理17.7 若f xy . X, y 和f yx . X, y 都在点连续，则f xy X o，y o fyx X o ,y o令F( X ：y)二 f(x ° xy °：y)— f(x ° xy 。
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
二元泰勒公式
y
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )
• 偏差 ri yi f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
[ yi f ( xi )]2 min
i 0
n
y
来确定近似函数 f (x) .
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明:
(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
2 则 Q(h, k ) 1 ( Ah B k ) 若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
多元函数微分学
第11章 多元函数微分学1 本章概述1.1 本章主要教学内容本章知识主要为：多元函数概念及其重极限、连续性；多元函数的偏导数、微分的概念及计算；连续、偏导数存在及可微三者之间的关系；链式规则；偏导数的几何应用，切平面与法向量；方向导数、梯度；隐函数存在性、可微性定理；多元函数最值求法，条件极值与Lagrange 乘数法.本章的较多篇幅是讲述偏导数的计算法，尤其是抽象复合函数的一阶、二阶偏导数的计算法，以及由方程确定的隐函数的偏导数的计算法.1.2 本章知识逻辑结构在以下图表中揭示出本章知识的逻辑关系.箭头前的是必须先学习的知识.1.3 在学习本章之前的必修知识学习本章——多元函数微分学应该具备一元函数微分学基本知识，空间解析几何基础知识， 具有线性代数基础知识更好.一元函数微分学基本知识具体为： 一元函数概念性质、极限概念及其性质、连续； 闭区间上连续函数的性质； 导数定义, 导数意义；微分、导数的四则运算、复合运算、高阶导数；微分中值定理；泰勒公式； 极值与最值.空间解析几何基础知识具体为：空间直线方程、平面方程和常见的二次曲面等知识.线性代数基础知识具体为：线性方程组解法；行列式及其运算；二次型概念及正定与负定二次型的判别法.( 线性代数不是学习本章的必要条件).1.4 本章对后继章节的影响在学习重积分、曲线积分、曲面积分时都必须先学本章知识. 本章知识与全微分方程有一定的相关性.1.5 本章的重点本章的关键点是: 偏导数的计算法本章的重点是：多元函数的连续性、偏导数、微分的概念, 连续、偏导数存在及可微三者隐函数求导法则 多元函数 极限 连续 有界闭区域上连续函数的性质 偏导数全微分 全微分形式不变性 极值 泰勒公式 最值无条件极值区域 方向导数 梯度 多元复合 求导法则 偏导数几何应用条件极值Lagrange 乘数法之间的关系;多元复合函数求导方法；偏导数的几何应用；极值及最值的求法.1.6 本章的难点区域有关概念, 二元函数极限, 全微分概念以及一阶微分形式不变性, 含有抽象函数的复合函数的一阶、二阶偏导数运算, 方程（组）确定的隐函数的一阶、二阶偏导数运算, 方向导数与偏导数间的关系，梯度的意义，无条件极值的充分条件的证明.2 .教学内容提要及教学建议（评注）2.1 多元函数的基本概念以二元函数为例叙述，可以平行推广到n 元函数的内容不再叙述. 2.1.1平面点集有关概念平面点集概念中最常说到的是邻域、区域. 其他的概念在初学时可以不讲. 某点的邻域是一个以该点为圆心的开圆盘，即一个开圆盘称为圆心的邻域.类似于一元函数时的区间，讨论二元函数时常常用到区域. 形象地说，区域就是连成一块的一个平面图形. 不含边界的区域叫开区域，含有全部边界在内的区域叫闭区域. 开区域或闭区域、半开半闭区域我们统称为区域.区域的严格数学定义为：区域是连通的开集.所谓连通集，即该集中任意两点都可以用含在该集中的连续曲线连接起来. 所谓开集，即该集中的每一点都有一个邻域含在此集中.能被一个圆盘包含的区域称为有界区域，否则称为无界区域.平面区域相关概念如内点、界点、聚点等建议不要在讲解二元函数概念之前先介绍, 因为对于非数学专业学生来说，学习内点,界点,聚点等这些是很难理解的，容易让学生感到抽象.可以先讲解二元函数的概念,然后几何意义,接着介绍二元函数定义域的求法与表示法,让学生从具体的定义域中感性的认识区域的有关概念,然后接着严格或者通俗的介绍这些概念.2.1.2 二元函数概念我们把二元函数定义为是从平面点集到实数集的映射. 注意使学生熟悉函数的记号，如函数与自变量的记号无关，f (x , y )既表示函数也表示函数值，函数记为z = f (x ,y )时，函数值,可记作00(,)f x y 或00(,)|x y z 等等.二元函数与一元函数类似，也只与定义域和对应法则有关,而与自变量,因变量用什么字母表示无关.一元函数可以看成是特殊的二元函数，而把二元函数的一个自变量固定，就得到一元函数. 二元函数z = f (x ,y )，其图形为空间一张曲面，该曲面在oxy 平面上的投影区域就是该函数的定义域. 也可以说该区面的方程是z = f (x ,y ).如函数z z =.注：三元及更多元函数的图形不是直观的图形..2.2 二元函数的极限与连续 2.2.1二重极限定义 设函数()z f P =在区域D 上有定义,点000(,)P x y 是D 的点或边界点.若当动点(,)P x y 在D 内无限趋向000(,)P x y 时, ()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=, 或(,)f x y A → (00(,)(,)x y x y →).或 0lim ()P P f P A →=, 或()f P A → (0P P →).上面定义的极限叫二重极限. 二元函数还有一种极限叫二次极限，二者不同.二重极限仍有四则运算、无穷小乘有界量还是无穷小等性质，但没有洛比达法则.二重极限主要先从描述定义出发讲解,这样容易理解二元函数极限的本质,然后再向精确定义过度;要特别强调二元函数若当点(,)P x y 在D 内以任意方式任意方向趋向000(,)P x y 时,()f P 总是无限的趋向于同一个常数A ,则称A 为()f P 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=或0lim ()P P f P A →=.其次介绍二元极限与一元函数极限的不同点,让学生理解二元函数极限比一元要复杂,主要是体现的动点趋于的方向与方式上的多样性上.这个其实也是导致多元函数微分学会产生与一元不同的结果的根源所在.一元与二元函数极限的区别最后介绍二元函数极限的一些常规的求法及其证明二元函数极限不存在的一些作法. 如证明0lim ()P P f P →不存在: 一般寻找两条趋于P 0的不同的路径(首先考虑直线，其次是其他特殊的曲线)C 1;C 2若1C f A −−−→沿;2Cf B −−−→沿;而A B ≠,或,A B 中有一个不存在,则0lim ()P P f P →不存在, 例如考虑在原点O(0，0)的极限时，选直线 y kx =，假如有(,)(0,0)lim (,)x y f x kx A →=.① 若A 中含有k ,或A 不存在,则lim ()P Of P →不存在.②若A 中不含有k ,则lim ()P Of P →存在与否不能判断,此时需要选择其它曲线去考虑.因为这些是后面要讨论连续与可偏导,可偏导与可微分之间关系常用的方法.2.2.2二元连续函数二元函数连续性的定义与一元函数类似.定义 若()z f P =在区域D 上有定义且000(,)P x y D ∈,若有0lim ()()P P f P f P →= 或0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=则称函数()f P 在0P 处连续,或称点0P 是函数()f P 的连续点.否则称为0P 为函数的间断点.若()f P 在区域D 上每一点都连续,则称()f P 在D 上连续.或称()f P 为D 上的连续函数. 二元连续函数性的性质也与一元函数类似，如：二元连续函数的四则运算及复合运算后仍是连续函数. 二元初等函数在其定义区域内都是连续的.最值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则存在12,P P D ∈,使得P D ∀∈,有12()()()f P f P f P ≤≤ 4.介值定理: 若()f P 在有界闭区域D 上连续,则()f P 必取介于最大值与最小值之间的任一值.注：更一般的介值定理是：区域上的连续函数的值域是区间.2.3 偏导数2.3.1 偏导数的定义偏导数本质上是一元函数的导数.定义 设函数 (,)z f x y =在点),(00y x 的某邻域内有定义,当y 固定在0y ,考虑一元函数0(,)z f x y =,若它在0x x =处的导数存在,即00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数,记作00|x x y y z x ==∂∂,00|x x y y z x ==∂∂ ,00|x x x y y z =='或00(,)x f x y '. 类似地，如果极限00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆存在, 则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数, 记作0|x x y y z y==∂∂,00|x x y y z y==∂∂,00y y x x yz ==' 或00(,)y f x y '注1：00|x x y y z x ==∂∂=0),(0x x y x f dxd=. 或写0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''= 用此式求一些分段函数在分段点处的偏导数很方便.注2： 000000(,)(,)|[(,)]x x x x x y y f x y f x y f x y =='''=≠注3：二元函数在某点的连续性与偏导数存在之间没有因果关系．如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对自变量x 或y 的偏导数(,)x f x y '、(,)y f x y ' 都存在,则这两个偏导数仍是y x 、的函数,称它们为函数),(y x f 对自变量x 或y 的偏导函数,简称偏导数,分别记作x z ',(,)x f x y ',x z ∂∂,xf ∂∂或y z ', (,)y f x y ', yz ∂∂,yf ∂∂．一元函数的变化率就是导数,对于二元函数由于自变量多,研究变化率就显得复杂,为了方便起见,我们仅限于讨论当点沿着平行于坐标轴方向变化时函数的变化率,即固定一个自变量,研究函数对另一个自变量的变化率即偏导数.其本质就是把二元函数当做一元函数去研究变化率. 即 0000(,)[(,)]|x x x f x y f x y =''=例 设(,)f x y =arctan22ln()y xex y ⋅+，求x f ')0,1(.解 如果先求出偏导函数x f '),(y x ，再求x f ')0,1(，可以发现求x f '运算比较繁杂.但若按偏导数定义即把y 固定在y =0,则有(,0)f x =2ln ||x 从而2(,0)x f x x'=，于是x f ')0,1(=2 .2.3.2 偏导数的计算方法由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的导数，故求偏导数并不需要什么新的方法.对于给出具体表达式的显函数来说，在求它对某一自变量的偏导数时,只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行求导．2.3.3. 偏导数的几何意义),(00y x f x '就是曲线C x ：⎩⎨⎧==0),,(y y y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处切线x T M 0对x 轴的斜率, 即αtan ),('00=y x f x .同理，偏导数),(00y x f y '的几何意义是曲面S 与平面0x x =的交线C y 在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率,即),(00y x f y '= tan b .2.4 全微分可微、全微分紧接着偏导数之后讲的优点是：便于给出链式规则；便于给出求抽象函数、隐函数的偏导数的各种方法；便于讲述切平面.2.4.1全微分的概念(1)函数在一点处可微及全微分定义.定义 设函数(,)z f x y =在点0P 的某邻域0()U P 内有定义,若函数(,)f x y 在点000(,)P x y处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为(),z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中,A B 是仅与点0P 有关,而与,x y ∆∆无关的常数,ρ则称函数(,)z f x y =在点0P 处可微分;并称线性函数A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点0P 处的全微分,记作00(,)|x y dz , 即(,)||x yx x y y dz df A x B y ====∆+∆. 对于二元函数，规定自变量的增量为自变量的微分:x dx ∆=,y dy ∆=.于是00(,)|x y dz Adx Bdy =+.注 微分d z 是自变量增量,x y ∆∆的线性函数, 容易计算；当||,||x y ∆∆很小时，有z dz ∆≈的误差较小，故d z 是函数增量z ∆的容易计算又精确的近似值.(2) 函数的微分定义 若),(y x f z =在区域D 内每一点都可微,则称),(y x f z =在D 内可微或称此函数是区域D 内的可微函数.此时全微分记作dz . 即(,)x dz f x y dx '=+(,)y f x y dy '．一般的，dx y x f y x df dz x ),(),('==dy y x f y ),('+注 函数的微分是一个形式符号，有时用它较为方便.2.4.2 可微与连续、偏导数存在之间的关系定理（可微的必要条件）若函数),(y x f z =在点00(,)x y 可微,则 ①函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；②函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数00(,)x f x y ',00(,)y f x y '都存在,且有00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y ',(,)y f x y '在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微． 这两个定理的逆命题都不成立.学习微分概念与可微分的必要条件后,建议结合定义补充如下与可微等价的结论.用此定理判定一个函数的可微性时较方便，初学者易于理解掌握. 有了这个结论后对于学习理解可微有积极的帮助.定理: 若),(y x f z =在点000(,)P x y 处的两个偏导数,x y f f ''都存在，在点0P 处满足000[()()]lim0x y z f P x f P y ρρ→''∆-∆+∆=则),(y x f z =在000(,)P x y 处可微. 且00(,)00|(,)x y x dz f x y x '=∆+00(,)y f x y y '∆．可微的充分条件可以弱化为:两个偏导数之一连续,函数就可微.定理（可微的充分条件）若函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内偏导数都存在,且(,)x f x y '与(,)y f x y '二者中至少有一个在点000(,)P x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微．证 我们只需证明函数的全增量z ∆满足可微的定义.证明思想就是通过插项方法把二元函数化为一元函数处理. ),(y x f z =在点000(,)P x y 的邻域0()U P 内改变量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-0000[(,)(,)]f x x y y f x y y =+∆+∆-+∆0000[(,)(,)]f x y y f x y ++∆-因且(,)x f x y ',(,)y f x y '在0()U P 内存在,于是一元函数0(,)z f x y y =+∆关于x 在点0x 可导,即可微. 0000001(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x y y x x ε'+∆+∆-+∆=+∆∆+⋅∆ (1) 同理可得 0000002(,)(,)(,)y f x y y f x y f x y y y ε'+∆-=∆+⋅∆ (2)再由(,)x f x y '在000(,)P x y 点连续知 00003(,)(,)x x f x y y f x y y ε''+∆=+⋅∆ (3)(1)+(2)并将(3)带入,即得0000123(,)(,)x y z f x y x f x y y x y x y εεε''∆=∆+∆+⋅∆+⋅∆+∆∆而 123123||||||||x y x y εεεεεερρ⋅∆+⋅∆+∆∆≤++由于 123lim[||||||]0x y εεερ∆→∆→++=. 