第四章Z变换

z re
j
0 r 1......j轴 单位圆 0 r 1.....左半面 单位圆内 0 r 1.....右半面 单位圆外 0 0...S实轴 正实轴
....... 负实轴 T
5
四。z 变换与 DFT 的关系：
n 0

n
1 1 z 1
z 1
表明 z 变换比
DTFT 的适用范围广。
1 X (e ) ( 2k ) j 1 e k j
例六、 x ( n ) ( n ) X ( z ) 1 ROC 为整个 z 平面。
当 x （ z ） 的 收 敛 域 ROC 包 括 单 位 圆 时
x p (t )
n
x (nT ) (t nT )
a
x ( n) xa ( nT )
p (t )
n
(t nT )
4

对 x p (t ) 作拉氏变换有： 对 x（n）作 z 变换有：
X p (s)
X ( z)
n

x (nT )e
j Z e 当 r=1 时 ，z 变换即成为离散时间付氏变换，
故 DTFT 是 z 变换的特例， （ r Z ....Z平面上半径为r的圆 ） ， DTFT 是在单位圆上的所作的 z 变换。
3
三．
z 变换与拉氏变换的关系：
设 x（n）是对连续时间信号 xa (t ) 理 想抽样后而得到的序列。
j Im[z]
1
1 (4) x(n) 3 n

n
双边序列
n
1 z 3 3
o
Re[z ]
11
1 n 1 n x ( n ) ( ) u ( n ) ( ) u ( n 1) 例四、 3 2 1 n n 1 1 n n X (Z ) ( ) z ( ) z n 0 3 n 2
）
由于两个的 ROC 无公共域，表明该信号的 z 变换不存在。 以上实例说明，不同的信号可能具有相同或不同的 z 变 换式，只是 ROC 不同，因此 ROC 是至关重要的。只有 z 变 换式连同相应的 ROC，才能与信号建立一一对应的关系。
12
例五、
x(n) u (n)
X ( z) z
7
由于 Z [ x ( n )] F [ x ( n ) r

n
]
时
因此当：
n
n [ x ( n ) r ]
x(n) 的 z 变换存在。 可见 z 变换的 ROC 与
x(n) 及 z r 有关。
先看几个例子：
8
例1：
1 (1) x(n) u(n) 2
16
几类序列的收敛域
3.有限长序列：
X ( z)
n
n N1
n x ( n ) z
N2
N1 n N 2
X ( z)
n
x(n) z

x(1) x(2) x(2) z x(1) z x(0) 2 z z
2
X（Z）的收敛域为整个 包含Z=0和Z= ）
a

snT
n
x (nT )z
a
n
X ( z ) Z e ST X p ( s)
这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换 之间，本质上是一种映射关系。即通过 z e
X p (s)
sT
将 s 平面的
映射成 z 平面上的 x（z） 。
sT
ze
e e
T jT
2
2
18
4。右边序列：ROC是最外部极点的外部，但可能不包括Z=
X ( z ) x(n) z n
n n1


n1 n
圆外为 收敛域
如果 n1>0 ，则 x （ z ）的 和式中只有z的负幂项， 故ROC包括 Z
j Im[z]
Rx1
Re[z ]
如果 n1<0 ，则 x （ z ）的 和式中有限个z的正次幂 ，和无数个z的负幂项故 ROC不包括 Z
x1 (n) X1 ( z)
R1
x2 (n) X 2 ( z)
R2
ax1 (n) bx2 (n) aX1 (n) bX2 ( z)
ROC 包括 R1 R2
当 x1 (n) 与 x2 (n) 在线性组合过程中出现零极点抵消时，ROC 有可 能扩大。
19
5。左边序列：ROC是最内部极点的内部，但可能不包括z＝0。
X ( z)
n
n x ( n ) z
n2
n n2
如果 n2<=0 ，则 x （ z ）的 和式中只有z的正幂项， 故ROC包括Z=0
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
j Im[z]
Rx2
6
4.2 Z变换的收敛域
X ( z)
n
x(n) z

