考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷41(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷41(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=A．B．C．Fα(4，3)．D．F1-α(4，3)．正确答案：A解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)．又由F1-α(n1，n2)=故选(A)．知识模块：概率论与数理统计2．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则A．n必为2．B．n必为4．C．n为1或2．D．n为2或4．正确答案：C解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1一2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知由上可知，n=1或2，即应选(C)．知识模块：概率论与数理统计3．设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A．B．C．D．正确答案：D解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X1，X2， (X)相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于A．t1-bB．C．tb．D．．正确答案：D解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=根据题设定义P{X≤tα}=1一α，可知应选(D)．知识模块：概率论与数理统计5．假设总体X的方差DX存在，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S2，则EX2的矩估计量是A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计6．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2已知，μ未知．现从中随机抽取n个零件，测得样本均值，则当置信度为0．90时，判断μ是否大于μ0的接受条件为A．B．C．D．正确答案：C解析：本题假设检验的假设应为H0：μ≤μ0；H1：μ＞μ0．因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计7．已知正态总体X一N(a，σx2)和Y～N(b，σy2)相互独立，其中4个分布参数都未知．设X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分别来自X和Y 的简单随机样本，样本均值分别为，样本方差相应为Sx2和Sy2，则检验假设H0：a≤b使用t检验的前提条件是A．σx2≤σy2．B．Sx2≤Sy2．C．σx2=σy2．D．Sx2=Sy2．正确答案：C解析：应该选(C)．因为t检验使用统计量其中Sxy2是两个总体的联合样本方差：只有当选项(C)即σx2=σy2成立时才能导出统计量t的抽样分布——t分布，并且根据t分布来构造t检验．知识模块：概率论与数理统计填空题8．设总体X—E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的联合概率密度f(x1，x2，…，xn)=______．正确答案：解析：总体X的概率密度f(x)=由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此知识模块：概率论与数理统计9．设总体X—P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值的概率分布为________．正确答案：解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1+X2一P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，于是，对任意n＞2，的概率分布为知识模块：概率论与数理统计10．已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=______．正确答案：n解析：由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以知识模块：概率论与数理统计11．已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_________.正确答案：解析：记Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)] =E(X22)一E(X32)=σ2一σ2=0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1+X2+X3=X1+Y1～N(0，3σ2)，且X1+X2+X3与X2一X3相互独立，于是按t分布定义有知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的密度函数f(x)=分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则ES2=______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计13．假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本为其均值，S为其标准差，如果=0．95，则参数a=________．(t0.05(15)=1．7531) 正确答案：a=一0．4383．涉及知识点：概率论与数理统计14．设X1，X2，…，X9是来自总体X～N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足=0．95的常数μ=________．(ψ(1．96)=0．975) 正确答案：1．3067．涉及知识点：概率论与数理统计15．设X～N(μ，σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均为未知参数．从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn，样本均值为则未知参数μ和σ2的矩估计量分别为正确答案：,B2解析：由于待估计参数有2个：μ，σ2，故考虑一阶、二阶矩．由于E(X)=μ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2，知识模块：概率论与数理统计16．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X的概率密度为则θ的最大似然估计量=______正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计17．已知总体X的概率密度只有两种可能，设对X进行一次观测，得样本X1，规定当时拒绝H0，否则就接受H0，则此检验犯第一、二类错误的概率α和β分别为_______．