所以0000(,)(,)()x y z f x y x f x y y o ρ''∆=∆+∆+,故(,)f x y 在点000(,)P x y 处可微.此定理的逆命题也不成立.学习完偏导数,可微概念后,及时对它们之间的关系对照一元函数画出关系图,以便学生理解一元函数与二元函数微分学的不同点.二元函数几个概念间的关系下面常见的函数可以成为表述上述关系的重要的例子.可微例1函数22221()sin ,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)O 处可微, 但偏导数在(0,0)O 处不连续.例2函数,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩在原点(0,0)连续, 可偏; 但不可微性. 例3 函数22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点(0,0)O 存在偏导数;但却不连续． 例4 函数),(y x f 22y x +=在点(0, 0)处连续但偏导数不存在．注 全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知,若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分,且00(,),x f x y '00(,)y f x y '不全为零, 当||,||x y ∆∆都很小时,有近似公式z ∆≈00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆ (*)或写为 0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆≈+00(,)x f x y x '∆+00(,)y f x y y '∆. (**)这表示在点00(,)x y 邻域内,可以把(,)f x y 近似地线性化.右侧就是一次线性逼近,这种逼近可以用来解决复杂近似计算.学习完微分后,务必要讲解微分的近似计算,因为这才能让学生明白和理解,微分的真正意义是当自变量的改变量很小时,可以用微分近似逼近函数的改变量.2.5 多元复合函数的微分法 2.5.1.链式法则链式法则大体上有两种叙述，条件有所不同，结论也相应不同，但计算偏导数的公式是一样的.差别仅在于如果要求内函数是可微的，则复合函数也可微，如果要求内函数仅是可偏导的，则复合函数也仅是可偏导的.定理 1 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=在点),(y x 处对x 、y 的偏导数均存在,函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处对,x y 的偏导数存在,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭定理 2 设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=可以构成复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=.若),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 处可微，函数),(v u f z =在对应点),(v u 处可微,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψφ=在点),(y x 处可微,且有z f u fv x u x v x z f u fv y u y vy ∂∂∂∂∂⎫=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎬∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎭注① 定理中的条件并非必要条件.注② 特别地,当),(v u f z =,而)(x u φ=,)(x v ψ=时, 上述两个定理就是一样的，由于复合函数)](),([x x f z ψφ=为x 的一元函数，这时z 对x 的导数称为全导数，应写为dz f du f dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂.链式法则对多层复合的函数依然成立，对多元函数也依然成立.以三个中间变量为例，定理1是：若(,)u x y ϕ=,),(y x v ψ=及),(y x w ω=都在),(y x 具有对x 及对y 的偏导数,函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 处可微,则[(,),(,),(,)]z f x y x y x y φψω=在点),(y x 处的偏导数都存在,且有z f u f v f w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ z f u f v f w yu yv yw y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂求抽象复合函数的偏导数，是重点，也是难点，需多作讲解和练习.因为学习了偏导数后,学生会知道偏导数计算与一元函数求导本质上相同.似乎偏导数计算问题我们完满的解决了.其实对于复杂点的函数,或者含有抽象函数时复合函数我们还是很难计算或表达他们的偏导数.如:设空间曲线(),(),()x g t y h t z k t ===其上一点(,,)x y x 的温度为(,,)w f x y z =,对t 的每个值,在点(,,)x y x 处的温度是复合函数[(),(),()]w f g t h t k t =,现在我们想研究f 沿着路径随时间t 的变化率.即要求复合函数(,,)w f x y z =对t 的导数.若上述曲线,温度的表达式很复杂,或者干脆这些表达式都不能具体的表达出来,就是一个抽象的式子,那么如何求f 对t 的导数?这就需要学习的复合函数的链式法则.这个也就是为什么还要学习这个法则的原因.由于多元复合求导法则是微分学的基础,所以要加强这个地方的训练.要求学生要掌握该法则.记忆可以通过与一元复合求导法则对比,介绍记忆方法;即一般所谓的树形图形法. 然后通过习题介绍应该注意的事项.其次要提醒学生, 多元复合求导法则主要用在含有抽象函数求偏导时.可以用该法则把复合函数求导问题表示出来.当不含有抽象函数时,一般采用直接求偏导数就可以,若此时使用复合函数求导法则,有时反而复杂化.2.5.2 一阶全微分形式的不变性若(,)z f u v =可微，(,),(,)u x y v x y ϕψ==也可微，则函数(,)z f u v =与复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的微分相等，即不论,u v 作为(,)z f u v =的自变量; 还是作为复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的中间变量,均有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=．这一性质称为一阶全微分形式的不变性．利用一阶全微分形式不变性,可以证明不论,u v 是自变量,还是中间变量下列全微分的四则运算法则都成立.定理 设,u v 可微分,则,,(0)uu v uv v v±≠亦可微分,且有 (1) ();d u v du dv ±=± (2) ();d uv vdu udv =+ 特别有(),d ku kdu k =∈.(3) 2().u vdu udvd v v-=我们常常是在不知不觉中就用到了一阶全微分形式不变性.2.6 隐函数微分法2.6.1. 一个方程的情形 ( 1) 由方程(,)0F x y =所确定的一元隐函数的存在性、可微性定理 (隐函数存在定理)设函数),(y x F 在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有连续的偏导数,且0),(00=y x F ,0),(00≠'y x F y ，则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续导数的函数)(x f y =,它满足)(00x f y =及在0()U x 的恒等式(,())0F x f x ≡,且有y x F F dx dy ''-=.常称函数)(x f y =为由方程0),(00=y x F 确定的隐函数.此定理本身不易理解. 