第四章Z变换
第四章 Z变换(离散信号与系统).
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X (z)
A0
r j 1
Bjz (z Z1) j
N
Ai z
z ir1 Zi
含有r 个重极点 N- r个单极点
Bj
1 d rj
(r
j
)!
dz
r
j
(z Z1)r
X (z)
z
zZ1
见P119 续表 4.1-1（21）
x(n)
A0 (n)
r j 1
Bj
(n
j
n! 1)!(
j
当 N1<0,N2>0 时：去除 z= ∞， z=0
Re[z] N1>0,N2<0 不可能出现此情况
收敛域为整个Z平面除去 0 (N1>0,N2>0) 和 ∞ (当N1<0时,N2<0或N2>0) 。
2020年7月23日星期四
东华理工学院 电子工程与自动化系
5
（2）右边序列:只在 n≥ N1区间内，有非零有限值的序列
b0 a0
右边
N
序列
若( z R)查表得：x(n) A0 (n) AiZinu(n)
i 1
左边
序列
N
若( z R)查表得：x(n) A0 (n) AiZinu(n 1)
i 1
N
Z变换 : X (z)
Ai z ，收敛域不同对应的序 列不同!
i1 z Zi
2020年7月23日星期四
东华理工学院 电子工程与自动化系
东华理工学院 电子工程与自动化系
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（4）ZT[u(n)]
n0
z n
1
1 z
1
z z 1
( z 1)
Z变换理论
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
Z变换详解
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义(1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n n z n x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n n z n x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n n B B z n x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC(1) 定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
(2)∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n n z n x )((3) 判别其收敛性的方法：(对∑∞=0n na )(i)比值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=+∞→不一定发散收敛,1,1,1lim 1n n n a a(ii)根值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=→∞不一定发散收敛,1,1,1limnnn a (4) 有限长序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
(ii) 收敛域至少是∞<<z 0。
(iii)序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： (a) 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外) (b) 当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) (c) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(0=z 除外)(4) 右边序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
数字信号处理第四章8 线性调频 z变换(CZT)算法
求其L点FFT:
H (r ) FFT [h(n)] h(n)e
n 0 L 1
(L/2*log2L)
j 2 rn L
0 r L 1
2019/3/30
数字信号处理
4）求乘积
Q(r ) H (r ) G (r )
(L) (L/2*log2L)
5）求L点IFFT的 q (k)
h ( n ) : ( N 1) ~ ( M 1) N M 1点
g (n ) : 0 ~ N 1
h(n ) * g (n) : 2 N M 2
X ( zk ) k 0 ~ M 1
m L N M 1 且 L 2 2019/3/30 数字信号处理
2 j rn 1 L1 q(k ) IFFT [Q(r )] H (r )G (r )e L L n 0
取 q(k ) q(k ) RM (k )
6）求得抽样点的z变换:
X ( zk ) W q ( k )
k2 2
(M)
0 k M 1
总运算量:
2019/3/30
3 mF L log 2 L 5N L M 2
2019/3/30 数字信号处理
n2 2
W
( k n )2 2
X zk W x (n ) A nW n 0
k 2 N 1 2
n2 2
W
( k n )2 2
令 g ( n ) x ( n ) A nW
n2 2
h( n) W
n2 2
n 0,1,..., N 1
k2 2
则 X ( zk ) W
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
Z变换ppt课件
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
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2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
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反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
第四章_Z变换..
