单相交流电路之正弦交流电

单相交流电路之正弦交流电
一、正弦交流电的三要素
正弦交流电是指其数值大小、方向都按正弦的规律周而复始循环变化的电势电压与电流。

要完全掌握正弦交流电，必须掌握交流电的三要素，数值、频率和角频率，相位关系，正弦交流电的三要素是极大值（或有效值）、频率（或角频率）及相位（或初相位）。

1.正弦交流电的数值
1）瞬时值
正弦交流电在变化过程中，任意确定时刻t的数值，称为正弦交流电的瞬时值，如图 2 - 15 中的e₁。

瞬时值用小写符号表示，如i、e、u等。

2）最大值
正弦交流电的最大值又称极大值,振幅值也可称为极值，是指在变化过程中，正弦交流电出现的最大瞬时值，用符号Eₘ（图 2 - 15）、Iₘ、Uₘ表示。

3）有效值
正弦交流电的有效值是衡量它发热做功的一个基本量。

就是说，交流电流和直流电流分别通过同一电阻，如果经过相同时间产生同样热量，则交流电流的有效值等于直流电流的大小。

因此，定义正弦交流电的有效值是从发热做功方面与直流等效的值称为交流电的有效值，从数学角度，它又可以称为方均根值。

有效值用大写符号表示，如E、I、U。

正弦交流电的瞬时值，可以用数学解析式表达，即u=Uₘsin(ωt+φ)
正弦交流电的有效值与极大值的关系为
或
实际上，交流电路的分析与计算过程中，主要用交流电的有效值，例如，电器铭牌上标定的电压、电流，仪表（电流表、电压表）测量的指示值以及计算电路的电压、电流等都是有效值。

2.频率和角频率
1）频率和周期
（1）频率:是指正弦交流电单位时间（s）内循环变化的次数，用符号f表示，单位为赫兹(Hz).-般50Hz.、60Hz称为工频交流电。

(2)周期:是指正弦交流电每循环一次所经历的时间(s),即正弦交流电从0值到极大值再到0值再变化到负的最大值然后回到0值的过程所经历的时间称,用符号T表示，单位为秒(s)。

频率与周期的关系为f=1/T
2) 角频率
角频率是指正弦交流电每秒循环变化所经历的弧度(这里指角度)，用符号ω表示，单位是弧度/秒(red/s)。

角频率与频率及周期的关系为
3.正弦交流电的相位关系
正弦交流电是随时间变化的量，在交流电路中的电压、电势，电流等电气量频率相通，分析和计算交流电路时，是以相对关系进行的。

通常把这个变化量看成是以同一速度的旋转相量，这样就要有一个表示正弦交流量变化过程的物理量，这个量就是相位。

正弦交流电的表示式为e=Eₘsin(2пft+φ)
式中，(2пft+φ)表示正弦电势的相位，但是，由于2пft是一致的,有了交流电相位.就可以确切地表出正弦交流电的特征。

初相位是指当时间t =0时正弦交流电的相位，由于是旋转量，所以用角度表承，即φ角就是正弦交流电势E的初相位。

1)相位差及相位的超前与滞后
(1)相位差是指在交流电路中同频率的正弦交流量初相位之差,例如：
u₁=U₁ₘsin(2пft+φ₁)
i₁=I₁ₘsin(2пft+φ₂)
则交流电压与电流之间的相位差为φ₁₂=φ₁-φ₂
(2)相位的超前与滞后正弦交流电在变化时，相对计时起点(t=0) 而言.先达到零值(或极大值)者叫做超前，后达到零值者叫做滞后。

2)同相与反相
几个同频率的正弦交流量进行比较时，初相角相等，叫做同相;初相角相互有180°的相位差，叫做反相。

由图2-16(a)可见、i₁超前i₂,i₁,与i₂的相位差φ₁-φ₂=60°-( -75°)= 135°。

由图2-16(b)可见,i₁与i₂同相；由图2-l6(c)可见,i₁与i₂互为反相。

二、正弦交流电的分析法
正弦交流电的分析方法可分为三角函数法.波形图法、相量图法和符号法，符号法本章不做介绍。

1.三角函数法
用三角函数式表示正弦交流电的关系称为三角函数法，例如:
e=Eₘsin(ωt+φₑ)
u=Uₘsin(ωt+φu)
i=Iₘsin(ωt+φi)
就是三角函数法。

2.波形图法
在坐标系中根据三角函数式画出其正弦曲线,这种正弦曲线就是正弦交流电的波形图，因此称为波形图法。

波形图可以直观反映出正弦交流量的变化状态和相互关系,所以常用来分析正弦交流电的变化状态。

在已知正弦交流电三要素的条件下，用上述方法表示正弦交流电很方便。

但是，进行数学运算则显得很麻烦，为了方便地进行正弦交流电的加、减运算，常采用相量图加减法，即相量图法
3.相量图法
如图2-17所示，以在笛卡儿坐标中绕原点旋转的矢量Eₘ表示正弦交流电的方法，称为旋转矢量法。

图中以矢量的长度表示正弦交流电的极大值，矢量与横轴的夹角(起始位置)表示正弦交流电的初相位，矢量的旋转角速度表示正弦交流电的角频率，矢量在纵坐标上的投影就是正弦交流电的瞬时值。

可见,旋转矢量法能把正弦交流电的三要素形象地表示出来。

当正弦交流电用旋转矢量表示后，就可以大大简化正弦交流电的加、减运算。

必须指出，旋转矢量法只适用于同频率正弦交流电的加、减.由于用旋转矢量法做出的矢量都以同一频率逆时针旋转，在旋转
过程中各矢量间的夹角(正弦交流电的相位差)保持不变，所以，只需画出起始时(t=0)每个矢量的位置就可以进行计算。

在实际计算中，往往采用有效值代替最大值.这时，为了与最大值表示的旋转矢量相区別，把有效值表示的矢量图叫做相量图。

采用有效值相量图计算有以下特点：
(1)相量与笛卡儿坐标X轴正方向的夹角表示正弦交流电的初相位。

(2)相度用来表示正弦交流电的有效值。

(3)为了表示两个正弦交流电的相位关系，可把横轴的正方向为参考方向，也可随便选一个相量做参考方向，这时笛卡儿坐标轴就可以取消了。

(4)相量相加的方程表示为E=E₁+E₂+……
相量相加应用数学上的平行四边形法则，即以两相量为邻边、相位差为夹角作平行四边形,平行四边形的对角线为二相量的和；相量相减是将被减的相量先作其反方向的相量，然后与另一相量相加，即E=E₁-E₂=E₁+(-E₂)
例 2 -3已知
求两交
流电的相量和。

解：u₁与u₂的有效值分别为
u₁=3V，u₂=4V
在水平面上，作一相量U₁，其长度为3V，由于U₂超前U₁90°，则以U₁为参考量，逆时针方向转90°，相量U₂长度为4V，以U₁、U₂为邻边，做平行四边形，则对角线U就是U₁、U₂(图2-18)，其数值按勾股定理算出：
U₁与U₂的夹角φ就是它们的相位差。

査三角函数表知φ= 53°8′。

例2-4 已知两个正弦交流电U₁与U₂的有效值均为220V,它们的相位差为80°,求U=U₁-U₂。

解:根据题意，两个相量的相位差如
图2 -19所示。

因U=U₁-U₂=U₁+(-U₂)
作出-U/的相量后(与U₂方问相
反)，两个边作平行四边形，对角线即为所求。

由图可见，U比U₁超前60°，其有效值与U₁相等，为220V。