定理条件中应强调0),(00≠'y x F y ，可结合定理结论中的导数公式yx F F dx dy''-=来理解、记忆此条件.(2) 由方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数的的存在性、可微性定理 若函数(,,)F x y z 在点0000(,,)P x y z 的某一邻域0()U P 内具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0z F P '≠,则存在点0x 某一邻域0()U x ，和唯一一个定义在0()U x 上的、有连续偏导数的二元隐函数),(y x f z =,它满足),(000y x f z =及在0()U x 的恒等式，(,,(,))0F x y f x y ≡且有 x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.常称函数),(y x f z =为由方程(,,)0F x y z =确定的隐函数. 2.6.2. 方程组的情形定理 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 均在点00000(,,,)P x y u v 的某一邻域0()U P 内对各个变量具有连续偏导数,且0()0F P =,0()0G P =;且偏导数构成的行列式0(,)0(,)u v u v P PF F FG J G G u v ''∂==≠''∂,则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩在点0P 的某一邻域0()U P 内能唯一确定一组具有连续偏导数的函数(,),(,)u u x y v v x y ==,它们满足000000(,),(,)u u x y v v x y ==及恒等式[,,(,),(,)]0F x y u x y v x y ≡,[,,(,),(,)]0G x y u x y v x y ≡且有1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂2.6.3 隐函数求导法方法1 利用隐函数导数公式 y x F F dx dy ''-=，或x z F z xF '∂=-'∂, y z F z yF '∂=-'∂.或1(,)(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J x y ∂∂=-∂∂方法2 方程(组)两边同时求(偏)导，再解出所求(偏)导数.方法3方程(组)两边同时求微分，解出隐函数的微分，再解出所求(偏)导数.隐函数求导其实是复合函数求导的应用,隐函数求导在关于微分学在几何方面有一些重要的应用. 如曲线Γ由一般方程(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 给出时,就可以方便的求出其切线与法平面.以及曲面的切平面与法线求法.对于隐函数求导法，要强调方法1（直接套用隐函数求(偏)导数公式）与另两种方法的区别，即作为隐函数的那个变量在求导时是自变量还是中间变量. 要特别注意它们的求导树形图的区别.例如三元方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数),(y x f z =公式求导法（方法1）关系为 直接求导法（方法2）关系为即: 用公式法求偏导数时,(,,)F x y z 中的所有变量都是独立的自变量.而对于用直接法求偏导数时,即对方程(,,)0F x y z =两边求偏导时,(,,)0F x y z =中的,x y 是独立自变量,但z 须看成,x y 的函数.采用方法3（两边同时求微分）时，实际上用到了一阶全微分形式不变性，即使对于复合结构比较复杂的函数，以及出比较难以分清变量之间的关系时，是很有用的，出错的可能性较小一些. 对于方程组确定的隐函数情形，也是如此.对于涉及含有抽象复合函数与隐函数求导问题,建议用方程组模式处理,或者微分形式不变性的方法处理,这样可以避免出现计算错误, 避免学生难以区分自变量与中间变量问题.避免中间变量的关错综复杂的关联关系. 这两种方法是处理这种问题比较有效的方法.例如,四元方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ==⎧⎨⎩满足以函数存在定理,可以确定(,),(,)u u x y v v x y == 一般采用直接对方程组两端分别对自变量x ;y 求偏导数,只需把其中的,u v 看作,x y的隐函数.最后解所得线性方程组.将方程组两边分别关于x 求偏导,由复合函数求导的链式法则有0,0.x u x v x xu x v x F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎨'''''+⋅+⋅≡⎩ 解该方程组就可得到,x x u v ''.同理将方程组两边分别关于y 求偏导, 由复合函数求导的链式法则有0,0.y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v '''''+⋅+⋅≡⎧⎪⎨'''''+⋅+⋅≡⎪⎩ xFyz公式法多元隐函数树形图yxFxyz解该方程组就可得到,y y u v ''的表达式.如上的这种求偏导数的方法也就方程组求导法.注: 使用方程组求导法求方程组确定隐函数的导数时,隐函数中自变量个数=方程组中所含变量个数-方程组中所含方程的个数.2.7 切平面、法线和切线、法平面 在曲面的一个点处求出切平面、法线，可以用切平面和法线构成该点处的一个直角坐标系，该点附近的小片曲面就可以近似看成切面上的一片. 切线、法平面同理.2.7.1 曲面的切平面与法线求法 设曲面S 的一般方程为 :(,,)0S F x y z =. 其中0000(,,)M x y z S ∈,函数(,,)F x y z 在该点可微，且偏导数不同时为零.定理 设曲面S 的方程为:(,,)0S F x y z =,0000(,,)M x y z S ∈.函数(,,)F x y z 在0M 处可微且偏导数不同时为零. 则曲面S 上任意一条通过0000(,,)M x y z 且在0000(,,)M x y z 处光滑曲线，其在0000(,,)M x y z 的切线都在下述平面上000000))()(()(()()0x y z F x F F M x M y y M z z '''++---= 此平面称为曲面S 在0000(,,)M x y z 出的切平面.过切点且与切平面垂直的直线称为法线，曲面S 在0000(,,)M x y z 处的法线方程为000000.()()()x y z x x y y z z F M F M M F ---=='''注 ①定理仅适用于曲面方程由一般方程给出情况.② 曲面S 由显函数(,)z f x y =方程给出时,在点00000(,,()),M x y f x S y ∈处的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--法线方程为000000.()()1,,x y x x y y z z x f x f y y ---=='-'③ 对于(,)z f x y =而言,在点0M S ∈的切平面为0000000))(,)((,)(x y x f z z f x y x x y y y '+'-=--,即 000000000(,)))|(,)((,)(x y x y x f df z z f x y x x y y y '+='-=-- 由此给出微分的几何解释.2.7.2 空间曲线一般方程下其切线与法平面求法 若曲线Γ由一般方程表处(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩, 可以将其看作参数方程，比如以x 为参数，上述方程组确定两个隐函数)(),(x z z x y y ==，Γ的参数方程为：x x =，)(),(x z z x y y ==.Γ上与参数0x x =相对应的点处的切线方程是00000.1()()x x y y z z y x z x ---=='' 法平面方程为00000:()()()()0x x y x y y z x z z π''-+-+-=还有另一个求法：求出曲面0),,(:1=z y x F S 和曲面0),,(:2=z y x G S 在某点的切平面， 这两个切平面的交线就是该点处的切线.2.8 高阶偏导数定义 如果),(y x f z =在区域D 内的偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '仍可求偏导,则称它们的偏导数为函数(,)f x y 的二阶偏导数,按照对变量求偏导次序的不同,二阶偏导数共有以下四个：),()(22y x f z x z x z x xx xx ''=''=∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z yx z x z y xy xy ''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f z x y z y z x yx yx''=''=∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f z yz y z y yy yy ''=''=∂∂=∂∂∂∂， 其中偏导数yx xy z z '''',通常称为二阶混合偏导数.