离散信号x ( n ) 的双边Z变换 离散信号x ( n ) 的单边Z变换
4.1 Z变换
• 二、Z变换的收敛域
1.定义：
X ( z )存在
n
| x ( n) z
n
|
满足此条件的z值集合， 称为Z变换 X ( z )的收敛域。 2.收敛域的几种情况： 1）x(n)是有限长序列 2）x(n)是右边序列 3）x(n)是左边序列 4）x(n)双边序列
建议：手工计算时，不需要记公式，根据同类项系数 平衡的原则来计算每个展开项的系数
4.2 Z反变换
2．幂级数展开法(长除法)
单边Z变换：
0 1 2 X (z ) x (n )z n x(0) z x(1) z x( 2) z
n 0
已知X(z)一般是一个有理分式的形式， 直接用长除将X(z)变成一个(z-1)的幂级数
a y ( n i ) b x(n j )
i 0 i j 0 j
N
M
4.5 离散系统的时域分析与系统函数
• 离散系统的图形描述
4.5 离散系统的时域分析与系统函数
• 例：列出系统差分方程
4.5 离散系统的时域分析与系统函数
• 差分方程的经典解法（齐次解 + 特解）
y(n) yc (n) B(n)
4 4
x ( n 2)u( n)
1O 1
n
1O 1
m
n
1O 1
n
m 1 左移：Z x( n m )u( n) z X ( z ) x( k ) z k k 0 1 m k 右移：Z x( n m )u( n) z X ( z ) x( k ) z k m
第四章Z变换解析
位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就
是 DFT 与频域抽样的关系。
6
4.2 Z变换的收敛域
X
(z)
x(n) z n
n
x(2) z 2
x(1) z
x(0)
x(1) z
x(2) z2
由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。
xp (t) xa (nT ) (t nT ) n
x(n) xa (nT )
p(t) (t nT ) n
4
对 xp (t) 作拉氏变换有： 对 x（n）作 z 变换有：
X p (s) xa (nT )esnT n
X (z) xa (nT )zn n
X (z) ZeST X p (s)
z z3
z
z
1
(z
8 3
z
3)(z
1 3
)
8 3
1 (1 3z1)(1
1 3
z 1)
3
j Im[z]
1 z 3 3
o
Re[ z ]
11
例四、
x(n)
(
1 3
)n
u
(n)
(
1 2
)
n
u
(
n
1)
X (Z ) (1)n z n 1 (1 )n z n
n0 3
n 2
11
1
1 3
z 1
1
1 2
0 r 1.....右半面 单位圆外
0 0...S实轴 正实轴
T
....... 负实轴
5
四。z 变换与 DFT 的关系：
数字信号处理讲义--第4章z变换
数字信号处理讲义--第4章z变换第4章 z 变换[教学⽬的]1．了解Z 变换的概念，能求常⽤函数的Z 变换，能确定Z 变换的收敛域。
2．掌握各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换。
[教学重点与难点] 重点：1．Z 变换的概念，常⽤函数的Z 变换求解，Z 变换的收敛域； 2．各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换；难点：本章主要内容基本在信号与系统中学过，基本⽆难点，但如学⽣基础较差，还是要从以上三个重点内容去复习。
8．了解离散时间随机信号的概念。
[教学重点与难点] 重点：1．掌握线性时不变系统的概念与性质； 2．离散时间信号与系统的频域表⽰；难点：离散信号系统的性质如线性性，时不变性，因果性，稳定性的判定是本章的⼀个难点。
4.1 Z 变换（1） Z 变换的定义⼀个离散序列x (n )的Z 变换定义为式中，z 是⼀个复变量，它所在的复平⾯称为Z 平⾯。
我们常⽤Z ［x (n )］表⽰对序列x (n )进⾏Z 变换，也即这种变换也称为双边Z 变换，与此相应的单边Z 变换的定义如下：∑∞-∞=-=n nz n x z X )()()()]([z X n x Z =∑∞=-=0)()(n nz n x z X这种单边Z 变换的求和限是从零到⽆穷，因此对于因果序列，⽤两种Z 变换定义计算出的结果是⼀样的。
单边Z 变换只有在少数⼏种情况下与双边Z 变换有所区别。
⽐如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z 变换相同。
本书中如不另外说明，均⽤双边Ｚ变换对信号进⾏分析和变换。
（2）Z 变换与傅⽴叶变换的关系:单位圆上的Z 变换是和模拟信号的频谱相联系的，因⽽常称单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，也称为数字序列的频谱。
数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归⼀化。
单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，根据式（1-54）Z 变换的定义，⽤ej ω代替z ，从⽽就可以得到序列傅⾥叶变换的定义为可得其反变换:（3）Z 变换存在的条件: 正变换与反变换:存在的⼀个充分条件是:∑∞-∞==Ω=??-=Ω==k a Taj e z T k j X T j X e X z X j πωωωω21)(?)()(/nj n j en x e X n x F ωω-∞-∞=∑==)()()]([ωππωππωωd e eX dz z z X j e X F n x n j j n z j ??--=-===)(21)(21)]([)(11||1∑∞-∞=-==n nj j en x e X n x F ωω)()()]([ωπωωππωd e e X n x e X F n j j j )(21)()]([1?--==即:绝对可加性是傅⾥叶变换表⽰存在的⼀个充分条件。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
Z变换知识点
