离散数学课件 第4章 5

⑵R′是自反的(对称的、传递的)； ⑶R′是“最小的”，即对于任何A上自反(对称、传递)的 关系R″,如果RR″,就有R′R″。 则称R′是R的自反(对称、传递)闭包。 记作r(R)、s(R)、t(R))(reflexive、symmetric、transitive)
2.计算方法
1.给定 A中关系R,则 r(R)=R∪IA。
即一个边的序列，其中一天的终点和路径中下一条边 的起点相同。这条路径记为x0, x1,…, xn-1, xn,长度为n 。在同一定点开始和结束的路径叫做回路或圈。
注：有向图的一条路径可以多次通过一个顶点。此外，有 向图的一条边也可以多次出现在一条路径中。
【example】下面哪些路径是图9的有向图中的路径： a，b，e，d； a，e，c，d，b； b，a，c，b，a，a，b； d，c； c，b，a； e，b，a，b，a，b，e 这些路径的长度是多少？这个列表中的哪些路径是回路？
假设a=b和m>n，使得n+1 ≤m.有鸽巢原理，因为A中有n个
顶点，在m个顶点x0,x1,x2,…,xm-1中至少有两个是相同的。
。 。…x.i.+x.。2i+。1。。。。。x。j-1x。j-2 …... 。 。
a
x1
xi-1 xi=xj xj+1 xj+2 xm-1 xm=b
假设xi=xj满足0 ≤i<j ≤m-1。那么这条路径包含一条从xi到xi 自身的回路。可以把这条回路从由a到b的路径中删除，上下的 路径，即
(e,b)，(b，a)，(a，b)，(b，a)，(a，b)，(b，e)都是边 ，因此e，b，a，b，a，b，e是长为6的路径。
两条路径b，a，c，b，a，a，b和e，b，a，b，a，b，e 是回路，因为它们在同一顶点开始和结束。
路径a，b，e，d；c，b，a；d，c不是回路
把有向图的定义推广到关系可知，如果存在一个元素的 序列 a,x1,x2,…,xn-1,b 具有(a,x1)∈R, (x1,x2)∈R,…, (xn-1,xn)∈R, 那么在R中存在一条从a到b的路径。
乘积使用n2(2n-1)(n-1)次位运算。
为从n个MR的布尔幂求M R*,需要求n-1个0-1矩阵的联合。计算每一 个联合使用n2次位运算。因此，在这部分计算中使用(n-1)n2次位运算
所以，当使用算法1时，用
n2(2n-1)(n-1)+(n-1)n2=2n3(n-1)=0(n4)
次位运算就可以求出n元素集合上关系的传递闭包的矩阵。
proof：令R‘ =R∪IA,显然R’是自反的和R R‘ ，下面证明R’是
“最小的”：如果有A上自反关系R“且R R”,又IA R“,所以 R∪IA R”,即R‘ R“ 。所以R’就是R的自反闭包。 即r(R)=R∪IA 。 2.给定 A中关系R,则 s(R)=R∪RC 。
证明方法与1类似。
定理2可证明一个关系的传递闭包t(R)和相关的连通性关系 是等同的。
定理2：关系R的传递闭包t(R)等于连通性关系R*.
Proof： 注意R*包含R.为证明R*是R的传递闭包，我们必须证
明R*是传递的且对一切包含R的传递关系S，有R* S. 首先，我们证明R*是传递的。
如果(a,b) ∈R*和(b,c) ∈R*，那么在R中存在从a到b和从b到c的路
，使得在R中从顶点a到b之间存在一条至少长为1的路径。
因为Rn由对(a,b)构成，使得存在一条从a到b的长度为n的
路径，从而R*是所有集合Rn的并。
换句话说，

