加权余量法简介
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用于工程设计中的计算方法，其基本原理是在设计时考虑各种偏差因素，通过对这些因素进行加权，得出可靠的设计参数。
加权余量法的主要思想是在设计时加入一定的安全余量，以应对可能存在的各种不确定因素，如材料强度、加工精度、负荷变化等。
这样，在实际使用时，即使存在一些误差或者随机因素，也能保证设计的可靠性和安全性。
在具体的计算中，加权余量法通常采用统计学方法，对各种偏差因素进行量化，并按照其权重进行加权。
这样，可以得到一个综合的设计余量，即在各种偏差因素都存在的情况下，仍能保证设计的可靠性和安全性。
总之，加权余量法是一种在工程设计中广泛应用的计算方法，其基本原理是考虑各种偏差因素，通过加权计算得出可靠的设计参数，以保证工程的可靠性和安全性。
- 1 -。
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法是一种用于估计地球大气层中的物质含量的方法。
它基于光的散射和吸收现象，通过测量不同波长下的光强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
本文将详细介绍伽辽金加权余量法的原理、应用、优缺点以及未来发展方向。
一、原理1.1 光的散射和吸收在大气层中，光线会发生散射和吸收现象。
当光线经过空气分子或云雾等微粒时，会被这些微粒所散射，使得原本直线传播的光线变得弯曲或偏转。
同时，不同波长的光线受到不同程度的散射影响，因此在大气层中观察到的太阳光谱会出现一定程度上的变化。
此外，在大气层中还存在着各种化学物质，如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等。
这些物质对不同波长的光线也会发生吸收作用，使得通过大气层传播的太阳光谱再次发生变化。
1.2 伽辽金加权余量法的原理伽辽金加权余量法利用了光的散射和吸收现象，通过测量大气层中不同波长的光线强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
具体来说，该方法将太阳光谱分为若干个波段，在每个波段内测量透过大气层后的光线强度，并计算出各波段内的平均强度值。
然后，根据不同波长下的平均强度值之间的比较关系，推断出大气层中某种物质的含量。
这里需要注意一点，即不同波长下的光线强度受到多种因素影响，如大气湍流、云雾遮挡等。
因此，在进行估算时需要对这些因素进行修正，并考虑它们对结果精度的影响。
二、应用2.1 大气成分测量伽辽金加权余量法是一种常用于大气成分测量的方法。
通过对太阳光谱进行分析，可以获得大气层中各种化学物质（如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等）的浓度信息。
这对于研究大气层的结构和变化、预测气候变化等具有重要意义。
2.2 空间探测伽辽金加权余量法还可以应用于空间探测领域。
在行星探测任务中，该方法可以通过对太阳光谱的分析，获取目标行星大气层中的成分信息。
这对于了解行星环境、寻找适合生命存在的地方等都具有重要意义。
三、优缺点3.1 优点（1）非侵入性：伽辽金加权余量法不需要直接接触大气层，因此不会对大气层产生影响。
变分法和加权余量法
变分法和加权余量法是两种在数学和工程领域中常用的方法，它们主要用于解决微分方程和积分方程的近似解问题。
变分法是一种寻找函数最优解的方法，通常用于解决泛函的最小值问题。
它通过选取适当的函数，使得泛函取得极小值，从而得到原方程的近似解。
变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，如最小势能原理、最小作用量原理等都是变分法的应用实例。
加权余量法是一种直接从微分方程或积分方程出发，通过选取适当的试探解，使余量在某种平均意义上为零的方法。
这种方法通过引入权函数来控制余量的分布，从而得到原方程的近似解。
加权余量法在计算力学、流体力学、固体力学等领域有广泛的应用，如有限元法、边界元法、无网格法等都是基于加权余量法的思想发展而来的。
总之，变分法和加权余量法都是重要的数学和工程方法，它们在不同的领域有着广泛的应用，是研究和解决微分方程和积分方程的有力工具。
如需了解更多相关信息，建议咨询数学或物理专业人士。
0.7+加权余量法
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用的风险控制方法，其基本原理为在投资决策时考虑一个适当的余量，以应对不确定性因素带来的风险。
