人大版线性代数课后习题答案
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其中， 均为实数，而且 。
由于 ，故
A2=AAT= =0。
取A2的主对角线上的元素有
，（i=1,2,…,n）
因为， 均为实数，故所有 =0，因此A=O。
4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0.
证明：设
A=
为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且
=- ，i,j=1,2,…,n，
从|A|中每行提出-1，得
0.2
0.35
0.011
0.05
0.12
0.5
试利用矩阵乘法计算：
（1）经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？
（2）经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？
解：（1） =
其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；
第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。
（2） =
其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。
7、设A,B均为 阶对称矩阵，试判定下列结论是否正确，并说明理由。
（1） 为对称矩阵；
（2） 为对称矩阵（ 为任意常数）；
（3） 为对称矩阵。
证明：令n阶对称矩阵A= ，其中 ，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
n阶对称矩阵A= ，其中 ，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
(1)正确。
显然A+B= ，又 ， ，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
（1）
（2）
（3）
（4） 。
证明：（1）因为A，B为 阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=
根据矩阵加法的定义，可知： ,所以 因此， = + ，即 。
（2）因为A为 阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA= 。
根据矩阵加法的定义，可知： ,所以 。
因此， = = ，即 。
（3）令AT=
根据矩阵转置的定义可知， ，
14、设 为同阶矩阵，且满足 。求证： 的充分必要条件是
.
证明：先证明必要性：由于 ，故
…………（1）
如果A2=A，即
由此得B2=E
再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知，
。
所以， 的充分必要条件是 。
15、设 为 阶矩阵，称 的主对角线上所有元的和为 的迹，记作 ，即 。
求证：当 均为 阶矩阵时，有
（1）作矩阵 和 分别表示三个炼油厂1997年和1998年各种油品的产量；
（2）计算 与 ，并说明其经济意义；
（3）计算 ，并说明其经济意义。
解：（1） ，
；
（2） ，
其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。
，
其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。
所以 = ，
即A+B为对称矩阵。
（2）正确。
显然kA= ，又 ，其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,n;
所以 = ，
即kA为对称矩阵。
（3）错误。
设对称矩阵A和B分别为：
， ；
所以 ，显然AB不为对称矩阵。
8、求所有与 可交换的矩阵
（1） ；(2) 。
解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令 ，
又 ，
，
由可交换条件AX=XA，可得b=0, （其中 为任意常数），
即 。
（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令 ，
又 ，
，
由可交换条件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均为任意常数），
即 。
9、设矩阵 与矩阵 均可交换，求证： 与 也可交换，且 。
故 = = 。
10、证明：n阶行列式
（1） ;
（2） .
证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得
，
所以 = =
=…= = 。
（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得
Dn= +
= +bDn-1= =
=…= = 。
11、证明：n阶行列式
6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？
（1） ；（2） ；
（3） （k为正整数）；（4） （k为正整数）；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。
7、已知 ，令 ，求 （n为正整数）.
解：因为 =
= ，
其中 = =3，
20、证明：
（1） ；
（2） 。
证明：（1） = +
= -
= +
=2 。
（2） = +
= －
= 。
21、计算下列n阶行列式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） 。
解：（1）各列都加到第一列后，再从第一列中提取 ；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得
=（ ）
=（ ）
= 。
（2） = · ，
（3） ，
其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。
4、计算下列矩阵的乘积
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
（5） 。
（6） 。
（7） 。
5、如图，考虑边长为2的正方形 ：设其顶点和各边中点的坐标分别为
(2)令
则矩阵U的每一列依次为 的坐标，如下图所示。
令
则矩阵 的每一列依次为点 的坐标。如图所示。
6、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物 的数量以及它们一单位的价格、重量和体积如下表：
出地
口区
量
货物
北美欧洲非洲
单位价格
（万元）
单位重量
单位体积
2000 1000 800
1200 1300 500
的第 行第 列为 。
12、设 ，对于 阶矩阵 ，定义
其中 为 阶单位矩阵。
（1）如果 ， ，求 ；
解：依定义得：
。
（2）如果 ， ，求 .
