浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习

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浙教版八上第二章特殊三角形复习课

B N D M A C E
A
角平分线+平行线

B
D 3 l 2
F
E C
2、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于 F交BC于点E，求证：AB=CE。
A
角平分线+垂线
D F E 1 2 C
思考三线合一定理的几个 B 逆命题何时是成立的？

等腰三角形
3、如图,在△ABC中,∠ ACB=90°, AE平分∠ CAB,CD ⊥AB于D,它们交于点F, △ CFE是等腰三角形吗?试说明理由.
主要知识结构:
特殊三角形
等腰三角形
性质判定性质
等边三角形直角三角形
等腰三角形
判定性质与判定勾股定理直角三角形全等判定
其它知识要点: 等腰三角形、直角三角形的尺规作图主要学习方法: 主要思想方法: 类比学习分类讨论思想方程思想
典型例题与练习回顾： 1、周长为11，边长为整数的等腰三角形有 2、等腰三角形一个外角为140 ，则其顶角为
求证△BAD是等要直角三角形。
A E F C
B
D
等边三角形的几个基本图形：
1、等边三角形ABC中，只要满足BD=CE，连接AD、BE C
2、如图点A、C、E在同一直线上，△ABC和 △CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、 BE的中点。说明： △CMN是等边三角形。
C
直角三角形一个锐角平分线

+
斜边上的高线等腰三角形
F
D
E B
A
等腰直角三角形的几种基本应用：
1、如图，在直角△ABC中，∠C=90，AC=BC，D，E
分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。

浙教版八年级数学上册特殊三角形知识点归纳及练习

A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
9．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD⊥BC 于 D，M 为 AD 上任一点，则 MC2=MB2 等于( ) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 10．若△ABC 是直角三角形，两条直角边分别为 5 和 12，在三角形内有一点 D，D 到△ABC 各边的距离都相等，则这个距离等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5
①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对 __________)；
②等腰三角形三线合一，这三线是指 ________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；
③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定：
22．如图，已知点 B，C，D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交 AC 于点 F，AD 交 CE 于点 H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH 的形状并说明理由．
19．如图，△ABC 是等边三角形，ABCD 是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD 的度数．
20．如图，E 为等边三角形 ABC 边 AC 上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE 的形状．
21．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF 的度数．
例 2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD 的度数是（）
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
例 3：如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上。求证：BE=CE。

