二维边坡稳定性分析的通用极限平衡法
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中点 ；
Ｇ Ｅ法根 据 静 力平 衡 和 力 矩 平 衡 分 别 建 立 了条 Ｌ 间力 的递推公 式 和条 间力 作 用 点 位 置 的递 推 公 式 ， 结 合 相应 的边 界条件 ， 于 Ｒ ｐｄＳｌ ｒ 基 ａｉ ｏｖ 法进 行求 解 。该 ｅ
法 仍需 人工 分条 ， 解速 度与 精度较 低 。 求 陈祖 煜 的通 用 条 分 法 改 进 了 Ｍｏｇｎｔ ｎ—Ｐｉ ｒｅ ｓ ｒ ｅ ｒｅ ｃ
ｄ （ — ）ｉｓ一（肼－ ）ＯＳ］ ｄ ｚ ｚ）＋ ｄＥ— Ｎ［ ｚｓ ｎ － ＣＳ ＋ Ｑ（肼一 ０ Ｅ ｚ Ｘ
ｄ ）＋ ｄ Ｅ（Ｍ— Ｅ Ｘ ｘ—ｄ ）＝ Ｘ（ 肘一 ０ （） ４
１ 基本 方 程
从 滑动 体 中取 出 任 一 微 分 土 条 ， 条 宽 度 为 ， 土 作 用在该 微分 土条 上 的诸 力 如 图 １ 示 。假设 坡面 线 所
展， 人们 开始研 究各种 极 限平衡 方法 的数 值 算法 ， 并在 此 基 础 上 研 究 边 坡 稳 定 分 析 的 通 用 极 限 平 衡
衡法 限于手 工计算 ， 都采 用条分 法作 为计算 方法 ， 大 即
收 稿 日期 ：０ １—１ ２１ ０—１ ２ 作 者 简 介 ： 雄 ，１８ 曹 ９ ０年 出生 ， ， 程 师 。 男 工
ｓｃｉ ｎ ｈ ｏｉｏ ｆｔ ａｔ ｎｓｏ ｔ ｍ ｅ ｔｅａｔａ ｄ ｍａｄｏ ｅｐｏｅｔ ｒ ｈ ｑ ａｉ ｓ ｂｉ ｅ ｉ ｅｔ ｎａ ｄｔｅｐ ｓｉ ｏ ｓ ｃｉ ｔｏ ｅｔｈ ｃ ｌ ｅ ｎ ｆｈ ｒｊ ．Ｆｏ ｔｅｅｕ ｔ ｎｅｔ ｌ ｈｄｗ ｔ ｏ ｔ ｎ ｉ ｏ ｐ ｕ ｔ ｃ ｍ ｏ ａ ｓ ｈ
用 极 限平衡 法 。该 法 分 别建 立 了基 于静 力 平 衡 、 平 对 面 内任一点 的力矩 平 衡 的稳定 系数 的数值 积 分 公 式 ， 以及任 意横ຫໍສະໝຸດ Baidu断 面处 的 下滑力 及其作 用点 位置 的计算 公 式 ， 且从 基本方 程 出发 ， 导 出各 种 常用 的极 限平 衡 并 推 法 ， 而将其 纳入 到本 文 的通 用法 中 。算 例分 析表 明 ， 从
ＣＡＯ ｏｎ Ｘｉ ｇ
（ ｈ ｉ ｔ ｕｖｙａｄＤ ｓ ｎＩｓｔｔ ｏ Ｃ ｉａＲ ｉ ａ ，Ｓ ａｘ Ｘ ｎ７ ０ ４ ，ｈｎ ） Ｔ ｅＦｒ ｒｅ ｎ ｅｉ ｎｔｕｅ ｆ ｈｎ ａ ｗ ｙ ｈｎ ｉ， ｉ １０ ３ Ｃ ｉａ ｓＳ ｇ ｉ ｌ ａ
Ａｂｓｒ ｃ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｐｕ ｐｏ ｅ ｔ ａ ｔ： ｓ ａ ｃ ｒ ｓ ｓ：Ａ ｗ ｅ ｅ ａ ｉ ｔｅ ｕ ｌｂ ｕ ｍｅｈ ｄ ａ ａ ｌｂ ｅ ｆ ｒａ ｂ ｔａ ｙ ｓｉ ｉ ｇ ｆｃ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｎｅ ｇ ｎ ｒ ｌｌｍｉ ｑ ｉｉ ｒ ｍ ｔ ｏ ｖ ｉａ ｌ ｏ ｒ ｉｒｒ ｌｄ ｎ ａ ｅ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ． ｉ Ｔｈ ｎ ｍｅ ｃ ｌ ｎ ｅ ｒ ｌ ｏ ｍｕｌｓ ｒ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ ｅ ｐ ｃｉ ｅｙ ａ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔｔ ａ ｅ ｕ ｌ ｉｕ ｅ ｕ ｒ ａ ｉ ｔ ｇａ ｆ ｒ ｉ ａ ａ ｅ ｓａ ｌｓ ｅ ｒ ｓ ｅ ｔｖ ｌ ｂ ｓ ｄ ｎ ｈ ｓａ ｉ ｌ ｑ ｉｉ ｃ ｂｒ ｍ ａ ｄ ｈ ｍｏ ｎ ｎ ｔｅ ｍｅ ｔ ｅ ｕ ｌ ｒｕ ｓａ ｉｉ ａ ｔｒ Ａｌｏ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｆ ｒ ｌ ｓ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ ｆｒｔ ｅ ｄ ｗｎ— ｓｉ ｉ ｏ ｃ ｎ ｔ ｅ ａ ｙ ｈ ｒｚ ｎ ａ ｑ ｉ ｂ ｍ ｔｂ ｌ ｙ ｆ ｃｏ ． ｓ ｈ ｏ ｕ ａ ｉ ｏ ｍｕ ａｉ ｓａ ｌｓ ｅ ｈ ｏ ｉｉ ｔ ｏ ｏ — ｌｄｎｇｆ ｒ ｅ ｉ ｈ ｎ ｏ ｏ ｔ ｌ ｉ
２ ２年 ０１ 第 ６期 （ ６月 总 １５ ６）
。 。
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Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｌ 工 程Ｇ Ｎ Ｅ 报 Ｏ ＩＴ Ｏ Ｒ Ａ 铁Ｒ 道 ＷＡ Ｅ Ｉ。 Ｒ Ｎ Ｓ ＣＥ Ｙ Ｆ Ｉ Ｙ 。 学 …Ｇ Ｎ Ｅ Ｉ
Ｊｎ ０ ２ ｕ ２ １
Ｎ ． （ ｅ． ６ ） Ｏ ６ Ｓｒ１５
ｉｅ ｚ ｎ ｌｙ ａ ｄ ｉ ａ ｏｄ ｈ ｅ ｉｕ ｒ ｆｉｅ ｚ ｄ ｃ ｃ ｌ ｔ ｎ ａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｓｔ ｅ ｃ ｍｐ ａ ｉｎ ａ ｃ ｒ ｃ ．Ｂｙ ｕ ｉ ｇ ｔｍｉｅｍａ ｕａｌ ｎ ｔ ｖ ｉｓｔ ｅ ｔ ｄ ｏ ｓｗｏ ｋ ｏ ｍｉｅ ａ ｕ ａ ｉ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｏ ｕｔｔｏ ｃ ｕ ａ ｙ ｔ ｌ ｏ ｓｎ
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高了计算精度 ；２ 采用一维迭代方法进行求解 ， （） 求解 过程简单 ， 于程序 编写 ；３ 算例分 析表 明 ， 便 （） 本法具 有
较 高 的 计 算 精 度 和 实 用 价值 。 关 键 词 ： 坡 ； 定 性 ； 用 极 限平 衡 法 边 稳 通 中 图分 类 号 ： ４ ６ Ｕ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
（ ）土 条侧 面作用 力满 足关 系式 ： ３
Ｘ＝ Ｅ ） （） １
式中
Ａ —— 一待 定常数 ；
） — 某一 已知 函数 。 —
（ ）水平 地震 力 ｄ ４ Ｑ＝＇ ， ７ 其作 用 点位 置 函数 为 ｄ ＝ Ｑ ）作 用 点到滑 动面 的距 离为 ｈ ， ｈ ＝ ｚ （ ｚ（ ， 。有 。 Ｑ ）
