面面垂直线面垂直的判定定理
2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理
C是圆周上不同于A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直，则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习：
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形， PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， 求证：平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角，
而AB⊥BE，故-CD-是直二面角． ∴⊥ .
注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个
平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据． 如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据 这个原理．
P
F
E
D A M B
C
3. 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; （1）求证： （2）若PDA 45 ，求证：平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
平面和平面垂直的判定性质定理
l
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
4．二面角旳平面角
在二面角-l-旳棱l上任
l
B
取一点O，如图，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂
O
A
直于棱 l 旳射线OA、OB，射线
OA、OB构成∠AOB．则 AOB
叫做二面角 -l- 旳平面角
5．二面角旳大小
二面角旳大小能够用它旳平面角来度量．即二面角 旳平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角旳两个面重叠： 0o； ② 二面角旳两个面合成一种平面：180o； 二面角旳范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角旳二面角叫直二面角．
A D
E
CB
归纳小结：
(1)鉴定面面垂直旳两种措施： ①定义法 ②根据面面垂直旳鉴定定理
(2)面面垂直旳鉴定定理不但是鉴定两个平面 相互垂直旳根据，而且是找出垂直于一种平 面旳另一种平面旳根据；
(3)从面面垂直旳鉴定定理我们还能够看出面 面垂直旳问题能够转化为线面垂直旳问题来
处理.
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD旳中点， 求证：平面AEC⊥平面角大小旳环节为： （1）找出或作出二面角旳平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，假如它们所成旳二
面角是直二面角，就说这两个平面相互
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
问题：
怎样检测所砌旳墙面和地面是否垂直？
猜测：
假如一种平面经过了另一 种平面旳一条垂线，那么这两 个平面相互垂直.
直线、平面平行垂直的判定及其性质
定理： 如果两个平行平面 // , a, 同时和第三个平面相交， b a // b 那么它们的交线平行。
推论 1： 如果两平面平行， 则 一平面内任何一条直线与另 一个平面平行。 推论 2： 两条直线被三个平面 所截，截得的对应线段成比 例。
, a, b 且b a b
// , a , a //
直线、平面间的平行、垂直的判定及其性质
平
定理内容 定理： 如果不在一个平面 内的一条直线和平面内 的一条直线平行， 那么这 条直线和这个平面平行。 定理： 如果一个平面内有 两条相交直线平行于另 外一个平面， 那么这两个 平面平行。 推论： 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，则这两个平面平 行。 定理： 如果一条直线和一 个平面平行， 经过这条直 线的平面和这个平面相 交， 那么这条直线就和两 平面的交线平行。
推论：已知平面外的两条平 行直线中的一条平行与这个 平面，则另一条也平行于这 个平面
行
符号表示
a ,b , 且a // b a //
垂
图形表示 定理内容 定理：如果一条直 线与平面内的两 条相交直线垂直， 则这条直线与这 个平面垂直。 推论 1：如果在两 条平行直线中，有 一条垂直于平面， 那么另一条也垂 直于这个平面。 定理：如果一个平 面过另一个平面 的垂线，则这两个 平面互相垂直。 定理：如果一条直 线垂直于一个平 面，那么它就和平 面内的任意一条 直线垂直。 推论 2：如果两条 直线垂直于同一 个平面内，那么这 两条直线平行。 定理：如果两个平 面互相垂直，那么 在一个平面内垂 直于它们交线的 直线垂直与另一 个平面。
直
符号表示
面面垂直判定定理
面面垂直在解析几何中的应用
判定定理的应用
在解析几何中，利用面面垂直的判定定理可以确定两个平面是否垂直，进而解决与垂直相关的问题。
空间角的计算
