二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第五节 超静定结构(二)及第六节 压杆稳定
材料力学_超静定结构
B1
1
B
C1 No
C
a
IAm1 ag2e
A
a
l
e
C1
C'
3
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
A
（3）补充方程
l ΔT
l
FRB l EA
（4）温度内力
FRA A
FRB EA l ΔT
由此得温度应力
T
FRB A
l E ΔT
B
lT B'
lF
B
B'FRB
§2-3 简单超静定梁的解法—变形比较法
求解超静定梁的步骤
q
(procedure for solving a statically
超静定结构-力法基本原理ppt课件
解除约束转 基本结构承受荷 化成静定的 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
精选课件
4
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11121P 1 由此可解得基本未知力，从 21222P 2 精选而课件解决受力变形分析问题 5
结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。
FP （×Fpa）
AxE 11Ia223 2838 FPa2E 11I[1 2838 FPa223a
1 21 85 8 FPa2a 3F 精1 选P课a件6 3]0
链 举 31 例
2. 力法解超静定结构举例
例 1. 求解图示两端固支梁。
力法基本思路小结
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。
解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理
获得结构内力。超静定结构分析通过转化为
(6) 解方程求未知力 X i
精选课件
26
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M iXiM PFNFNiXiFNP
i
i
FQ i FQiXiFQP
(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移
例如求 K 截面竖向 FP 位移：
K （×Fpa）
精选课件
27
KyE 11Ia826 5838 FPa2E 11I[1 2(838 FPa1 85 8 FPa)
第五章力法超静定结构概述（ＰＤＦ）
第五章 力 法§5—1 超静定结构概述超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。
例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。
又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，但却不能确定杆件的内力。
因此，这两个结构都是超静定结构。
分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。
多余约束上所发生的内力称为多余未知力。
如图5—1a所示的连续梁中，可认为B支座链杆是多余约束，其多余未知力(图5—1c)。
又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD杆是多余约束，其多余为FBy未知力为该杆的轴力F(图5—d)。
超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。
N常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。
超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。
这些计算方法将在本章和以下两章中分别介绍。
§5—2 力法的基本概念在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。
先举一个简单的例子加以阐明。
设有图5—8a 所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。
如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。
在基本结构上，若以多余未知力代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b 所示的同时受荷载和多余未知力作用的体系。
该体系称为力法的基本体系。
在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力是未知的。
