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6.4 线段的和差浙教版数学七年级上册同步练习(解析版)

第6章　图形的初步知识6.4　线段的和差基础过关全练知识点1　线段的和、差、倍、分1.如图,点A、B、C在同一直线上,下列关系式与图形不符合的是( )A.AB+BC=ACB.AC-AB=BCC.AC-BC=ABD.AB=AC+BC2.如图,点C,B在线段AD上,且AB=CD,则AC与BD的大小关系是( )A.AC>BDB.AC=BDC.AC<BDD.不能确定知识点2　画线段的和差3.如图,已知线段a、b,画一条线段c,使它的长度等于已知线段的长度的和.4.已知线段a、b(如图),画出线段AB,使AB=3a-b,并写出画法.知识点3　线段的中点5.点O为AB的中点,若OA=5 cm,则AB的长为( )A.2.5 cmB.5 cmC.10 cmD.20 cm6.如图,CB=4 cm,DB=7 cm,点D为AC的中点,则AB的长为( )A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm7.如图,已知线段AB=10 cm,点N在AB上,NB=2 cm,M是AB的中点,求线段MN的长.能力提升全练8.如图,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子中不正确的是( )A.BC=CDB.CD=AC-ABC.CD=AD-CED.CD=DE9.(2022浙江新昌期末)已知,点C是线段AB的中点,点D是线段BC 的中点,且AB=12,则线段AD的长为( )A.3B.6C.9D.1210.如图,点C、B是线段AD上的两点,若AB=CD,BC=2AC,则AC与CD 的关系是 .11.如图,点M、N都在线段AB上,且M分AB为2∶3的两部分,N分AB为3∶4的两部分,若MN=2 cm,求AB的长.12.(2020浙江杭州期末)如图,某建筑物的立柱AB=6 m,底座BD与中段CD的比为2∶3,中段CD是上沿AC的3倍.求AC,CD,BD的长.素养探究全练13.[数学运算]如图,已知点O在线段AB上,点C、D分别是AO、BO 的中点.(1)AO= CO,BO= DO;(2)若CO=3 cm,DO=2 cm,求线段AB的长度;(3)若线段AB=10 cm,小明很轻松地求得CD=5 cm.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长线上,原有的结论“CD=5 cm”是不是仍然成立呢?请帮小明画出图形分析,并说明理由.14.[数学建模]如图,O为原点,A是数轴上表示-30的点,B是数轴上表示10的点,C是数轴上表示18的点,点A、B、C在数轴上同时向数轴的正方向移动,点A移动的速度是6个单位长度/秒,点B和点C移动的速度都是3个单位长度/秒.设三个点移动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AC=6?(2)当t≠5时,设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PM-PN=2时,t的值.答案全解全析基础过关全练1.D　AB=AC-BC.2.B　∵AB=CD,∴AB-BC=CD-BC,∴AC=BD.3.解析　如图,线段AC=c.4.解析　①画射线AM,并在射线AM上顺次截取AC=CD=DE=a;②在线段EA上截取EB=b,则线段AB就是要画的线段(如图).5.C　∵点O为AB的中点,OA=5 cm,∴AB=2OA=10 cm.6.D　∵CB=4 cm,DB=7 cm,∴DC=BD-BC=3 cm.∵点D为AC的中点,∴AD=DC=3 cm,∴AB=AD+DB=10 cm.7.解析　∵M是AB的中点,AB=10 cm,AB=5 cm.∴AM=BM=12∵NB=2 cm,MN+BN=BM,∴MN=BM-BN=5-2=3(cm).能力提升全练8.D　∵点C为线段AE的中点,∴AC=CE,∵AB=DE,∴AC-AB=CE-DE, ∴BC=CD,∴A中的式子正确;∵CD=BC,BC=AC-AB,∴CD=AC-AB,∴B 中的式子正确;∵CD=AD-AC, AC=CE,∴CD=AD-CE,∴C 中的式子正确;由已知不能得出CD=DE,∴D 中的式子错误.故选D.9.C 根据题意画图如下:∵点C 是线段AB 的中点,AB=12,∴AC=CB=12AB=6.∵点D 是线段BC 的中点,∴CD=12BC=3.∴AD=AC+CD=6+3=9.10.CD=3AC解析　∵AB=CD,∴AC+BC=BC+BD,即AC=BD.又∵BC=2AC,∴BC=2BD,∴CD=3BD=3AC.11.解析　设AB=x cm,∴AM=25x cm,AN=37x cm,∴MN=AN-AM,∴37x-25x=2,解得x=70,∴AB=70 cm.12.解析　∵底座BD 与中段CD 的比为2∶3,中段CD 是上沿AC 的3倍,∴BD ∶CD ∶AC=2∶3∶1,∵AB=6 m,∴AC=6×12+3+1=1(m),CD=6×32+3+1=3(m),BD=6×22+3+1=2(m).素养探究全练13.解析　(1)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴AO=2CO,BO=2DO.故答案为2;2.(2)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,CO=3 cm,DO=2 cm,∴AO=2CO=6 cm,BO=2DO=4 cm,∴AB=AO+BO=6+4=10(cm).(3)仍然成立.理由如下:如图:∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴CO=12AO,DO=12BO,∴CD=CO-DO=12AO-12BO=12(AO-BO)=12AB=12×10=5(cm).14.解析　(1)A 、B 、C 三点在数轴上同时向正方向移动.当点A 在点C 的左侧时,因为线段AC=6,所以6+6t=30+18+3t,解得t=14;当点A 在点C 的右侧时,因为AC=6,所以6t-6=30+18+3t,解得t=18.综上,当t=14或18时,AC=6.(2)当A 、B 、C 三个点在数轴上同时向数轴的正方向移动t 秒时,A 、B 、C 三个点在数轴上表示的数分别为6t-30、10+3t 、18+3t,所以OA=|6t-30|,OB=10+3t,OC=18+3t.因为P 、M 、N 分别是OA 、OB 、OC 的中点,所以OP=|6t -30|2,OM=10+3t 2,ON=18+3t 2,所以MN=ON-OM=4.当P 在点M 的左侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2+MN=6.①当t<5时,PM=OP+OM=|6t -30|2+10+3t 2=30-6t 2+10+3t 2=20-3t 2=6,解得t=283.因为283>5,所以当t<5时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值;②当t>5时,PM=OM-OP=10+3t 2-|6t -30|2=10+3t 2-6t -302=-3t +402=6,解得t=283.当P 在M 、N 之间时,2PM-PN=2(OP-OM)-(ON-OP)=3OP-2OM- ON=9t-45-10-3t-18+3t 2=9t 2-64=2,解得t=443.当P 在点N 的右侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2-(PM-PN)=2- MN=2-4=-2.因为线段PM 的长不能为负数,所以P 在点N 的右侧时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值.综上,当t=283或443时,2PM-PN=2.。