浙教八上数学期末复习二特殊三角形

期末复习二特殊三角形一、必备知识1．等腰三角形性质：①边：两腰相等；②角：；③特殊线段：三线合一，即等腰三角形顶角平分线与底边上的、底边上的中线互相重合．等边三角形性质：①边：每条边都；②角：每个角都是.直角三角形性质：①边：勾股定理；②角：两锐角；③特殊线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的．2．等腰三角形的判定：在同一个三角形中，对等边．等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是；③一个角为60°的三角形．直角三角形的判定：①有两个角；②勾股定理的逆定理．3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的．4．两个直角三角形可用证明全等；在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的．二、防范点1．求等腰三角形角度，边长的问题注意分类讨论，考虑多种情况．2．逆命题中注意术语的回避，如“等腰三角形两腰相等”的逆命题为．例题精析知识点一轴对称图形例1 （1）下列图形中不是轴对称图形的是（）（2）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则ADE= 度（3）如图所示，为了确保城市运动会的安全工作，某交警执勤小队从A出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，然后再到B处执行任务，他们应该如何走才能使总路程最短？【反思】利用轴对称性可以解决一些线段和最短的问题．知识点二等腰、等边三角形性质及判定例2 （1）等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为．（2）等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为．（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，则∠EDC度数=.（4）如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC 的度数= .（5）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是．（6）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．【反思】运用等腰、等边三角形性质解决问题时往往要结合三角形内角和为180°和三角形外角性质，解题过程中还要注意分类讨论考虑多种情况，防止出现漏解．例3 如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.试说明△DAE是等边三角形．【反思】要说明一个三角形是等边三角形，当已知这个三角形是等腰三角形时，也可设法说明底边和腰相等或说明一个角为60°.知识点三逆命题和逆定理例4 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．（1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；（2）如果a＝b，那么a2＝b2；（3）等腰三角形两腰上的高相等．【反思】把原命题的条件和结论互换可得到其逆命题，若逆命题是假命题，则利用举反例就可以进行说明；若逆命题是真命题，则要进行推理论证才能说明．知识点四直角三角形性质、判定及HL全等证明例5 （1）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有.（填序号）（2）一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是.（3）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．（4）如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为．（5）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．【反思】对于（3），设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键；对于（4），求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键；对于（5），对应关系不明确注意分类讨论．知识点五特殊三角形的综合运用例６（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想；（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【反思】解题的关键是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；用类似方法分析、证明（2）．例７在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．【反思】解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．例8 如图，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为A（10，0），B （6，8），直线y＝kx分别交BC、AB于点M、N.（1）求直线AB的函数解析式；（2）若直线y＝kx交线段AB于点N，当AN＝25时，请说明直线y＝kx垂直线段AB.【反思】第（2）小题也可先求点N的坐标，利用勾股定理逆定理证垂直．校内练习１. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠C=70°，则∠CAD的度数是.２．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是. 3．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种柔性衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，如图2，∠AOB=60°，则此时AB= cm.4．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为.5．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .６．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为.７．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点. 若AC=15，则CP的长为.8．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是 .9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．10．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，M为BC中点．（1）求证：DM＝EM；（2）若∠A＝45°，求∠DME的度数；（3）若∠A∶∠DME＝5∶2，BC＝4，求S△DME.答案期末复习二特殊三角形【必备知识与防范点】一、1. 两底角相等高线相等 60° 互余一半2. 等角 60° 等腰互余3. 平分线上 HL 一半二、2. 两边相等的三角形为等腰三角形【例题精析】例1 （1）A （2）50 （3）如图所示，交警执勤小队沿A →C →D →B 的路线走即可使总路程最短．例2 （1）15 （2）75°、75°或30°、120° （3）10° （4）120°（5）①②③（6）3或6或6.5或5.4例3 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°.∴∠ACD ＝120°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝21∠ACD ＝60°. ∴∠B ＝∠ACE.在△ABD 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE.∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°.∴△DAE 为等边三角形．例4 （1）逆命题为：如果ab 为无理数，那么a 、b 都是无理数．假命题（2）逆命题为：如果a 2＝b 2，那么a ＝b. 假命题（3）逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．真命题例5 （1）①②③ （2）5或7 （3）10 （4）535 （5）4例6 （1）AR=AQ ，证明如下：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠B=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°，∵∠BQP=∠AQR ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ. （2）AR=AQ 仍然成立：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°，∵∠ABC=∠PBQ ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ ．例7 （1）如图1，设CE=x ，则BE=8-x ；由题意得：AE=BE=8-x ，由勾股定理得：x 2+62=（8-x ）2，解得：x=47，即CE 的长为：47．（2）如图2，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′=21AC=3；设CE=x ，类比（1）中的解法，可列出方程：x 2+32=（8-x ）2，解得：x=1655．即CE 的长为：1655．例8 （1）AB ：y ＝－2x ＋20；（2）连结OB ，得OB ＝10＝OA ，又AN ＝25＝0.5AB ，∴直线y ＝kx 垂直线段AB （等腰三角形三线合一）．【校内练习】1. 20°2. 43. １８4. 4或65. 13606. 47. 5 8. 259. （1）2 8 （2）3.6或10秒（3）①CD ＝BD 时，如图1，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则CE ＝BE ，∴CD ＝AD ＝21AC ＝21×10＝5，t ＝5÷1＝5；②CD ＝BC 时，CD ＝6，t ＝6÷1＝6；③BD ＝BC 时，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于F ，则CF ＝3.6，CD ＝2CF ＝3.6×2＝7.2，∴t ＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t ＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD 是等腰三角形．10. （1）DM ＝EM ＝0.5BC （直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）；（2）∠DME ＝∠DMC －∠EMC ＝2∠DBC －2∠EBC ＝2∠ABE ＝2×45°＝90°；（3）设∠A ＝x °，则∠DME ＝2（90－x ）°，由∠A ∶∠DME ＝5∶2得x ＝75，∴∠DME ＝30°，∴S △DME ＝21×2×1＝1.。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》等腰三角形综合