通过面面垂直的关系，可以计算两个平面之间的夹角，即二面角的大小。
面面垂直的推广与应用前景
推广至一般曲面
在机械工程中的应用
将面面垂直的概念推广至一般曲面， 研究曲面间的垂直关系及其性质。
判定条件的证明
条件一的证明
假设有两个平面α和β，且α∩β=l ，如果直线m⊥α且m⊂β，那么 根据面面垂直的定义，我们可以 得出α⊥β。
条件二的证明
假设有两个平面α和β，且直线 m⊥α，如果m∥β，那么我们可 以过直线m作一个平面γ，使得γ 与β相交于一条直线n。由于m∥n 且m⊥α，根据线面垂直的性质定 理，我们可以得出n⊥α。又因为 n⊂β，所以根据面面垂直的判定 定理，我们可以得出α⊥β。
条件三的证明
假设有两个平面α和β，它们的法 向量分别是n1和n2。如果 n1·n2=0（即n1和n2互相垂直） ，那么根据面面垂直的定义，我 们可以得出α⊥β。
03
面面垂直的性质
面面垂直与线面垂直的关系
01
如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。
02
如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点并垂直于 第二个平面的直线在第一个平面 内。
机械制造
在机械制造中，许多零部件需要保持 严格的垂直关系以确保设备的正常运 行。例如，机床的主轴与工作台需要 保持垂直，以确保加工的精度和效率 。
06
面面垂直的拓展与延伸
面面垂直与空间向量的关系
空间向量法
利用空间向量的数量积判断两个平面的法向量是否垂直，从而确定两个平面是否垂直。
直线与平面垂直的判定及三垂线定理及其逆定理
因为 A，O，B 三点不共线， 所以 A，O，B 三点确定平面． 所以 OP OA, OP OB.
O A B
又因为 PO2 OA2 PA2 , PO2 OB2 PB2 又因为: OA OB O, 所以: OP . 因此，旗杆OP与地面垂直．
典型例题
例2 如图，已知 a // b, a ，求证
3、判断题：
(1) l l与相交
(2) m ,n , l m, l n l (3) l // m, m // n, l n
练习5
已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D，CQ AB于Q。求证：DQ AB。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C D
E
从平面外一点向这个 平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，哪一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
例3、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，取 DD1 的中 点E，AB和CD交于O点，求证： 1 平面EAC OB
D1 C1
A1 E
B1
D O A B
C
练习1
如图,在空间四边形ABCD中 , AB＝AD,CB＝CD,K是BD的中点。求证： B BD⊥平面ACK A
A
K
·
D
B
D
变式： C ⑴ 在空间四边形ABCD中，AB＝AD， CB＝CD，求证：BD⊥AC； ⑵ 在⑴中，若E、F分别是BC、CD 的中点，求证：EF⊥AC；
线面垂直判定定理证明
线面垂直判定定理证明线面垂直判定定理证明引言：在几何学中，我们常常需要判断两个物体之间是否垂直。
在平面几何中，我们可以使用勾股定理来判断两条线段是否垂直。
但是，在空间几何中，我们需要使用线面垂直判定定理来判断一条直线和一个平面是否垂直。
本文将详细介绍线面垂直判定定理的证明过程。
一、线面垂直判定定理的表述线面垂直判定定理是指：如果一条直线与一个平面相交，并且这条直线与平面上的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
二、证明过程为了证明该定理，我们需要先了解以下两个引理：引理1：如果两个向量的点积为0，则它们互相垂直。
引理2：如果一个向量与一个平面上的任意一个向量点积为0，则这个向量与该平面垂直。
接下来，我们开始证明：假设有一条经过点P的直线l和一个经过点P的平面α，且l与α上任意一条经过点P的曲线都相交于90度角。
现在我们需要证明l与α相互垂直。
首先，我们可以在平面α上找到一条经过点P的直线m，使得l与m 相互垂直。
这是因为，如果l与α不垂直，则必然存在一条经过点P 的曲线n，使得l与n的夹角不为90度。
而这与假设矛盾。
接下来，我们需要证明向量l在平面α上的投影向量为0。
我们可以将向量l表示为两个向量之和：一个在平面α上的向量和一个垂直于该平面的向量。
由于l与平面α上任意一条经过点P的曲线都相交于90度角，所以可以得出该垂直于该平面的向量就是法线向量n。
因此，我们可以将向量l表示为：l = a + bn其中a是在平面α上的投影向量，b是垂直于该平面的投影向量。
由引理1可知，a与n互相垂直。
由引理2可知，n与平面α上任意一个向量c点积为0。
因此，a·c + b·c = (a + bn)·c = l·c = 0即a在平面α上的投影向量为0。
最后，根据引理1可知，a和b互相垂直。
因此，l·n = (a + bn)·n = a·n + b·n = b·n = 0即向量l与平面α垂直。
面面垂直的判定定理
线线垂直
α
线面垂直
证明两个平面垂直有那些方法？ 1.定义法
2.两平面垂直的判定定理
B
面面垂直
3