因此，只要能设法先求出多余未知力，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。
第五章 静定结构和超静定结构ppt课件
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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第五章 平面杆件体系的几何组成分析
§5–1 平面杆件体系的几何组成分析目的 §5–2 平面杆系的几个重要5 静定结构和超静定结构
精品课件
§5–5 静定结构和超静定结 几何不变体系构可分为无多余约束的和具有多余约束的。
例如，图a)所示连续梁，如果将C支座链杆去掉，见图b)，
剩下的支座链杆恰好满足两刚片联结的要求，所以，它有一 个多余约束。
对于无多余约束的结构，它的全部反力和内力都可由静 力平衡方程求得，这类结构为静定结构。
静定结构是没有多余约束的几何不变体系,而超静定结 构是有多余约束的几何不变体系。
对于超静定结构，却不能只 依靠静力平衡条件求得全部 反力和内力。
精品课件
2020年二级注册建筑师《建筑结构与设备》考点手册 建筑力学 第六节 压杆稳定【圣才出品】
第六节 压杆稳定 考点一 欧拉公式 ★★★ 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式（见表 1-6-1）
表 1-6-1 欧拉公式表达式
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注：对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式：
Fcr
2EI (l)2
式中，EI 为杆的抗弯刚度；μ为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关；μl 为原压杆
的相当长度。
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超静定结构的概念及超静定次数的确定(PPT)
04 超静定结构的实际应用
桥梁工程
桥梁工程中，超静定结构的应用可以增加结构的稳定性和安全性，提高桥梁的承 载能力。例如，连续梁桥采用超静定结构形式，可以减小梁体的振动和变形，提 高行车舒适性和安全性。
此外，超静定结构在桥梁工程中还可以用于抵抗风、地震等自然灾害的影响，提 高桥梁的抗震性能和抗风能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
渐进法
总结词
通过逐步逼近的方法求解超静定结构的位移和内力的方法。
详细描述
渐进法是一种基于迭代思想的求解方法，通过逐步逼近的方法求解超静定结构的位移和内力。该方法首先假设一 组初始解，然后逐步修正解的近似值，直到满足精度要求或达到预设的迭代次数为止。渐进法可以处理复杂的超 静定结构问题，具有较高的计算效率和精度。
建筑工程
在建筑工程中，超静定结构的应用可以提高结构的稳定性和 刚度，增强建筑物的承载能力和抗震性能。例如，高层建筑 采用超静定结构形式，可以减小风力、地震等外部荷载对建 筑物的影响，保证建筑物的安全性和稳定性。
此外，超静定结构在建筑工程中还可以用于优化建筑物的空 间布局和结构形式，提高建筑物的美观性和实用性。
超静定结构
在任何一组确定的平衡力系作用 下，需要用多余的约束条件才能 确定结构的平衡状态的体系。
超静定结构的特性
具有多余的约束
超静定结构有多余的约束，这些 多余的约束可以提供额外的稳定 性，使结构在受到外力作用时具
有更好的抵抗变形的能力。
存在内力
由于超静定结构的约束多余，当 受到外力作用时，会在结构内部 产生内力，这些内力有助于抵抗
判别准则二
如果一个结构的支座反力数目小于其约束数目， 则该结构为超静定结构。
判别准则三
如果一个结构的受力状态不能由静力平衡方程完 全确定，则该结构为超静定结构。
二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第四节 图乘法求位移及第五节 超静定结构(一)
第四节图乘法求位移略第五节超静定结构一、平面体系的几何组成分析（一）几何不变体系、几何可变体系1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，任意荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变[图5-56 (a)、(b)、(c)]。
这样的体系称为几何不变体系。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，即使在微小的荷载作用下，也会产生机械运动而不能保持其原有形状和位置的体系[图5-56 (d)、(e)、(f)]称为几何可变体系（也称为常变体系）。