具体来说，加权余量法的应用步骤如下：
1. 确定投资目标和预期收益率。
2. 评估投资组合中的风险，并计算出组合的标准差。
3. 根据投资者的偏好和风险承受能力，确定适当的加权余量。
这个余量通常是投资者的风险承受能力的一个百分比。
4. 通过将余量与标准差相乘，得出组合的最大净亏损额。
如果该净亏损额超过了投资者能够承受的最大亏损额，就需要对组合进行调整。
5. 确定投资组合中每个资产的权重，并根据加权余量的原则，对其进行调整。
加权余量法的基本原理是在保证投资者的收益率目标的同时，尽可能地降低风险。
通过合理的加权余量设置，投资者可以在保证收益的前提下，有效地控制风险，从而获得更加稳健的投资回报。
- 1 -。
伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法一、概述伽辽金加权余量法（Gauss-Seidel weighted residual method）是一种常用的数值计算方法，主要用于求解偏微分方程。
它是在有限元法和有限差分法的基础上发展起来的一种数值求解方法，其优势在于其准确性和高效性。
二、方法原理伽辽金加权余量法是一种迭代方法，通过迭代修正待求解的误差来逼近真实解。
其基本原理可以概括为以下几步： 1. 根据数学模型建立待求解的偏微分方程； 2. 将方程经过合适的变换，转化为离散形式； 3. 对离散形式的方程进行求解； 4. 通过迭代计算，逐步逼近真实解。
三、算法步骤伽辽金加权余量法的具体步骤如下： 1. 初始化变量：设定初始解、迭代次数和收敛条件； 2. 使用已知初始解代入方程，求解方程的残差； 3. 根据求解方程的残差和权重系数，计算修正值； 4. 更新解：将修正值与初始解相加，得到新的解；5. 判断是否满足收敛条件，如果满足则输出当前解，否则返回第2步。
四、优势和适用范围伽辽金加权余量法相较于其他求解方法具有以下优势： - 精度高：伽辽金加权余量法可以通过增加迭代次数得到更精确的解； - 收敛速度快：通过选择合适的权重系数，伽辽金加权余量法可以在较少的迭代次数下达到收敛； - 适用性广：伽辽金加权余量法可以应用于各种类型的偏微分方程问题。
五、应用案例为了进一步说明伽辽金加权余量法的应用，我们以一维热传导方程为例加以说明。
5.1 问题描述考虑一维材料中的热传导问题，假设该材料的导热系数为k，温度分布为T(x)，在材料两端的边界条件为T(0) = T1和T(L) = T2。
5.2 方程建模根据热传导规律，可以得到如下的一维热传导方程：∂T ∂t =k∂2T∂x25.3 伽辽金加权余量法求解按照伽辽金加权余量法的步骤，可以将热传导方程转化为离散形式，并进行迭代求解。
1.将热传导方程进行离散化：T i n+1−T i nΔt =kT i+1n−2T i n+T i−1n(Δx)2其中，i表示离散网格点的索引，n表示迭代次数，Δt和Δx分别为时间步长和空间步长。
第四章微分方程的等效积分形式和加权余量法
若场函数φ 自动满足自然边界条件和强迫边 界条件，且适当地选取v，使之在Γ φ 边界上 由v=0，则相应的几分“弱”形式表达的更 为简洁。
TvkdΩ vQdΩ 0
• 4.3 基于等效积分形式的近似方法
等效积分求解： 1）精确解难以找到； 2）用近似场函数替代精确场函数 设：u为精确场函数；ū 为近似场函数，则：u≈ ū =ΣaiNi=Na （4.3.1）
k
x
v y
k
y
vQdxdy
v
k
x
nx
y
ny
dΓ
v~k
q
n
q dΓ
0
边界上场函数φ的法线导数是：
n x nx y ny
设算子为：
T
x
,
y
并不失一般性设： v v~
将上三式代入分部积分结果中有： T vkdΩ
vQdΩ
vqdΓ
q
vk
n
dΓ
0
上式为二维热传导问题的微分方程级边界条件的等效积分“弱”形式。 可以使温度φ 的一阶导数出现不连续
ai为待定参数；Ni为试探函数、基函数，形函数-----已知函数
完全的函数系列：任意函数都可以用此序列表示
Ni的要求：
1）取自完全函数； 2）线性独立； 3）选择时使之满足强制边界条件和连续性要求。
近似场函数带入原问题的微分方程组和边界条件，不能满足原方程，
产生残差R和 R（余量）。
有：
A(Na) R 0 B(Na) R 0
• 4.1 微分方程的等效积分形式
•
微分方程组：A(u)
A1 A2
(u) (u)
0
•
边界条件：
B(u)
有限元-伽辽金法
单元结点温度列阵
e
12
3
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