类似地可以定义更高阶的偏导数,例如混合偏导数(,)xyf x y '',再对y 求偏导数是 232()(,)xyyxyy z zz f x y y x y x y∂∂∂''''''===∂∂∂∂∂ 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理 (求高阶偏导数与次序无关定理)若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数xy z ''和yx z ''在区域D 内连续,,则在该区域D 内必有xy yx z z ''''= .即连续的二阶混合偏导数与其求导次序无关．对于含有抽象函数求高阶偏导数,学生容易对复合结构产生一些偏差,再此要特别强调含有抽象函数计算高阶偏导数时与计算一阶偏导数时函数的复合结构关系（树形图）是完全一致的，或者多元函数求偏导后其复合结构不变.即若设),(v u f z =,),(y x u φ=,),(y x v ψ=u vx y 12f ''x yuv x x yy uv x x yy f '在对一阶偏导数求二、三阶偏导数时,112()()u uv f f f f ''''''==、仍是以,u v 为中间变量,,x y 为自变量的复合函数,即复合关系或复合树形图不变.2.9方向导数与梯度2.9.1.方向导数方向导数的定义有两种，有微小差别.定义1 设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.在以0P 为始点沿着l 方向的射线上任取一点00(cos ,cos )P x h y h αβ++ (h 足够小使0()P U P ∈)，若极限00000000()()(cos ,cos )(,)lim lim ||h h f P f P f x h y h f x y P P hαβ+→→-++-= 存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P f l∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)lim h f x h y h f x y hαβ+→++-=.定义2设(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义,l 为一个向量,其单位向量为0{cos ,cos }l αβ=.过0P 作与l 平行的直线(有向直线)l 00(cos ,cos )P x h y h αβ++()h ∈且0()P U P ∈.若极限00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-存在,则称此极限为函数(,)f x y 在点0P 处沿着方向l 的方向导数,记作|P f l∂∂或0()l D f P ,即|P fl ∂∂=0()l D f P 00000(cos ,cos )(,)limh f x h y h f x y hαβ→++-=.方向导数与偏导数的关系为：按定义1，函数在某点沿指定方向的方向导数本质是函数在该点沿着指定方向的单侧变化率，而偏导数是函数沿着平行于坐标轴正向的变化率,即双侧变化率.故在某点M 沿平行于坐标轴的方向导数都存在也不能推断出偏导数存在;但反之，偏导数存在时，在点M 沿坐标轴正负向的方向导数都存在，且满足()f f l l∂∂=-∂-∂=-l f∂∂(M )，其中l 表示坐标轴正向，即P 0lP 0P 0ll 是x 或y .总之，按定义1，函数在点M 处偏导数存在,则在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等，反之不真.即有（按定义1）：只有在()f fl l∂∂=-∂-∂时,偏导数才存在.按定义2，函数在点M 处偏导数存在等价于在点M 沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等. 即这时可以认为偏导数是方向导数的特殊情况，或者方向导数是偏导数的推广. 这时总有0|()|P P f l fl∂∂-∂=-∂. 两个定义的比较：有相同的计算公式（见下）；但方向导数存在的范围前者大于后者；前者是沿射线的变化率，后者是沿直线的变化率；前者与偏导数不一致，后者不一致；前者适应实际情况，便于应用，后者以偏导数为特例，可以将偏导数和方向导数统一解释为沿直线的变化率，有利于初学者的理解学习.方向导数的计算定理1 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则函数(,)f x y 在该点沿着任一方向l 的方向导数都存在,且有000|()cos ()cos P x y f fP f Plαβ'=∂'+∂ 其中0{cos ,cos }l αβ=是方向l 的单位向量.注 三元函数(,,)u f x y z =的方向导数可类似定义和计算.如类似于定义1，(,,)u f x y z =在空间一点0000(,,)P x y z 处沿着方向0{cos ,cos ,cos }l αβγ=的方向导数为0000000(cos ,cos ,cos )(,,)|lim P h f x h y h z h f x y z f hlαβγ+→+++-∂=∂.2.9.2 梯度(1)定义 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处可微分,则称向量00{(),()}x y f P f P ''为(,)f x y 在点0P 处的梯度向量,简称为梯度,记作0()gradf P 或0()f P ∇,即0000()(){(),()}x y gradf P f P f P f P ''=∇=.偏导数存在.。
多元函数的泰勒公式
多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是微积分学中的基本概念。
它是用来描述多元函数在某个点附近的局部行为的一种数学工具，也是微积分中非常基础的一部分。
泰勒公式在应用中有着广泛的实际意义，在物理、工程、经济、计算机科学等领域都有着非常重要的应用。
下面，我将简单介绍多元函数的泰勒公式。
一、定义多元函数的泰勒公式是指将一个多元函数在某个点处展开成为一个多项式的公式。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，在某个点(x0,y0)处，我们可以将f(x,y)在该点处展开成为如下的形式：其中，P(x,y)是x和y的多项式，k和l分别为x和y的非负整数指数，DkDly表示对x求k次导数，对y求l次导数，f(k,l)(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)处对x求k次导数，对y求l次导数的结果。
该公式就是多元函数的泰勒公式，它可以用来描述多元函数的局部行为。
二、应用多元函数的泰勒公式在实际应用中有着广泛的应用，下面列举一些例子。
1、求二元函数的极值对于一个二元函数f(x,y)，如果要求在某个点(x0,y0)处的极值，可以通过将f(x,y)展开成泰勒公式后求得。
具体来说，我们可以将f(x,y)在(x0,y0)处展开成如下的形式：显然，如果k和l分别为偶数，则f(k,l)(x0,y0)>0；如果k和l分别为奇数，则f(k,l)(x0,y0)<0。
因此，当k和l分别为偶数时，f(x,y)在(x0,y0)处有一个局部极小值；当k和l分别为奇数时，f(x,y)在(x0,y0)处有一个局部极大值。
2、多元函数的插值近似在实际应用中，常常需要对某个多元函数进行插值近似，以得到某些未知点的函数值。
此时，可以利用多元函数的泰勒公式来进行近似计算。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，在某个点(x0,y0)处，假设我们已知f及其一阶和二阶导数的值。
此时，我们可以将f(x,y)在(x0,y0)进行泰勒展开，得到如下的形式：通过上式，我们就可以得到f(x,y)在(x0,y0)处的近似值，从而进行插值计算。
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
第五届全国大学生数学竞赛(非数学类大纲)完整总结