和倍差倍问题和差问题问题讲义及练习测试参考答案优质的

精心整理（本第一讲和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析设乙班的图书本数为份，则甲班图书为乙班的倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的倍还可以理解为份的数量是本，求出份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数用下图表示它们的关系：解：乙班：-F （）（本）甲班：X （本）或（本）答：甲班有图书本，乙班有图书本。

这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是本；再把甲班的本数除以乙班本数,看是不是等于倍如果与条件相符，表明这题作对了注意验算决不是把原式再算一遍。

验算：+（本）F （倍）。

例甲班有图书本，乙班有图书本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的倍？分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量最后要求甲班图书是乙班图书的倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的倍依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

解：①甲、乙两班共有图书的本数是： +（本）② 甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： +二（倍）③ 乙班现有的图书本数是：F④甲班给乙班图书本数是：（本）综合算式：（+）4-（）（本）（本）答：甲班给乙班本图书后，甲班图书是乙班图书的倍。

验算：（）4（）=（倍）（）（）=（本）。

例光明小学有学生人，其中男生比女生的倍少人，男、女生各有多少人？分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的倍还少人，如果用男、女生人数总和人再加上人，就等于女生人数的倍（见下图）。

和差问题(打印4份)

和差问题和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

解答这类应用题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

解题时，我们可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数再求大数。

我们可以用下面的数量关系式表示：（和+差）÷2=大数（和-差）÷2=小数1．学校合唱团共有72名成员，其中男合唱队员比女合唱队员少6名，合唱团中男、女队员各有多少名？2．甲乙两校共有学生2346人，如果甲校增加146人，乙校减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗？3．两个工程队共有工人230人，后来由于工作需要，从第一队调走了30人，从第二队调走了10人，这时第一队比第二队还多10人，原来两队各有多少工人？4．在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是388，减数比差大16。

减数是多少？已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。

解这类应用题关键是要找准标准数（即1倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。

根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

数量关系可表示为：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数（1倍数）×倍数=大数（几倍数）或两数和—小数（1倍数）=大数（几倍数）解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。

1、三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？2、哥哥和弟弟共有图书120本，哥哥的图书是弟弟的3倍，哥哥有图书多少本？3、小强和小明共有28本练习本，小强的练习本比小明的2倍少2本，小强和小明各有几本练习本？4、甲乙丙三个数的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多少？5、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若是把0去掉，则与加一个加数相同，这两个数各是多少？6、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克？7、一个除法算式，商是5，余数是1，被除数、除数、商和余数的和是109，除数是多少？差倍问题差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

冀教版初中数学七年级上册2.4 线段的和与差同步课时练测试卷练习题

冀教版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们
更理性地看待人生
TB:小初高题库
__________．
能力提升 NENGLI TISHENG
7．已知两条线段的和是 28，且它们的长度之比是 4∶3，则较短的线段的长为( )
A．16 或 12 B．16
C．12
D．21
8．在直线 PQ 上找一点 C，使 PC＝2CQ，则点 C 不能在( )
A．点 P，Q 之间
B．点 P 的左边
6．－7 或 5 点拨：点 B 可能在点 A 的左侧，也有可能在点 A 的右侧．如果点 B 在点 A 的左侧，则点 B 表示的数比点 A 表示的数小 6，此时点 B 表示的数为－7；如果点 B 在点 A 的右侧，点 B 表示的数比点 A 表示的数大 6，此时点 B 表示的数为 5.
7．C 点拨：设两条线段的长分别为 4x，3x，由题意可得：4x＋3x＝28，解得 x＝4，则较短的线段的长度为 3x＝3×4＝12.
2 能说明 C 是线段 AB 中点的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，AB＝CD，则 AC 与 BD 的大小关系是( )
A．AC＞BD B．AC＝BD
C．AC＜BD D．无法确定
3．如图，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，AB＝16cm，则 AD 的长是( )
(1)若他们分别乘出租车去上班，公司应支付车费多少元？ (2)如果你是公司经理，你对他们有没有什么建议？ TB:小初高题库
冀教版初中数学 TB:小初高题库
参考答案
冀教版初中数学
1．C 点拨：④式中 AC＋CB＝AB 只能说明 C 在 AB 上，无法说明 C 为线段 AB 的中点，①②③式符合线段中点的定义．

专题16 和差问题(原卷)【网店：教师学科网资料】

2022-2023学年学校三班级思维拓展举一反三精编讲义专题16 和差问题专题简析：已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。

把握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很便利了。

解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数削减到与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数【典例分析01】期中考试王平和李杨语文成果的总和是188分，李杨比王平少4分。

两人各考了多少分？【思路引导】依据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。

假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。

【典例分析02】某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，假如第一车间拨给其次车间8部，那么两个车间车床数相等。

两个车间各有车床多少部？【思路引导】用线段图表示题意。

188分分分李杨王平学问精讲典例分析已知第一、二两个车间共有车床96部，又依据“假如第一车间拨给其次车间8部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比其次车间多8×2=16部车床。

所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，其次车间原有56－8×2=40部。

【典例分析03】哥弟俩共有邮票70张，假如哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。

哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？【思路引导】我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，依据“假如哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。

所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。

【典例分析04】把一条100米长的绳子剪成三段，要求其次段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。

2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用(带答案)