e [Ni
Nj
N e
Nm
] ij
N
e e
Ni
Nj
Nm
m
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
Nr (x, y) ( ar br x cr y ) br
3
NeTQd NeTqds+ NeTh ds
e
2
3
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
1
2
x 2 e
y22NxeT
Ne
Qx=0
NeT Qd
Ne y
T
Nye ,xdnx
n hNeT
3 ,y
Ne
y
ds
q
NeTqds+,xnNxeThd,ysny h
x (a ,b)
x=a
x=b
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du%(x)dx+1(x)B1 u%dx+2 (x)B2 u%dx 0
加权余量法
若
为完备的函数系列
则， 时， 收敛于精确解，
若 n 为N~有1 .限...项.. ，N~则n 为近似解。
上述方法为Ritz法
n
u~~
u~~
K~ ~a F~
F~
V
N~ T
f dV ~
N~ T
S
T~ ds
第13页/共61页
§1.3. 1 自然变分原理
Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法
1.求解步骤：
对为极小值问题， 取正数； 值越大，约束条件满足的越好。(近似性越好) 这种方法好处很明显，不增加任何未知函数。 ( 是事先给定的 )
第26页/共61页
§1.3.2 修正泛函变分原理
例：极值问题（函数极值问题）
Z 2 x2 2 xy y2 18 x 6 y
约束条件
x y 0 ，所以 ： Z** Z ( x y )2
下界性质。如不事先满足，需要进行处理 （约束变分原理）。
第18页/共61页
§1.3.2 修正泛函变分原理
1.修正（约束）变分原理
建立了自然变分原理后，问题的解为泛函取驻值。
F
(~u,
~x
(~u),)d
E(~u,
~x
(~u),)d
0
但是未知函数 往往还~需u要服从一些附加条件，
C(u) 0
~~
2~ ~ ~ ~ ~
~
第6页/共61页
§1.3. 1 自然变分原理
3. 自然变分原理
某些问题的物理本质往往能够以变分原理的 形式直接叙述出来。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中 最小能量耗散原理，称为自然变分原理。
第7页/共61页
§1.3. 1 自然变分原理
chap1.2加权余量法-2012-03-1_480402246
§1.1.2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.2
对等效积分形式中
∫
Ω
进行m次分部积分。 进行m次分部积分。
Ω
∫ C~ (v) D(u)d Ω + ∫ E ~ ~ ~ ~
T Γ
T
(v ) F (u)d Γ = 0 （6）
~ ~ ~
均为m阶微分算子。 此时 C , D 均为m阶微分算子。 ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
δ( 例如： ~ - ~ j ) L(Ni (xj )) 例如： x x % % %
Nj (x) % ~
加权余量法的几种常用方案
1. 2. 3. 4. 5. 配点法，以笛拉克函数δ作为权函数 子域发 最小二乘法 力矩法 伽辽金法
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
为了下面讨论方便： 为了下面讨论方便： 不失一般性的认为 N i 已满足边界条件
所以上式可表示为： 所以上式可表示为：
L ∑ ~ ( N ( x )) a − f ( x ) = 0 ~ ~ ~ ~
i =1 i j i j
n
j = 1, 2,..., n
即，得到n个方程
§1.2.2 加权余量法的几种常用方案 1.2.2
L ∑ ~ N (x ) a − f (x ) = 0 ~ ~ ~ ~
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
例： 简支梁弯曲问题
微 分 方 程 及 其 边 界 条 件
d 4w EJ -q= 0 4 dx x ∈ (0, l)
w=0
dw =0 dx
x = 0, l
§1.1. 2 微分方程的等效积分的弱形式 1.1.
