2018年山东省潍坊市新华中学高三数学文联考试题含解析

2018年山东省潍坊市新华中学高三数学文联考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）
A.58
B.88
C.143
D.176
参考答案：
B
2. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
参考答案：
B
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．
【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，
记为：a1，a2，a3，…，a n，
其公差为d，
则a1=5，S30=390，
∴=390，
∴d=．
故选：B．
3. 已知i是虚数单位，a，b∈R，且，则a＋b＝（）
（A）1 （B）－1 （C）－2
（D）－3
参考答案：
D
略
4. 右图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半网），则该几何体的表面积
A．20+3πB．24+3π
C．20+4πD．24+4π
参考答案：
A
略
5. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）
A.2
B.
C.
D.
参考答案：
A.
试题分析：利用复数的运算法则化简复数，由纯虚数的定
义知，，解得.故应选A.
考点：复数的代数表示法及其几何意义.
6. 当正整数集合A满足：“若x∈A，则10﹣x∈A”．则集合A中元素个数至多有
（）
A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
C
【考点】15：集合的表示法．
【分析】由x∈A，则10﹣x∈A可得：x＞0，10﹣x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*．若
1∈A，则9∈A．同理可得：2，3，4，5，6，7，8，都属于集合A．即可得出．
【解答】解：由x∈A，则10﹣x∈A可得：x＞0，10﹣x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*．若1∈A，则9∈A．同理可得：2，3，4，5，6，7，8，都属于集合A．
因此集合A中元素个数至多有9个．
故选：C．
7.
已知函数的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
8. .已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数
的零点为，则下列不等式中成立的( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
9. 若（i为虚数单位），则z的共轭复数是
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. 已知角的终边与单位圆交于，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
参考答案：
12. 下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________
（1）直线，若，则。

类推出：向量，若则
（2）同一平面内，三条不同的直线，若，则。

类推出：空间中，三条不同的直线，若，则
（3）任意则。

类比出：任意则
（4）、以点为圆心，为半径的圆的方程是。

类推出：以点为球心，为半径的球的方程是
参考答案：
（4）
13. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.
参考答案：
略
14. 方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是
____________
参考答案：
15. 直线y=x+3的倾斜角为▲
参考答案：
16. 已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，记数列{log2a n}的前n项和为T n，若a1∈[，]，且=9，则当n= 时，T n有最小值．
参考答案：
11
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n 项和公式可得T n，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：q=1不满足条件，舍去．
∵=9，∴=1+q3=9，
解得q=2．
∴，
log2a n=log2a1+（n﹣1）．
∴T n=nlog2a1+=+n，
∵a1∈[，]，
∴log2a1∈[﹣log22016，﹣log21949]，
∴﹣=∈，
∵1024=210＜1949＜2016＜2048=211，
∴＞＞＞，
∴当n=11时，T n取得最小值．
故答案为：11．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知曲线C：y=lnx﹣4x与直线x=1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是．
参考答案：
3x+y+1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：由已知得y′=﹣4，所以当x=1时有y′=﹣3，
即过点P的切线的斜率k=﹣3，又y=ln1﹣4=﹣4，
故切点P（1，﹣4），
所以点P处的切线方程为y+4=﹣3（x﹣1），即3x+y+1=0．
故答案为3x+y+1=0．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知的图象为曲线，是曲线上的不同点，曲线在处的切线斜率均为．
（1）若，函数的图象在点处的切线互相垂直，求的最小值；
（2）若的方程为，求的值．
参考答案：
（1）
当且仅当或时取最小值1
（2）设
上
即
将代入上式得
得
同理
，且均满足方程
故
19. 如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、
的中点．
（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．
参考答案：
解：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则
2）
（3）且
，
，∴，即
==
略
20. （本小题满分14分）
已知函数
(I)若函数f(x)在x=1处的切线与直线平行,求a的值：
(II)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)在(I)的条什下，若对职恒成立,求实数的取值范围.参考答案：
(I) ;(II) 见解析;(Ⅲ)[-5,-1]
21. 已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列
（I）求数列{a n}的通项公式：
（II）若数列{b n}满足b1+2b2+4b3+…+2n﹣1b n=a n求数列{b n}的通项公式．
参考答案：
（I）设等差数列的公差为d
由题意可得，
∴
解可得，
∴=n+n（n﹣1）=n2 ----------6分
（II）∵b1+2b2+4b3+…+2n﹣1b n=a n，
∴b1+2b2+4b3+…+2n﹣1b n=a n，
b1+2b2+4b3+…+2n b n+1=a n+1，
两式相减可得，2n b n=2
∴
n=1时，b1=a1=1
∴----------6分
22. 浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．
（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；
（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．
【分析】（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．
（II）根据已知求出：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：
（I）甲班的大众评审的支持票数：
62，66，67，67，68，69，72，72，72，76，77，78，81，81，82，85，85，86，88，90．
72出现了3次，出现的次数最多，故众数是72，
从小到大排列最中间的两个数是76，77，则中位数是76.5．
最大数为90，最小值为62，故极差为28，
乙班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，73，74，76，78，81，82，84，86，87，88，89，90，91，95，95，98．
95出现了2次，出现的次数最多，故众数是95，
从小到大排列最中间的数是82，84，则中位数是83．
最大数为98，最小值为65，故极差为33，
（II）共有6名选手进入决赛，其中有3名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件共=20种，
符合题意的基本事件有=9种，
故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=。