一类特殊行列式的计算公式
副对角线三角行列式计算公式
副对角线三角行列式计算公式
副对角线三角行列式公式：(-1)^(1+n)=(-1)^(n-1+2)={(-1)^(n-1)}{(-1)^2}=(-1)^(n-1)。
三角形行列式是一种特殊的行列式，包括上三角形行列式和下三角形行列式，亦称上三角行列式和下三角行列式，统称三角形行列式。
每个行列式都可以只运用行或者列的性质化为一个与其相等的上(下)三角形行列式，上(或下)三角形行列式都等于它们主对角线上元素的乘积。
副对角形行列式：副对角线上方、下方的元素全为零的行列式称为副对角形行列式。
主对角形行列式既是上三角形行列式又是下三角形行列式。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)(一）行列式的定义及相关公式 (2)（二）n级行列式的性质： (4)二、行列式的计算 (6)（一）行列式的基本计算方法 (6)1、定义法： (6)2、三角形法： (7)3、降阶法： (12)4、换元法： (14)5、递推法： (15)6、数学归纳法: (16)7、目标行列式法： (18)(二）行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念.行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。
辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first，moreover all has the widespread application in other discipline branches，we can say that it is an important study tool which in mathematics，the physics as well as the engineering course many curricula。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支，而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量，它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中，行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过如下公式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式，最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，如果A是一个可逆矩阵，那么方程组的解可以表示为：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式，det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值，可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下步骤计算：当n=1时，行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时，可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式，然后递归计算下去，直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外，行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法，比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
行列式计算必备公式
1.
二阶行列式公式： |a b| |c d| = ad - bc
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.
3.
三阶行列式公式： |a b c| |d e f| |g h i| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
4.
5.
行列式按行（列）展开公式： 以行展开： |a1,1 a1,2 a1,3| |a2,1 a2,2 a2,3| |a3,1 a3,2 a3,3| = a1,1|A2,2 A2,3| - a1,2|A2,1 A2,3| + a1,3|A2,1 A2,2| 其中A2,2表示去掉第2行和第2列后的行列式。 以列展开同理。
6.
7.
行列式性质： （1）行列式转置，即将行列式的行和列对调，行列式的值不变； （2）交换行（列），行列式的值变号； （3）某行（列）乘以k，行列式的值也乘以k； （4）若行列式的某行（列）全为0，则行列式的值为0； （5）若行列式的两行（列）成比例，则行列式的值为0； （6）行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
8.
这些公式和性质是行列式计算的基础，掌握它们可以帮助我们更好地解决行列式相关的问题。
一类特殊行列式的计算公式
一类特殊行列式的计算公式在矩阵与行列式的计算中，常常会遇到一类特殊的行列式形式，它们有一些特殊的性质和计算公式。
在本篇文章中，我将介绍几种常见的特殊行列式，并给出它们的计算公式。
1.对称行列式对称行列式指的是行列式中的每一行都与其对应的列完全相同。
例如，以下是一个对称行列式的例子：```abcbcdcde```对称行列式有一个非常重要的性质，即它的值等于其中任意一个元素与该元素所在的余子式的乘积之和。
余子式是指将该元素所在的行列删去后的行列式。
以前述的对称行列式为例，假设我们要计算元素a的余子式：```deef```则根据上述性质，对称行列式的值可以表示为：abcbcdcde=a*，de，+b*，ef，+c*，dfef，，gh，，g```2.三角行列式三角行列式指的是行列式中的元素有一定的规律，每个元素下方都有一个或多个为0的元素。
以下是一个三角行列式的例子：```ab0c0000d```三角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的三角行列式为例，其计算公式为：```ab000d=a*0*0+0*0*0+0*b*0+0*0*d+c*0*0+0*0*d=0+0+0+0+0+0=0```3.对角行列式对角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，只有对角线上的元素不为0。
