已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径R和内切球的半径r

已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径R和内切

球的半径r

已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径R和内切球的半径r

分析如图1,因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B , C,D 的距离相等, 所以O 在平面BCD 内的射影O1 到点B, C, D 的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD 中△BCD 是正三角形, 所以O1 是△BCD 的中心, 进而在正四面体ABCD中,有AO1 ⊥平面BCD,所以球心O 在高线AO1 上;同理:球心O也在其它面的高线上.

又正四面体ABCD 中各面上的高都相等, 所以, 由OA =OB = OC = OD,得:点O到正四面体各面的距离相等,所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样,正四

面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h,则r + R = h =a. 因此,只要求出r和R 中的一个,便可求出另一个.

解: 如图2,因为在正四面体ABCD 中, △BCD是正三角形, O1 是其中心, 所以O1D =a.因为OO1 ⊥平面BCD, O1D属于平面BCD,所以OO1 ⊥O1D. 所以,在Rt△OO1D 中, 由勾股定理, 得= ,即解得R =,所以r =- R . 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为

应该把上面结论牢记背诵下来

题目中求正四面体内外接球与愣长直接的关系,. 根据题意得该水晶球刚好是正四面体的外接球，设正四面体的愣长为a，正四面体外接圆半径为R.根据外接球半径与愣长的关系：R=,则愣长a=

球心到正四面体的距离=内结圆的半径=