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？ 应 用 于 生 活
4
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
如果:AB⊥β, α过AB ,
那么:α⊥β
证明： ∵AB⊥β,CD 是交线 ∴AB⊥CD 在平面β内过点B作直线BE⊥CD ∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角 ∵ AB⊥β BE在β内 ∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ∴二面角α—CD — β是直二面角 ∴α⊥β
α
A
B
D
β E
C
5
平面与平面垂直的判定定理
1
ι
观 察 生 活
注意观察：
1.门轴与地 面的关系
2.门轴与门 面的关系
3.门面与地 面的关系
你发现了什么？
2
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:AB⊥α, β经过AB,
β
则α⊥β
A
简记：线面垂直，则面面垂直
平面与平面垂直的判定定理
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？
②找基面的垂线 取AB的中点M，连结PM． P 由己知AB2 = AC2 + BC2，∴∠ACB是直角．
连结CM，∴AM = BM = CM，
∵PA = PB = PC，∴△PAM≌△PCM． A ∵PM⊥AM，∴PM⊥CM， ∴PM⊥平面ABC
N
C
M B
③作平面角 取AC的中点N，连结MN、PN．
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
练习
一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角， 其作法主要有：
(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一 点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂 线所成的角为二面角的平面角．
(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的 交线所成的角是二面角的平面角．
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
的平面角.
A
l
O
B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
直线与平面垂直的判定及三垂线定理及其逆定理
l P
FD
Bm
αA
O
E
Cn
g
又∵∠AOF=∠BOE， OA=OB
∴ △AOF≌△BOE（ASA） ∴OF=OE 又∵ △PAD≌△PBC（SSS） ∴∠PAF=∠PBE
∴ △PAF≌△PBE（SAS） ∴PF=PE
∴PO⊥EF，即l ⊥g
∵ g 是α内任意一条直线∴ l ⊥α
典型例题
例1 一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的 绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 （与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆 脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？
⑷ 在⑴中，若E是BC的中点，F是CD上的动点， 问EF能与AC垂直吗？
练习2
如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点， O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。
求证：PO平面ABCD
P
D O
提示
AO=CO，PA=PC，
POAC。
同理PO BD，
C
又 AC BD=O， PO 平面ABCD。
A
B
练习3（课本67页）
1.如图,在三棱锥 V ABC中,VA VC, AB BC
求证VB AC
V
2.过ABC所在平面外一点P,
作PO ,垂足为O,连接PA, PB A
C
PC.
B
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
AB＝AD,CB＝CD,K是BD的中点。求证：
BD⊥平面ACK
B
K·
D
A
变式：
C
B E
⑴ 在空间四边形ABCD中，AB＝AD，
面面垂直判定定理
②根据面面垂直的判定定理 (2)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问 题来解决.
β
α
(3)二面角的平面角 垂直于二面角棱的任一平面与两个半 平面的交线所成的角也是二面角的平面角。
①二面角的平面角与点（或垂直平面） 的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小有关。 ②二面角就是用它的平面角来度量的。 一个二面角的平面角多大，我们就说 这个二面角是多少度的二面角。
二面角的平面角必须满足：
猜想： 如果一个平面经过了另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直.