（二）自由度和约束的概念1．自由度图5-56在介绍自由度之前，先了解一下有关刚片的概念。
在几何组成分析中，把体系中的任何杆件都看成是不变形的平面刚体，简称刚片。
显然，每一杆件或每根梁、柱都可以看作是一个刚片，建筑物的基础或地球也可看作是一个大刚片，某一几何不变部分也可视为一个刚片。
这样，平面杆系的几何组成分析就在于分析体系各个刚片之间的连接方式能否保证体系的几何不变性。
图5-57自由度是指确定体系位置所需要的独立坐标（参数）的数目。
例如，一个点在平面内运动时，其位置可用两个坐标来确定，因此平面内的一个点有两个自由度[图5-57（a）]。
又如，一个刚片在平面内运动时，其位置要用x、y、φ三个独立参数来确定，因此平面内的一个刚片有三个自由度[图5-57 (b)]。
由此看出，体系几何不变的必要条件是自由度等于或小于零。
那么，如何适当、合理地给体系增加约束，使其成为几何不变体系是以下要解决的问题。
2．约束和多余约束减少体系自由度的装置称为约束。
减少一个自由度的装置即为一个约束，并以此类推。
约束主要有链杆（一根两端铰接于两个刚片的杆杆称为链杆，如直杆、曲杆、折杆）、单铰（即连接两个刚片的铰）和刚结点三种形式。
假设有两个刚片，其中一个不动设为基础，此时体系的自由度为3。
若用一链杆将它们连接起来，如图5-58（a）所示，则除了确定链杆连接处A的位置需一转角坐标外，确定刚片绕A转动时的位置还需一转角坐标，此时只需两个独立坐标就能确定该体系的运动位置，则体系的自由度为2，它比没有链杆时减少了一个自由度，所以一根链杆相当于一个约束；若用一个单铰把刚片同基础连接起来，如图5-58 (b)所示，则只需转角坐标够就能确定体系的运动位置，这时体系比原体系减少了两个自由度，所以一个单铰相当于两个约束；若将刚片同基础刚性连接起来，如图5-58 (c)，则它们成为一个整体，都不能动，体系的自由度为0，因此刚结点相当于三个约束。
单元五 分析超静定结构基本方法 《建筑力学》课件
二、 力矩分配法的应用
2 二次力矩分配法
工程实际中，当结点数较多，不平衡力矩较大时，采用力矩分配法计算 需要进行较多轮次的计算。为了快速地计算出结构的内力，在力矩分配 法的基础上进一步简化，演变出二次力矩分配法，它是一种近似的计算 方法。这种方法就是将各结点的不平衡力矩同时进行分配和传递，并以 二次为限。其结果与精确值存在着一定的误差，但已经能满足一般的土 木工程需要。
三、 力法典型方程
M M 1 X 1 M 2 X 2 ... M n Xn M P
Q Q1 X 1 Q2 X 2 ... Qn Xn QP N N1 X 1 N 2 X 2 ... N n X n N P
四、力法计算步骤
1.选取基本结构 要点：去掉原结构的多余约束,用反力代替。 2.建立力法典型方程 要点：有几次超静定就有几个方程 3.作出M i和MP图 要点：分别作出基本结构在Xi=1作用下的M i和在荷载作用下的MP图 4.求系数项δij和自由项ΔiP 要点：δij为M i与M j图乘，ΔiP为 M i与MP图乘（曲线结构除外）。 5.解方程求多余未知力Xi 6.利用式（11-3）绘制最后内力图 要点：采用叠加方法绘制最后内力图
2温度改变时超静定结构的计算
静定结构在温度改变时，可以产生刚体位移，但不会产生内力。而超静 定结构在温度改变时，既会产生变形，也会产生内力。 用力法计算在温度改变时的超静定结构，其基本原理并没有改变，也只 是在力法典型方程中自由项的计算有所不同。
七、超静定结构特性
与静定结构比较，超静定结构有以下重要特性：Part来自03学习任务3 力矩分配法
一、 力矩分配法的基本概念
力矩分配法是建立在位移法基础上的一种渐近法。它主要用于分析连续 梁和无侧移刚架。在计算过程中采用逐次修正的方法逼近精确数值，随 着计算轮次的增加，其计算结果的精确度也随之提高。在本章中，关于 杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。 1 力矩分配法的基本概念
二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第三节 静定结构的受力分析、剪力图与弯矩图
第三节静定结构的受力分析、剪力图与弯矩图静定结构包括静定桁架、静定梁、多跨静定梁、静定刚架、三铰刚架、三铰拱等。
一、多跨静定梁多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构。
例如图5-41中所示的多跨静定梁，AB部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分。
受力分析时要从中间铰链处断开，首先分析比较简单的附属部分，然后分别按单跨静定梁处理，如图5-41～图5-44所示。
图5-41图5-42图5-43图5-44二、静定刚架静定平面刚架的常见形式有悬臂刚架、简支刚架、外伸刚架，它们是由单片刚接杆件与基础直接相连，各有三个支座反力。