正确答案：解析：由检验的两类错误概率α和β的意义，知知识模块：概率论与数理统计18．已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值为是λ的无偏估计，则a=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计19．已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，…，X2n是来自总体X 容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时．为σ2无偏估计，则C=_______，DY=_______．正确答案：解析：通过EY=σ2求得C，为此需先求得X2i—X2i-1分布．由于Xi～N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i—X2i-1一1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i-1)2=D(X2i—X2i-1)+[E(X2i—X2i-1)]2=2σ2．知识模块：概率论与数理统计20．已知总体X服从参数为p(0＜p＜1)的几何分布：P{X=x}=(1一p)x-1p(x=1，2，…)，X1,…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数p 的矩估计量为______；最大似然估计量为________．正确答案：解析：由几何分布的期望公式即得则由上式解得p的矩估计量又样本X1，…，Xn的似然函数知识模块：概率论与数理统计21．设总体X的概率密度为其中0＜θ＜1是未知参数，c是常数．X1，X2，…，XN为来自总体X的简单随机样本，则c=_______；θ的矩估计量=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，标准差是1．3，计算在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率．正确答案：设第i次轰炸中命中目标的炸弹数为Xi，100次轰炸中命中目标的炸弹总数为X，则X=X1+…+X100，且X1，…，X100相互独立同分布．EXi=2，DXi=1．32，EX=200，DX=169．应用独立同分布中心极限定理，X近似服从正态分布N(200，169)，则有≈2ψ(1．54)一1=0．876．涉及知识点：概率论与数理统计23．假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．正确答案：(I)假设Xi表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X1，…，X100相互独立同分布，EXi=50，DXi=52．记一袋螺丝钉的重量为S100，则应用列维一林德伯格中心极限定理可知S100近似服从正态分布N(5000，502)，且=1一ψ(2)=0．02275．(Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y 服从参数n=500，p=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116．应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ2=11．116的正态分布，于是涉及知识点：概率论与数理统计24．设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为和S2，记．试求：E(T)与E(T2)的值．正确答案：由正态总体的性质知，与S2相互独立；由样本数字特征的性质知，=E(X)=0，，E(S2)=D(X)=1；由正态总体的样本方差的分布知，(n一1)S2～χ2(n一1)；由χ2分布的性质知，D[χ2(n一1)]=2(n一1)，从而D[(n—1)S2]=(n 一1)2D(S2)=2(n一1)，即．于是涉及知识点：概率论与数理统计25．已知总体X的数学期望EX=μ，方差DX=σ2，X1，X2， (X2)是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为求EY．正确答案：由于总体分布未知，我们只好将Y化简，应用数字特征性质计算EY．由于涉及知识点：概率论与数理统计26．(I)设X与Y相互独立，且X～N(5，15)，Y—χ2(5)，求概率P{X一5＞}；(Ⅱ)设总体X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是来自X的简单随机样本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．正确答案：于是所求概率为p=0．3 179×0．05=0．0159．涉及知识点：概率论与数理统计27．设X1，X2，…，Xn是取自正态总体X的简单随机样本，EX=μ，DX=4,试分别求出满足下列各式的最小样本容量n：正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计28．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布．(I)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计．正确答案：(I)由题设知，总体X的概率密度为而进行矩估计和最大似然估计．首先求矩估计量只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解．总体一阶矩为E(X)，样本一阶矩再求最大似然估计量;似然函数为涉及知识点：概率论与数理统计29．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知总体X的概率密度为试求λ的矩估计量和最大似然估计量．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计30．设总体X—N(0，σ2)，参数σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，令估计量正确答案：(I)由于X1，X2，…，Xn相互独立且与总体X同分布，故(Ⅱ)根据抽样分布有关结论知再由χ2分布随机变量的方差公式有：Y～χ2(n)，则DY=2n．涉及知识点：概率论与数理统计31．已知x1，x2，…，x10是取自正态总体N(μ，1)的10个观测值，统计假设为H0：μ=μ0=0；H1：μ≠0．(I)如果检验的显著性水平α=0．05，且拒绝域R=，求k的值；(Ⅱ)若已知，是否可以据此样本推断μ=0(α=0．05)?(Ⅲ)若H0：μ=0的拒绝域为R=，求检验的显著性水平α．正确答案：(I)对于H0：μ=μ0=0；H1：μ≠0，当H0成立时，检验统计量～N(0，1)．根据α=0．05，所以λ=1．96，即P{|U|≥1．96}=0．05．该检验的拒绝域为(Ⅱ)由(I)知拒绝域，因此应拒绝H0，即不能据此样本推断μ=0．(Ⅲ)显著性水平α是在H0成立时，拒绝H0的概率，即α=P{(x1，x2， (x10)∈R|H0成立}=P{(x1，x2，…，x10)∈R|μ=0} 涉及知识点：概率论与数理统计。