面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直
l α αβ l β
线线 垂直 线面 垂直
l
B C D
A
面面 垂直
两个平面垂直的表示
β
β
α
α
例题讲解 例1. 在Rt△ABC中，∠B=90，P为△ABC 所在平面外一点，PA⊥平面ABC，问：四面 体PABC中有几个直角三角形？
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
l
B
A O
B
B
A C
D
o
哪个对?怎么画才对?
10
(4)直二面角
A
(5) 两平面垂直
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直
O
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
问题探究：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
复习
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言
摘要：
1.直线与平面垂直的判定定理简介
2.符号语言的解释
3.判定定理的应用实例
4.总结与启示
正文：
【提纲】
1.直线与平面垂直的判定定理简介
在几何学中，直线与平面的关系是一个核心研究领域。
垂直性是其中一种重要的关系，而判定定理则是帮助我们判断直线与平面是否垂直的依据。
这个判定定理可以用如下符号语言来表示：
设直线L和平面α，若存在直线L"α，使得L"与L平行，则称直线L与平面α垂直。
记作：L⊥α。
【提纲】
2.符号语言的解释
在这个符号语言中，“⊥”表示垂直，“”表示包含关系，“∥”表示平行。
这个判定定理告诉我们，如果存在一条直线L"在平面α内，且与直线L平行，那么我们可以判断直线L与平面α是垂直的。
【提纲】
3.判定定理的应用实例
举个例子，假设有一根直线L位于平面α上，我们需要判断L与α的关系。
如果我们在α内找到一条直线L"，使得L"与L平行，那么我们可以确定L 与α是垂直的。
反之，如果无论我们如何选择L"，都无法使L"与L平行，那么我们可以推断出L与α不是垂直的。
【提纲】
4.总结与启示
直线与平面垂直的判定定理为我们提供了一种有效的方法来判断直线与平面的垂直关系。
通过运用符号语言和寻找平面内与直线平行的直线L"，我们可以快速地确定直线与平面的垂直性。
这个判定定理在几何学和相关领域具有广泛的应用，是几何学基础中的重要知识。
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明面与面垂直的判定定理是几何学中非常重要的一个定理，它可以帮助我们判断两个面是否垂直。
在实际应用中，这个定理被广泛应用于建筑、机械制造、航空航天等领域。
下面我将为大家介绍面与面垂直的判定定理的证明过程。
首先，我们需要了解一些基本概念。
在三维空间中，两个面的法向量分别为n1和n2，如果它们垂直，则它们的点积为0，即n1·n2=0。
因此，我们只需要证明n1·n2=0时，两个面垂直即可。
接下来，我们假设两个面分别为平面ABC和平面DEF，它们的法向量分别为n1和n2。
我们可以通过向量叉积的方式求出n1和n2，即n1=AB×AC，n2=DE×DF。
其中，×表示向量叉积运算。
由于向量叉积的性质，我们可以得到以下结论：1.向量叉积的结果与向量的顺序有关，即AB×AC=-AC×AB。
2.向量叉积的结果与向量的长度和夹角有关，即|AB×AC|=|AB||AC|sin∠BAC。
3.向量叉积的结果垂直于参与运算的两个向量，即AB×AC垂直于平面ABC。
基于以上结论，我们可以得到以下证明过程：n1·n2=(AB×AC)·(DE×DF)=(AB·DE)(AC·DF)-(AB·DF)(AC·DE)由于向量叉积的结果垂直于参与运算的两个向量，因此AB×AC垂直于平面ABC，DE×DF垂直于平面DEF。
因此，(AB·DE)(AC·DF)表示平面ABC和平面DEF的夹角余弦值，(AB·DF)(AC·DE)表示平面ABC 和平面DEF法向量在平面ABC上的投影和在平面DEF上的投影的乘积。
由于平面ABC和平面DEF垂直，因此它们的夹角余弦值为0，即(AB·DE)(AC·DF)=(AB·DF)(AC·DE)。
两面垂直的判定定理
两面垂直的判定定理两面垂直的判定定理，又称为算术向量定理、向量积定理或克莱因定理，是几何学家卡尔·克莱因于1901年发现的定理。
它将两个垂直的边长向量当作输入，即给定的向量a 和b，结论是把向量a和b的积作为输出，即a x b，其输出的结果是一个垂直于这两个输入的向量，即a x b与a和b都是垂直的。
可以理解为，任意给定两个方向不同的向量，它们乘积的方向永远是垂直于两个输入向量。
由于在立体几何中，角度相关的问题往往需要判断多边形的边是否相交，又因为求一个垂直的边的积的过程需要大量的运算，所以，两面垂直的判断定理得到了广泛的应用。
它可以用来迅速地确定一条直线是否与其他直线垂直，或者两个向量是否是垂直的。
算术向量定理由乘积性质及向量组合原理所构成，经由素数分解后表示为：根据算术向量定理，可以迅速地确定一条直线是否与其他直线垂直（即，直角三角形），或者两个向量是否是垂直的。