弯矩M画在受拉一侧，剪力V、轴力N要标明+、-号。
实际上，如果观察者站在刚架内侧，把正弯矩画在刚架内侧，把负弯矩画在刚架外侧，那么与弯矩画在受拉一侧是完全一致的。
如图5-45、图5-46所示。
校核：利用刚结点C的平衡。
图5-45图5-46三、三铰刚架三铰刚架由两片刚接杆件与基础之间通过三个铰两两铰接而成，有4个支座反力(图5-47)；三铰刚架的一个重要受力特性是在竖向荷载的作用下会产生水平反力（即推力）。
多跨（或多层）静定刚架则与多跨静定梁类似，其各部分可以分为基本部分[如图5-48(a)中的ACD部分]和附属部分[如图5-48 (a)中的BC部分]。
图5-47图5-58如图5-49（a）所示的三铰刚架。
可先取整体研究平衡：图5-49再取AC平衡：最后取BC，平衡：，令V（x）=，得：四、三铰拱三铰拱是一种静定的拱式结构，它由两片曲杆与基础间通过三个铰两两铰接而成，与三铰刚架的组成方式类似，都属于推力结构。
拱结构与梁结构的区别，不仅在于外形不同，更重要的还在于在竖向荷载作用下是否产生水平推力。
为避免产生水平推力，有时在三铰拱的两个拱脚间设置拉杆来消除所承受的推力，这就是所谓的带拉杆的三铰拱。
建筑材料力学第五章力法
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B
C
建筑力学
1. 力法方程
11X1 12 X 2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P C 0
方程各系数示于上页图中。讨论方程和系 数的物理意义。
2. 方程求解 M1图、M 2 图及MP图见下页图示。上述弯矩
建筑力学
ql2 15
A
C
D
B
ql2 60
11ql2 120 M图
2) 根据M图求各杆剪力并画Q图。
建筑力学
13ql 30 A
ql 12
BC 17ql 30
ql 60 D
Q图
建筑力学
二、超静定刚架
例5-3-1 求图示刚架M图。
q
B
C
X1
E1I1 l
E2I2 l
E1I1 k
E2 I 2
A
原结构
X2
11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。
1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
建筑力学
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FPl 2
A
FP
A l/2
MP图
B l
M图
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1P
1 EI
1 2
FPl 2
l 2
(2 3
l
1 3
l) 2
1 FPl2 5 l 5FPl3 EI 8 6 48EI
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
2020建筑结构与建筑设第五章第五节 超静定结构(二)及第六节 压杆稳定
四、用力法求解超静定结构步骤：(1)确定基本未知量——多余力的数目n。
(2)去掉结构的多余联系得出一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。
(3)根据基本结构在多余力和原有荷载的共同作用下，在去掉多余联系处(B点)的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法典型方程：式中、、分别表示当=1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当 =1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当荷载单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示去掉多余联系处(B点)沿、和方向的总位移。
其中各系数和自由项都为基本结构的位移，因而可用图乘法求得，如：为此，需要作出基本结构的单位内力图、……和荷载内力图。
(4)解典型方程，求出各多余力。
(5)多余力确定后，即可按分析静定结构的方法，给出原结构的内力图（最后内力图），按叠加原理：。
例5-26如图5-73（a）所示梁超静定次数n=l，力法典型方程：图5-73 (c)中，式中所以而图5-73例2-27如图5-74所示图5-74超静定次数n=l力法方程：因为所以五、利用对称性求解超静定结构图5-75（a）、(b)对称结构受正对称荷载作用。
图5-75 (c)、(d)对称结构受反对称荷载作用。
不难发现，对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，且在对称轴上反对称的多余力为零；对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的，且在对称轴上对称的多余力为零。