以下是一个对角行列式的例子：```a000b000c```对角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的对角行列式为例，其计算公式为：```a000b0=a*b*c```4.上三角行列式与下三角行列式上三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以下的元素全为0。
以下是一个上三角行列式的例子：```abc0de00f```类似地，下三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以上的元素全为0。
以下是一个下三角行列式的例子：```a00bc0def```对于上三角行列式和下三角行列式，它们的值等于对角线上的元素的乘积。
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中有着广泛的应用。
行列式的运算法则是指在进行行列式的各种运算操作时所遵循的一些规则和性质。
本文将详细介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常用的运算法则。
一、行列式的定义行列式是一个数，它与一个方阵相关联。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
对于2阶方阵，行列式的计算公式为：|A| = a11*a22 - a12*a21其中a11、a12、a21、a22分别表示方阵A的各个元素。
二、行列式的性质行列式具有一些重要的性质，这些性质在行列式的运算中起到了重要的作用。
1. 互换性质：交换方阵A的两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 共线性质：如果方阵A的某两行（或两列）成比例，行列式的值为0。
3. 零性质：如果方阵A的某行（或某列）全为0，则行列式的值为0。
4. 数乘性质：如果将方阵A的某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k。
5. 加法性质：如果方阵A的某一行（或某一列）的元素是两个向量的和，行列式的值等于这两个向量对应位置的元素的行列式的和。
三、行列式的运算法则行列式的运算法则包括行列式的加法、减法、数乘、转置、乘法等。
1. 行列式的加法和减法对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和（差）等于对应元素的行列式之和（差）：det(A±B) = det(A) ± det(B)2. 行列式的数乘对于一个n阶方阵A，将它的每一行（或每一列）都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k：det(kA) = k^n * det(A)3. 行列式的转置对于n阶方阵A，将它的行和列对调，得到的方阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
转置矩阵的行列式与原方阵的行列式相等：det(A^T) = det(A)4. 行列式的乘法对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：det(AB) = det(A) * det(B)四、行列式的应用行列式在线性代数中有着广泛的应用，尤其是在矩阵和向量运算中。
ab型行列式的计算公式
ab型行列式的计算公式【原创实用版】目录1.引言2.AB 型行列式的定义3.AB 型行列式的计算公式4.举例说明5.结论正文1.引言在数学中，行列式是一种重要的概念，它在线性代数、微积分以及其他相关领域中都有着广泛的应用。
其中，AB 型行列式是行列式中的一种特殊类型，它由两个矩阵相乘而成，具有独特的计算公式。
本文将介绍 AB 型行列式的计算公式及其应用。
2.AB 型行列式的定义AB 型行列式是由两个矩阵 A 和 B 相乘而成的，表示为一个四阶行列式：D = |A B| = |A| * |B|其中，|A|和|B|分别表示矩阵 A 和 B 的行列式，D 即为 AB 型行列式。
3.AB 型行列式的计算公式AB 型行列式的计算公式如下：D = det(A) * det(B) - det(A[:-1,:-1]) * det(B[:,-1])其中，det(A) 表示矩阵 A 的行列式，A[:-1,:-1] 表示矩阵 A 去掉最后一行和最后一列后的子矩阵，B[:,-1] 表示矩阵 B 去掉最后一列后的子矩阵。
4.举例说明假设有两个 2x2 的矩阵 A 和 B，如下所示：A = [[1, 2],[3, 4]]B = [[5, 6],[7, 8]]则 AB 型行列式 D 为：D = |A B| = |A| * |B| = (1 * 5 - 2 * 6) * (3 * 8 - 4 * 7) = -565.结论AB 型行列式的计算公式为 det(A) * det(B) - det(A[:-1,:-1]) * det(B[:,-1])，通过此公式可以快速计算出 AB 型行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个特征值，表示矩阵所包含的线性变换对空间的扭曲程度。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
一、定义法行列式的定义法是最基础的计算方法，也是其他方法的基础。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，定义为：det(A) = a11*a22*...*ann+b11*b32*...*bnn + ... + z11*z22*...*z(n-1)n+(-1)^nPa11、a22、...、ann 为A的主对角线元素，b11、b32、...、bnn是由A去掉第一行第一列后的矩阵的对角线元素，z11、z22、...、z(n-1)n是由A去掉最后一行最后一列后的矩阵的对角线元素，nP为A的最后一行元素的乘积与(-1)^n的乘积。
对于一个3阶方阵A，其行列式为：det(A) = a11*a22*a33 + a21*a32*a13 + a31*a12*a23 - a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a33*a12*a21二、按行或按列展开法按行或按列展开法是行列式计算的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，按第i行展开行列式得到：det(A) = a1i*A1i + a2i*A2i + ... + ani*AniAji是由A去掉第i行第j列得到的(n-1)阶方阵，Aji的行列式记作det(Aji)或|Aji|。
按列展开的计算方法与按行展开类似。
三、逐次消元法逐次消元法是一种基于初等变换的行列式计算方法。
通过初等变换将方阵A转化为一个上三角矩阵，再取上三角矩阵的对角线元素的乘积即可得到行列式的值。
