7(8)多元函数的极值与二元函数的泰勒公式
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当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B2 0时没有极值;
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件 为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0,
0 0
驻点(0,0), (a, a).
又 f xx 6x, f xy 3a, f yy 6 y.
在点(0,0)处, AC B2 9a2 0
故 f ( x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, AC B2 27a2 0且A 6a 0
故 f ( x, y) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a3 .
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
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第七章 多元函数微分法及其应用
最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆 围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱 笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长， 认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了 他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后 宣布：“我现在是在外面。”
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2)
A
zxx
|P
2
1
z
函数在P有极值.
B zxy |P 0
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号, 再判定是否是极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y) 3axy x3 y3 (a 0)
的极值.
解
fx fy
3ay 3ax
3x2 3y2
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值,
则对于( x0, y0 )的某邻域内任意( x, y) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时, 有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 fx ( x0 , y0 ) 0;类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
z
•O
y
x源自文库
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
将P (1,1) 代入原方程, 有
z1
2, z2
6
C
zyy
|P
1 2z
当
z1
2时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 2为极小值;
当
z2
6时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数z f ( x, y)的极值. 解 法二 配方法 方程可变形为
2
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f (P) f (P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f (P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
10
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数 z f ( x, y)的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2x
2z
zx
2
4zx
0
2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值.
极小值未必是函数的最小值. 有时, 极小值可能比极大值还大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件 为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0,
0 0
驻点(0,0), (a, a).
又 f xx 6x, f xy 3a, f yy 6 y.
在点(0,0)处, AC B2 9a2 0
故 f ( x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, AC B2 27a2 0且A 6a 0
故 f ( x, y) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a3 .
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第七章 多元函数微分法及其应用
最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆 围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱 笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长， 认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了 他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后 宣布：“我现在是在外面。”
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2)
A
zxx
|P
2
1
z
函数在P有极值.
B zxy |P 0
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号, 再判定是否是极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y) 3axy x3 y3 (a 0)
的极值.
解
fx fy
3ay 3ax
3x2 3y2
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值,
则对于( x0, y0 )的某邻域内任意( x, y) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时, 有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 fx ( x0 , y0 ) 0;类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
z
•O
y
x源自文库
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
将P (1,1) 代入原方程, 有
z1
2, z2
6
C
zyy
|P
1 2z
当
z1
2时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 2为极小值;
当
z2
6时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数z f ( x, y)的极值. 解 法二 配方法 方程可变形为
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f (P) f (P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f (P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数 z f ( x, y)的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2x
2z
zx
2
4zx
0
2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值.
极小值未必是函数的最小值. 有时, 极小值可能比极大值还大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是