方 程 为 ｚ ｚ（ ， 动 面方 程 为 ｚ （ ， 力 线 位 置 ＝ｔ ） 滑 ＝ ） 推 方 程 为 ｚ ｚ （ ， 下水头 线方 程为 ｚ＝ ） ＝Ｆ ） 地 ｚ （ 。Ｍ（ ， ｚ 为滑动 面 圆弧 圆心 。 ）
稳 定系数 定 义 ：
Ｆ＝ｄ Ｔ＝ （） ５
一
法 ， 据微 条 上 的力 和 力 矩 平 衡 ， 合 相 应 的 边 界 条 根 结 件 ， 导 出静 力微 分方程 的闭合解 ， 目前较 为完备 的 推 是
通 用条 分法 。但是 ， 法 采用 基 于变 分 原理 基 础 上 的 该
（ 。 ）
通 过分析 微条 的受 力 ， 建立 本 文 通 用法 的基 本 方
ｔ ｉ ｔ ｏ ｈ ｓｍｅｈ ｄ，ｔ ｅ ｖ ｒｏ ｓ ｃ ｍｍｏ ｌ ｈ ａ ｕ ｏ ｉ ｎ ｙ—ｕ ｅ ｉ ｔｅ ｕｉ ｂ ｉｍ ｔ ｏ ｓｃ ｎ ｂｅ ｄ ｄ ｃ ｄ ｓ ｄ ｌ ｑ ｌ ｒｕ ｍｅｈ ｄ ａ ｅ ｕ ｅ ． ｍｉ ｉ
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第 ６期
曹
雄： 二维边坡稳定性分析的通用极限平衡 法
２ ９
法 ］试 图将 所 有 的条 分 法 纳 入 到 统一 体 系 中 。代 ，
表 性 的成 果有 普遍 极 限平 衡 法 （ Ｌ Ｇ Ｅ法 ） 。 。和陈 祖 煜 的通用条 分 法¨ 。
准则 ；
（ ）土条 底部 法 向力 ｄ 的作用 点 处 于 土条 底 部 ２ Ｎ
简化 假定 ， 而使 问 题 变得 静 定 可解 。早 期 的极 限平 从
是繁琐的， 并且人工分条对计算结果的精度也是有一 定影 响 的 。分 条宽度 大 ， 计算 结果误 差 大 ； 条 宽度 则 分 小， 计算结果误差小 ， 但计算工作量加大。 近二 十多 年来 ， 着计 算 机 和 数 值分 析 技 术 的发 随
本 法 的计算 结果是 可靠 的 。
铅 垂方 向力 的平 衡方 程 ：Ｎｅｓ ｄ ｏａ—ｄ ｓ ｓ—ｄ ＋ Ｔｉ ｎ Ｗ
ｄ ０ Ｘ＝ （） ３
对 平 面内任一 点 Ｍ（ ， 的力 矩平衡 方程 ： ｘ ｚ）
ｄ ｘ ）一ｄ ［ 一 ｓ ｓ＋（Ｍ一 ＣＳ ］＋ Ｗ（Ｍ一 Ｔ （ ）ｉ ｎ ）ＯＳ
文章 编号 ：０ ６— １６ ２ １ ）６— ０ ８— ５ １０ ２ ０ （ ０ ２ ０ ０ ２ ０
二 维 边 坡 稳 定 性 分 析 的 通 用 极 限 平 衡 法
曹 雄 料
（ 中铁 第一勘察 设计 院集 团有 限公 司 ， 西安 ７ ０４ １０３）
摘要 ： 研究 目的 ： 出一种适用于任意形状 滑动面的通用极 限平衡法 ， 提 分别建立 基于静力平衡 和对平 面内任一
将滑 体划分 成若 干 土条 ， 立 作 用 在 这些 土 条 上 的静 建
力平 衡方 程来 求解稳 定 系数 。但是条 分 法 的计 算 过程
分 析土体 在 破坏那 一 刻 的静 力 平 衡 来求 得 问题 的解 。 它 没有像 传 统 的弹 、 塑性 力学 那样 ， 引入 应力 一应变 关 系 ¨ 来求 解本 质上 为静 不 定 的 问题 ， 是 引入 了一 些 而
２ 稳 定 性 计 算模 型
先 建立基 于力 的平 衡方程 的稳 定 系数 公式 ：