注意：轴力和弯矩是对称内力，剪力是反对称内力。
图5-75实际上，如果结构对称、荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。
如果结构对称、荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上轴力、弯矩均为零。
例5-28如图5-76（a）所示为3次超静定结构。
依对称性取一半为研究对象，如图5-76 (b)所示，其中反对称力。
图5-76用表示切口两边截面的、水平相对线位移，表示其铅垂相对线位移，表示其相对转角，由于，则力法方程化简为由图5—76(c)、(d)、(e)所示、、的图形，可得：代回力法方程，得解出由可得到最后弯矩图M，如图5-76(f)所示；根据荷载图与弯矩图可知位移变形图，如图5-76 (a)中虚线所示。
二建：建筑结构与建筑设备讲义.第五章第一节 静力学基本知识和基本方法(一)
第五章建筑力学建筑力学包括静力学、材料力学、结构力学三部分内容。
第一节静力学基本知识和基本方法静力学研究物体在力作用下的平衡规律，主要包括物体的受力分析、力系的等效简化、力系的平衡条件及其应用。
一、静力学基本知识（一）静力学的基本概念1．力的概念力是物体间相互的机械作用，这种作用将使物体的运动状态发生变化——运动效应，或使物体的形状发生变化——变形效应。
力的量纲为牛顿(N)。
力的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向、作用点。
力是矢量，满足矢量的运算法则。
当求共点二力之合力时，采用力的平行四边形法则：其合力可由两个共点力为边构成的平行四边形的对角线确定，见图5-l(a)。
或者说，合力矢等于此二力的几何和，即(5-1)显然，求时，只需画出平行四边形的一半就够了，即以力矢的尾端B作为力矢的起点，连接AC所得矢量即为合力。
如图5-l(b)所示三角形ABC称为力三角形。
这种求合力的方法称为力的三角形法则。
力的三角形法则可以很容易地扩展成力的多边形法则。
设一平面汇交力系，，，，各力作用线汇交于点A，如图5-2 (a)所示。
图5-1力的平行四边形法则图5-2力的多边形法则（a）平面汇交力系；(b)力的多边形为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A的合力；还可以用更简便的方法求此合力的大小与方向。
任取一点a，将各分力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形abcde，如图5-2 (b)所示。
此图中的虚线矢（）为力与的合力矢，又虚线矢()为力与的合力矢，在作力多边形时不必画出。
例5-1 （2005年）平面汇交力系(，，，，)的力多边形如图5-3所示，该力系的合力等于( )。
图5-3A.B.C.D.提示：根据力的多边形法则可知，，和首尾顺序连接而成的力矢三角形自行封闭，封闭边为零，故，和的合力为零。
剩余的二力和首尾顺序连接，其合力应是从的起点指向的终点，即的方向。
静定结构与超静定结构.ppt
A
C
II
思考题 2-7图
2-7 如思考题2-7图所示，三刚片由不共线三铰A、B、C相连，组成的 体系几何不变且无多余约束。此结论是否正确？为什么？
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2-2 填空
(1) 习题2-2(1)图所示体系为_________ 体系。 (2) 习题2-2(2)图所示体系为__________体系。 (3) (4) (5) (6) (7) 习题2-2(3)图所示四个体系的多余约束数目分别为____、___、___ 、 习题2-2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题2-2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题2-2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。 习题2-2(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。 。
q A FP FP
C a) 思考题 2-1图 b)
D 思考题 2-4图
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2-6 如思考题2-6图所示，此体系为三刚片由不共线三铰A、B、C相连， 组成的体系几何不变，且无多余约束。此结论是否正确？为什么？
B I A B C III 思考题 2-6图 II I
2超静定结构其杆件内力包括反力由静力平衡条件还不能惟一确定而必须同时考虑变形条件才能惟一确定
2.7