2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练知识点一两角和与差的正弦公式1．sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－122．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝( )A ．33－410B ．33＋410C ．3－4310D ．3＋43103．化简：(1)2sin (α－β)cos α－sin (2α－β)＋sin β；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 －3 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x .知识点二两角和与差的正切公式4．已知tan (α＋π4 )＝3，则tan α＝( )A ．－12B ．12C ．－34D ．345．计算：tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝________.6．已知tan (α＋β)＝34 ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝12 ，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 的值．知识点三两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 7．设cos α＝－55 ，tan β＝13 ，π<α<3π2 ，0<β<π2. (1)求sin (α－β)的值；(2)求α－β的值．8．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，且3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．关键能力综合练一、选择题1．计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝( ) A ．2＋64 B ．2－64C ．6－24 D ．－2＋642．已知tan α＝2，tan β＝－3，则tan (α－β)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．324．已知0<β<α<π2 ，点P (1，43 )为角α终边上的一点，且sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314 ，则β＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．(探究题)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 二、填空题6．tan 15°＝________．7．已知tan α＋tan β＝－6，tan (α＋β)＝－1，则sin （α＋β）cos （α－β）＝________．8．(易错题)化简：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40°＝________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12 ，32).(1)若|a ＋b |＝|c |，求sin (α－β)的值；(2)设α＝5π6 ，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β 的值．学科素养升级练1.(多选题)下列四个式子中不恒成立的是( ) A ．sin (α＋β)＝sin α＋sin βB ．cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．tan (α－β)＝tan α－tan β1－tan αtan βD ．sin (α＋β)sin (α－β)＝sin 2α－sin 2β2．(学科素养——逻辑推理)是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tanβ＝2－3 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝sin 18°cos 63°－sin (90°－18°)sin (180°－63°) ＝sin 18°cos 63°－cos 18°sin 63°＝sin (18°－63°)＝sin (－45°)＝－sin 45°＝－22.故选A. 2．答案：B解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，所以sin α＝35 ，所以cos α＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝sin αcos π6 ＋cos αsin π6 ＝35 ×32 ＋45 ×12 ＝33＋410 .故选B.3．解析：(1)原式＝2sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)－cos α·sin (α－β)＋sin β＝sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)＋sin β ＝sin [(α－β)－α]＋sin β ＝－sin β＋sin β ＝0.(2)原式＝sin x cos π3 ＋cos x sin π3 ＋2sin x cos π3 －2cos x sin π3 －3 cos2π3 cos x －3 sin 2π3 sin x ＝sin x (cos π3 ＋2cos π3 －3 sin 2π3 )＋cos x (sin π3 －2sin π3 －3 cos 2π3)＝0. 4．答案：B解析：由tan (α＋π4)＝3，得tan (α＋π4 )＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝tan α＋11－tan α＝3，解得tan α＝12 .故选B.5．答案：1解析：∵tan 45°＝tan (12°＋33°)＝tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33° ＝1，∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°. ∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 6．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π41＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝34－121＋34×12 ＝211 .7．解析：(1)因为π＜α＜3π2 ，cos α＝－55 ，所以sin α＝－255，又0＜β＜π2 ，tan β＝13 ，所以sin β＝1010 ，cos β＝31010，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－255 ×31010 ＋55 ×1010 ＝－22. (2)因为0＜β＜π2 ，所以－π2 ＜－β＜0，又π＜α＜3π2 ，所以π2 ＜α－β＜3π2 ，因为sin (α－β)＝－22 ，所以α－β＝5π4. 8．解析：∵3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，∴3 (tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，易知tan A tan B －1≠0，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝tan (A ＋B )＝－33 ，又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6 ，∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，tan C ＝33， ∴tan B ＋33 ＋tan B ＝3 ，∴tan B ＝33， ∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 ，∴B ＝π6 ，A ＝2π3 ，∵B ＝C ＝π6，∴△ABC 为等腰三角形．关键能力综合练1．答案：D解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝－sin 7π12 ＝－sin (π4 ＋π3 )＝－(sin π4 cos π3 ＋cos π4 sin π3 )＝－(22 ×12 ＋22 ×32 )＝－2＋64.故选D.2．答案：B解析：因为tan α＝2，tan β＝－3，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选B.3．答案：C解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30° ＝12 .故选C. 4．答案：D解析：∵|OP |＝7，∴sin α＝437 ，cos α＝17.由已知sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314及诱导公式可得sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin (α－β)＝3314 .∵0<β<α<π2 ，∴0<α－β<π2 ，∴cos (α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝437 ×1314 －17 ×3314 ＝32 .又0<β<π2 ，∴β＝π3.故选D. 5．答案：B解析：∵1＝tan 45°＝tan (21°＋24°) ＝tan 21°＋tan 24°1－tan 21°tan 24°，∴1－tan 21°tan 24°＝tan 21°＋tan 24°，即tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， ∴(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＋1＝2，同理(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝2，∴(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝2×2＝4.故选B. 6．答案：2－3解析：tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30° ＝1－331＋33 ＝2－3 .7．答案：32解析：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－1，代入tan α＋tan β＝－6，解得tan α·tan β＝－5，sin （α＋β）cos （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan α·tan β ＝－61－5 ＝32.8．答案：2解析：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40° ＝cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）sin 40°＝cos 10°＋3sin 10°sin 40°＝2（12cos 10°＋32sin 10°）sin 40°＝2sin （10°＋30°）sin 40°＝2.9．解析：(1)∵向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ， ∴|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β). ∵|a ＋b |＝|c |，∴|a ＋b |2＝|c |2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1.∴1＋2sin (α－β)＋1＝1，∴sin (α－β)＝－12 .(2)∵α＝5π6 ，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 ，依题意得b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32 .∵a ∥(b ＋c )， ∴－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32 －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12 ＝0，化简得12 sin β－32 cos β＝12 ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝12 .∵0<β<π，∴－π3 <β－π3 <2π3 ，∴β－π3 ＝π6 ，∴β＝π2.学科素养升级练1．答案：ABC解析：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A 式不恒成立； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B 式不恒成立； tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，故C 式不恒成立；sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2β，故D 式恒成立．故选ABC.2．解析：假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tan β＝2－3 同时成立．由①得α2 ＋β＝π3，所以tan (α2 ＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝3 .又tan α2 tan β＝2－3 ，所以tan α2＋tan β＝3－3 ，因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3 )x ＋2－3 ＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－3 .若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2 ＝2－3 ，tan β＝1，所以α＝π6 ，β＝π4，所以满足条件的α，β存在，且α＝π6 ，β＝π4 .。