Ａ ｗ ｎ ｒ ｌＬｉ ｉ ｕ ｌ ｒ ｕ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ Ａｎ ｌ ｓｓｏ ・ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ｌ ｐ Ｎｅ Ｇｅ ｅ ａ ｍ ｔＥｑ ｉ ｂ ｉ ｍ Ｍ ｔ ｏ ｏ ａ ｙ ｉ ｆ — ｉ ｎ ｉ ｎ Ｓ ｏ ｅ ｉ ２ —
Ｓ ａ ｉｉｙ ｔｂ ｌ ｔ
Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｓｏ ｅ；ｔ ｂ ｌ ｙ； ｅ ｅ ａ ｉ ｔｅ ｕ ｌｂ ｕ ｍｅｈ ｄ ｌｐ ｓａ ｉ ｔ ｇ ｎ ｒ ｌｌｍｉ ｑ ｉｉ ｒ ｍ ｔ ｏ ｉ ｉ
边 坡 稳定 分析 是 土力 学 中一 个 经典 的领 域 ， 而极 限平衡 法则 是边坡 稳 定 分析 方 法 中应用 最 早 、 广 泛 最 的方法 。该 法 以 Ｍ ｈ —Ｃ ｌｍ ｏ ｒ ｏｕ ｂ强 度理论 为基 础 ， 过 通
点 的力矩平衡稳定系数的数值积分公 式 ， 同时根据工程实践要求 ， 建立 任意横断面处 的下滑力及其作 用点位
置的计算公式 ， 并从本法 的基本方程 出发 ， 推导 出各种常用 的极 限平衡法 。
研究结论 ： １ 通用极 限平衡法采用数值积分形式 ， 需人工 分条 ， （） 无 避免 了传 统分条计 算 的繁琐 工作 ， 提
程 如下 ： 水 平方 向力 的平 衡方 程 ：Ｎｓ ａ—ｄ ｅｓ ｄ ｉ ｎ Ｔ ｏｓ＋ｄ Ｑ—
ｄ ０ Ｅ＝ （） ２
数 值计 算方 法 ， 般工程 技术 人员难 于 理解 ， 一 同时计 算 中需要 用到 根值 附近 的导数 值 ， 程复 杂 。 编
本 文在 前人研 究成 果 的基础上 建立 了一 种新 的通
Ｇ Ｅ法根 据 静 力平 衡 和 力 矩 平 衡 分 别 建 立 了条 Ｌ 间力 的递推公 式 和条 间力 作 用 点 位 置 的递 推 公 式 ， 结 合 相应 的边 界条件 ， 于 Ｒ ｐｄＳｌ ｒ 基 ａｉ ｏｖ 法进 行求 解 。该 ｅ
法 仍需 人工 分条 ， 解速 度与 精度较 低 。 求 陈祖 煜 的通 用 条 分 法 改 进 了 Ｍｏｇｎｔ ｎ—Ｐｉ ｒｅ ｓ ｒ ｅ ｒｅ ｃ
ｄ （ — ）ｉｓ一（肼－ ）ＯＳ］ ｄ ｚ ｚ）＋ ｄＥ— Ｎ［ ｚｓ ｎ － ＣＳ ＋ Ｑ（肼一 ０ Ｅ ｚ Ｘ
ｄ ）＋ ｄ Ｅ（Ｍ— Ｅ Ｘ ｘ—ｄ ）＝ Ｘ（ 肘一 ０ （） ４
１ 基本 方 程
从 滑动 体 中取 出 任 一 微 分 土 条 ， 条 宽 度 为 ， 土 作 用在该 微分 土条 上 的诸 力 如 图 １ 示 。假设 坡面 线 所
展， 人们 开始研 究各种 极 限平衡 方法 的数 值 算法 ， 并在 此 基 础 上 研 究 边 坡 稳 定 分 析 的 通 用 极 限 平 衡
衡法 限于手 工计算 ， 都采 用条分 法作 为计算 方法 ， 大 即
收 稿 日期 ：０ １—１ ２１ ０—１ ２ 作 者 简 介 ： 雄 ，１８ 曹 ９ ０年 出生 ， ， 程 师 。 男 工