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》知识点一：等腰三角形、腰、底边1、有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角。

知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．2、性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。

知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形。

知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．类型一：探究型题目【练1-1】如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB 的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．【1-练2】如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。

（在等腰三角形的两个底角处标明度数）【练1-3】已知等边△ABC 和点P，设点P 到△ABC3边的AB、AC、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h，（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h，请简要说明理由；（2）当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由。

浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。

★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。

2.8 直角三角形全等的判定八年级上册数学浙教版

在与中，， .
注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等.
典例1（2022·杭州拱墅区期中）如图，，，，要根据“HL”证明，则还要添加一个条件是( )
第2章特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.掌握角平分线性质定理的逆定理.
3.能利用HL证明两个直角三角形全等.
知识点1 斜边、直角边定理（HL）重点
判定定理
几何语言
图示
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写. D.
A
解析：添加的条件是 .理由：，， .在和中， .
知识点2 角平分线性质定理的逆定理重点
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图，，，，平分（或）.
注意利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可.
典例2 如图，已知于点，于点， , 相交于点，连结， .求证：平分 .
证明：在和中，∵∴ ,∴ .又 , ,∴点在的平分线上，∴ 平分 .

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形全章热门考点整合(课件)【新版】

夯实基础·固练
10．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且AB＝AC. (1)如图①，若点O在边BC上，求证：OB＝OC.
证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连结AO. 由题意知，OE＝OF， ∴点O在∠BAC的平分线上，即AO为∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OB＝OC.
【答案】A
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．
【点拨】本题运用了方程思想．题中含有4个等腰三角形，若反复运用“等边对等角”和三角形外角的性质，比较复杂且易出错，而用列方程的方法可使问题变得简单明了．
解：设∠ABD的度数为x. ∵AD＝DE＝EB，∴∠A＝∠AED＝2∠ABD＝2x. ∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝3x. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x. ∴∠A＋∠C＋∠ABC＝8x＝180°. ∴x＝22.5°. ∴∠A＝2x＝45°.
夯实基础·巩固练
(3)若点O在△ABC的外部，OB＝OC成立吗？请画图表示并证明.
解：成立，如图②.过点 O 分别作 OE⊥AB 的延长线于点 E，OF⊥AC 的延长线于点 F.连结 AO. 根据(1)(2)知，AO 平分∠BAC.
AB＝AC，在△BAO 与△CAO 中，∠BAO＝∠CAO，
13．【中考·安顺】已知等腰三角形的两边长分别为 a，b，且 a，
b 满足 2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的
周长为( )
A．7 或 8
B．6 或 10
C．6 或 7
D．7 或 10
【点拨】∵ 2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0， ∴22aa－＋33bb＋－51＝3＝0，0，解得ab＝＝23，. 当 a 为底边长时，三角形的三边长分别为 2，3，3，则周长为 8；当 b 为底边长时，三角形的三边长分别为 2，2，3，则周长为 7. 综上所述，此等腰三角形的周长为 7 或 8.

特殊三角形(知识点汇总浙教8上)

第2章特殊三角形一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

四、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）（3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。

浙教版八年级数学(上册)第二章知识点+注意点+经典例题

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节等腰三角形的性质

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节等腰三角形的性质【课本相关知识点】1、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角，这个定理也可以说成，在同一个三角形中，2、推论：等边三角形的每个内角都等于3、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的、底边上的中线和高线互相，简称等腰三角形的【典型例题】【题型一】利用等腰三角形的性质求角度例1、（1）在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=50°，则∠B=（2）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为（3）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为（4）若等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为温馨提醒：一定要看清题目，是否要分类讨论。

多画图，有助于解题。

例2、如图所示，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，分别以两腰为边向外作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，已知∠DAE=∠DBC ，求△ABC 的三个内角的度数。

【题型二】三线合一中，知“一线”推“二线”（前提一定要在等腰三角形中）例1、如图，已知△ABC（1）若AB=AC ，∠1=∠2，则，（2）若AB=AC ，AD ⊥BC ，则，（3）若AB=AC ，BD=DC ，则，【题型三】运用等腰三角形的性质证明线段相等、垂直、角度相等例1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是△ABC 的高，求证：∠BCE=∠CBD例2、如图所示，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