具体步骤如下：1. 对A的第1列进行初等行变换，将首元素a11变为1，其它元素变为0；2. 将A的第1列以下的元素进行初等行变换，使得首列以下的所有元素变为0；3. 对A的第2列进行初等行变换，将次对角元素a22变为1，其它元素变为0；4. 将A的第2列以下的元素进行初等行变换，使得次对角列以下的所有元素变为0；5. 重复上述过程，直到对角线上所有元素都变为1。
行列式的计算方法
行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LL L MM M M M M M M M NL LLL 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
谈谈行列式的计算方法
谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。
设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。
1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。
2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。
3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。
性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。
-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。
-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。
二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。
2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。
对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。
代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。
通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。
行列式的计算公式
行列式的计算公式
行列式上三角和下三角计算方法为：对角线元素相乘。
行列式上三角和下三角在形状上不一样，但是计算方法是一样的。
特别在当上三角和下三角主对角线上的元素相同时，行列式的上三角和下三角的计算结果相同。
上三角形行列式和下三角形行列式，亦称上三角行列式和下三角行列式，统称三角形行列式。
行列式上三角和下三角计算方法为：对角线元素相乘。
行列式上三角和下三角在形状上不一样，但是计算方法是一样的。
特别在当上三角和下三角主对角线上的元素相同时，行列式的上三角和下三角的计算结果相同。
上三角形行列式和下三角形行列式，亦称上三角行列式和下三角行列式，统称三角形行列式。
每个行列式都可以只运用行或者列的性质化为一个与其相等的上（下）三角形行列式。
上（或下）三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。
行列式d与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行(列于)，行列式的值发生改变符号。
n阶行列式等于任意一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
n阶行列式中任一一行(列于)的所有元素与另一行(列于)的适当元素的代数余子式的乘积之和等于零。
行列式的多种计算方法
例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b b a a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k =1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n n n n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列(1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B 和D 可逆，求A -1.例12 计算nn b b b a a a D 101000102121=例13 设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A , BC T =0. 证明：|AA T|=|BB T||CC T |.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n 21nn n 21nn n 210*00000000*0000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n 21nn n 21nn n n 21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯=001030100211111解：)11(!0000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-nj nn nj C jC nj njn n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n1k i iC C n,2j n 333222111n1i i i n 1133112211321r -r n 2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x101-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nn n n n解3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b ab a a b a a a b b a b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(00000001c c c c 010010011r r r r ,r r 00011n nax 112ax 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax naa x a x a x a a aa x a x a x a a a xa a a x aa a x aa a D a x xaa a a x a a a a x a a a a