同角三角函数
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同角三角函数
1.同角三角函数的基本关系式
根据三角函数定义,容易得到如下关系式
(1)平方关系 sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
(2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα
cotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secα
secα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα
(3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1
说明:(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如,当α=(k
∈Z)时,tanα²cotα=1就不成立.
另外,要注意是同角,如sin2α+cos2α=1,但sin2α+cos2β=1就不恒成立.
(2)对公式除了顺用,还应学会逆用、变用、活用.例如,由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等.
对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定,当α在第一或第四象限时,取“+”;当α在第二或第三象限时,取“-”.而对于其他形式的公式就不必考
虑符号问题.如α是第二象限角,tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角,所以tanα为负值).其实α在第二象限,sinα为正值,cosα为负值,所以tanα
=结果自然得负值,如果再加“-”,结果就得正值了.
(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cot α等去代换1.
(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上.
①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1,如tanα²cotα=1.
②在阴影的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方,如1+tan2α=sec2α。
③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积,如sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα.
2.同角三角函数关系式的应用
主要解决如下几类问题:
(1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数.
(2)三角函数式的化简.
(3)证明三角恒等式,熟悉几种常用方法.
【重点难点解析】
1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系,这些关系式为三角函数式的求值、化简与证明等恒等变形提供了工具和方法,导出这些关系式的过程与方法——利用三角函数的定义方法,本身就是一种重要的证题方法.
2.已知角α的一种三角函数值,而利用关系式求其它三角函数值时,一般要用一次平方关系式,此时在实施开方运算而选择符号时,要依据α的象限定符号,而用其他关系式时,则结果取自然运算符号.
3.对三角函数式的化简问题,首先要明确化简标准与目标,即要尽量使次数低、项数少、函数种类少;尽量使式中不含三角函数;尽量使分母中不含三角函数;能求出值的必须求出值.
对于三角恒等式的证明,要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异,因此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律,是确定实施怎样的变形以及选择什么样的三角公式的依据,这些恒等变形的能力要重点培养.
相关例题
例1已知tanα=m(π<α<2π且m≠0),求sinα,cosα的值.
分析:已知角α的一个三角函数值,求它的其他三角函数,可利用同角三角函数的关系式.又因为tanα的值是用字母m给出的,所以要对字母m的正负进行分类讨论.
解:当m>0时,α为第三象限角,
∵sec2α=1+tan2α=1+m2,∴secα=-.
∴cosα==-,
sinα=tanαcosα=-
当m<0时,α为第四象限角,
同上,secα=,cosα=,sinα=.
评注:当三角函数值以字母形式给出时,计算过程中,既要考虑三角函数在不同象限的符号,又应注意到参数(如本题中的m)本身的符号.
例2化简.其中α为第二象限角.
分析:本题化简的关键是如何化去根号.利用平方关系可将被开方式配方,化去根号.同时要注意象限角的三角函数值的符号.
解:原式=-
=
= (α为第二角限)=2cotα
例3求证:=()2
分析:注意到原式两边的式子差异不大,故采用左、右两边的式子同时变形使之等于同一式子.
证明左边=
==
右边==
=.
∴=()2
例4已知sinα=cosβ,tanα=cotβ.- <α<,0<β<π,求α、β.
分析:从已知条件中消去角α(或β),便可求出关于β(或α)的某个三角函数值,进而确定α、β的值.
解:sinα= cosβ, (1)
tanα= cotβ, (2)
由,得cos2α=sin2β. (3)
又由(1)2,得sin2α=2cos2β. (4)
(3)+(4),得2cos2β+sin2β=1
∴sin2β=
∵0<β<π,
∴sinβ=
于是β=或π
代入(1)式,α=,或α=-
例5已知关于x的方程2x2-( +1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:
(1) +的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值. 解:(1)由韦达定理可知
sinθ+cosθ=……①
sinθ²cosθ=……②
而+
=+
=
=sinθ+cosθ=
(2)由①式平方得1+2sinθcosθ=∴sinθcosθ=
由②得=∴m=
(3)当m=时,原方程变为
2x2-(+1)x+ =0
解得x1=,x2=