U R* Rn n 1
许多模型都用到连通性关系。
【example】设R是世界上所有人的集合上的关系，如果a认识b ，那么R包含(a,b). Rn是什么？其中n是大于2的正整数。R*是什 么？
因此由归纳假设，从a到b存在一条长为n+1的路径，当 且仅当存在一个元素c，使得(a,c) ∈R和(c,b) ∈Rn。但是 存在这样一个元素，当且仅当(a,b) ∈Rn+1。
因此，从a到b存在一条长为n+1的路径，当且仅当 (a,b) ∈Rn+1。定理得证。
三、传递闭包
定义2：设R是集合A上的关系。连通性关系R*由对(a,b)构成
【example】给定 A中关系R，如图所示，求A上另一个关系 R’，使得它是包含R的“最小的”(序偶尽量少)具有自反(对 称、传递)性的关系。这个R'就是R的自反(对称、传递)闭包。
1。
1
1
1
2。 。3 2
3
2
32
3
这三个关系图分别是R的自反、对称、传递闭包。
一、关系的闭包
1. 定义：给定 A中关系R,若A上另一个关系R′， 满足：⑴RR′；
R的对称闭包是关系 R ∪RC ={(a,b)|a>b} ∪ {(b,a)|a>b} ={(a,b)|a≠b}
二、有向图的路径
使用有向图表示关系有助于构造关系的传递闭包 。为此引入 一些需要用到的术语。
通过沿有向图的边(按照这条边的箭头指示的相同方向)移动有 向图就得到一条有向图中的路径。
定义1：在有向图G中从a到b的一条路径是G中一条或多条 边的序列(x0,x1),(x1, x2),(x2, x3),…,(xn-1, xn),其中 x0=a, xn=b.
x0,x1,..,xi,xj+1,…,xm-1,xm 是从a到b的更短的路径。
因此，最短长度的这种路径的长度一定小于等于n。
由引理1，我们看出R的传递闭包是R,R2,R3,…,Rn的并。这是 由于在R*的两个顶点之间存在一条路径，当且仅当对某个正整 数i（i ≤ n）在Ri的这些顶点之间存在一条路径。因为
的路径。从而R* S* S.于是，任何包含R的传递关系也一定包含R*.
因此，R*是R的传递闭包。
已经知道传递闭包等于连通性关系，下面考虑这个关系的计 算问题。
通过引理1我们知道在一个有限的有向图中为了计算这种关系
只需要检测包含不超过n条边的路径就足够了，这里n是集合 中的元素个数。
引理1：设A是n元素集合，R是A上的关系。如果R
【example 】整数集上的关系R={(a,b)|a<b}的自反闭包是什么？
Solution：
R的自反闭包是 R∪IA ={(a，b)|a<b} ∪ {(a,a)|a∈Z}={(a，b)|a≤b}
【example】正整数集合上的关系R={(a,b)|a>b}的对称闭包是 多少？
Solution：
30
【example】设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1} 试用关系矩阵求传递闭包 R*(即t(R))。
solution：
用关系矩阵求R*的方法如下：
0 1 0 MR 0 0 1
1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学软件学院专用课件
2010.6
1
2019/9/8
学习内容
4.1集合的基本知识 4.2 序偶与笛卡尔积 4.3 关系及其性质 4.4 n元关系及其应用
4.5 关系的闭包
4.6 等价关系 4.7 偏序
关系的闭包
关系的闭包是通过关系的复合和求逆构成 的一个新的关系。 这里要介绍关系的自反闭包、对称闭包和 传递闭包。
中存在一条从a到b的长至少为1的路径，那么存在一 条长度不超过n的这种路径。
此外，当a ≠ b时，如果在R中存在一条从a到b的 路径，那么存在一条长度不超过n-1的这种路径。
24 2019/9/8
Proof：
假设R中存在一条从a到b的路径。令m是这种路径的最
短长度。假设x0,x1,…,xm-1,xm是一条这样的路径，其中 x0=a,xm=b.




