线性代数课件第四章

所组成的集合叫做向量组．
例如 A
矩阵A
a1 a11 a21
(a a2 a12
a22
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
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类似地,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
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定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A (1，2，,m )的秩等于矩阵 B (1，2，,m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m及B : 1, 2 ,, s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
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定理2 向量组 B : b1，b2， , bl 能由向量组
A
:
1，
，
2
, m线性表示的充分必要条件
是矩阵
A
(1，
，
2
,m ) 的秩等于矩阵
A B (1，2， ,m,b1，b2， ,bl ) 的秩，即
R(A) R(A B)
推论 向量组 B : b1，b2， , bl 与向量组
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
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例如 (1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
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二、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
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四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
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3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
A
:
1，
，
2
, m等价的充分必要条件
R(A) R(B) R(A B)
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定理3 向量组 B : b1，b2， , bl 能由向量组
A
:
1，
，
2
, m线性表示，则
R(b1，b2，
, bl )
R(1，
，
2
,m )
向量组与矩阵的对应关
系
向量组B : b1，b2，
, bl
能由向量组A
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故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
b11
（
c1
,
c2
,, cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
b12
b22
b1n b2n
bs1 ks2 ksn
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同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
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二、线性相关性的判定
定理 向量组 1,2 ,,（m 当 m 2时）线性相关
的充分必要条件是1 ,2 ,,m 中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
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从而
k11
（
b1
,
b2
,, bs
)
（ 1
,
2
,,
m
)
k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵Kms (kij )称为这一线性表示的系 数矩阵.
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若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵：
n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
叫做 n 维向量空间．
x( x1, x2,, xn)T a1 x1a2 x2an xnb
叫做 n维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
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n 维向量的实际意义
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对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
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例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
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§2 向量组的线性相关性
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一、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n线性无关,则只有当
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这 个线性组合的系数.
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给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
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若记A （1 , 2 ,, m )和B （ b1 ,b2 ,,bs ).B
能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存 在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
bj k1 j1 k2 j 2 kmj m
k1 j
（
1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
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1 0 2
(1 , 2 , 3 ) 1 2 4
1 5 7
r2 ~ r1
r3 r1
11 00 10
00 22 55
22 22 75
r3
5 2
r2
~
1 0 0
0 2 0
2 2
，
0
可 见R( 1
, 2
, 3
)
2，向量组1 , 2
,
线
3
性相
关；
R(1 , 2 ) 2,向量组1 , 2线性无关.
T 1
T 2
ams
sT
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设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
:
1，
，
2
,m
线性表示，则存在矩阵K使 B AK
也即方程 AX B 有解；反之亦然。
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四、小结
１．n 维向量的概念，实向量、复向量；
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３． 向量空间： 解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念； ４．向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念．
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因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
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线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象：向量空
系
间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbyczd
P(x, y,z)
一一对应
r ( x, y, z)T
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a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
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定义１ 给定向量组A :1,2 ,,m，对于任何一
组实数k1，k2，, km，向量
即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理知此 向量组是线性无关的.
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例２ 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
5
7
试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.
解
分析
对矩阵（1，
2，
），施行初等行变换变
3
成行阶梯形矩阵,
可同时看出矩阵（1，
2，
）
3
及（1，2）的秩，利用定理4即Байду номын сангаас得出结论.
第四章 向量组的线性相关性
§ 1 向量组及其线性组合 § 2 向量组的线性相关性 § 3 向量组的秩 § 4 线性方程组的解的结构 § 5 向量空间
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§1 向量组及其线性组合
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一、 n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
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注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m ,
构成一个m n矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
m
T
,
构成一个m n矩阵
T 1
B
T 2
mT
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线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
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三、向量空间
解析几何
向量 (n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT (a1 ,a2 ,,an )
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结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 ,m ).
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定理4 向量组1,2 ,,m线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵 A (1,2 ,,m )的秩小
于向量个数m ;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A) m.
证明 （略）
下面举例说明定理的应用.
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例１ n 维向量组
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,，en 0,0,,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R(E ) n.