一、1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型8．连续函数的性质和初等函数的连续性9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘8. 函数最大值和最小值及其简单应用9. 弧微分、曲率、曲率半径三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念2.不定积分的基本性质、基本积分公式3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分6.广义积分7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全\微分方程3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：4.线性微分方程解的性质及解的结构定理5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4.多元复合函数、隐函数的求导法5.二阶偏导数、方向导数和梯度6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线7.二元函数的二阶泰勒公式8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛4.函数项级数的收敛域与和函数的概念5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法7.初等函数的幂级数展开式8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记
第六章：函数，极限与连续的MATLAB1 映射与函数。
（1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。
（2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’);求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)；2 求极限。
（1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。
（2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。
3 函数的连续性与间断点。
（1）判断连续性的函数代码：P144。
（2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。
实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。
（3）求函数区间的方法：P215。
第七章：导数与微分的MATLAB求解1 导数求解：diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数；隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。
参数方程确定的函数的导数P157。
2 洛必达法则：P168.3 泰勒公式：P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。
MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool，4 函数的凹凸性与曲线的单调性：求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。
求凹凸性与拐点的程序：P179。
求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）^(1/3)的求解）的函数代码：P176。
清华大学微积分A习题课3_多元函数微分学及应用(泰勒公式、极值)
AC −B
i i
2 i
16
−32
−32
−32
64
64
−32
由极值的充分条件可知，函数 f 在 ( x1 , y1 ) 点取局部极大值，
( x5 , y5),( x 6 , y 6 )( x8 , y8 )( x 9 , y 9 )
取局部极小值，其它点均为鞍点（非极值点）. 例6 函数 z ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 内部偏导数存在, z ( x, y ) 在 D 的边界上的值 为零，在 D 内部满足
dz = −
4 x + 8z 4y dx − dy 2 z + 8x − 1 2 z + 8x − 1 ∂z 4 x + 8z =− =0 ∂x 2 z + 8x − 1 ∂z 4y =− =0 ∂y 2 z + 8x − 1
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0
。
cosθx − 1 1 + θy 【答案】 f ( x, y ) = 1 − y + ( x, y ) sin θx 2 (1 + θy )2
sin θx x (1 + θy )2 , θ ∈ (0,1) 2 cosθx y (1 + θy )3
2 2
t
(
2
2
)
Hale Waihona Puke − x2 + y2
(
)在
曲线 x 2 + y 2 = 1 上取到极大值 e ． 例8 （隐函数的极值）设 z = z ( x, y ) 由 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 xz − z + 8 = 0 确定，求该函数 的极值． 解：
二元函数的极值问题
摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值AbstractThe extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.Key words：function of two variables；maximun value; minimum value摘要 (I)Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)2二元函数极值问题的相关概念 (1)2.1二元函数定义 (1)2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)3二元函数的极值问题 (2)3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)3.3求二元函数极值的步骤 (5)4特殊情况下二元函数极值 (6)5条件极值问题 (8)5.1代入法 (9)5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)6总结 (13)参考文献 (14)函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作,D :R f → （1） 且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(y x f z =, D y x ∈),(,或 )(P f z =，D P ∈,且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.2.2二元函数及其极大极小值的定义定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(<y x h 的第二、四象限中的点，所以0)0,0(=h 既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .证明 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .反之，凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f yk x h n y x f y k x h y x f yk x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中i m i i m i mm i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(00000. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏（2）导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明 由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有)(),)((),(21),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，即f 在),(000y x P 取极小值.