静定结构与超静定结构
按结构的几何组成特征，可判别是静定结构或超静定结 构。现将静定结构与超静定结构的几何特征和静力特性分述如 下： 一、几何特征 1、静定结构——几何不变且无多余约束的体系。 2、超静定结构——几何不变但有多余约束的体系。 二、静力特性
二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第二节 静定梁的受力分析、剪力图与弯矩图(一)
第二节静定梁的受力分析、剪力图与弯矩图单跨静定梁分为悬臂梁、简支梁、外伸梁三种形式。
例5-15如图5-31（a）所示。
检验：。
一、截面法求指定x截面剪力V,弯矩M(1)截开：如图5-31 (b)所示；(2)取左（或右）为研究对象；(3)画左（或右）的受力图；(4)列左（或右）的平衡方程。
注意：V、M方向按正向假设画出。
剪力与弯矩+、一号规定：如图5-31 (c)所示。
剪力V:顺时针为正，反之为负。
弯矩M:如图向上弯为正，反之为负。
上题中，如时：则○+—○图5-31从左、从右计算结果相同。
例5-16外伸梁如图5-32 (a)所示，求，，，。
图5-32检验：如图5-32 (b)所示：（5-9）（5-10）如图5-32 (c)所示：（5-11）（5-12）由式(5-9)，式(5-10)，式（5-11），式（5-12）可以看出以下求剪力和弯矩的规律。
二、直接法求V、M剪力V=截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和，弯矩M=截面一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心O力矩的代数和。
式中各项的+、-号：如图5-33所示为+、反之为-。
图5-33(a)产生正号剪力的外力；(b)产生正号弯矩的外力和外力偶剪力图与弯矩图：根据剪力方程V=V(x)，弯矩方程M=M(x)画出。
在图5-34中列出了几种常用的剪力图和弯矩图。
q(x)，V(x)，M(x)的微分关系：，，。
根据微分关系可以得到荷载图、剪力图、弯矩图之间的规律，如图5-35所示。
从图5-34、图5-35可以看出不同荷载情况下梁式直杆内力图的形状特征如下：【口诀】零、平、斜；平、斜、抛。
(1)无荷载区段：V图为平直线，M图为斜直线。
当V为正时，M图线相对于基线为顺时针转（锐角方向）；当V为负时，为逆时针转；当V=O时，M图为平直线。
(2)均布荷载区段：V图为斜直线，M图为二次抛物线，抛物线的凸出方向与荷载指向一致，V=O处M有极值。
(3)集中荷载作用处，V图有突变，突变值等于该集中荷载值；M图为一尖角，尖角主向与荷载指向一致；若V发生变化，则M有极值。
二建：建筑结构与建筑设备讲义.第五章第一节 静力学基本知识和基本方法(二)
（四）力在坐标轴上的投影过力矢F的两端A、B，向坐标轴作垂线，在坐标轴上得到垂足a、b，线段ab，再冠之以正负号，便称为力F在坐标轴上的投影。
如图5-11中所示的X、y即为力F分别在x与y轴上的投影，其值为力F的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，即：(5-2)图5-11若力与任一坐标轴x平行，即α=0°或α=180°时：或若力与任一坐标轴x垂直，即α=90°时：X=0合力投影定理。
平面汇交力系的合力在某坐标轴上的投影等于其各分力在同一坐标轴上的投影的代数和。
(5-3)例5-5 （2004年）平面力系、汇交在O点，其合力的水平分力和垂直分力分别为、，如图5-12所示。
试判断以下、值哪项正确？A.B.C.D.图5-12提示：【参考答案】C例5-6 （2004年）图5-13所示平面平衡力系中，的正确数值是多少？（与图5-13中方向相同为正值，反之为负值）图5-13A.=-2B.=-4C.=2D.=4提示：因为所以【参考答案】A（五）力矩及其性质1．力对点之矩力使物体绕某支点（或矩心）转动的效果可用力对点之矩度量。
设力F 作用于刚体上的A点，如图5-14所示，用r表示空间任意点0到A点的矢径，于是，力F对O点的力矩定义为矢径r与力矢F的矢量积，记为。
即(5-4)式(5-4)中点O称作力矩中心，简称矩心。
力F使刚体绕O点转动效果的强弱取决于：①力矩的大小；②力矩的转向；③力和矢径所组成平面的方位。
因此，力矩是一个矢量，矢量的模即力矩的大小为(5-5)矢量的方向与OAB平面的法线n一致，按右手螺旋法则来确定。
力矩的单位为N·m或kN·m。
在平面问题中，如图5-15所示，力对点之矩为代数量，表示为：(5-6)式中d为力到矩心0的垂直距离，称为力臂。
习惯上，力使物体绕矩心逆时针转动时，式(5-6)取正号，反之取负号。
图5-14力对点之矩图5-152．力矩的性质(1)力对点之矩，不仅取决于力的大小，同时还取决于矩心的位置，故不明确矩心位置的力矩是无意义的。
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四、用力法求解超静定结构