（1）试说明AF ⊥CD（2）在（1）中的结论说明完毕后，还能得出什么新的结论？请你写出三个（不必说明理由）例3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，试说明EF ⊥BC 。

巩固练习1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是2、若等腰三角形的顶角等于50°，则一腰上的高线与底边的夹角等于（）A 25°B 30°C 45°D 65°注意：记住结论：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半3、如图所示，已知P 、Q 是△ABC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=4、在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，求∠DCE 的度数5、如图所示，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，AD=AE ，∠BAD=40°，求∠CDE 的度数6、如图所示，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管________根 7、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，如果∠BAC=110°，那么∠PAQ=8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的BC 边上的高为h 。

初中数学浙教版八年级上册第2章特殊三角形2.6直角三角形

直角三角形的边角关系第1节从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

即tanA =b a A =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，AD =8，BD =4，求tanA 的值。

2、坡度的定义及表示（难点)我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a ，坡度为a lh i tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

■例2如图1—1—6，小明从山脚下A 点走500m 到达山顶B ，已知点B 到山脚的垂直距离为300m ，求山的坡度.3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

即sinA =ca =∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。

即cosA =cb =∠斜边的邻边A ■例3在△ABC 中，∠C =90°，BC =1，AC =2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A +∠B =90°；（3）边角之间关系：sinA =c a ，cosA =c b ，tanA =ba 。

（其中∠A 的对边为a ，∠B 的对边为b ，∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

数学(浙教版)第二章特殊三角形总复习知识点+典型例题+同步练习(答案版)

第二章复习知识讲解一、轴对称图形1.对称轴的性质：轴对称图形的对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

2.成轴对称的两个图形是全等图形。

3.折叠问题二、等腰三角形的性质及判定（一）性质1.等边对等角。

2.三线合一（同一顶点）。

3.两腰上的中线相等。

4.两底角平分线相等。

（二）判定满足以上四条性质即可判定为等腰三角形。

注：等边三角形的性质与等腰三角形的性质相似，但判定不可。

（二）等边三角形的判定1.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。

2.三条边相等或两角为60°的三角形为等边三角形。

三、逆命题与逆定理1.逆命题：原命题的条件和结论互换位置的命题称为该命题的逆命题。

2.逆定理：一定是真命题。

3.定理一定是真命题，但不是所有的真命题都是定理。

四、直角三角形的性质1. 两锐角互余。

2. 斜边上的中线为斜边的一半。

3. 30°角所对直角边为斜边一半。

且两直角边成3倍关系。

五、勾股定理1. a²+b²=c²，两直角边平方和等于斜边的平方。

2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,13.3. 利用勾股定理会求第三边，会算距离，构建直角三角形，会算方向，会画出一些特殊线段。

六、直角三角形的判定1. 有两个角互余的角为直角三角形。

2. 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（勾股定理的逆定理）3. 一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）七、补充点1. 垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

2. 角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例1 有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ B ）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 下列说法中正确的是（ C ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方典型例题C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)例3 如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（C ）A.2B.2C.3D.23例4 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是11≤a≤12例5 已知等边三角形的高为23，则它的边长为 4例6 如图，已知∠BAC =130°，AB=AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB=50°例7 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=62一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( A )A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD，BD与BC2. 若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( B )A. 5B. 7C. 5或7D. 63.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A.44°B. 60°C. 67°D. 77°4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（D）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（C）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（D）同步练习A.27B.18C.183D.937.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3:4:5；(3)三边之比为5:12:13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为( D )A．50°B．130°C．55°或130°D．50°或130°10.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（C）A.0B.1C.2D.311.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( A )A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 20cm12.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ C ）A.AE=EFB.E是AC的中点C.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等二、填空题24 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是52.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝33.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10 米．4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为115．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为AGE=30°，若AE=EG=3三、解答题1. 如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接AP（1）求AB的长度；45（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.16,45（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，能不能使得DE=CD？若能，请求出此时t的值，若不能请说明理由. 53.如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．等边三角形4.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD 的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.∠α+∠β=180②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．α=β。