同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值），故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，这表明)(0P H f 为负半定的.同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用的形式：①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0<P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.3.3求二元函数极值的步骤第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；第二步，然后解方程组⎩⎨⎧==00yx f f 求出驻点P ；第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的符号，再根据定理2判定出极值点；第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.例1 求),(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f yx 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于02)(0>=P f xx ,2)(0=P f yy ,1)(0-=P f xy ，03))((02>=-P f f f xy yy xx ,故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.例2 求xy y x z 333-+=的极值.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以027))((12>=-P f f f xy yy xx .故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .又因为 09))((22<-=-P f f f xy yy xx ，所以2P 不是f 的极值点.例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f yx 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.解 容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，),(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.4特殊情况下二元函数极值对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.证明 由所给的泰勒展开式有),(),(][61),(),(3300300y x y x f yf k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ， 若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即0),(),(),(),(23003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ， 我们来分情况讨论1若0)(033≠∂∂P xf 时，取00,y y x x h =-=，则 当0x x >时，0>h 则03>h ；当0x x <时，0<h 则30h ； 从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P xf 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P yf 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P yx f.不妨设0)(023≠∂∂∂P yx f，此时 ]),(),([21),(),(2003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，取0>k 充分小,使得20032003),(),(yx y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由yx y x f k h ∂∂∂20032),(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P yf，而0)(023≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P yx f时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.解 函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.5条件极值问题在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为ac bc ab c b a S 22),,(++=.由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求0,0,0>>>c b a ，而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.5.1代入法在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=），这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.解 由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，令021x =-='x z ，解得21=x ， 又因为02xx<-=''z ，所以21=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为41)21,21(=z .5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:(1)引入辅助变量λ和辅助函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得),(),(),(),(y x g y x f y x g y x f yy x x '-=''-='λλ由(6)和(7)得(3) (4) (5)(6)(7)0),(),(),(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得0),(),(=''+'x y x y y x g y x g所以有),(),(y x g y x g y y x x ''-=' 于是0),(),(=''+'x y x y y x f y x f这样我们就容易得到0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(由一元函数极值的第二判别法得①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.引入辅助变量λ和辅助函数)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=010),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21,21(是否是极值点.很容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，02),(]),(),(),([),()21,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ， 故xy z =在点)21,21(取得极大值41)21,21(=z .例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.解 引入辅助变量λ和辅助函数)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=2021),,(021),,(22y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,0),(),(=''=''y x f y x f yy xx,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,yxy x -=',3322222yy x y y yx x y yy x y y xxx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11，取得极大值2)1,1(=z ； 又因为02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11--，取得极小值2)1,1(-=--z .例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.解: 引入辅助变量λ和辅助函数)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=0402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .6总结本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.。