x D 时当时当5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(0000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n nn n n n nn nn nn n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a a x D a x a a a a a x a a a a x a a a a x a x a a a x a a a x a a a x a a x a a a x aa a x a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例1121121212111110000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8nnn n nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n nna aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解 构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n n A x A x A x xA A x x xx x x x x x xx xx xx xx x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111=nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a D ++++++=221122221211212111解n nn n n nn n n n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a x x a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=ni i nnn n n nn n n A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果 例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11nn nn n n n nn b a b a b a b a b a b a D ⨯++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D nn n例题。
行列式算法
行列式算法行列式(matrix)：由n行或n列的元素所构成的方阵。
是矩阵的一种，它既是一个乘法运算，又是一个加法运算。
行列式可以写成数学公式： C=A|B|C|D|E|F|G|H，其中A、 B、 C为行、列号， D、 E、F为它们的值。
行列式的值等于每个元素乘以其行列式的值，即所有行列式相乘的积。
如果行列式的值是0，则称这个行列式为零行列式，也称为单元格矩阵。
1、行式(row-column matrix)：每个非零元素的取值范围都是该行(row)或该列(column)所在的单元格的元素之和。
2、列式(column-row matrix)：每个非零元素的取值范围都是这两个单元格所在的行和列。
3、矩阵(matrix)：有行(列)的数据元素排成的一个数据表示。
是由一些具有特定关系的数据元素按照一定规律组成的表示，它具有对应的一个或多个行列式。
4、阵列(array)：相互不交或相交的一组数据元素排成的一个数据表示。
是由若干相同元素排成的一个数据表示。
因此，在上面三种情况下，只要把某个列看作是行，另外的列就看作是列式。
行列式有许多性质和计算方法，这里仅举例介绍行列式算法。
比较三个列之间的大小时，前两个列之间的大小比较容易处理，这时采用如下方法计算：第一行是第一列，第二行是第二列，第三行是第三列，则行列式=A^2+B^2+C^2-A-B-C；例如，将A=3^2和B=3^3，C=6^3两列合并，得到A=1^2+1^3+2^2+3^2+3^3= 8，而B=3^2+3^3+2^2+1^3+3^2=20。
可见，列式中A、 B、 C的值的乘积相当于A、 B、 C本身的乘积，因此行列式算法与排序算法是基本类似的。
当然，最后一步的计算需要进行行列互换，并且适当选择B值。
计算行列式算法：第一步： B=A；第二步： B=B；第三步： B=C。
三种方法依次交替使用，最终结果就是行列式值。
但是，有一点必须说明：行列式计算和列式计算都属于“二进制”运算，这意味着，运算顺序和“二进制”运算是一样的，即，任何两个“二进制”值都能相互转化，但是，运算的结果并不完全一样。
一类特殊行列式的计算公式
一类特殊行列式的计算公式一类特殊行列式的计算公式是：拉普拉斯展开公式。
该公式用于计算任意n阶行列式的值，其中n为正整数。
具体公式如下：对于一个n阶行列式A，可以通过拉普拉斯展开公式计算其值。
首先选择A的第一行（或第一列）中的任意一个元素a[ij]作为展开元素，然后按照下列公式进行展开计算：|A| = a[ij] * C[ij] + a[ik] * C[ik] + a[ih] * C[ih] + ...其中，C[ij]表示剩余的元素构成的n-1阶行列式的值，即A中除去第i行和第j列的元素所构成的行列式值。
这个公式是通过对行列式的第一行（或第一列）进行展开，得出每一项的计算结果，然后求和得到整个行列式的值。
这种计算方法可以用递归的方式实现，即将求n阶行列式的问题转化为求n-1阶行列式的问题，直到最后求一个1阶行列式（即一个数的绝对值），从而求得整个行列式的值。
这个公式的优点是可以用于计算任意n阶行列式的值，不受行列式元素特性的限制，适用范围广。
但是由于其计算的复杂度较高，当n较大时，计算量会很大，效率较低。
除了拉普拉斯展开公式，还有其他一些特殊行列式的计算公式也可以用于求解行列式的值。
例如，以下是一些常见的特殊行列式及其计算公式：1. 对角线行列式：对于一个n阶对角线行列式D，即D的非对角线元素全为0，对角线上元素为a，可以使用以下公式计算其值：D = a^n。
2. 上三角行列式：对于一个n阶上三角行列式U，即U的下三角（包括对角线）元素全为0，可以使用以下公式计算其值：U = a[11] * a[22] * ... * a[nn]。
3. 下三角行列式：对于一个n阶下三角行列式L，即L的上三角（包括对角线）元素全为0，可以使用以下公式计算其值：L = a[nn] * a[n-1][n-1] * ... * a[11]。
4. 方阵行列式：对于一个n阶方阵行列式M，即行数等于列数的行列式，如果M满足以下条件：M的所有行（或列）元素成比例，可以使用以下公式计算其值：M = a^n * C，其中a为比例因子，C为比例因子为1时的行列式值。
下三角行列式的计算公式