【小学教育】和差问题

和差问题和差数量关系是：①（和+差）÷2=大数大数－差=小数或和－大数=小数②（和－差）÷2=小数和－小数=大数或小数+差=大数例1.国庆节，四（4）班同学吹气球比赛，女生比男生少吹20个，男、女生共吹240个，求男、女生吹气球多少个？例2.小星在期末考试中，语文和数学的平均数是98，数学比语文多4分，语文和数学各得了多少分？例3.两个桶里共盛水30千克，如果把第一桶里的水浇树用了6千克，两个桶里的水就一样多，问每桶各有多少千克水？例4.甲乙两生产组共收小麦9600千克，如果甲组给乙组800千克，则两组收小麦重量相等，问两组各收小麦多少千克？例5.一部书有上、中、下3册，上册比中册的页数少20页，下册比上册多40页，已知这部书一共有1560也，上、中、下3册各多少页？例6.美国纽约大桥比南京长江大桥短4570米，我国武汉长江大桥比美国纽约大桥短530米，已知三座桥共长10640米，这三座桥各长多少米？例7.甲乙两箱苹果共重65千克，从甲箱取出5千克放到乙箱，结果甲箱的苹果比乙箱的苹果多3千克。

甲乙两箱原有苹果各多少千克？例8.小刘、小吕两人和打一份稿件，2小时共打了16800个字。

如果分别工作5小时，小刘比小吕多打6000个字，求小刘、小吕每分钟各打多少个字？练一练1.小豪家养鸭、鹅共40只，其中鸭比鹅的只数多8只，小豪家养鸭、鹅各多少只？2.我国自行设计施工的世界上最大的现代化桥梁南京长江大桥共分2层，上层是公路桥，下层是铁路桥。

公路桥和铁路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问公路桥和铁路桥各长多少米？3.小敏比小娜多20块糖果，小敏给小娜15块糖果，这时谁的糖果多？多几块？4.去年小桥和爸爸的年龄和是44岁，已知爸爸比小桥大26岁，问今年小桥和爸爸各多少岁？5.文具店共有铅笔和圆珠笔1440支，如果铅笔进来60支，圆珠笔卖出60支，则两种笔的支数相等，两种笔各有多少支？6.华山上甲乙两个挑山工共挑粮食94千克往山顶运，到半山腰有一饭店买了4千克粮食，这时甲乙挑的粮食正好相等，问甲乙原来各挑粮食多少千克？7.某校高中低年级共有1880人，高年级人数比中年级多110人，低年级比中年级多60人，这个学校高、中、低年级各有多少人？8.甲、乙、丙3人共有图书310本，已知甲比乙多20本，乙比丙多10本，甲乙丙各有图书多少本？9.两筐南瓜共重46千克，如果从第二筐中取出6千克放入第一筐中，那么，第二筐比第一筐少2千克。

和差问题.题库教师版.doc

知识点拨：和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？1. 甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？．4.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？1.二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？2.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？1.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？2.学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？【例4】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？1.图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？【例5】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？1，小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？【例6】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？1.有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？【例7】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？1.甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？【例8】甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人转入乙校？1.两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？2.方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各有图书多少本？【例9】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？1.甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．2.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？3.甲、乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？4.小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖？5.学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?6.甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书？．7，二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？8.草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？【例10】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁？．1.小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？【例11】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？1.甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?2.大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49千克，小荣和豆豆一起称是 56千克．三人的体重各是多少千克？【例12】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书？2.兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？3.今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?4.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？【例13】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？1.甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?2.四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

两角和与差的三角函数同步习题高中数学新苏教版必修第二册(2022年)

10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-，联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论．【详解】函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象，故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈，所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确，故选：CD.【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+，由62x k ωππ+=π+，k Z ∈，因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈，由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈，因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=，（2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=，所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】（1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。

北师大版四年级数学下册小数中的和差问题

北师大版四年级数学下册小数中的和差问题全文共2篇示例，供读者参考北师大版四年级数学下册小数中的和差问题一一、“对号入座”我会填：1、按角的大小，三角形可以分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。

2、三角形具有( )性。

平行的四边形具有( )性。

3、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是( )，这是一个( )三角形。

4、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和都是( )°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是( )。

5、如果三角形的两条边的长分别是3厘米和5厘米，那么第三条边的长可能是大于( )厘米小于( )厘米。

6、有( )组对边分别平行的四边形是平行四边形。

7、( )和( )是特殊的平行四边形。

8、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是( )°。

9、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是( )三角形，另一个角是( )度。

10、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是( )厘米。

11、右图中有( )个角二、“明辨是非”我会判。

(对的打“√”，错的打“×” )。

1、等边三角形一定是等腰三角形。

( )2、有一组对边平行的四边形叫做梯形。

( )3、小强画了一个三个角分别是50°70°50°的等腰三角形( )4、两个大小一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。

( )5、把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是°。

( )三、“择优录取”我会选。

(将正确答案的序号填在括号里)。

1、所有的等边三角形都是( )三角形。

a、钝角b、锐角c、直角2、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是( )a、30°和60°b、45°和45°c、60°和60°3、一个三角形至少有( )个锐角。

小学和差问题试题及答案

小学和差问题试题及答案一、选择题1. 下面哪个数不是偶数？A) 2 B) 4 C) 5 D) 6答案：C) 52. 如果把5加上一个未知数x，得到的结果是9，那么x是多少？A) 2 B) 3 C) 4 D) 5答案：B) 33. 下面哪个数是一个完全平方数？A) 9 B) 12 C) 16 D) 18答案：C) 164. 黄色、蓝色和绿色的旗子一共有15个，其中绿色旗子的数量比黄色旗子多2个，蓝色旗子的数量是黄色旗子数量的一半。