解：依定义得：
= － + = 。
13、写出下列图 的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。
解：（1）设邻接矩阵为A，则
A= ，A2= 。
（2）设邻接矩阵为A，则
A= ，A2= 。
根据矩阵的乘法，有
=
又AC=CA，因此，
=
=
= 。
14、设3阶矩阵A、B满足关系式
，
其中
求B.
解：因为
所以，B= 。
15、设4阶矩阵
，
且矩阵A满足关系式 ，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A.
解：
。
而 = ，再利用矩阵初等变换即可求出 。
所以A= 。
第1章矩阵
1、设
，
求
解： ；
；
。
2、设矩阵 满足 ，其中
|A|= = = =-|A|
（因为n为奇数，且|AT|=|A|），故得|A|=0。
5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？
（1）BCA=E；（2）BAC=E；（3）ACB=E；
（4）CBA=E；（5）CAB=E。
答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有 ， ，所以其他的不一定成立。
D= = 。
（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得
D= = = 。
（5）设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，…，n），得
D= = 。
22、解方程
（1） ；
（2） 。
解：（1）将所给的行列式的第一行乘以－1，加到其他行，得
。
再证n=k+1时也成立。
。
（3） = ，可用数学归纳法证明之。
（4）
当n=1时，值为原矩阵；
当n=2时， ；
当n=3时， ；
当 时， 。
（5） = ；
（6） ，
由直接计算可知A2=4E。
由此进一步得知：
11、设 为 阶矩阵。试分别求 , 与 的第 行第 列。
解： 的第 行第 列为 ，
的第 行第 列为 ，
第1章
矩阵
习题一
(B)
1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵.
证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵.即
令n阶对角矩阵为：
A= ,
任何对角矩阵B设为 ，则AB= ，
而BA= ，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。
再证充分性，设A= ，
与B可交换，则由AB=BA，得：
= = =6123000。
（4）从第二行提取2之后，跟第一行互换，得
= = =8。
（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得
= = = =512。
（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得
= = = =160。
（7）这是一个第二行元素为1、2、3、4的范得蒙行列式，因此
2）若detA＝0，且A=O，则 ＝0，因而det = 0，结论成立。
3）若detA＝0，且AO，此时必有det = 0。因为若det 0，则 可逆，于是在 ＝O两边左乘 ，得A=O，与AO矛盾。即此时结论也成立。 证毕。
13、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且 ，AC=CA.求证：
证明：因为 ，所以矩阵A可逆。
， ，
求
解：设 ，
则 ， 。
利用矩阵相等的定义可得：
。
3、某石油公司所属的三个炼油厂 在1997年和1998年生产的4种油品 的产量如下表（单位：万吨）
产油
量品
炼油厂
1997年
1998年
58 27 15 4
72 30 18 5
65 25 14 3
63 25 1Hale Waihona Puke Baidu 5
90 30 20 7
80 28 18 5
显然，当n=1时，原行列式的值为 。
当n=2时，
= = 。
当 时，将第2行到第n行的元素减去第一行相应的元素，得到
= 。
然后，将各行的公因子提出得
= =0（因为有两行的元素是相等的）。
所以，综合有：当n=1时，原式= ，
当n=2时， 原式= ，
当n 3时，原式=0。
（3）设所给的行列式为D，从最后一列依次往前一列加，得
证明：因为矩阵A与矩阵 可交换，即 ， ，
所以 = + = + = ，
即矩阵 与 可交换。
又 ，
即矩阵 与 也可交换。
所以 由 有： = － = 。
10、计算（其中n为正整数）
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
解：（1） = 。
（2） = 。下面用数学归纳法证明。
当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即
= ，
比较对应元素，得
， 。
又 ， ，所以
， ，
即A为对角矩阵。
2、证明：对任意 矩阵A， 和 均为对称矩阵.
证明：( )T=(AT)TAT=AAT，
所以， 为对称矩阵。
( )T=AT(AT)T=ATA，
所以， 为对称矩阵。
3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足 ，则A=O.