M R2 M R M R 0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0




M R3 M R2 M R 1 0 0 0 0 1 0 1 0
从关系中的路径定义可以得到定理1。
定理1：设R是集合A上的关系。从a到b存在一条长为1的路径， 当且仅当（a，b）∈Rn。
Proof： 使用数学归纳法证明。 根据定义，从a到b存在一条长为1的路径，当且仅当
（a，b）∈R。因此当n=1时定理为真。
假定对于正整数n定理为真，这是归纳假设。从a到b存 在一条长为n+1的路径，当且仅当存在元素c ∈A使得从a 到c存在一条长为1的路径，即(a,c) ∈R,以及一条从c到b 的长为n的路径，即(c,b) ∈Rn.
【example】设R是美国所有州的集合上的关系，如果a州和b州 有公共的边界，那么R包含(a,b).Rn是什么？其中n是正整数。R* 有时什么？
solution：
关系Rn由对(a,b)构成，可以从a州恰好跨越n次州界到达b州 。R*由对(a,b)构成，可以从a州跨越任意多次边界到达b州。那 些包含与美国大陆不相连的州的有序对是不在R*中的。
M[n] R
其中，∨表示矩阵的对应元素进行析取运算。
【example】求关系R的传递闭包的0-1矩阵，其中
Solution： 由定理3，R*的0-1矩阵是
因为
所以
29
定理3可以作为计算关系R*的矩阵的算法基础。 为求出这个矩阵，要连续计算MR的布尔幂，知道第n次幂为止
。当计算每次幂时就构成这个幂与所有较小的幂的联合。当做 到第n次幂时，就得到关系R*的矩阵。这个过程见算法1.

0
1
0

1
0
0

0
0
1

1 1 1


M t(R) M R M R2 M R3 1 1 1
1 1 1
33
我们可以容易的求出用算法1确定关系的传递闭包所使用的位运算
次数。计算布尔幂
需找到n-1个nxn的0-1矩阵的布
尔积。每个布尔积可以使用n2(2n-1)次位运算求得。因此，计算这些
Solution：
因为(a，b)、(b，e)和(e，d)都是边，a,b,e,d是长为3的路径 因为(c，d)不是边，a,e,c,d,b不是路径。 因为(b，a)，(a，c)，(c,b)，(b,a)，(a,a)和(a,b)都是边，b ，a，c，b，a，a，b是长为6的路径。 我们也看到，因为(d,c)是边，d,c是长为1的路径。 还有由于(c,b)和(b,a)是边，c,b,a是长为2的路径。
下面我们将要描述一个更有效的求传递闭包的算法。
四、沃舍尔算法
假设R是n元素集合上的关系，设
是这n个元素的任
意排列。沃舍尔算法中用到一条路径的内点的概念。
内点：如果
是一条路径，它的内点是
R*=R ∪R2 ∪R3 ∪… ∪Rn 并且表示关系的并的0-1矩阵式这些关系的0-1矩阵的联合。
因此传递闭包的0-1矩阵是R的0-1矩阵的前n次幂的0-1矩阵 的联合。
定理3：设MR是n元素集合上的关系R的0-1矩阵。 那么传递闭包R*的0-1矩阵是
MR*
=MR

M[2] R

M[3] R
...
径。我们从a到b的路径开始，并且沿着从b到c的路径就得到一条从a
到c的路径，因此， (a,c) ∈R*。这就得出R*是传递的。
现在假设S是包含R的传递关系，因为S是传递的，Sn也是传递的，并
且Sn S.此外，因为

S*=US k k=1
和Sk S，因此S* S.
现在注意到如果R S,那么R* S*,这是由于任何R中的路径也是S中
【example】设R是纽约市所有地铁站集合的关系。如果可以从 a站不换车旅行到b站，那么R包含对(a,b),当n是正整数时，Rn 是什么？R*是什么？
Solution: 如果换n-1次车就可以从a站旅行到b站，关系Rn就包含(a,b)
。从a站旅行到b站，如果需要可以换车任意多次，关系R*就由 这种有序对(a,b)组成。
Solution：
如果存在c使得(a,c) ∈R且(c,b) ∈R即存在c使得a认识c，c 认识b，那么关系R2包含(a,b).
类似地如存在x1,x2,…,xn-1使得a认识x1, x1认识x2,…, xn-1认识b ，那么Rn包含对(a,b).
如果存在从a开始至b终止的序列，使得序列中的每个人都Leabharlann Baidu 识序列中的下一个人，那么R*包含对(a,b).