二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第五节 超静定结构(二)及第六节 压杆稳定

四、用力法求解超静定结构

步骤：

(1)确定基本未知量——多余力的数目n。

(2)去掉结构的多余联系得出一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。

(3)根据基本结构在多余力和原有荷载的共同作用下，在去掉多余联系处(B点)的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法典型方程：

式中、、分别表示当=1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。

、、分别表示当 =1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。

、、分别表示当荷载单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。

、、分别表示去掉多余联系处(B点)沿、和方向的总位移。

其中各系数和自由项都为基本结构的位移，因而可用图乘法求得，如：

为此，需要作出基本结构的单位内力图、……和荷载内力图。

(4)解典型方程，求出各多余力。

(5)多余力确定后，即可按分析静定结构的方法，给出原结构的内力图（最后内力图），按叠加原理：。

例5-26如图5-73（a）所示梁超静定次数n=l，力法典型方程：

图5-73 (c)中，式中

所以

而

图5-73

例2-27如图5-74所示

图5-74

超静定次数n=l

力法方程：

因为

所以

五、利用对称性求解超静定结构

图5-75（a）、(b)对称结构受正对称荷载作用。

图5-75 (c)、(d)对称结构受反对称荷载作用。

不难发现，对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，且在对称轴上反对称的多余力为零；对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的，且在对称轴上对称的多余力为零。注意：轴力和弯矩是对称内力，剪力是反对称内力。

图5-75

实际上，如果结构对称、荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。如果结构对称、荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上轴力、弯矩均为零。

例5-28如图5-76（a）所示为3次超静定结构。依对称性取一半为研究对象，如图5-76 (b)所示，其中反对称力。

图5-76

用表示切口两边截面的、水平相对线位移，表示其铅垂相对线位移，表示其相对转角，由于，则力法方程化简为

由图5—76(c)、(d)、(e)所示、、的图形，可得：

代回力法方程，得

解出

由可得到最后弯矩图M，如图5-76(f)所示；根据荷载图与弯矩图可知位移变形图，如图5-76 (a)中虚线所示。

例5-29图5-77 (a)原为3次超静定结构，但可把它分解成图5-77 (b)和图5-77(c)的叠加。而图5-77 (b)不产生弯矩，所以图5-77（a）的弯矩与图5-77 (c)相同。利用图5-77 (c)的反对称性，把它从对称轴切断，则对称内力=0，=0，力法方程化简为一次：

取左半部分汁算：

代回力法方程，可得。

利用画出弯矩图5-77（g），其中右半部分可利用反对称性画出。根据荷载图与弯矩图可知位移变形图如图5-77(a)中虚线所示。

图5-77

例5-30奇数跨和偶数跨两种对称刚架的简化。

图5-78 (a)中C截面不会发生转角和水平线位移，但可发生竖向线位移；同时在C面上将有弯矩和轴力，但无剪力。故可用图5-78(c)中C处的定向支撑来代替。

图5-78(b)中CD杆只有轴力和轴向变形（否则不对称）。在刚架分析中，一般忽略轴力的影响，所以(1点将无任何位移发生。故可用网5-78 (d)中C处的固定支座来代替。

图 5-78

图5-78(a)、(b)的弯矩图的大致形状如图5-78 (e)、(f)所示。

六、多跨超静定连续梁的活载布置

应用结构力学的影响线理论，可以找到多跨超静定连续梁相应内力量值的最不利荷载位置。我们以图5-79 (a)所示五跨连续梁有关弯矩的最不利活载的布置为例，说明其规律性。

(1)从图5-79(b)、(c)中可知：求某跨跨中附近的最大正弯矩时，应在该跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。 (2)从图5-79 (d)、(e)、(f)、(g)中可知：求某支座的最大负弯矩时，应在该支座相邻两跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。掌握上述规律后，对于有关多跨连续梁的相应问题，就可以迎刃而解了，例如参考习题5-94等。

对于不同的超静定结构，有时使用位移法和力矩分配法也很方便。由于篇幅所限，兹不赘述。

图 5-79

第六节压杆稳定

轴向拉压杆组成的桁架结构在建筑物和桥梁中有着广泛的应用。19世纪末以来，单纯的强度计算已不能满足工程中压杆设计的需要，压杆稳定问题日益突出。所谓压杆稳定是指中心受压直杆直线平衡的状态在微小外力干扰去除后自我恢复的能力。压杆失稳是指压杆在轴向压力作用下不能维持直线平衡状态而突然变弯的现象。压杆的临界力，是使压杆直线形式的平衡由稳定开始转化为不稳定的最小轴向压力。也可以说，临界力，是压杆保持直线形式的稳定平衡所能够承受的最大荷载。

不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过平衡或类比的方法推出。本节给出几种典型的理想支承约束条件下，细长中心受压直杆的欧拉公式表达式（表5-4）。由表5-4所给的结果可以看出，中心受压直杆的临界力Fe，受到杆端约束情况的影响。杆端约束越强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也越高。对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式

(5-27)

式中，EI为杆的抗弯刚度，因数∥称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关。称为原压杆的相当长度，其物理意义可从表5-4中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点间的一段看作两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式（式5-27），得到原支承条件下压杆的临界力。这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度μl。或者说，相当长度为各种支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。

各种支承约束条件下等截面细长压杆临

界力的欧拉公式表5-4