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用 极 限平衡 法 。该 法 分 别建 立 了基 于静 力 平 衡 、 平 对 面 内任一点 的力矩 平 衡 的稳定 系数 的数值 积 分 公 式 ， 以及任 意横ຫໍສະໝຸດ Baidu断 面处 的 下滑力 及其作 用点 位置 的计算 公 式 ， 且从 基本方 程 出发 ， 导 出各 种 常用 的极 限平 衡 并 推 法 ， 而将其 纳入 到本 文 的通 用法 中 。算 例分 析表 明 ， 从
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（ ｈ ｉ ｔ ｕｖｙａｄＤ ｓ ｎＩｓｔｔ ｏ Ｃ ｉａＲ ｉ ａ ，Ｓ ａｘ Ｘ ｎ７ ０ ４ ，ｈｎ ） Ｔ ｅＦｒ ｒｅ ｎ ｅｉ ｎｔｕｅ ｆ ｈｎ ａ ｗ ｙ ｈｎ ｉ， ｉ １０ ３ Ｃ ｉａ ｓＳ ｇ ｉ ｌ ａ
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２ ２年 ０１ 第 ６期 （ ６月 总 １５ ６）
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较 高 的 计 算 精 度 和 实 用 价值 。 关 键 词 ： 坡 ； 定 性 ； 用 极 限平 衡 法 边 稳 通 中 图分 类 号 ： ４ ６ Ｕ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
（ ）土 条侧 面作用 力满 足关 系式 ： ３
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式中
Ａ —— 一待 定常数 ；
） — 某一 已知 函数 。 —
（ ）水平 地震 力 ｄ ４ Ｑ＝＇ ， ７ 其作 用 点位 置 函数 为 ｄ ＝ Ｑ ）作 用 点到滑 动面 的距 离为 ｈ ， ｈ ＝ ｚ （ ｚ（ ， 。有 。 Ｑ ）
方 程 为 ｚ ｚ（ ， 动 面方 程 为 ｚ （ ， 力 线 位 置 ＝ｔ ） 滑 ＝ ） 推 方 程 为 ｚ ｚ （ ， 下水头 线方 程为 ｚ＝ ） ＝Ｆ ） 地 ｚ （ 。Ｍ（ ， ｚ 为滑动 面 圆弧 圆心 。 ）
稳 定系数 定 义 ：
Ｆ＝ｄ Ｔ＝ （） ５
一
法 ， 据微 条 上 的力 和 力 矩 平 衡 ， 合 相 应 的 边 界 条 根 结 件 ， 导 出静 力微 分方程 的闭合解 ， 目前较 为完备 的 推 是
通 用条 分法 。但是 ， 法 采用 基 于变 分 原理 基 础 上 的 该
（ 。 ）
通 过分析 微条 的受 力 ， 建立 本 文 通 用法 的基 本 方
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第 ６期
曹
雄： 二维边坡稳定性分析的通用极限平衡 法
２ ９
法 ］试 图将 所 有 的条 分 法 纳 入 到 统一 体 系 中 。代 ，
表 性 的成 果有 普遍 极 限平 衡 法 （ Ｌ Ｇ Ｅ法 ） 。 。和陈 祖 煜 的通用条 分 法¨ 。
准则 ；
（ ）土条 底部 法 向力 ｄ 的作用 点 处 于 土条 底 部 ２ Ｎ
简化 假定 ， 而使 问 题 变得 静 定 可解 。早 期 的极 限平 从
是繁琐的， 并且人工分条对计算结果的精度也是有一 定影 响 的 。分 条宽度 大 ， 计算 结果误 差 大 ； 条 宽度 则 分 小， 计算结果误差小 ， 但计算工作量加大。 近二 十多 年来 ， 着计 算 机 和 数 值分 析 技 术 的发 随