下三角行列式的计算公式一、什么是三角行列式三角行列式是一种特殊的行列式，它具有一定的规律和性质。
在三角行列式中，除了主对角线上的元素外，其他元素都为零。
三角行列式的计算公式可以简化计算过程，提高计算效率。
二、三角行列式的计算公式对于一个n阶的三角行列式，其计算公式如下：D = a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ * ... * aₙₙ其中，a₁₁、a₂₂、a₃₃、...、aₙₙ分别为三角行列式的主对角线上的元素。
三、三角行列式的计算例子为了更好地理解三角行列式的计算公式，我们来看一个具体的例子。
假设有一个3阶的三角行列式：A = | 2 0 0 || 3 4 0 || 5 6 7 |根据三角行列式的计算公式，我们只需要将主对角线上的元素相乘即可：D = 2 * 4 * 7 = 56所以，该三角行列式的值为56。
四、三角行列式的性质除了计算公式外，三角行列式还具有一些性质，下面我们来介绍一些常见的性质。
1. 三角行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。
2. 三角行列式的值与对角线上的元素的顺序无关，只与元素的值有关。
3. 三角行列式的值等于其转置矩阵的值。
五、三角行列式的应用三角行列式在代数学中有着广泛的应用，特别是在线性代数中。
它可以用于解线性方程组、计算矩阵的逆等。
1. 解线性方程组通过三角行列式，我们可以将线性方程组的求解问题转化为行列式的计算问题。
首先，我们将线性方程组的系数矩阵表示为一个三角行列式。
然后，根据三角行列式的计算公式，计算出行列式的值。
如果行列式的值不为零，则线性方程组有唯一解；如果行列式的值为零，则线性方程组无解或有无穷多解。
2. 计算矩阵的逆矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，它可以用于解线性方程组、求解线性方程组的最小二乘解等。
通过三角行列式，我们可以计算出矩阵的逆。
首先，我们将矩阵表示为一个三角行列式。
然后，根据三角行列式的计算公式，计算出行列式的值。
如果行列式的值不为零，则矩阵可逆；如果行列式的值为零，则矩阵不可逆。
上下三角行列式计算公式
上下三角行列式计算公式
上下三角行列式计算公式是一种用于计算矩阵行列式的方法。
它适用于具有特殊结构的矩阵，即上下三角矩阵。
上下三角矩阵是指在主对角线上方或下方的元素全都为0的矩阵。
计算该类型矩阵的行列式可以采用以下的公式：
设上下三角矩阵 A 的纵向维度为 n，则该矩阵的行列式可以表示为：
det(A) = a₁₁ * a₂₂ * ... * a_nn
也可以表示为：
det(A) = Π(i=1 to n) a_ii
其中，a_ii 表示矩阵 A 中位于第 i 行第 i 列的元素。
该公式的计算方式是将上下三角矩阵 A 的主对角线上的元素相乘，得到最终的行列式的值。
举例来说，假设有一个 3x3 的上三角矩阵 A，其元素为：
2 0 0
1 3 0
4 5 6
则根据上下三角行列式计算公式，我们可以计算出其行列式的值为：
det(A) = 2 * 3 * 6 = 36
这样，我们就可以利用上下三角行列式计算公式准确地计算出上下三角矩阵的行列式的值。
需要注意的是，该计算公式仅适用于上下三角矩阵，不适用于其他类型的矩阵。
在计算其他类型矩阵的行列式时，需要采用其他相应的计算方法。
行列式公式
行列式公式：
行列式计算基本公式是：D=A＝detA=det（aij）。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A |。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
公式性质：
1、行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。
2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列）。
3、行列式A中两行（或列）互换，其结果等于－A。
4、把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
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一类特殊行列式的计算公式
特殊行列式是数学中常见的一种特殊类型的矩阵，其计算方式和
普通行列式有很大区别。
特殊行列式一般用于解决某些特殊问题，如
线性方程组、行列式积等。
在本文中，我们将介绍特殊行列式的计算
公式，并进行简单的推导，同时介绍其应用以及注意事项。
特殊行列式的计算公式中，最常见的是Vandermonde行列式的计
算公式，其表达式为：
$V_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\prod_{1\leq i<j\leq
n}(x_{j}-x_{i})$
其中$n$代表矩阵的阶数，$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、
$x_{n}$则代表矩阵的元素。
该公式的推导主要是利用行列式中的性质，如行列式的行列互换等，将矩阵化为上三角或下三角矩阵，然后进行
逐次消元得到以上表达式。
Vandermonde行列式常被用于求解线性方程组以及多项式插值问题。
例如，当我们需要求解一组线性方程组
$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}
x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{cases}$
时，我们可以将系数矩阵$A$与常数矩阵$b$组成增广矩阵
$\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$，并求其行列式。
若该行列式值
为$0$，则说明线性方程组无解或有无数解，否则通过Cramer法则可
以求得唯一解$x$。
除了Vandermonde行列式，还有其他的特殊行列式如行列式积等。
行列式积是一类带参数的行列式，其表达式为：
$\prod_{i<j}\frac{x_{j}-x_{i}}{y_{j}-y_{i}}$
其中$x_{i}$、$y_{i}$分别为两组不同的数，$i$、$j$为矩阵元
素的索引。
当特殊行列式中含有参数时，其解法就变得更加复杂，需
要运用更多的数学知识及技巧进行计算。
在实际应用过程中，应根据
具体情况选择合适的计算方法，避免盲目使用公式而出现错误。
总之，特殊行列式是数学中重要的一类矩阵，其计算公式能够帮
助我们解决许多实际问题。
我们应该广泛学习相关知识，熟练掌握计
算方法，并注意在应用过程中的易错点和注意事项。
只有这样，我们
才能真正掌握特殊行列式的计算方法，为解决实际问题提供有力的数
学支持。