初中数学学业水平考试复习教程二次函数

初中数学学业水平考试复习讲义

二次函数（教师版）

王梓瀚/编

【核心复习】

图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性 y=ax 2 y=ax 2+c

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+h

y=ax 2+bx+c

（1）一般式：（已知图象上三点坐标）设y= 。 （2）顶点式：（已知顶点坐标或对称轴）设y= 。 （3）交点式：（已知与x 轴的交点）设y= 。 例1：已知二次函数 的图像经过 ，那么此函数的解析式

是________

例2：抛物线顶点为1(-P ，)8-且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为

例3：抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0）且经过点0(，)6-，则抛物线的解析式为 3、抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的特征与a 、b 、c 的符号的关系：

①a 的符号决定抛物线 ；∣a ∣决定抛物线开口 即 ∣a ∣ 越大，开口越 ，∣a ∣越小，开口越 。

②b 的符号由 决定（左同右异） ③c 的符号由 决定。 ④抛物线与x 轴的交点个数由 决定。

（1）b 2﹣4ac ﹥0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。 （2）b 2﹣4ac ﹤0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴 交点。 （3）b 2﹣4ac=0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。 ⑤特殊值：

当x=1时，决定 的符号；当x =－1时，决定 的符号。

例：如图x=1是二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴，则有（ ） （A ）0<++c b a （B ）c a b +< （C ）b c 2< （D ）0

4、二次函数的最值的求法：

x y

1 -1

O

（1）公式法：对抛物线y=ax 2﹢bx ﹢c ，当a ﹥0时，二次函数有最 值；当 a ﹤0时，二次函数有最 值。当x= 时，y 的最值是 。

（2）配方法：将二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）配成y ＝a(x-h)2+k 的形式，当x= 时，

y 有最值 。

5、①二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）与一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的关系： （1）联系：二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程： ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）

（2）二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴的交点设为（x 1，0） ，（x 2，0），则x 1，x 2是一元二次方程ax 2﹢bx ﹢c=0（a ≠0）的 。 （3）抛物线与x 轴交点问题：

①b 2﹣4ac ﹥0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。 ②b 2﹣4ac ﹤0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴 交点。 ③b 2﹣4ac=0→二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）的图象与x 轴有 个交点。 ②二次函数y=ax 2﹢bx ﹢c （a ≠0）与不等式的关系：（识图）

例：抛物线如图所示：当x =________时，y =0，当x <-1，或x >3时，

y _______0当-1

（1）、平移（上加下减、左加右减）

抛物线y ＝a(x-h)2+k 可由y ＝ax 2的图象沿x 轴 平移 个单位，沿y 轴 平移 个单位而得到。

即：当h ＞0、k ﹥0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 个单位； 当h ＜0、 k ﹥0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 个单位； 当h ＞0、k ﹤0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 单位； 当h ﹤0、k ﹤0时，先沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴平移 单位；

例：将二次函数 的图像向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到抛

物

，则

（2）、旋转（将抛物线绕顶点旋转1800） 若抛物线

向左又向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图

像的解析式是________.

（3）、对称（关于X 轴和Y 轴对称）

函数342--=x x y 关于X 轴对称的函数的解析式为 ；关于Y 轴对称的函数的解析式为

二次函数知识点多而碎，学生通过知识填空可以清晰地回顾这部分的内容，再加上每个知识点后面的跟踪练习，更加深了学生对这部分知识的理解和记忆。

【典型例题】

一、二次函数基本知识、概念、定理的考察 【例1】下列命题中正确的是

① 若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 ② 当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

③ 若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

④ 若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛物线解析式为

y=x 2－5x+4。

⑤ 若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 ⑥ 若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。 ⑦ 若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。 ⑧ 若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

⑨ 若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。 ⑩ 若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。 ○

11若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 【点拨】本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。 【解答】全部正确

【积累与小结】抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练对函数、方程的数学思想的运用。 二、二次函数有关的实际应用题

【例2】某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

【点拨】本大题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。 【解答】

解：(1) （130-100）×80=2400（元）；…………………………………4分

（2）设应将售价定为x 元，则销售利润

130(100)(8020)5

x

y x -=-+

⨯……………………………………6分 24100060000x x =-+-

24(125)2500x =--+.……………………………………………8分

当125x =时，y 有最大值2500.

∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元. ……………9分

【复习思路】复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。

【变式训练】某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE MN =．准备在形如Rt AEH △的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt AEH △的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ 内种植紫色花草，每种花草的价

设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题： （1）S 与x 之间的函数关系式为S = ；