浙教版八年级上册期末复习讲义第2章特殊三角形

教学目标知识点：特殊三角形考点：等腰三角形的性质与判定难点重点等腰三角形“三线合一”“等边对等角”课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程【本章知识点回顾】两腰______，两底角______（等边对等角）性质定理顶角平分线、底边的中线和高线________（三线合一）等边三角形三条边相等，各内角都等于60°等腰三角形等腰三角形：（1）两边相等；（2）两角相等判定定理等边三角形：（1）三边相等；（2）三角相等；（3）有一个角是60°的等腰三角形（4）有两个角是60°的三角形【巩固训练】1.下列说法中错误的是（）A.等腰三角形至少有两个角相等B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍D.等腰三角形中有一个角是45︒，那它一定是等腰直角三角形2. 在等腰ABC△中，D为线段BC上一点，AD BC⊥，若5AB=，3AD=,CD=______.3. 已知等腰三角形一个内角的度数为100︒，则其余两个内角的度数分别为_______.4.等腰三角形一腰长为10，一边上的高为6，则底边长为_____________.5. 如图，在ABC△中，70B∠=︒，D为BC上的一点，若2ADC x∠=，则x的度数可能为下列选项中的（）A.30B.60C.90D.100CDBAP2P5P6P7P4P3P1CBA第5题第6题6. 如图钢架10A∠=︒，焊上等长的钢条加固钢架，若112P A PP=，则这种钢条至多需要（）A.6根B.7根C.8根D.9根7. 如图，在等边ABC △中，10AB =，4BD =，2BE =，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边DPE △，当点P 从点E 运动都点A 时，点F 运动的路径长是（）A.8B.10C.3πD.5πP FE DCBAKNMP BA第7题第8题 8. 如图，在PAB △中，PA PB =，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM BK =，BN AK =，若43MKN ∠=︒，则P ∠的度数为___________度.【综合例题讲解】1. 如图，已知D 是ABC △内一点.（1）求作ADE △，使得D ，E 分别在AC 的两侧，且AD AE =，DAE BAC ∠=∠；（2）在（1）的条件下，若AB AC =，连BD ，EC ，求证：BD EC =.DCB A2. 如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE △，连结BE . （1）求证：ACD BCE △≌△；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ 使5CP CQ ==，若8BC =时，求PQ 的长.Q EPO DCBA3. 如图AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，BD 平分ADC ∠，AC 和BD 交于点E ，F 为AD 的中点，连结EF .（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；（2）若8AE =，6DE =，求EF 的长.F E DCBA4. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，3cm AB =，5cm BC =，点D 在线段AC 上，且1cm CD =，动点P 从BA 的延长线上距A 点5cm 的E 点出发，以每秒2cm 的速度沿射线EA 的方向运动了t 秒.（1）直接用含有t 的代数式表示PE =____________；（2）在运动过程中，是否存在某个时刻，使ABC △与以A 、D 、P 为顶点的三角形全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.（3）求CPB △的面积S 关于t 的函数表达式，并画出图象.PEDC BA5. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知5OA =，3OB =，点D 坐标为()0,1，点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿线段BC —CA 的方向运动，当点P 与点A 重合时停止运动，运动时间为t 秒. （1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）求OPD △的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使ADP △为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.DP 987C B A -3-2-1-3-2-17654321654321 yxO O xy1234561234567-1-2-3-1-2-3A B C 789。

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定（2.1节）2. 等边三角形的性质与判定（2.2节）3. 直角三角形的性质与判定（2.3节）4. 等腰直角三角形的性质与判定（2.4节）二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形及等腰直角三角形的性质与判定方法。

2. 培养学生运用特殊三角形知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：等腰三角形和等边三角形的判定方法，直角三角形的性质。

2. 教学重点：特殊三角形的性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。

2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些特殊三角形在实际生活中的应用，如建筑、设计等，激发学生学习兴趣。