首先，计算两条直线上的向量（a和b）的叉积，然后再检查叉积是否为零（即a x b = 0）。
如果结果为零，则说明两个向量是垂直的；否则，则说明这两个向量不是垂直的。
两面垂直的判定定理可以用于判断多边形是否具有很强的平行性，也可以用于判断距离是否是垂直距离。
即，通过计算两点之间的叉积，可以得出距离是否是垂直距离。
同样，可以使用两边垂直的判定定理来判断两个平行线段之间的距离是否是垂直距离。
最后，两边垂直的判定定理也可以用来判断两个点是否是垂直对称的。
两面垂直的判定定理所提出的概念应用在很多方面，特别是在计算和几何学，机器人学和智能控制的应用中，几何学的移动推理也经常使用它。
在数学中，两面垂直的判定定理可以用来判断两个函数的图像是否垂直相交，或者决定一个正方形是否正交。
可以迅速确定三角形不是直角，或者确定圆心与半径形成的圆曲线。
此外，算术向量定理还可以用来生成许多有用的几何图像，如圆锥、圆柱和球体等。
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理可以被描述为：如果平面P1和平面P2的法向量分别为n1和n2，则P1和P2垂直当且仅当n1与n2的点积为0。
证明如下：
假设P1和P2是两个垂直的平面，其法向量分别为n1和n2。
则由两个向量的点积的定义可知：
n1 · n2 = |n1| |n2| cosθ
其中，θ是n1和n2之间的夹角，由于P1和P2垂直，因此θ等于90度，即cosθ等于0。
因此：
n1 · n2 = 0
反之，如果n1 · n2 = 0，则有：
|n1| |n2| cosθ = 0
由于|n1|和|n2|都是非负数，因此只有当cosθ等于0时，上述等式才成立。
即当n1和n2垂直时，它们的点积为0。
因此，我们可以得出结论：平面P1和平面P2垂直当且仅当其法向量n1和n2的点积为0。
- 1 -。
直线与平面垂直的判定定理
A B
C
变式
在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
D1
A1 B1
P
C1
D
1
C
A
B
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
A
E
V
K
C F B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， VB⊥平面ABC”，对吗？
变式. 如图, PA垂直圆O所在平面, AB是圆O的直径, C是圆周上一点, 求证：BC⊥PC.
P
A C
O
B
斜线
Ｐ
Ａ
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ｏ 面内的射影所成的锐角，叫做 这条直线和这个平面所成的角
( )
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
直线与平面垂直
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
C
A
D
B B
D D
P
C C
C
B B
D
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
a m, a n.
m
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
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面面垂直线面垂直的判定定理
一、引言
在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们
称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义
1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理
如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个
平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明
假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：
cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)
cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)
由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上
式中可得：
cos(APQ) = cos(BPQ)
因此，
APQ = BPQ
因此，AP和BP是垂直的。
五、结论
如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个
平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。