n
x(1) x(2) x(2) z x(1) z x(0) 2 z z
2
由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的 z变换都存在，也不是任何复数 z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合，称为该z变换的ROC.
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了 0
的整个
z e
1 3
j 2K 8
z 平面
j Im[z]
8个零点 7阶极点 一阶极点
15
z0 z
1 3
Re[z ]
三。ROC 的特征 由例子可以看出，ROC 是由 x（z）的极点位置决 定的，ROC 有如下几点特征。 1．ROC 是 z 平面上的以原点为中心的环形区域。 n Z [ x ( n )] F [ x ( n ) r ] ，对给定的 x（n） 由于 ，z 变换 收敛与否取决于 r，而与 无关系， z r 是 z 平 面上的以原点为中心，r 为半径的圆，所以 ROC 是同心圆环域。 2。ROC 内无极点。
kn X (k ) x(n)WN n 0
N 1
X ( k ) X ( z ) z W k e j 2N k
N
这表明有限长序列的 DFT 就是该序列的 z 变换在单位圆
2 上以 N
等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的 z 变换就是 DTFT 也即是 x（ n）的频谱。对 z 变换在单 位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就 是 DFT 与频域抽样的关系。
n
n
右边序列
1 z 1 1 X ( z) z 1 1 z 1 z 1 n 0 2 2 2
j Im[z]
1 z 2
1 Rx1 2
1 Rx1 2
1 z 2
1
Re[z ]
2
9
例2：
1 1 z m 1 2 1 z 1 m 1 (2 z ) 1 1 1 1 1 1 2 z 1 m 0 2 z z 2
如果在零极点图上标出 ROC，这就是 x（z）的几何表示， 除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换是等价的。
14
例：
1 (3) x(n) [u(n) u(n 8)] 3
8 n
n
有限长序列
8 1 1 8 1 8 ( z ) 1 z ( 1 1 3 3) X ( z) z 1 7 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
X ( e j ) X ( z ) z e j
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二。z 变换的几何表示，零极点图 如果
( Z Z i ） X（Z）是有理数： X ( Z ) （Z Z p )
在 z 平面上标出 x（z）的全部零极点，就构成了零极点图。 它与实际的 z 变换式最多只相差一个常数因子。

z 平面（可能不
j Im[z]
Re[z ]
17
X ( z)
n
x(n) z
x( z )

n
x(1) x(2) x(2) z x(1) z x(0) 2 z z
2Fra Baidu bibliotek
n N1
1
n x ( n ) z
N2
N1 N 2
a.当 N 0 ， N 0 时和式中既有 z 的正幂 项，又有 z 的负幂项。ROC 不包括 z=0 和 z 。 b.当 N1 0 时，和式中只有 z 的负幂项， ROC 不包括 z＝0，包括 z 。 c.当 N 0 时，和式中只有 z 的正幂项， ROC 不包括 z ，包括 z＝0。
H (e )
j
n
jwn h ( n ) e

j z re 本章讨论更一般的情况 ，则成为双
边 z 变换。它与连续时间下的拉氏变换对 应。
2
4.1 双边 z 变换： 一、 定义：
X ( z)
n
X (e j )
n
jn x ( n ) e

n x ( n ) z Z re j 是一个复数
二．z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。
X ( z ) X (re )
j n n j n n x ( n ) r e F [ x ( n ) r ]
z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围 更广，收敛性更强。
圆内为收敛域， 若 n2 0 则不包括z=0点
10
例3：
1 n 1 1 X ( z) z z n 3 n 0 3 8 z z 8 1 3 z 1 1 1 1 1 z 3 z ( z 3)(z 3 ) 3 (1 3z )(1 3 z ) 3
第四章、Z变换
本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 Z变换的Z域分析 离散系统的系统函数 离散系统的频率响应
1
在前面，已讨论过复指数信号是一切 LTI 系统的特征函数 n n H ( z ) h( n) Z z h(n) H ( z) z
n n
j z e 当 时，即成为离散时间付氏变换
x ( n) z
x ( n) z n
n 0

j Im[z]
圆内收敛
Rx2
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx1
Rx1
Re[z ]
有环状收敛域
Rx2
21
4．3
z 变换的性质
z 变换的许多性质与拉氏变换的相应性质很类似。 （DTFT 的性
质很相似） 。证明方法也雷同。只关注 ROC 的变化，通过 z 变换性质 的讨论，旨在提示信号在时域与在 z 域之间的关系。 1、 线性：
如果 x(n) 是有限长序列，长度为 N，则其 Z 变换为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0 N 1
kn X ( z ) z W k x(n)WN x ( n )e
N
N 1 n 0
N 1 n 0
j
2 kn N
对 x(n) 作 N 点 DFT 有
1 1 1 1 z 1 1 1 z 1 3 2
1 1 z 3 2
1 1 x ( n) ( ) n u ( n) ( ) n u ( n 1) 2 3 1 1 X ( z) 1 1 z 1 1 1 z 1 3 2
（
z
1 3
，z
1 2
Re[z ]
如果 n2>0 ，则 x （ z ）的 和式中有限个z的负次幂 ，和无数个z的正幂项故 ROC不包括Z=0
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6。双边序列：z变换如果存在 ，ROC一定是一个 环形收敛域。
X ( z)
X ( z)
n 1
n x ( n ) z

n
n
n
n m
1 1 X ( z) z n 2
1
1 (2) x(n) u(n 1) 2 n m

n
左边序列
1 Z 2
j Im[z]
Rx2
0
1 2
Re[z ]
1 z Rx2 收敛半径 2 n2 1 0 包括Z 0