步骤：
(1)确定基本未知量——多余力的数目n。
(2)去掉结构的多余联系得出一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。
(3)根据基本结构在多余力和原有荷载的共同作用下，在去掉多余联系处(B点)的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法典型方程：
式中、、分别表示当=1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当 =1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当荷载单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示去掉多余联系处(B点)沿、和方向的总位移。
其中各系数和自由项都为基本结构的位移，因而可用图乘法求得，如：
为此，需要作出基本结构的单位内力图、……和荷载内力图。
(4)解典型方程，求出各多余力。
(5)多余力确定后，即可按分析静定结构的方法，给出原结构的内力图（最后内力图），按叠加原理：。
例5-26如图5-73（a）所示梁超静定次数n=l，力法典型方程：
图5-73 (c)中，式中
所以
而
图5-73
例2-27如图5-74所示
图5-74
超静定次数n=l
力法方程：
因为
所以
五、利用对称性求解超静定结构
图5-75（a）、(b)对称结构受正对称荷载作用。
图5-75 (c)、(d)对称结构受反对称荷载作用。
不难发现，对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，且在对称轴上反对称的多余力为零；对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的，且在对称轴上对称的多余力为零。
注意：轴力和弯矩是对称内力，剪力是反对称内力。
图5-75
实际上，如果结构对称、荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。
如果结构对称、荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上轴力、弯矩均为零。
例5-28如图5-76（a）所示为3次超静定结构。
依对称性取一半为研究对象，如图5-76 (b)所示，其中反对称力。
图5-76
用表示切口两边截面的、水平相对线位移，表示其铅垂相对线位移，表示其相对转角，由于，则力法方程化简为
由图5—76(c)、(d)、(e)所示、、的图形，可得：
代回力法方程，得
解出
由可得到最后弯矩图M，如图5-76(f)所示；根据荷载图与弯矩图可知位移变形图，如图5-76 (a)中虚线所示。
例5-29图5-77 (a)原为3次超静定结构，但可把它分解成图5-77 (b)和图5-77(c)的叠加。
而图5-77 (b)不产生弯矩，所以图5-77（a）的弯矩与图5-77 (c)相同。
利用图5-77 (c)的反对称性，把它从对称轴切断，则对称内力=0，=0，力法方程化简为一次：
取左半部分汁算：
代回力法方程，可得。
利用画出弯矩图5-77（g），其中右半部分可利用反对称性画出。
根据荷载图与弯矩图可知位移变形图如图5-77(a)中虚线所示。
图5-77
例5-30奇数跨和偶数跨两种对称刚架的简化。
图5-78 (a)中C截面不会发生转角和水平线位移，但可发生竖向线位移；同时在C面上将有弯矩和轴力，但无剪力。
故可用图5-78(c)中C处的定向支撑来代替。
图5-78(b)中CD杆只有轴力和轴向变形（否则不对称）。
在刚架分析中，一般忽略轴力的影响，所以(1点将无任何位移发生。
故可用网5-78 (d)中C处的固定支座来代替。
图 5-78
图5-78(a)、(b)的弯矩图的大致形状如图5-78 (e)、(f)所示。
六、多跨超静定连续梁的活载布置
应用结构力学的影响线理论，可以找到多跨超静定连续梁相应内力量值的最不利荷载位置。
我们以图5-79 (a)所示五跨连续梁有关弯矩的最不利活载的布置为例，说明其规律性。
(1)从图5-79(b)、(c)中可知：求某跨跨中附近的最大正弯矩时，应在该跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。
(2)从图5-79 (d)、(e)、(f)、(g)中可知：求某支座的最大负弯矩时，应在该支座相邻两跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。
掌握上述规律后，对于有关多跨连续梁的相应问题，就可以迎刃而解了，例如参考习题5-94等。
对于不同的超静定结构，有时使用位移法和力矩分配法也很方便。
由于篇幅所限，兹不赘述。
图 5-79