本 法 的计算 结果是 可靠 的 。
铅 垂方 向力 的平 衡方 程 ：Ｎｅｓ ｄ ｏａ—ｄ ｓ ｓ—ｄ ＋ Ｔｉ ｎ Ｗ
ｄ ０ Ｘ＝ （） ３
对 平 面内任一 点 Ｍ（ ， 的力 矩平衡 方程 ： ｘ ｚ）
ｄ ｘ ）一ｄ ［ 一 ｓ ｓ＋（Ｍ一 ＣＳ ］＋ Ｗ（Ｍ一 Ｔ （ ）ｉ ｎ ）ＯＳ
文章 编号 ：０ ６— １６ ２ １ ）６— ０ ８— ５ １０ ２ ０ （ ０ ２ ０ ０ ２ ０
二 维 边 坡 稳 定 性 分 析 的 通 用 极 限 平 衡 法
曹 雄 料
（ 中铁 第一勘察 设计 院集 团有 限公 司 ， 西安 ７ ０４ １０３）
摘要 ： 研究 目的 ： 出一种适用于任意形状 滑动面的通用极 限平衡法 ， 提 分别建立 基于静力平衡 和对平 面内任一
将滑 体划分 成若 干 土条 ， 立 作 用 在 这些 土 条 上 的静 建
力平 衡方 程来 求解稳 定 系数 。但是条 分 法 的计 算 过程
分 析土体 在 破坏那 一 刻 的静 力 平 衡 来求 得 问题 的解 。 它 没有像 传 统 的弹 、 塑性 力学 那样 ， 引入 应力 一应变 关 系 ¨ 来求 解本 质上 为静 不 定 的 问题 ， 是 引入 了一 些 而
２ 稳 定 性 计 算模 型
先 建立基 于力 的平 衡方程 的稳 定 系数 公式 ：
Ａ ｗ ｎ ｒ ｌＬｉ ｉ ｕ ｌ ｒ ｕ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ Ａｎ ｌ ｓｓｏ ・ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ｌ ｐ Ｎｅ Ｇｅ ｅ ａ ｍ ｔＥｑ ｉ ｂ ｉ ｍ Ｍ ｔ ｏ ｏ ａ ｙ ｉ ｆ — ｉ ｎ ｉ ｎ Ｓ ｏ ｅ ｉ ２ —
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Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｓｏ ｅ；ｔ ｂ ｌ ｙ； ｅ ｅ ａ ｉ ｔｅ ｕ ｌｂ ｕ ｍｅｈ ｄ ｌｐ ｓａ ｉ ｔ ｇ ｎ ｒ ｌｌｍｉ ｑ ｉｉ ｒ ｍ ｔ ｏ ｉ ｉ
边 坡 稳定 分析 是 土力 学 中一 个 经典 的领 域 ， 而极 限平衡 法则 是边坡 稳 定 分析 方 法 中应用 最 早 、 广 泛 最 的方法 。该 法 以 Ｍ ｈ —Ｃ ｌｍ ｏ ｒ ｏｕ ｂ强 度理论 为基 础 ， 过 通
点 的力矩平衡稳定系数的数值积分公 式 ， 同时根据工程实践要求 ， 建立 任意横断面处 的下滑力及其作 用点位
置的计算公式 ， 并从本法 的基本方程 出发 ， 推导 出各种常用 的极 限平衡法 。
研究结论 ： １ 通用极 限平衡法采用数值积分形式 ， 需人工 分条 ， （） 无 避免 了传 统分条计 算 的繁琐 工作 ， 提
程 如下 ： 水 平方 向力 的平 衡方 程 ：Ｎｓ ａ—ｄ ｅｓ ｄ ｉ ｎ Ｔ ｏｓ＋ｄ Ｑ—
ｄ ０ Ｅ＝ （） ２
数 值计 算方 法 ， 般工程 技术 人员难 于 理解 ， 一 同时计 算 中需要 用到 根值 附近 的导数 值 ， 程复 杂 。 编
本 文在 前人研 究成 果 的基础上 建立 了一 种新 的通