面面垂直线面垂直的判定定理

面面垂直线面垂直的判定定理

一、引言

在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。当两个平面垂直时，我们

称它们是面面垂直的。本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。

二、定义

1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。

2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。

3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。

4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。

三、定理

如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个

平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。

四、证明

假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。

首先，我们需要证明这条直线存在。假设这两个平面A和B相交于一条直线L。因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。

接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。我们需要证明AP和BQ是垂直的。

由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。

根据余弦定理：

cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)

cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)

由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。将其代入上

式中可得：

cos(APQ) = cos(BPQ)

因此，

APQ = BPQ

因此，AP和BP是垂直的。

五、结论

如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个

平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。