证明：设
A= ，
（1） 用矩阵 分别左乘给定的
正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为
试作出由这些点构成的平面图形；
（2）考虑矩阵
分别在当 和 时，用 左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到的点的坐标 和 分别作出由这两组点构成的平面图形。
解：(1)以 的坐标为列构造28矩阵V，令
则矩阵W的每一列依次为 的坐标。如图所示。
所以 = = 。
8、计算行列式
解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：
Ｄ＝ ＋
将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，
Ｄ＝ － －
＝ 。
9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且 ， 。如果
，
求detC.
解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且
=
= =0。
所以x=1，2，…，n-1。
（2）将所给的行列式的最后一列分别乘以 加到第n，n-1，…，1列，得
解：（1） = +
= + =－8+0=－8。
（2） = +
= = －0
= =8。
19、计算下列行列式
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） =
=
=
= 。
（2）将第二、三、四列展开得：
原式=
=
= + =0。
（3） = +
= 。
（4）按第一列展开
= + = 。
（5）按最后一列展开
= + = 。
= =12。
（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展开，得
= = = =－192。
17、解方程
（1） ；（2） 。
解：（1） = = =1。
即解方程 ，因此x=3或-1。
（2） =（x+2）（x-1）=0。
所以方程的解为：x=1或－2。
18、设3阶行列式 ，计算下列行列式：
（1） ；（2） 。
又 ，
所以 = ，
即： 。
（4）令AB=C= ，AB=D= ，
其中 ，
。
显然，当 时， ，
于是 ，即 。
16、计算下列行列式
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
解：（1） = =1。
（2） = = =12。
（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得
（1） ;
（2） .
证明：（1）令 ， ，则有
，xy=1。
而且由于 ，故 ，从而由第十题的结果直接得
Dn= = 。
（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得
Dn=
－ = －
= = 。
12、设A是n阶矩阵 ，求证： 。
证明：由 的定义可知， ，两边取行列式，得
。
下面进行讨论。1）若detA0，则由上式立即就有 。
由于 ，故
A2=AAT= =0。
取A2的主对角线上的元素有
，（i=1,2,…,n）
因为， 均为实数，故所有 =0，因此A=O。
4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0.
证明：设
A=
为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且
=- ，i,j=1,2,…,n，
从|A|中每行提出-1，得
0.2
0.35
0.011
0.05
0.12
0.5
试利用矩阵乘法计算：
（1）经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？
（2）经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？
解：（1） =
其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；
第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。
（2） =
其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。
7、设A,B均为 阶对称矩阵，试判定下列结论是否正确，并说明理由。
（1） 为对称矩阵；
（2） 为对称矩阵（ 为任意常数）；
（3） 为对称矩阵。
证明：令n阶对称矩阵A= ，其中 ，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
n阶对称矩阵A= ，其中 ，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
(1)正确。
显然A+B= ，又 ， ，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;
（1）
（2）
（3）
（4） 。
证明：（1）因为A，B为 阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=
根据矩阵加法的定义，可知： ,所以 因此， = + ，即 。
（2）因为A为 阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA= 。
根据矩阵加法的定义，可知： ,所以 。
因此， = = ，即 。
（3）令AT=
根据矩阵转置的定义可知， ，
14、设 为同阶矩阵，且满足 。求证： 的充分必要条件是
.
证明：先证明必要性：由于 ，故
…………（1）
如果A2=A，即
由此得B2=E
再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知，
。
所以， 的充分必要条件是 。
15、设 为 阶矩阵，称 的主对角线上所有元的和为 的迹，记作 ，即 。
求证：当 均为 阶矩阵时，有
（1）作矩阵 和 分别表示三个炼油厂1997年和1998年各种油品的产量；
（2）计算 与 ，并说明其经济意义；
（3）计算 ，并说明其经济意义。
解：（1） ，
；
（2） ，
其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。
，
其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。
所以 = ，
即A+B为对称矩阵。
（2）正确。
显然kA= ，又 ，其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,n;
所以 = ，
即kA为对称矩阵。
（3）错误。
设对称矩阵A和B分别为：
， ；
所以 ，显然AB不为对称矩阵。
8、求所有与 可交换的矩阵
（1） ；(2) 。
解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令 ，
又 ，
，
由可交换条件AX=XA，可得b=0, （其中 为任意常数），
即 。
（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令 ，
又 ，
，
由可交换条件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均为任意常数），
即 。
9、设矩阵 与矩阵 均可交换，求证： 与 也可交换，且 。
故 = = 。
10、证明：n阶行列式
（1） ;
（2） .