那么黄色、蓝色和绿色旗子各有几个？A) 黄色：4，蓝色：6，绿色：7B) 黄色：3，蓝色：6，绿色：6C) 黄色：5，蓝色：7，绿色：3D) 黄色：6，蓝色：4，绿色：5答案：D) 黄色：6，蓝色：4，绿色：5二、填空题1. 8 + 7 = ______答案：152. 3 × 4 = ______答案：123. 9 ÷ 3 = ______答案：34. 15 - 6 = ______答案：9三、解答题1. 请用阿拉伯数字写下下面的数：五十六。

答案：562. 请用阿拉伯数字计算下面的算式：7 × 9 - 2 × 3。

答案：573. 这个数在个位和十位之和为9，同时它是一个偶数。

这个数是多少？答案：484. 请用文字解释什么是小学和差问题。

答案：小学和差问题是一种常见的数学应用题，通过给出一段时间或者一段距离的总量和其中的一个部分，要求求解另一个部分的数值。

例如，已知一辆车行驶了100公里，其中前半程行驶了60公里，那么求解后半程的距离就是一个小学和差问题。

总结：本文提供了一些小学和差问题的试题及答案，旨在帮助小学生巩固数学知识和解题能力。

通过选择题、填空题和解答题的形式，提供了多样化的题型，供读者练习和参考。

小学和差问题是小学数学中的基础应用题，培养了学生的逻辑思维和计算能力。

希望读者通过本文的习题练习和答案解析，能够更好地掌握小学和差问题的解题方法和技巧。

三年级和差倍应用题经典题库

三年级和差倍应用题经典题库一、和差问题1. 题目- 三年级一班和二班共有学生85人，一班比二班多3人，求两班各有多少人？- 解析：- 我们知道这是一个和差问题。

两个班的人数之和是85人（和），一班比二班多3人（差）。

- 我们可以用公式来解决这个问题，较大数=(和 + 差)÷2，较小数=(和- 差)÷2。

- 在这里，一班人数是较大数，所以一班人数=(85 + 3)÷2 = 44（人）。

- 二班人数就是85 - 44 = 41（人）。

2. 题目- 甲、乙两数的和是120，甲数比乙数少10，求甲、乙两数各是多少？- 解析：- 这也是和差问题，和是120，差是10。

- 乙数（较大数）=(120+10)÷2 = 65。

- 甲数（较小数）=120 - 65 = 55。

二、和倍问题1. 题目- 学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三年级各分得多少本图书？- 解析：- 这是一个和倍问题，和是360本，三年级图书本数是二年级的2倍。

- 我们把二年级分得的图书本数看作1份，三年级就是2份，总共就是1 + 2 = 3份。

- 那么一份就是360÷3 = 120本，所以二年级分得120本。

- 三年级分得120×2 = 240本。

2. 题目- 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？- 解析：- 因为商是7，说明被除数是除数的7倍。

- 把除数看作1份，被除数就是7份，总共8份。

- 一份就是320÷(7 + 1)=40，所以除数是40。

- 被除数就是40×7 = 280。

三、差倍问题1. 题目- 妈妈的年龄比小明大24岁，妈妈的年龄是小明年龄的4倍，小明和妈妈各多少岁？- 解析：- 这是差倍问题，差是24岁，倍数是4倍。

- 把小明的年龄看作1份，妈妈的年龄就是4份，妈妈比小明多4 - 1 = 3份。

《2.4 线段的和与差》数学七年级上册冀教版课后练习

《2.4 线段的和与差》数学七年级上册冀教版课后练习1．已知线段AB＝3厘米，延长BA到C使BC＝5厘米，则AC的长是（）A．2厘米B．8厘米C．3厘米D．11厘米2．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段CD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，已知线段AB＝6，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点．则BD等于（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，已知线段AB＝10cm，点N在AB上，NB＝2cm，M是AB中点，那么线段MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．如图所示，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，下列等式不正确的是（）A．CD＝AD﹣BC B．CD＝C．CD＝AB﹣BD D．CD＝AC﹣BD 6．如图，已知CB＝4，DB＝7，D是AC的中点，那么AC＝．7．如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．8．如图，已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC 的中点．（1）若线段DE＝11cm，求线段AB的长．（2）若线段CE＝4cm，求线段DB的长．1.A2.C3.B4.C5.B6.67.略8.解：如图：（1）因为点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，所以AC＝2CD，BC＝2CE，所以AB＝AC+BC＝2（DC+CE）＝2DE＝22cm；（2）因为点E是线段BC的中点，所以BC＝2CE＝8cm．因为点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，所以DC＝AC＝BC＝4cm，所以DB＝DC+CB＝4+8＝12cm．。

专题17 和差问题(原卷)【网店：教师学科网资料】

2022-2023学年学校四班级思维拓展举一反三精编讲义专题17 和差问题学问精讲专题简析：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。

解答和差应用题的基本数量关系是：（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和－小数=大数）或：（和＋差）÷2=大数大数－差=小数（和－大数=小数）解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些简单的应用题没有直接告知我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再依据和差问题的解法来解答。

典例分析【典例分析01】三、四班级同学共植树128棵，四班级比三班级多植树20棵，求三、四班级各植树多少棵？分析与解答：假如把三、四班级植的128棵加上20棵，得到的和就是四班级植树的2倍，所以，四班级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三班级植树的棵数是74－20=54棵。

这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三班级植树棵数的2倍，由出，先求出三班级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四班级植树的棵数：54＋20=74棵。

【典例分析02】两筐梨子共有120个，假如从第一筐中拿10个放到其次筐中，那么两筐的梨子个数相等。

两筐原来各有多少个梨？分析与解答：依据题意，第一筐削减10个，其次筐增加10个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比其次筐多10×2=20个。