细节：通过多媒体课件展示图片，引导学生观察并思考。

2. 例题讲解：例1：已知一个三角形是等腰三角形，求证：这个三角形的底角相等。

例2：已知一个三角形是等边三角形，求证：这个三角形的三个角都相等。

例3：已知一个三角形是直角三角形，求证：这个三角形的两个锐角互余。

细节：通过讲解例题，引导学生运用特殊三角形的性质进行证明。

3. 随堂练习：让学生完成教材课后练习题，巩固所学知识。

细节：学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

六、板书设计1. 特殊三角形的性质与判定等腰三角形：性质、判定等边三角形：性质、判定直角三角形：性质、判定等腰直角三角形：性质、判定2. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个三角形的两边长分别为5cm和12cm，第三边长为x cm。

判断这个三角形是什么类型的三角形。

（2）已知一个等边三角形的边长为a，求这个三角形的面积。

2. 答案：（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，可得：x<5+12=17cm。

当x=5cm或12cm时，为等腰三角形；当x=13cm时，为直角三角形。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第二节等腰三角形

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第二节等腰三角形【课本相关知识点】1、有相等的三角形叫做等腰三角形。

（注意：数学中的“有”表示至少有，我们也曾见过“有且仅有”这样的语言描述）2、的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

等边三角形是一类特殊的等腰三角形。

3、等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，它的对称轴是【典型例题】【题型一】作等腰三角形例1、如图所示，已知线段a，b，求作一个等腰三角形，使它的腰长为（b-a），腰长为a注意：对于作图题，若对于某些线段或角度分不清楚，通常可以先根据题意画出草图，然后再具体作出图形。

【题型二】等腰三角形中有关边的计算例1、一个等腰三角形，三边长分别是3x-2，4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。

【题型三】等腰三角形中的相关证明例1、求证：等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高。

巩固练习1、下列说法中正确的是（）A. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线B. 等腰三角形是轴对称图形，它有三条对称轴C. 等腰三角形的对称轴垂直平分底边D. 任何一条过底边中点的直线都是这个等腰三角形的对称轴2、关于等腰三角形和等边三角形的描述中，下列说法中不正确的是（）A. 等边三角形的范围比等腰三角形的大B. 等腰三角形包括等边三角形C. 等边三角形是等腰三角形的特殊情况D. 等边三角形具有等腰三角形的所有性质3、下列图形：①线段；②角；③数字；④圆；⑤等腰三角形；⑥直角三角形。

其中轴对称图形是4、已知一个等腰三角形的底边长为5，腰长为x，则x的取值范围是5、等腰三角形的两边长分别为4和5，则第三边长为6、若△ABC的三边关系满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不能确定7、把18根长度，相等的火柴首尾连接，围成一个等腰三角形，最多能围成个不同的等腰三角形。

8、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=DB=BC。

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形PPT复习课件

①③ ．(填序号) _______ 垂直平分连结两个对称点的线段． 2．对称轴_________ 练习2：如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴， AC 垂直平分______. BD 则______
另一个图形，并使这两个图形沿某一条 3．一般地，由一个图形变为___________ 直线折叠后能够_________ ，互相重合，这样的图形改变叫做图形的________ 轴对称对称轴．这条直线叫做________ 练习3：下列各组图形中成轴对称是( D )
顶角平分线所在直线是它的 2．等腰三角形是轴对称图形，___________ 对称轴．练习2：已知AD是等腰△ABC的顶角平分线，∠BAD＝60°，则 30 ° ∠B＝ _______ ． 3．三条边都相等的三角形叫做 ____________．等边三角形练习3：已知等边三角形的周长为3，则其边长为_______. 1
解：∵AC⊥BD，BE＝DE，∴点 B，D 关于直线 AC 对称．又∵点 E 在 AC 上，∴△BEF 与 △DEF 关于直线 AC 对称，∴△BEF≌△DEF， ∴S 阴影＝S△ABC.又∵BD＝8，∴BE＝4，∴S△ABC 1 1 ＝2AC· BE＝2×10×4＝20(cm2)
15．如图，已知两条定直线a和l，其中在定直线l上有一个定点A，在定直线a上有一个动点P，请找到使PA和点P到直线l距离之和最小时的
八年级数学上册（浙教版）
第2章特殊三角形
2.1 图形的轴对称
一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够 1．如果把____________ _________ 互相重合，那么这个图形叫做__________ 轴对称图形，这条直线叫做_______ 对称轴．
练习1：下列图形：①长方形；②三角形；③圆．其中是轴对称图形的是