证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得
，
所以 = =
=…= = 。
（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得
Dn= +
= +bDn-1= =
=…= = 。
11、证明：n阶行列式
6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？
（1） ；（2） ；
（3） （k为正整数）；（4） （k为正整数）；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。
7、已知 ，令 ，求 （n为正整数）.
解：因为 =
= ，
其中 = =3，
20、证明：
（1） ；
（2） 。
证明：（1） = +
= -
= +
=2 。
（2） = +
= －
= 。
21、计算下列n阶行列式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） 。
解：（1）各列都加到第一列后，再从第一列中提取 ；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得
=（ ）
=（ ）
= 。
（2） = · ，
（3） ，
其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。
4、计算下列矩阵的乘积
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
（5） 。
（6） 。
（7） 。
5、如图，考虑边长为2的正方形 ：设其顶点和各边中点的坐标分别为
(2)令
则矩阵U的每一列依次为 的坐标，如下图所示。
令
则矩阵 的每一列依次为点 的坐标。如图所示。
6、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物 的数量以及它们一单位的价格、重量和体积如下表：
出地
口区
量
货物
北美欧洲非洲
单位价格
（万元）
单位重量
单位体积
2000 1000 800
1200 1300 500
的第 行第 列为 。
12、设 ，对于 阶矩阵 ，定义
其中 为 阶单位矩阵。
（1）如果 ， ，求 ；
解：依定义得：
。
（2）如果 ， ，求 .
解：依定义得：
= － + = 。
13、写出下列图 的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。
解：（1）设邻接矩阵为A，则
A= ，A2= 。
（2）设邻接矩阵为A，则
A= ，A2= 。
根据矩阵的乘法，有
=
又AC=CA，因此，
=
=
= 。
14、设3阶矩阵A、B满足关系式
，
其中
求B.
解：因为
所以，B= 。
15、设4阶矩阵
，
且矩阵A满足关系式 ，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A.
解：
。
而 = ，再利用矩阵初等变换即可求出 。
所以A= 。
第1章矩阵
1、设
，
求
解： ；
；
。
2、设矩阵 满足 ，其中
|A|= = = =-|A|
（因为n为奇数，且|AT|=|A|），故得|A|=0。
5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？
（1）BCA=E；（2）BAC=E；（3）ACB=E；
（4）CBA=E；（5）CAB=E。
答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有 ， ，所以其他的不一定成立。
D= = 。
（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得
D= = = 。
（5）设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，…，n），得
D= = 。
22、解方程
（1） ；
（2） 。
解：（1）将所给的行列式的第一行乘以－1，加到其他行，得
。
再证n=k+1时也成立。
。
（3） = ，可用数学归纳法证明之。
（4）
当n=1时，值为原矩阵；
当n=2时， ；
当n=3时， ；
当 时， 。
（5） = ；
（6） ，
由直接计算可知A2=4E。
由此进一步得知：
11、设 为 阶矩阵。试分别求 , 与 的第 行第 列。
解： 的第 行第 列为 ，
的第 行第 列为 ，
第1章
矩阵
习题一
(B)
1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵.