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
加权余量法简介
不同的权函数 W Ii 和 W B i 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u 的不同，余量 R I 和R 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 R B B ( u ) g 0 此时消除余量的条件成为:
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必 须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： 1. 试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数 有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫 和勒让德多项式等等。 2. 试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶 导数低一阶的导数连续性。 3. 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问 题具有对称性，应充分利用它。
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
有限元分析简介
有限元软件ansys简介有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
ANSYS是一种广泛的商业套装工程分析软件。
所谓工程分析软件，主要是在机械结构系统受到外力负载所出现的反应，例如应力、位移、温度等，根据该反应可知道机械结构系统受到外力负载后的状态，进而判断是否符合设计要求。
一般机械结构系统的几何结构相当复杂，受的负载也相当多，理论分析往往无法进行。
想要解答，必须先简化结构，采用数值模拟方法分析。
由于计算机行业的发展，相应的软件也应运而生，ANSYS 软件在工程上应用相当广泛，在机械、电机、土木、电子及航空等领域的使用，都能达到某种程度的可信度，颇获各界好评。
使用该软件，能够降低设计成本，缩短设计时间。
ANSYS 软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件，可广泛的用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、计算流体力学分析、设计优化、接触分析、自适应网格划分及利用ANSYS 参数设计语言扩展宏命令功能。
有限元分析有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
加权余量法
0……………………………………...others
基变换
矩法的工作量 1.求矩阵L的元数
Lmn wm , L(n )
N2 个元素，每个两次积分。 2.求解矩阵方程
La间的变换
mx1
mxn nx1
a Z a
带入矩法方程
mxm mx1 mxm mxn nx1
加权余量法算子方程近似解空间中展开解带入算子方程余量为内积范数内积的意义fg的夹角内积fg之间的相互投影ds检验函数空间检验函数的基支撑该空间的一个方向矢量表示余量在上的投影应为矩法的基本含意所构造的近似解在检验空间w的各个方向上的投影均为零变分解释表示l的值域表示由张成的空间表示由张成的空间矩量法的公式意味着精确值在上的投影等于近似值在上的投影
Lf
精确 近似
误差 Lfn
投影
Lwn
常用整域基
正弦 sinx,sin2x….. 余弦 cosx,cos2x….. 切比雪夫 T1(x),T2(x)….. 幂函数 x,x2,x3…….
常用子域基
脉冲基
P1,P2,P3…
1...............x n Pn 0...............o. thers
分段三角形基 l1,l2.. 分段正弦基 s1,s2..
ax.....................n 1 x n ln 1 ax...............n. x n 1
0........................others
sn sin(x xn ) /(xn1 xn )........ xn x xn1
逼近极小的准则
1. 高斯意义下的极小（最小二乘）
R2 min (R2) 0 an
n 1....N
5.1 加权余量法
5 三维场中的有限元法电磁场当它具有某种特性，在一定条件下才能转化为二维场或轴对称场处理，除此以外都需要在三维空间进行分析和计算。
从理论上讲，由二维到三维空间的场分析并不难，但在实际实施过程中碰到的问题有： 1. 单元剖分问题； 2. 求解代数方程组问题； 3. 关于位函数解答的唯一性问题；这些问题都使三维场的有限元分析和计算远较二维场复杂。
本章要研究的主要问题；1. 介绍另一种形成有限元方程的分析方法2. 三维静电场的有限元分析；3. 三维线性恒定磁场的有限元分析。
5.1 加权余量法5.1.1加权余量法的基本思想对于算子方程及其所满足的边界条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=∂∂∈=∈=221s f nu s u u V f u oA引入函数集合∑==nk k ku u 1~α为待求函数u 的近似解。
式中k u 为待定系数，{}k α是定义在V 空间并满足总体边界条件的线性无关函数集——H 空间的正交函数系。
将上式代入算子方程，不能使方程精确满足，必然存在一定的误差，称之为余量，用)(u R )(ε或表示V fu u R ∈-=~)~(A另外取一函数集合),,2,1(n m W m =——权函数，用以构成内积><)(,u R W m ，并令内积为零),,2,1(0)(,n m u R W m =>=<这一内积为零等价于强制取得近似解，使算子方程的误差在平均含义上等于零。
也就是说，通过加权积分为零，使平均意义上的误差为零，于是，可通过上述方程求出近似解。
这就是加权余量法的意义和要达到的目的。
先研究加权余量法求近似解的思路。
所取的近似解：∑==nk k ku u 1~α，要求kα能满足边界条件，并具有足够的连续性，因此将近似解代入边值问题，只会出现不满足算子方程的误差)~(u R 。
若{}k α为无穷序列，即可形成V 空间上的基函数序列，u ~为使0)~(→u R 的精确解。
当序列为有限项时，为近似解，则内积为()()()n mdV uR W u R W Vm m ,,,~~, 210==>=<⎰有,,1>=-⎪⎭⎫⎝⎛>=<<∑=f u W R W n k k k mm αA),,2,1(,,1n m f W W um nk km k=>=<><⇒∑=αA得到关于k u 的n 个代数方程，构成n 阶代数方程组][]][[b u A =式中：Tn u u u u ][][21 =Tn f W f w f w b ],,,[][21><>><<= ),,2,1,(,n k m W A k m mk =>=<αA求解上述代数方程组，可得),,2,1(n k u k =，从而得到满足边界条件的边值问题的近似解。