假如从120个中减去20个，那么得到的差就是其次筐梨子个数的2倍，所以，其次筐原来有（120－20）÷2=50个，第一筐原来有50＋20=70个。

【典例分析03】今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。

今年妈妈和小勇各多少岁？分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。

明显，这属于和差问题。

所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。

和差问题练习题

和差问题练习题一、选择题1. 已知两个数的和为100，其中一个数比另一个数大20，这两个数分别是多少？A. 40, 60B. 50, 50C. 60, 40D. 80, 202. 如果两个数的和是120，且其中一个数是另一个数的3倍，这两个数分别是多少？A. 30, 90B. 45, 75C. 60, 60D. 90, 303. 某班级有男生和女生共50人，男生比女生多10人，问男生和女生各有多少人？A. 20, 30B. 25, 25C. 30, 20D. 35, 15二、填空题4. 两个数的和为90，如果其中一个数增加15，那么这两个数的和变为______。

5. 甲乙两人共有图书120本，如果甲借给乙15本，那么甲乙两人图书数相等，问甲乙两人原来各有多少本图书？6. 某工厂生产两种类型的产品，A产品和B产品共生产了200件，如果A产品比B产品多生产了30件，那么A产品和B产品各生产了多少件？三、解答题7. 某学校有两个班级，甲班和乙班，两个班级共有学生90人。

如果从甲班调5人到乙班，那么两个班级的学生数相等。

求甲班和乙班原来各有多少人。

8. 一个长方形的长和宽的和为18厘米，如果长比宽多4厘米，求这个长方形的长和宽分别是多少？9. 某水果店有苹果和香蕉两种水果，苹果比香蕉多50千克，如果苹果和香蕉的总重量为200千克，求苹果和香蕉各有多少千克？四、应用题10. 某公司有两个部门，A部门和B部门，两个部门共有员工150人。

如果A部门调10人到B部门，那么两个部门的员工数相等。

求A部门和B部门原来各有多少员工。

11. 一个班级有学生50人，其中男生比女生多8人。

如果从男生中调2人到女生，那么男生和女生的人数相等。

求这个班级男生和女生原来各有多少人。

12. 某农场有鸡和鸭两种家禽，鸡的数量比鸭多60只，如果鸡和鸭的总数为300只，求鸡和鸭各有多少只？五、拓展题13. 某学校有学生参加数学竞赛，获得一等奖的人数比获得二等奖的人数多10人，如果一等奖和二等奖的总人数为50人，求获得一等奖和二等奖的人数分别是多少？14. 一个数的3倍与这个数的7倍的和是170，求这个数是多少？15. 某工厂有两个车间，第一车间的产量比第二车间的产量高20%，如果两个车间的总产量为1000吨，求第一车间和第二车间的产量分别是多少？以上练习题旨在帮助学生掌握和差问题的基本解题方法，通过不同题型的练习，加深对知识点的理解和应用能力。

2023年和差问题题库教师版

和差问题教学目旳1.会判断什么样旳应用题属于和差问题．已知两个数旳和以及两个数旳差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题旳特性，为后来继续学习和倍、差倍问题做准备．2.总结归纳出处理和差问题旳措施，并处理某些实际问题．知识点拨：和差问题是已知大小两个数旳和与这两个数旳差，求大小两个数各是多少旳应用题。

为理解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少旳不一样论述方式.有些题目明确给了两个数旳差，而有些应用题把两个数旳差“暗藏”起来，我们管暗藏旳差叫“暗差”。