二元函数的泰勒公式
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x [ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x. 又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x) ( x0 ) fx y( x0 1 x, y0 2 y) x y .
y4)
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
的混合偏导数:
f x y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
f y( x,0) x
f y (0,0)
自变量的复合函数．所以
2z x2
f
x
u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 2 f u 2 f v
u2
x
uv
x
y
vu
x
v2
x
2 f u2
2 y
2 f uv
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u2
u y
2 f uv
v y
1 y2
f v
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
研究生考研数学一考试大纲及解析(2022版)
全国研究生入学考试数学一考试大纲(附解析)2022版研究生数学一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考研考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容结构：高等教学约60%；线性代数约20%；概率论与数理统计约20%。
四、试卷题型结构：单选题10小题，每小题5分，共50分填空题6小题，每小题5分，共30分解答题(包括证明题)7 小题，共70分高等数学一、函数、极限、连续函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立;数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限：函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
二、一元函数微分学导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L’Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘函数的最大值与最小值、弧微分及曲率的概念、曲率圆与曲率半径。
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第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号, 再判定是否是极值.
9
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y) 3axy x3 y3 (a 0)
的极值.
解
fx fy
3ay 3ax
3x2 3y2
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
z
•O
y
x
5
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第七章 多元函数微分法及其应用
最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆 围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱 笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长， 认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了 他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后 宣布：“我现在是在外面。”
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2)
A
zxx
|P
2
1
z
函数在P有极值.
B zxy |P 0
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件 为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0,
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
0 0
驻点(0,0), (a, a).
又 f xx 6x, f xy 3a, f yy 6 y.
在点(0,0)处, AC B2 9a2 0
故 f ( x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, AC B2 27a2 0且A 6a 0
故 f ( x, y) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a3 .
将P (1,1) 代入原方程, 有
z1
2, z2
6
C
zyy
|P
1 Hale Waihona Puke z当z12时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 2为极小值;
当
z2
6时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
12
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数z f ( x, y)的极值. 解 法二 配方法 方程可变形为
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值,
则对于( x0, y0 )的某邻域内任意( x, y) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时, 有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 fx ( x0 , y0 ) 0;类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
10
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数 z f ( x, y)的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2x
2z
zx
2
4zx
0
2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值.
极小值未必是函数的最小值. 有时, 极小值可能比极大值还大.
4
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B2 0时没有极值;
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
2
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f (P) f (P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f (P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法