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义(1) 序列)(n x 的ZT ： []∑∞=-==0)()()(n nzn x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n nzn x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n nB B zn x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC(1) 定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
(2)∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n nzn x )((3) 判别其收敛性的方法：(对∑∞=0n n a )(i) 比值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=+∞→不一定发散收敛,1,1,1lim1nn n a a(ii) 根值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=→∞不一定发散收敛,1,1,1limnnn a(4) 有限长序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
(ii) 收敛域至少是∞<<z 0。
(iii)序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： (a) 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外) (b) 当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) (c) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(0=z 除外)(4) 右边序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
Z变换 PPT课件
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
x(n n1) 0
n n1
Z
比值值判 x(n 1)z (n1) x(n) z n
1
左边序列
某圆内 0? Z Rx2
X (z)
n2
x(n)z n
x(n n2) 0
Z
n
根值值判Z
1
lim n
n
x(n) R3x2
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
az 1
a2 z 2
...
a n
z
...
1 z 1 (a z) z a
a 1 or ROC : z a
z
X2(z)
x2 (n)zn
n
1
(a
n
)z
n
n
(a1z)m
m1
n0
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
Z变换
数字信号处理第四章Z变换授课教师：胡双红QQ:79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院教学内容Z变换意义Z变换定义Z变换性质Z反变换Z域系统描述差分方程Z变换意义总结DTFT：)便于计算正弦稳态响应；＋利用H(e jw)乘以H(e jw)，可计算LTI系统对绝对可加序列x(n)的响应＋将X (e jw－有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在－系统由初始条件或者变化输入引起的暂态响应不能应用DTFT计算针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。
其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析；其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。
§4.1 双边Z变换定义要点Z变换计算ROC性质定义：要点①复频率z=|z|e jw ，其中|z|为幅度，w 是实频率。
②ROC 是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。
③如果R x+< R x-，则ROC 是一个零空间，z 变换不存在。
④函数|z|=1(即z=e jw )是z 平面内的单位圆，如果ROC 包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(e jw )也称为z 变换X(z)的特例. ⑤ROC 是一个鉴别特征，保证z 变换的唯一性。
()[]n x e n x e X z X n jw jw e z jw Ζ===∑∞−∞=−=)()(|)(例1变换求小结：ROC性质ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定ROC是一个连通的区域，不会分成几片。
ROC内不包含极点；至少有一个极点位于ROC的边界上;右序列(n>n0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外；左序列(n<n0)的ROC总是位于半径为Rx+的圆内；双边序列的ROC总是一个位于Rx-<|z|< Rx+的圆环。
有限长序列(n2<n<n1)的ROC是整个z平面；若n1<0 ，ROC 不包括z=∞，若n2>0，ROC 不包括z=0；§4.2 z变换的性质性质常见信号Z变换利用conv_m计算表达式乘积 复杂信号z变换简单计算复共轭1 zz ∀变换3⎦⎣解：应用样本移位性质，ROC不变matlab确认>> b=[0,0,0,0.25,-0.5,0.0625];>>a=[1,-1,0.75,-0.25,0.0625];>> [delta,n]=impseq(0,0,8);x =1 0 0 0 0 0 0 0 0>> x=filter(b,a,delta)x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938 >>x=[(n-2).*(0.5).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2,0,8) x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
现代信号处理Z变换1.