懂得两个数旳和，以及它们旳差，规定这两个数，处理和差问题需要我们画线段图来分析，措施如下：措施一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数措施二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数例题精讲板块一、基本旳和差问题【例1】两筐水果共重150公斤，第一筐比第二筐少10公斤，两筐水果各多少公斤？【解析】本题也是和差问题旳基本题型，借助线段图来分析如下：措施一：把第二筐多旳10公斤减掉，当作两个第一筐旳重量来计算．列式：第一筐：（公斤），第二筐：（公斤）．（（701080+=-÷=15010270措施二：把第一筐少旳10公斤补上，当作两个第二筐旳重量来计算．列式：第二筐：（公斤），第一筐：（公斤）-=（（80107015010280+÷=【巩固】甲、乙两人同步以相似旳速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了（个）．这样就转换成经典和差问题了．÷=2402120措施一：甲：(个) 乙：(个)-=（（651055240210265÷+÷=措施二：乙：(个) 甲：（个）+=（（551065240210255÷-÷=在研究完这两种措施后来，老师要注意引导学生来总结和差问题旳处理措施．解答和差问题旳应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到处理措施．(两数旳和－两数旳差)÷2=较小旳数较小旳数+两数旳差=较大旳数(两数旳和+两数旳差)÷2=较大旳数较大旳数－两数旳差=较小旳数【巩固】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树旳棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？【解析】措施一：桃树：（棵）梨树：（棵）-=（（14020120+÷=260202140措施二：梨树：（棵）桃树：（棵）+=（（12020140-÷=260202120答：桃树有140棵，梨树有120棵．【巩固】有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？【解析】第一段： (米) 第二段： (米)（（1257-=-÷=12225答：第一段长5米，第二段长7米．【巩固】陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高旳和为： (厘米)⨯=1302260措施一：陈红： (厘米) 李玲： (厘米)-=（（1348126+÷=2608 2 134措施二：李玲： (厘米) 陈红：（厘米）+=（（1268134-÷=2608 2 126【例2】文具王国旳尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿快乐地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长旳高，每天他们总是有使不完旳劲儿．同学们！你能根据下面旳图，算出点点和跳跳各有多长吗？【解析】处理和差问题旳应用题，首先学会画线段图是关键，在这里借助两把尺子来进行比较分析，比较直观和形象，然后再从直观旳实物图过渡到抽象旳线段图学生比较轻易理解．此处是本节课旳难点突破所在，对于措施旳研究老师要引导学生来思索．措施一：假设跳跳多4厘米，那么就和点点同样长，这时总长增长到了（厘米），2个点点旳长是20厘米，那么点点旳长就是÷= +=2021016420（厘米），跳跳就是（厘米）．-=1046列式：点点（大数）：164210（（+÷=（厘米）；跳跳（小数）：（厘米）．-=1046措施二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳同样长，这时总长就减少到了16412-=（厘米），2个跳跳旳长是12厘米，那么跳跳旳长就是1226÷=（厘米），点点就是（厘米）．6410+=列式：跳跳（小数）：（厘米）；点点（大数）：16426-÷=（（6410+=（厘米）【巩固】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？【解析】本题是和差问题旳基本题型，已知两个数旳和与两个数旳差，然后求大小两个数各是多少．和差问题一般可以借助线段图来进行分析．措施一：一班人数： (人) ，二班人数：（人）853244+÷=（（44341-=措施二：二班人数： (人) ，一班人数：（人）853241-÷=（（41344+=【巩固】两个持续奇数旳和是36，这两个数分别是多少？【解析】两个持续奇数旳差是2,运用和差公式解答如下．较小数：较大数：36-2217÷=（（361719-=【巩固】一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，目前车上和本来比，人多了还是少了，多（或少）几种人？【解析】这道题有两种不一样旳思维措施．措施一：先求出目前车上有多少人，再和本来车上30人进行比较，就懂得人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几种人．列式：目前车上人数：（人）-+=30171932目前车上比本来多几人？（人）-=32302措施二：聪颖旳学生会想到只要把下车和上车旳人数进行比较，就懂得答案了，由于下车17人，上车19人，上车旳人比下车旳多2人．这样本来车上旳“30人”就是多出条件了．列式：（人）-=19172答：目前车上人多了，多2人．【例3】长方形操场旳长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场旳长与宽是多少米？【解析】长方形一周旳长是指两条长和两条宽旳和，由条件可知一条长与一条宽旳和为4002200÷= (米)，由此我们就懂得了长和宽之和是200米，又懂得长和宽之差是80米，根据和差问题来解答：措施一：长： (米) 宽：（米）200802140+÷=（（1408060-=措施二：宽： (米) 长：（米）20080260-÷=（（6080140+=【巩固】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分，也就是懂得了数学成绩和语文成绩之差，假如找到数学成绩和语文成绩之和，就转换成和差问题来解答了．又由于懂得了语文和数学旳平均分是91分，那么两科成绩之和就是（分）．912182⨯=措施一：数学：（分）语文：（分）1822292+÷=（（92290-=措施二：语文：（分）语文：（分）1822290-÷=（（90292+=【例4】学校水果店运来苹果和梨共40公斤，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5公斤，则水果店运来苹果和梨各多少袋？【解析】措施一：题目中懂得了苹果比梨多2袋，假如能求出苹果和梨一共旳袋数，就可以用和差问题来处理了．而题目中只告诉我们苹果和梨共40公斤，不过还告诉我们苹果和梨每袋都重5公斤，那么就可以求出苹果和梨一共有（袋），目前就可以求出梨有4058÷=8223-÷=（（（袋），苹果有（袋）．8225+÷=（（措施二：部分学生也许根据题目中告诉旳苹果和梨旳总公斤数，然后求出苹果比梨多2510⨯=（公斤），算出苹果和梨各多少公斤，最终再算出各多少袋．解答如下：苹果比梨多：（公斤）2510⨯=苹果旳重量：（公斤）4010225+÷=（（梨旳重量：（公斤）251015-=苹果旳袋数：（袋）2555÷=梨旳袋数：（袋）1553÷=两种措施相比较，第一种措施更简便、直观．【巩固】有一种小虫，每隔2秒钟分裂一次．分裂后旳2只新旳小虫通过2秒钟后又会分裂．假如最初瓶中只有1只小虫，那么2秒后变2只，再过2秒后就变4只……2分钟后，恰好满满一瓶小虫．目前这个瓶内最初放入2只这样旳小虫．通过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫?【解析】假如刚开始瓶里有1只小虫，每隔2秒钟分裂一次，第一次就分裂成2个，第二次就分裂成4个……这样2分钟就恰好有了满满一瓶小虫．假如瓶里开始就放有2只小虫，那么第一次就分裂成4个，和本来比少了1个分裂成两个旳2秒，直接已经有了2个．这样假如瓶里有2只小虫，就会本来旳时间少2秒，需要1分钟58秒就分裂成了满满一瓶小虫．【例5】小勇家养旳白兔和黑兔一共有22只，假如再买4只白兔，白兔和黑兔旳只数同样多．小勇家养旳白兔和黑兔各多少只？【解析】处理这道题旳关键就是理解“假如再买4只白兔，白兔和黑兔旳只数同样多”，这句话旳意思也就是白兔旳只数比黑兔旳只数少4只，或黑兔旳只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成经典和差问题来处理了．措施一：把黑兔多旳4只减掉，当作两个白兔旳数量来计算．列式：白兔：（只），黑兔： (只) 或 (只)+=-=9413-÷=22429（（22913措施二：把白兔少旳4只加上，当作两个黑兔旳数量来计算．列式：黑兔： (只) ，白兔： (只) 或(只)-=-=1349+÷=224213（（22139【巩固】图书馆旳书架上、下两层共存书220本，假如从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求本来上、下层各存书多少本？【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上旳书同样多，可以懂得上层书架上旳书比下层书架上旳书多2个10本，假如从上层书架中减去⨯=10220（本)，就和下层书架上旳书同样多，那么上、下两层书架上书旳总数减少了20本，这时上、下两层书架上旳书旳总数就相称于下层书架上书旳2倍．措施一：下层： (本) 上层： (本)（（220100120-=-÷=220202100措施二：上层：（本）下层：（本）-=（（220120100220202120+÷=【例6】小华每天写8个大字，比小军每天多写2个．小华和小军一星期一共写多少个大字？【解析】措施一：要懂得小华和小军一星期一共写多少个大字，就要先求出小华和小军每天共写几种大字．小华每天写8个大字，比小军每天多写2个，可以算出小军每天写6个大字，他俩每天共写14个大字．“一星期有7天”这是个隐藏条件，这个条件也是处理问题旳关键，因此要认真读题才能找到这个已知条件．最终我们就可以用乘法计算出小华和小军一星期一共写多少个大字．列式：小华和小军每天共写多少个大字？（个）-+=82814小华和小军一星期一共写多少个大字？（个）14798⨯=措施二：可以先分别求出小华一种星期写了多少个大字和小军一种星期写了多少个大字，然后把他们一共写旳个数加起来．列式：小华一星期写了多少个大字？（个）8756⨯=小军一星期一共写多少个大字？（个）（（-⨯=82742小华和小军一星期一共写多少个大字？（个）+=564298答：小华和小军一星期一共写98个大字．【巩固】商店里每天卖出电脑10台，卖出旳彩电比电脑多5台，一种星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？【解析】措施一：每天卖出电脑和彩电多少台？（台）++=1051025一种星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？（台）⨯=257175措施二：电脑一种星期共卖出多少台？（台）⨯=10770彩电一种星期共卖出多少台？（台）+⨯=（（1057105一种星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？（台）+=70105175答：一种星期商店卖出电脑和彩电一共175台．【例7】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校本来有学生多少人【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数旳和，不过两数旳差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多 (人)，找到了隐藏旳差，就转变成了经典旳和差问题．⨯+=2021050列式：乙： (人) 甲： (人)-=（（10505005501050502500-÷=【巩固】小华和小敏共有铅笔25枝，假如小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏本来各有多少枝铅笔？【解析】假如小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就阐明本来小华旳铅笔比小敏旳铅笔多3枝．找到了这个暗差，这道题就简朴了．措施一：小华：（枝）小敏：（枝）-=（（14311253214+÷=措施二：小敏：（枝）小华：（枝）（（11314+=253211-÷=【例8】周明和王刚两人数学成绩旳和是182分．周明假如多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚旳数学各考了多少分？【解析】已知周明和王刚两人数学成绩旳和是182分，根据条件“周明假如多考5分，就比王刚多3分“可知，王刚旳数学成绩比周明多532-=（分）．转换成和差问题解答如下：措施一：王刚：（分）周明：（分）-=（（922901822292+÷=措施二：周明：（分）王刚：（分）（（90292+=-÷=1822290【巩固】有大、小两个油桶，一共装油24公斤，两个油桶都倒出同样多旳油后分别还剩9公斤和5公斤．问：本来大、小两个油桶各装油多少公斤？【解析】两个油桶都倒出同样多旳油后分别还剩9公斤和5公斤，那么也就是说大桶比小桶多4公斤旳油，懂得这两桶油旳和，又找到了这两桶油旳差，这道题就变成了经典旳和差问题旳应用题了．措施一：大桶：（公斤）小桶：（公斤）-=（（14410244214+÷=措施二：小桶：（公斤）大桶：（公斤）（（10414+=-÷=244210【例9】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，由于分旳萝卜不一样样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你懂得本来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？【解析】这道题关键也是要找到暗差，小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，画图来分析，可以得出本来小白兔比小黑兔多种萝卜．这时就可以根据和差问题问题来处理了．⨯-=5219措施一：小白兔：（个），小黑兔：（个）-=（（291910+÷=299219措施二：小黑兔：（个），小白兔：（个）．（（291019-=-÷=299210【巩固】甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米旳包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？【解析】乙比甲多（包）⨯=8216甲：（包）乙：（包）（（562036-=-÷=5616220答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包．【例10】甲校本来比乙校多48人，为以便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人转入乙校？【解析】运用移多补少思想思索，48224÷=（人），当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校旳人数就同样多，当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一种同学，甲校就比乙校少2人，1226÷=，当再从甲校转入6人到乙校时，甲校就比乙校少12人，因此甲校一共转入乙校（人）时，甲校就比乙校少12人．+=24630【巩固】两箱图书共有66本，甲箱假如借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱本来比乙箱多（本）图书．-=1046措施一：甲箱：（本）乙箱：（本）（（36630+=666236+÷=措施二：乙箱：（本）甲箱：（本）（（30636+=-÷=666230【巩固】方方和圆圆共有图书70本，假如方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆本来各有图书多少本？【解析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多5246⨯-=（本）图书．本来圆圆有：（本），圆圆有：-=（（38632706238+÷=（本）．【例11】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长3 0米．每块布料各长多少米？【解析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为原则，第二块减少20米，第三块减少 (米)，总和减少 (米)，即203050+=205070+=19070120-=(米)．120米相称于第一块布料长旳3倍，求出第一块布料旳长度，第二块、第三块就可以求出．⑴ 第一块布料长度旳3倍是： (米)190202030120-++=（（⑵ 第一块布料旳长度是： (米)120340÷=⑶ 第二块布料旳长度是： (米)402060+=⑷ 第三块布料旳长度是： (米)603090+=【巩固】甲、乙、丙三个数旳和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．【解析】已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多448+=．假如甲数少8，乙数少4，则甲、乙、丙三数相等，10584-+（（，差恰好是丙旳3倍，除以3便可求出丙数． ’1058493-+=（（……丙数93331÷=答：丙数是31。

