运筹学基础论文

运筹学基础论文

——单纯形乘子定理

摘要：

对偶理论是线性规划在早期发展中的重要成果之一，是线性规划的重要组成

部分。对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题之间深刻的内在联系。对偶理论充

分显示了线性规划理论逻辑的严谨和结构的对称美；对偶问题的对偶解是进行经

济分析的重要工具。正确理解单纯形乘子定理；最优基B是什么,在单纯形表中

如何找到；Y*=CB﹣¹在单纯形表中的位置；原问题、对偶问题的最优值，在单纯

形表中的确定；理解“对于原问题LP，其对偶问题DP的最优解就是LP最优单

纯形表中松弛变量检验数的相反数。”；CB﹣¹和CB﹣¹b的计算及体现。

关键字：运筹学线性规划单纯形法对偶问题单纯性乘子定理最优值

单纯形表

1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

线性规划的对偶问题

一、对偶问题的提出

生产计划问题：某家具厂生产桌子和椅子，桌子售价50元/个，椅子售价

30元/个。需要木工和油漆工，生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时，生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时120小时，油漆工工时50小时。问：如何组织生产，使得每月销售收入最大？

线性规划模型为（桌、椅数量为变量）：12

121212max 503043120

..250,0

z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

现考虑一个成本最小化的问题：另一厂商，接到上述生产订单后组织生产，其中的劳动力欲向家具厂雇佣，如何才能使得生产成本（工资）最小？

分析： 确定决策变量1y ＝木工的工资，2y ＝油漆工的工资得对偶问题规划

模型： 12121212min 12050 4250

..330 ,0 z y y y y s t y y y y =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩

目标函数—使工资支出最小

约束方程—向外转让的收入至少要大于自己生产的收入工资的非负约束

二、对称形式的对偶问题的矩阵表述：

原问题：既定的资源（成本）b 约束下产量X 最大化 m a x ..z CX

AX b s t X O

=≤⎧⎨

≥⎩ 对偶问题：既定的产量C 约束下资源（成本）b 最小化： m i n ..w b Y

A Y C s t Y O

'=''≥⎧⎨

≥⎩ 三、对偶原理在经济学厂商理论中的应用：

从实物形态研究生产——生产理论；从货币形态研究成本结构——成本理论 在完全竞争市场上，一定成本下产量最大化的投入组合问题

互为对偶问题

一定产量下成本最小化的投入组合问题

1、 一定成本下产量最大化的投入组合问题：

max (,)..

Q f L K s t C wL rK

==+

令

(,)()

Z f L K C wL rK λ=+--，

0Z Q w L L

λ∂∂=-=∂∂，

0Z Q r K K

λ∂∂=-=∂∂ 得：Q Q w r L K ∂∂=∂∂， 即：

L K w r P MP MP == 2、 一定产量下成本最小化的投入组合问题：

min ..(,)

C wL rK s t Q f L K =+=

用拉格朗日乘数法求解：令((,))Z wL rK Q f L K λ''=+--，

0Z Q w L L λ'∂∂'=-=∂∂， Z Q r K K λ'∂∂'=-∂∂,

(,)0Z Q f L K λ∂=-='

∂ 得：

Q

Q

w r L

K

∂∂=∂∂，即：

L K w r P MP MP == 四、如何将原问题转化为对偶问题 （一）约束条件为标准形式（见前例）

目标函数的最大值max ←→ 目标函数的最小值min 目标函数的价值系数C ←→ 约束方程右端的资源量C ’ 约束系数矩阵A ←→ 约束系数矩阵A ’

原问题的n 个变量（≥0）←→ 对偶问题的n 个约束方程 约束条件“AX ≤B ”←→ 对偶问题的约束条件“A ！Y ≥C ” （二）约束条件为非标准形式

将下列线性规划问题转化为对偶问题

123

123

12323123min 7434262436415

..53300,0

z x x x

x x x x x x s t x x x x x =+--+-≤⎧⎪---≥⎪⎨

+=⎪

⎪≤≥⎩取值无约束， 1、先化为标准形式，再根据标准形式进行转化：

令11x x '=-，22

2x x x '''=-； 并将等式约束

235330x x +=化为两个不等式约束235330x x +≤和

235330x x +≥；

对于min 问题，统一约束不等式为“≥”，得：

12231

22312232232231223m i n 7443422624366415

..5533055330,,0z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ''''=-+--''''--++≥-⎧⎪''''-+-≥⎪

⎪'''-+≥⎨

⎪'''-+-≥-⎪

''''≥⎪⎩

， → 1234

12123412341

234

1234max 2415303043726554

..2655464333

,,0w y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y y y =-++--+≤-⎧

⎪--+-≤⎪⎪

+-+≤-⎨⎪-+-≤-⎪≥⎪⎩

，y

2、将多余的量还原：第一个约束方程的右边还项原为正数，令

1

1y y '=-，3

34y y y '=-，并将第三、第四约束方程合并为等式约束，得： 1

23121231

231

23max 2415304372654..64330,0w y y y y y y y y s t y y y y y ''=++'--≥⎧

⎪''-+=⎪⎨

''--+≤-⎪⎪''≤≥⎩取值无约束，y 结论：对于非标准约束的原问题和对偶问题，可得出约束条件和变量如下的对应逻辑关系：

五、原问题化为对偶问题的2种求解思路：

（一）根据表格中约束条件和变量对应的逻辑关系，直接转换为对偶问题； ——注意，对于min 原问题，应该从表格右列向左列转化（变量转为约束时，不等号相反）；对于max 原问题，应该从表格左列向右列转化（变量转为约束时，不等号不变）

（二）将约束条件和变量转化为标准形式后，转换过去，具体步骤稍微繁琐，但可靠性高——对于原问题为min ，其约束条件统一化为“C Y

A ≥'”，

含义：资源的转让收入AY 要大于产品的市场价格C 。对于原问题max ，其约束

max min ≥ ≥ 变量 ≤ 约束 ≤ 无约束 ＝ ≥ ≤ 约束 ≤ 变量 ≥ ＝

无约束