• 单边正余弦序列 • 时域卷积定理 • Z域卷积定理 • 帕斯瓦尔定理
单位冲击序列
单位阶跃序列
矩形脉冲序列
单位斜变序列
单边指数序列
单边正、余弦序列
利用单边指数序列的ZT，分别取a e j0和a e ， j0 可以得到
Z[e j0nu(n)]
z z e j0
(|
z
|| e j0
| 1)
Z[e j0nu(n)]
z z e j0
(| z
|| e j0
| 1)
再由欧拉公式即可得到：
Z[c osn0u(n) ]
z[12
(e j0n
e j0n)u(n)]
1 2
[ z
z e j0
z
z e
] j0
Z[cosn0u(n)]
同理：
z2
z(z cos0) 2z cos0
1
(
|
z
| 1)
第四章 Z变换
Z变换是研究离散时间信号和系统理论的一 种重要的数学工具
它把离散系统的数学模型——差分方程转 化为简单的代数方程，使其求解过程得以 简化。
0 (t)dt E
E,t0 (t) 0, (t t0 )
E,t0 (t) E(t t0 )
(E)
0
和 处的收敛情况：
n1 0,n2 0
n1 0,n2 0
n1 0,n2 0
0 z 0 z 0 z
右边序列的ROC
Rx1 limn | x(n) | n
Rx2
limn
1 | x(n)
|
n
左边序列的ROC
双边序列的ROC
否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
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H (e )
j
n
jwn h ( n ) e
j z re 本章讨论更一般的情况 ，则成为双
边 z 变换。它与连续时间下的拉氏变换对 应。
2
4.1 双边 z 变换： 一、 定义：
X ( z)
n
X (e j )
n
jn x ( n ) e
n m
1 1 X ( z) z n 2
1
1 (2) x(n) u(n 1) 2 n m
n
左边序列
1 Z 2
j Im[z]
Rx2
0
1 2
Re[z ]
1 z Rx2 收敛半径 2 n2 1 0 包括Z 0
n 0
n
1 1 z 1
z 1
表明 z 变换比
DTFT 的适用范围广。
1 X (e ) ( 2k ) j 1 e k j
例六、 x ( n ) ( n ) X ( z ) 1 ROC 为整个 z 平面。
当 x （ z ） 的 收 敛 域 ROC 包 括 单 位 圆 时
x ( n) z
x ( n) z n
n 0
j Im[z]
圆内收敛
Rx2
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx1
Rx1
Re[z ]
有环状收敛域
Rx2
21
4．3
z 变换的性质
z 变换的许多性质与拉氏变换的相应性质很类似。 （DTFT 的性
质很相似） 。证明方法也雷同。只关注 ROC 的变化，通过 z 变换性质 的讨论，旨在提示信号在时域与在 z 域之间的关系。 1、 线性：
如果在零极点图上标出 ROC，这就是 x（z）的几何表示， 除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换是等价的。
14
例：
1 (3) x(n) [u(n) u(n 8)] 3
8 n
n
有限长序列
8 1 1 8 1 8 ( z ) 1 z ( 1 1 3 3) X ( z) z 1 7 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
第四章、Z变换
本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 Z变换的Z域分析 离散系统的系统函数 离散系统的频率响应
1
在前面，已讨论过复指数信号是一切 LTI 系统的特征函数 n n H ( z ) h( n) Z z h(n) H ( z) z
n n
j z e 当 时，即成为离散时间付氏变换
6
4.2 Z变换的收敛域
X ( z)
n
x(n) z
n
x(1) x(2) x(2) z x(1) z x(0) 2 z z
2
由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的 z变换都存在，也不是任何复数 z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合，称为该z变换的ROC.