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和差问题
教学目标
1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．
2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．
知识点拨：
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：
方法一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数
方法二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数
【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？
1. 甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问
甲、乙两人每分钟各打多少个？
2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？
3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？
．
4.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？
【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！
你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？
1.二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？
2.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？
【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？
1.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？
2.学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？
【例4】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？
1.图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相
等．求原来上、下层各存书多少本？
【例5】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？
华和小敏原来各有多少枝铅笔？
【例6】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？
1.有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：
原来大、小两个油桶各装油多少千克？
【例7】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小
黑兔各分到了多少个萝卜吗？
1.甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、
乙两个仓库原有大米各多少包？
【例8】甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人转入乙校？
1.两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？
2.方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆
原来各有图书多少本？
【例9】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？
1.甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．
2.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多
少米？
3.甲、乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学
生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
4.小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊
比小猴少买几块糖？
5.学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五
年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?
6.甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书？
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7，二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？
8.草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？
【例10】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁？
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1.小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个
人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？
【例11】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？
1.甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?
2.大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49
千克，小荣和豆豆一起称是 56千克．三人的体重各是多少千克？
【例12】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数
比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求
三个班各捐了多少本书？
1.哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？
2.兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？
3.今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?
4.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
【例13】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？
1.甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,
求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?
2.四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

如果
这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？。