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在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
( i 1, 2 , , n )
( i , j 1, 2, , n )
y
j -1
度彼此相近。但对低阶近似 (n较小)情况下，后三种的精度
要高于前两种。
基本方法举例 为说明上述基本概念，以图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷 载作用，求悬臂端B的竖向位移 为例，说明基本方法的应用。 图示梁的控制方程为:
2 T V I V I I
I T
C
V
C
I
本法权函数为:
W Ii
RI C i
( i 1, 2 , , n )
4．伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
W Ii N i ( i 1, 2, , n )
当试函数 u 包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。
B
EI
d y dx
4
4
q 0
其边界条件为:
dy y 0 dx 2 3 d y d y 0 3 dx 2 dx ( x 0)
若取试函数为:
(x l)
y c ( x lx 1 4 l x 2 6 l x )
5 4 2 3 3 2
Vi
，在每个子 域内令权函数等于1，而在
(V i内 ) (V i 外 )
1 W Ii 0
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元 法
2. 配点法(Collocation Method) 子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点 上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:
u
C
i 1
n
i
Ni NC
式中：
Ci
—— 待定系数，也可称为广义坐标； ——取自完备函数集的线性无关的基函数。
Ni
由于 u 一 般只是待求函数u的近似解，因此将式 代入控制方程后将得不到满足，若记：
R I L (u ) f R B B (u ) g
加权余量法
加权余量法的基本概念 加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残 值法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及 边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。当 n 有 限时，定解方程存在偏差（余量）。取权函数，强迫余量 在某种平均意义上为零。采用使余量的加权积分为零的等 效积分的“弱”形式。来求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。
W Ii P Pi） （
0 ( x xi ) 0 b ( x x i )d x a 1
x xi x xi xi a xi a , , b b
P、Pi—分别代表求解域内任一点和配点。由于此法只在配点上保证余量为零， 因此不需要作积分计算，所以是最简单的加权余量法 3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。 若记余量平方和为I(C)，即 I ( C ) R d V R R d V 则极值条件为: I ( C ) 2 ( R ) R d V 0
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必 须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： 1. 试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数 有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫 和勒让德多项式等等。 2. 试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶 导数低一阶的导数连续性。 3. 试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问 题具有对称性，应充分利用它。
基本方法概述 下面以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本方法。对内部 法来说，消除余量的统一格式是:
V
W Ii R I d V 0
( i 1, 2 , , n )
1．子域法(Subdomain Method) 此法首先将求解域V划分成n个子域 子域之外取权函数为零，也即:
B
Ii
V
W Ii R I d V 0
( i 1, 2 , , n )
2．边界法 W 试函数满足控制方程，也即
R I L (u ) f 0
此时消除余量的条件为:
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
3．混合法 试函数不满足控制方程和边界条件，此时用下式来消除余量。
0 .0 1 0 1 7 q E Il
B
3
0 .1 4 2 4 q l EI
4
伽辽金法解 此时，N x lx 1 4 l x 2 6 l x 消除余量的条件为: l N R d x 0 0 1 I 由此可得:
5 4 2 3 3 2 1
C
0 .0 0 9 0 8 q E Il
B
4
0 .1 2 6 2 q l EI
4
本例各方法的精度比较 本问题的精确解由梁位移计算可得为:
ql
4
B
=
0 .1 2 5 q l EI
4
8EI
由此可得，上述各方法对本例计算的误差依次为: -33.3％；1.75％（22.2％）；13.9％；0.96％；-33.3 ％ ( ) 上面22.2％为式 结果。
不同的权函数 W Ii 和 W B i 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u 的不同，余量 R I 和R 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 R B B ( u ) g 0 此时消除余量的条件成为:
q 8 4 E Il
c
代回原式可得:
B
1
7 ql
4
42 EI
配点法解 同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:
RI
x 0 .7 5 l
0
可得 : 若令: 则得:
C
q 1 1 4 E Il
B
2
7ql
4
57 EI
RI
C
xl
0
q
2
1 4 4 E Il
B
7ql
4
72 EI
可见不同的配点结果是不一样的。
最小二乘法解 此时消除余量的条件为:
l 0
RI
RI c
dx
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q E I 1 2 0 x 2 4 l d x 0
可得:
C