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了 0
的整个
z e
1 3
j 2K 8
z 平面
j Im[z]
8个零点 7阶极点 一阶极点
15
z0 z
1 3
Re[z ]
三。ROC 的特征 由例子可以看出，ROC 是由 x（z）的极点位置决 定的，ROC 有如下几点特征。 1．ROC 是 z 平面上的以原点为中心的环形区域。 n Z [ x ( n )] F [ x ( n ) r ] ，对给定的 x（n） 由于 ，z 变换 收敛与否取决于 r，而与 无关系， z r 是 z 平 面上的以原点为中心，r 为半径的圆，所以 ROC 是同心圆环域。 2。ROC 内无极点。
Re[z ]
如果 n2>0 ，则 x （ z ）的 和式中有限个z的负次幂 ，和无数个z的正幂项故 ROC不包括Z=0
20
6。双边序列：z变换如果存在 ，ROC一定是一个 环形收敛域。
X ( z)
X ( z)
n 1
n x ( n ) z
n
n
n
n x ( n ) z Z re j 是一个复数
二．z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。
X ( z ) X (re )
j n n j n n x ( n ) r e F [ x ( n ) r ]
z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围 更广，收敛性更强。
2
2
18
4。右边序列：ROC是最外部极点的外部，但可能不包括Z=
X ( z ) x(n) z n
n n1
n1 n
圆外为 收敛域
如果 n1>0 ，则 x （ z ）的 和式中只有z的负幂项， 故ROC包括 Z
j Im[z]
Rx1
Re[z ]
如果 n1<0 ，则 x （ z ）的 和式中有限个z的正次幂 ，和无数个z的负幂项故 ROC不包括 Z
n
n
右边序列
1 z 1 1 X ( z) z 1 1 z 1 z 1 n 0 2 2 2
j Im[z]
1 z 2
1 Rx1 2
1 Rx1 2
1 z 2
1
Re[z ]
2
9
例2：
1 1 z m 1 2 1 z 1 m 1 (2 z ) 1 1 1 1 1 1 2 z 1 m 0 2 z z 2
kn X (k ) x(n)WN n 0
N 1
X ( k ) X ( z ) z W k e j 2N k
N
这表明有限长序列的 DFT 就是该序列的 z 变换在单位圆
2 上以 N
等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的 z 变换就是 DTFT 也即是 x（ n）的频谱。对 z 变换在单 位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就 是 DFT 与频域抽样的关系。
z re
j
0 r 1......j轴 单位圆 0 r 1.....左半面 单位圆内 0 r 1.....右半面 单位圆外 0 0...S实轴 正实轴
....... 负实轴 T
5
四。z 变换与 DFT 的关系：
如果 x(n) 是有限长序列，长度为 N，则其 Z 变换为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0 N 1
kn X ( z ) z W k x(n)WN x ( n )e
N
N 1 n 0
N 1 n 0
j
2 kn N
对 x(n) 作 N 点 DFT 有
x1 (n) X1 ( z)
R1
x2 (n) X 2 ( z)
R2
ax1 (n) bx2 (n) aX1 (n) bX2 ( z)
ROC 包括 R1 R2
当 x1 (n) 与 x2 (n) 在线性组合过程中出现零极点抵消时，ROC 有可 能扩大。
1 1 1 1 z 1 1 1 z 1 3 2
1 1 z 3 2
1 1 x ( n) ( ) n u ( n) ( ) n u ( n 1) 2 3 1 1 X ( z) 1 1 z 1 1 1 z 1 3 2
（
z
1 3
，z
1 2
z 平面（可能不
j Im[z]
Re[z ]
17
X ( z)
n
x(n) z
x( z )
n
x(1) x(2) x(2) z x(1) z x(0) 2 z z
2
n N1
1
n x ( n ) z
N2
N1 N 2
a.当 N 0 ， N 0 时和式中既有 z 的正幂 项，又有 z 的负幂项。ROC 不包括 z=0 和 z 。 b.当 N1 0 时，和式中只有 z 的负幂项， ROC 不包括 z＝0，包括 z 。 c.当 N 0 时，和式中只有 z 的正幂项， ROC 不包括 z ，包括 z＝0。
）
由于两个的 ROC 无公共域，表明该信号的 z 变换不存在。 以上实例说明，不同的信号可能具有相同或不同的 z 变 换式，只是 ROC 不同，因此 ROC 是至关重要的。只有 z 变 换式连同相应的 ROC，才能与信号建立一一对应的关系。
12
例五、
x(n) u (n)
X ( z) z
j Im[z]
1
1 (4) x(n) 3 n
n
双边序列
n
1 z 3 3
o
Re[z ]
11
1 n 1 n x ( n ) ( ) u ( n ) ( ) u ( n 1) 例四、 3 2 1 n n 1 1 n n X (Z ) ( ) z ( ) z n 0 3 n 2
a
snT
n
x (nT )z
a
n
X ( z ) Z e ST X p ( s)
这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换 之间，本质上是一种映射关系。即通过 z e
X p (s)
sT
将 s 平面的
映射成 z 平面上的 x（z） 。