第六节压杆稳定
轴向拉压杆组成的桁架结构在建筑物和桥梁中有着广泛的应用。
19世纪末以来，单纯的强度计算已不能满足工程中压杆设计的需要，压杆稳定问题日益突出。
所谓压杆稳定是指中心受压直杆直线平衡的状态在微小外力干扰去除后自我恢复的能力。
压杆失稳是指压杆在轴向压力作用下不能维持直线平衡状态而突然变弯的现象。
压杆的临界力，是使压杆直线形式的平衡由稳定开始转化为不稳定的最小轴向压力。
也可以说，临界力，是压杆保持直线形式的稳定平衡所能够承受的最大荷载。
不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过平衡或类比的方法推出。
本节给出几种典型的理想支承约束条件下，细长中心受压直杆的欧拉公式表达式（表5-4）。
由表5-4所给的结果可以看出，中心受压直杆的临界力Fe，受到杆端约束情况的影响。
杆端约束越强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也越高。
对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式
(5-27)
式中，EI为杆的抗弯刚度，因数∥称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关。
称为原压杆的相当长度，其物理意义可从表5-4中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点间的一段看作两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式（式5-27），得到原支承条件下压杆的临界力。
这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度μl。
或者说，相当长度为各种支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。
各种支承约束条件下等截面细长压杆临
界力的欧拉公式表5-4
况另
端铰支
另
端自由
但可
沿横向相
对移动失
稳
时
挠
曲
线
形
状
临界力
欧拉公
式
长度因
数μ
μ=1 μ≈0.7 μ=0.5 μ=2 μ=1
应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式（式5-27）中，I是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩。
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩。
若杆端在不同方向的约束情况不同（如柱形铰），则I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。
在工程实际问题中，支撑约束程度与理想的支撑约束条件总有所差异，因此，其长度因数μ值应根据实际支撑的约束程度，以表5-4作为参考来加以选取。
在有关的设计规范中，对各种压杆的μ值多有具体的规定。
对各种压杆的μ值多有具体的规定。
例5-31 （2011年）对于相同材料的等截面轴心受压杆件，在图5-80中的三种情况下，其承载能力Pl、P2、P3的比较结果为：
图 5-80
A P1=P2<P3
B Pl=P2>P3
C P1>P2>P3
D P1<P2<P3
提示：图中杆1的相当长度为1×l=l；
杆2的相当长度为；
杆3的相当长度为0.7l。
由公式可知，当EI相同时，μl越小，越大，故杆3的临界力P3最大，而杆1和杆2的临界力P1=P2。
答案：A
例题
1．确定右图中所示结构的超静定次数：
(A)一次
(B)二次
(C)三次
(D)四次
【答案】B
【说明】该结构的计算自由度W=3×5-(2×4+9)=-2；自由度S=0，多余约束n=S-W=2，故超静定次数为2。
2．右图所示结构超静定次数为：
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【答案】D
【说明】划分成如图3-221所示的4个钢片，计算自由度w=3×4-(3×2+2×2+10)=-8。
3．如下图所示结构在荷载作用下的各弯矩图中哪个图是正确的(图中弯矩图画于构件的下侧)?
【答案】C
【说明】该结构为对称结构，可取一半作为研究对象，如图3—274．所示。
B支座只能提供水平反力，则结构水平段无剪力，弯矩图为一水平直线；又水平段下侧受拉。
4．确定图中所示结构的超静定次数：
(A)一次
(B)二次
(C)三次
(D)四次
【答案】A
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亲爱的朋友：
人生当自勉，学习需坚持。
从这一刻开始，我依旧是我，只是心境再不同。
不论今后的路如何，我都会在心底默默鼓励自己，坚持不懈，等待那一场破茧的美丽。
祝你成功!加油！。