证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵.即
令n阶对角矩阵为：
A= ,
任何对角矩阵B设为 ，则AB= ，
而BA= ，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。
再证充分性，设A= ，
与B可交换，则由AB=BA，得：
= = =6123000。
（4）从第二行提取2之后，跟第一行互换，得
= = =8。
（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得
= = = =512。
（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得
= = = =160。
（7）这是一个第二行元素为1、2、3、4的范得蒙行列式，因此
2）若detA＝0，且A=O，则 ＝0，因而det = 0，结论成立。
3）若detA＝0，且AO，此时必有det = 0。因为若det 0，则 可逆，于是在 ＝O两边左乘 ，得A=O，与AO矛盾。即此时结论也成立。 证毕。
13、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且 ，AC=CA.求证：
证明：因为 ，所以矩阵A可逆。
， ，
求
解：设 ，
则 ， 。
利用矩阵相等的定义可得：
。
3、某石油公司所属的三个炼油厂 在1997年和1998年生产的4种油品 的产量如下表（单位：万吨）
产油
量品
炼油厂
1997年
1998年
58 27 15 4
72 30 18 5
65 25 14 3
63 25 1Hale Waihona Puke Baidu 5
90 30 20 7
80 28 18 5
显然，当n=1时，原行列式的值为 。
当n=2时，
= = 。
当 时，将第2行到第n行的元素减去第一行相应的元素，得到
= 。
然后，将各行的公因子提出得
= =0（因为有两行的元素是相等的）。
所以，综合有：当n=1时，原式= ，
当n=2时， 原式= ，
当n 3时，原式=0。
（3）设所给的行列式为D，从最后一列依次往前一列加，得
证明：因为矩阵A与矩阵 可交换，即 ， ，
所以 = + = + = ，
即矩阵 与 可交换。
又 ，
即矩阵 与 也可交换。
所以 由 有： = － = 。
10、计算（其中n为正整数）
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
解：（1） = 。
（2） = 。下面用数学归纳法证明。
当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即
= ，
比较对应元素，得
， 。
又 ， ，所以
， ，
即A为对角矩阵。
2、证明：对任意 矩阵A， 和 均为对称矩阵.
证明：( )T=(AT)TAT=AAT，
所以， 为对称矩阵。
( )T=AT(AT)T=ATA，
所以， 为对称矩阵。
3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足 ，则A=O.
证明：设
A= ，
（1） 用矩阵 分别左乘给定的
正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为
试作出由这些点构成的平面图形；
（2）考虑矩阵
分别在当 和 时，用 左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到的点的坐标 和 分别作出由这两组点构成的平面图形。
解：(1)以 的坐标为列构造28矩阵V，令
则矩阵W的每一列依次为 的坐标。如图所示。
所以 = = 。
8、计算行列式
解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：
Ｄ＝ ＋
将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，
Ｄ＝ － －
＝ 。
9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且 ， 。如果
，
求detC.
解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且
=
= =0。
所以x=1，2，…，n-1。
（2）将所给的行列式的最后一列分别乘以 加到第n，n-1，…，1列，得
解：（1） = +
= + =－8+0=－8。
（2） = +
= = －0
= =8。
19、计算下列行列式
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） =
=
=
= 。
（2）将第二、三、四列展开得：
原式=
=
= + =0。
（3） = +
= 。
（4）按第一列展开
= + = 。
（5）按最后一列展开
= + = 。
= =12。
（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展开，得
= = = =－192。
17、解方程
（1） ；（2） 。
解：（1） = = =1。
即解方程 ，因此x=3或-1。
（2） =（x+2）（x-1）=0。
所以方程的解为：x=1或－2。
18、设3阶行列式 ，计算下列行列式：
（1） ；（2） 。
又 ，
所以 = ，
即： 。
（4）令AB=C= ，AB=D= ，
其中 ，
。
显然，当 时， ，
于是 ，即 。
16、计算下列行列式
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
解：（1） = =1。
（2） = = =12。
（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得
（1） ;
（2） .
证明：（1）令 ， ，则有
，xy=1。
而且由于 ，故 ，从而由第十题的结果直接得
Dn= = 。
（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得
Dn=
－ = －
= = 。
12、设A是n阶矩阵 ，求证： 。
证明：由 的定义可知， ，两边取行列式，得
。
下面进行讨论。1）若detA0，则由上式立即就有 。